PAGEPAGE8用心愛(ài)心專心專題補(bǔ)充學(xué)習(xí)空間向量法解決立體幾何問(wèn)題一．知識(shí)回顧：1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.①令，則,，∥(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)2、空間兩點(diǎn)的距離公式：.專題提綱一、引入兩個(gè)重要空間向量1、直線的方向向量；2、平面的法向量。二、立體幾何問(wèn)題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。一.引入兩個(gè)重要的空間向量ABZYXO1.直線的方向向量:把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2ABZYXOnnα2.平面的法向量:如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量.3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?如圖2,設(shè)a=(x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說(shuō),若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.nnba4.求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).【例題賞析】例1：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAAABCDOA1B1C1D1zxybabbaba1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥b【例題賞析】例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1A1B1C1D1CBADnaαL(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且LnaαLnLαa①若a∥n,即a=λn,則LnLαa②若a⊥n,即a·n=0,則L∥α.【例題賞析】例3:棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1AA1C1B1ACBEDzxy(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2αββαn1n1n2n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥nαββαn1n1n2n2【例題賞析】例4:正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:面AED⊥面A1FDzzxyABCDFEA1B1C1D12.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了.【例題賞析】例5:如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_(kāi)____.BBCAMxzyB1C1D1A1CDMA(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,則L與α所成的角θ=-<a,n>或θ=<a,n>-(下圖).nnaaθθααnaaθθααn于是,因此【例題賞析】例6:正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角zzxyC1A1B1ACBO（3）二面角BAo設(shè)n1、n2分別是二面角兩個(gè)半平面α、β的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2BAoBAo①、二面角BAoBAo②、二面角BAoBBAo【例題賞析】例7:在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.ADSBxADSBxyCzAθHBnα(2)點(diǎn)到平面的距離A為平面α外一點(diǎn)(如圖),n為平面α的法向量,過(guò)A作平面α的斜線AB及垂線AH.==.于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面的法向量模的比值.【例題賞析】例9:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zzxyCC1A1B1AB空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂