高中數(shù)學(xué)必修二《第十章概率》同步練習(xí)

《10.1.1有限樣本空間與隨機事件》同步練習(xí)

[合格基礎(chǔ)練]

一、選擇題

1.下列現(xiàn)象中，不可能事件是（）

A.三角形的內(nèi)角和為180°

B.a_La,bl.a,a//b

C.銳角三角形中兩內(nèi)角和小于90°

D.三角形中任意兩邊之和大于第三邊

C[銳角三角形中兩內(nèi)角和大于90°.]

2.下列事件中的隨機事件為（）

A.若a,b,c都是實數(shù)，則a（A）=（a，）c

B.沒有水和空氣，人也可以生存下去

C.拋擲一枚硬幣，反面向上

D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達到60C時水沸騰

C[A中的等式是實數(shù)乘法的結(jié)合律，對任意實數(shù)a,b,c是恒成立的，故

A是必然事件.在沒有空氣和水的條件下，人是絕對不能生存下去的，故B是不

可能事件.拋擲一枚硬幣時，在沒得到結(jié)果之前，并不知道會是正面向上還是反

面向上，故C是隨機事件.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的條件下，只有溫度達到100°C,水

才會沸騰，當(dāng)溫度是60℃時，水是絕對不會沸騰的，故D是不可能事件.]

3.某校高一年級要組建數(shù)學(xué)、計算機、航空模型三個興趣小組，某學(xué)生只

選報其中的2個，則試驗的樣本點共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

C[該生選報的所有可能情況是：｛數(shù)學(xué)和計算機｝,｛數(shù)學(xué)和航空模型｝,｛計

算機和航空模型｝,所以試驗的樣本點共有3個.]

4.下列事件中，隨機事件的個數(shù)為（）

①三角形內(nèi)角和為180°；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形

中兩個內(nèi)角和小于90°；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊

A.1個B.2個C.3個D.4個

A[若兩內(nèi)角的和小于90°,則第三個內(nèi)角必大于90°,故不是銳角三角

形，...③是隨機事件，而①②④均為必然事件.]

5.從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，那么“這2個數(shù)的和大于4”

包含的樣本點數(shù)為()

A.2個B.3個C.4個D.5個

C[從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，則試驗的樣本空間為

{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中“這2個數(shù)的和大于4”

包含的樣本點有:(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4個.]

二、填空題

6.投擲兩枚骰子，點數(shù)之和為8所包含的樣本點有個.

5[樣本點為(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個.]

7.下列試驗中是隨機事件的有.

①某收費站在一天內(nèi)通過的車輛數(shù)；②一個平行四邊形的對邊平行且相等;

③某運動員在下屆奧運會上獲得冠軍；④某同學(xué)在回家的路上撿到100元錢；⑤

沒有水和陽光的條件下，小麥的種子發(fā)芽.

①③④[①③④都是隨機事件，②是必然事件，⑤是不可能事件.]

8.從1,2,3,…，10中任意選一個數(shù)，這個試驗的樣本空間為,

滿足“它是偶數(shù)”樣本點的個數(shù)為.

0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[樣本空間為。=

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),其中滿足“它是偶數(shù)”樣本點有:2,4,6,8,10,共有

5個.]

三、解答題

9.已知集合井={—2,3},〃={—4,5,6},從兩個集合中各取一個元素作為

點的坐標(biāo).

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；

(3)寫出“第一象限內(nèi)的點”所包含的樣本點.

[解]⑴。={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),

(一4,一2),(5,一2),(6,—2),(—4,3),(5,3),(6,3)}.

(2)試驗樣本點的總數(shù)是12.

(3)“第一象限內(nèi)的點”所包含的樣本點為:(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).

10.現(xiàn)在甲、乙、丙三人玩剪刀、石頭、布的出拳游戲，觀察其出拳情況.

(1)寫出該試驗的樣本空間;

(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有哪些？

［解］以(/S,百表示三人中甲出剪刀、乙出石頭、丙出布.

⑴。={(/J,J),(//S，(/S,J)，(S,/力，(/J,0,(/

B,J),(B,Ji力，S,5),(S,J,S,(s,s,J)，(/B,0,(B,J，

而，(B,B,J),(S,S,S，(S,S,而，(S,B,S，(8，S，S，{B,B,

(8S,8),(S,B,0,(8,B,0,(/S,"(/B,S,(S,J,

B,J),(B,J,S,(B,S,J)}.

(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有：(/J,J),(S,S,S,(B,B,6).

［等級過關(guān)練］

1.“連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的點數(shù)”，該試驗的樣本點

共有()

A.6種B.12種

C.24種D.36種

D[試驗的全部樣本點為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36

種.]

2.在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不是隨機事

件的是()

A.3件都是正品B.至少有1件次品

C.3件都是次品D.至少有1件正品

C［25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都

是次品”不是隨機事件.］

3.一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現(xiàn)在把球隨機地一個一個

摸出來，為了保證在第k次或第k次之前能首次摸出紅球，則k的最小值

為

16[至少需摸完黑球和白球共15個.]

4.下列試驗中，隨機事件有，必然事件有.

①長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形；②打開電視機，正好

在播新聞；③從裝有3個黃球、5個紅球的袋子中任摸4個，全部都是黃球；④

下周六是晴天.

②④①[①是必然事件，③是不可能事件，②④是隨機事件.]

5.設(shè)有一列北上的火車，已知?？康恼居赡现帘狈謩e為S,S,…，丸共

10站.若甲在S站買票，乙在&站買票.設(shè)試驗的樣本空間。表示火車所有可

能停靠的站，令力表示甲可能到達的站的集合，6表示乙可能到達的站的集合.

(1)寫出該試驗的樣本空間Q；

(2)寫出兒△包含的樣本點；

(3)鐵路局需為該列車準(zhǔn)備多少種北上的車票？

,一解-(1)0={S,Si,S,S”W,S,S,5g,So}.

(2)A~{Si,$,S-tW,S”>}；B—{S,W,W,So}.

(3)鐵路局需要準(zhǔn)備從S站發(fā)車的車票共計9種，

從S站發(fā)車的車票共計8種，……，從W站發(fā)車的車票1種，合計共9+8

+…+2+1=45(種).

《10.1.2事件的關(guān)系和運算》同步練習(xí)

[合格基礎(chǔ)練]

一、選擇題

1.從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球，則下列選項中的兩

個事件是互斥事件的為()

A.“都是紅球”與“至少1個紅球”

B.“恰有2個紅球”與“至少1個白球”

C.“至少1個白球”與“至多1個紅球”

D.“2個紅球，1個白球”與“2個白球，1個紅球”

D[A,B,C中兩個事件是包含與被包含關(guān)系，只有D,兩個事件不可能同

時發(fā)生，是互斥事件.]

2.抽查10件產(chǎn)品，記事件/為“至少有2件次品”，則Z的對立事件為（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9種結(jié)果，故它

的對立事件為含有1或。件次品，即至多有1件次品.]

3.給出以下三個命題：（1）將一枚硬幣拋擲兩次，記事件4：“兩次都出現(xiàn)

正面”，事件6：“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件力與事件6是對立事件；（2）在

命題⑴中，事件1與事件8是互斥事件；（3）在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從

中任取3件，記事件4“所取3件中最多有2件是次品”，事件8：”所取3

件中至少有2件是次品”，則事件4與事件6是互斥事件.其中命題正確的個數(shù)

是（）

A.0B.1

C.2D.3

B[（1）還有可能出現(xiàn)一次出現(xiàn)正面，一次出現(xiàn)反面這種情況，所以事件A

和8是互斥事件，但不是對立事件，所以⑴錯誤；（2）正確；（3）中可能出現(xiàn)2

件次品，1件正品的情況，所以事件力與事件8不是互斥事件.故選B.]

4.對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件4=｛兩彈

都擊中飛機｝,事件8=｛兩彈都沒擊中飛機｝,事件｛恰有一彈擊中飛機｝,事

件g｛至少有一彈擊中飛機｝,下列關(guān)系不正確的是（）

A.AQDB.

C.AUC=DD.AUC=BUD

D[“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚

擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都

擊中，：.AUC^BUD.]

5.如果事件/,8互斥，那么（）

A.4U6是必然事件

B.7U7是必然事件

C.7與下一定互斥

D.1與3一定不互斥

B［用集合的表示法中的“Venn圖”解決比較直觀，如圖所示，AUB=I

是必然事件，故選B.

-------------I］

二、填空題

6.事件“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至少4

個是黑球”的對立事件是.

某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至多3個是黑球

［事件“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至少4個是

黑球”的對立事件是“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其

中至多3個是黑球”.］

7.同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點且不是6點”的對立事件

為.

①一個是5點，另一個是6點；

②一個是5點，另一個是4點；

③至少有一個是5點或6點；

④至多有一個是5點或6點.

③［同時擲甲、乙兩枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有36個，“都不是5點且

不是6點”包含16個，其對立事件是“至少有一個是5點或6點”.］

8.向上拋擲一枚骰子，設(shè)事件力=｛點數(shù)為2或4｝,事件3=｛點數(shù)為2或

6｝,事件｛點數(shù)為偶數(shù)｝,則事件C與46的運算關(guān)系是.

C=AUB［由題意可知

三、解答題

9.某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件/為“只訂甲報”，事件

8為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件〃為“不訂甲報”，

事件￡為“一種報也不訂”.判斷下列事件是否是互斥事件，如果是，判斷它們

是否是對立事件.

⑴1與G（2）6與民（3）6與。；（4）8與G（5）。與￡

［解］(1)由于事件?！爸炼嘤喴环N報”中可能只訂甲報，即事件/與事件C

有可能同時發(fā)生，故力與。不是互斥事件.

(2)事件8"至少訂一種報”與事件后“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生

的，故事件6與后是互斥事件.由于事件6和事件后必有一個發(fā)生，故8與￡

也是對立事件.

(3)事件6“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就

是說事件8發(fā)生，事件〃也可能發(fā)生，故8與〃不是互斥事件.

(4)事件3“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂

甲、乙兩種報”.事件。“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只

訂甲報”“只訂乙報”.即事件6與事件?？赡芡瑫r發(fā)生，故6與。不是互斥事

件.

(5)由(4)的分析可知，事件夕”一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，

事件。與事件6可能同時發(fā)生，故。與6不是互斥事件.

10.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，用集

合的形式分別寫出下列事件，并判斷下列每對事件的關(guān)系：

(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；

(4)“至少有1名男生"與“至少有1名女生”.

［解］設(shè)3名男生用數(shù)字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(*,

y)(xW{l,2,3},ye{4,5})表示選出參加比賽的2名同學(xué)，則試驗的樣本空間為

0={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),

(4,5)},

⑴設(shè)力="恰有1名男生”，B="恰有2名男生”，

則力={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},5={(1,2),(1,3),

⑵3)},

因為ZC8=0,所以事件力與事件8互斥且不對立.

(2)設(shè)C="至少有1名男生”，D=“全是男生”，

則C={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

。={(1,2),(1,3),(2,3)},因為所以ZEC即事件C與事件。

不互斥

(3)設(shè)4”至少有1名男生”，F(xiàn)=“全是女生”，則占{(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

F={(4,5)},因為EU/=0,EQF=0,所以￡和尸互為對立事件.

(4)設(shè)6="至少有1名男生”，H="至少有1名女生”，則

G={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

仁{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},

由于巾〃={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},所以G與，

不互斥.

［等級過關(guān)練］

L把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分

得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()

A.對立事件B.互斥但不對立事件

C.不可能事件D.以上說法都不對

B［因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥

事件；但這兩個事件加起來并不是總體事件，所以它們不是對立事件.］

2.下列各組事件中，不是互斥事件的是()

A.一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6

B.統(tǒng)計一個班的數(shù)學(xué)成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分

C.播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒

D.檢驗?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%

B［對于B,設(shè)事件4為平均分不低于90分，事件4為平均分不高于90

分，則4C4為平均分等于90分，4,4可能同時發(fā)生，故它們不是互斥事件.］

3.拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件力={出現(xiàn)奇數(shù)點},事件8={出

現(xiàn)2點},事件{出現(xiàn)奇數(shù)點或2點},則下列不成立的是()

A.AQCB.AC\B=0

C.AUB=CD.5rle=0

D［易知力U6=C,BCC=B,所以選項D不正確.］

4.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，記取到

語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)書分別為事件4B,C,D,E,則事件“取出的

是理科書”可記為.

BUDUE［由題意可知事件”取出的是理科書”可記為SUOU"］

5.從學(xué)號為1,2,3,4,5,6的6名同學(xué)中選出一名同學(xué)擔(dān)任班長，其中1,3,5

號同學(xué)為男生，2,4,6號同學(xué)為女生，記："選出1號同學(xué)”，G="選出2

號同學(xué)”，“選出3號同學(xué)”，Q="選出4號同學(xué)”，G="選出5號同

學(xué)”，Q="選出6號同學(xué)”，〃=“選出的同學(xué)學(xué)號不大于1"，2="選出的

同學(xué)學(xué)號大于4"，〃=“選出的同學(xué)學(xué)號小于6"，E="選出的同學(xué)學(xué)號小于

V',F="選出的同學(xué)學(xué)號大于6"，G="選出的同學(xué)學(xué)號為為偶數(shù)"，4="選

出的同學(xué)學(xué)號為奇數(shù)”，等等.據(jù)此回答下列問題：

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件G發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？

(3)如果事件〃發(fā)生，則可能是哪些事件發(fā)生？在集合中，事件〃與這些事

件之間有何關(guān)系？

(4)有沒有某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件6發(fā)生的情況？它們之間

的關(guān)系如何描述？

(5)兩個事件的交事件也可能為不可能事件，在上述事件中能找出這樣的例

子嗎？

［解］(1)必然事件有：E；

隨機事件有：G，G,C”C,a,D\)DuG,H,,

不可能事件有：F.

(2)如果事件G發(fā)生，則事件〃一定發(fā)生.

(3)可能是G,發(fā)生，

(4)一和4同時發(fā)生時,即為G發(fā)生了.一「〃=%

(5)有,如：G和C；G和&等等.

《10.1.3古典概型》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.一部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則第一冊和第二冊相鄰

的概率為（）

1123

A.-B.~C.~D.-

J乙J4

C［試驗的樣本空間0=｛（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,

⑶2,1）｝,共6個樣本點，事件“第一冊和第二冊相鄰”包含4個樣本點，故第

42

一冊和第二冊相鄰的概率為］

63

2.從｛1,2,3,4,5｝中隨機選取一個數(shù)為a,從｛1,2,3｝中隨機選取一個數(shù)為b,

則於a的概率是（）

4321

A.~B.~C.~D.7

5555

D［設(shè)所取的數(shù)中力a為事件4如果把選出的數(shù)a,8寫成一數(shù)對（a,b）

的形式，則試驗的樣本空間。=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）｝,共15

個，事件/包含的樣本點有（1,2）、（1,3）、（2,3）,共3個，因此所求的概率小冷

311

155,」

3.從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都當(dāng)

選的概率為（）

2233

A，5B,IoC,ToD'5

c［從五個人中選取三人，則試驗的樣本空間0=｛（甲，乙，丙），（甲，

乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，?。?，（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，

丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊）｝,而甲、乙都當(dāng)選的結(jié)

3

果有3種，故所求的概率為元.］

4.同時拋擲三枚均勻的硬幣，出現(xiàn)一枚正面，二枚反面的概率等于（）

11八31

A.aB."C.-D.-

C［試驗的樣本空間。=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）,

（反，正，正），（正，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）｝,

3

共8種，出現(xiàn)一枚正面，二枚反面的樣本點有3種，故概率為々曰］

O

5.有五根細木棒，長度分別為1,3,5,7,9,從中任取三根，能搭成三角形

的概率是()

3213

A——R—p—n——

205510

D［設(shè)取出的三根木棒能搭成三角形為事件A,試驗的樣本空間。=

{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),

(3,7,9),(5,7,9)},樣本空間的總數(shù)為10,由于三角形兩邊之和大于第三邊,

構(gòu)成三角形的樣本點只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三種情況，故所求概率為

/、3

P(A)=—］

二、填空題

6.從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的

2件中恰有1件是次品的概率為.

!［設(shè)3件正品為B,G1件次品為〃從中不放回地任取2件，

試驗的樣本空間AC,AD,BC,BD,5，共6個.其中恰有1件

31

是次品的樣本點有：AD,BD,CD,共3個，故

7.在國慶閱兵中，某兵種4B,C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先

后次序是隨機排定的，則6先于4C通過的概率為.

|［用儲，B,。表示4B,C通過主席臺的次序，則試驗的樣本空間Q=

{儲，B,。，(/，C,而，(B,A,0,(B,C,A),(C,A,(C,8,⑷},共

6個樣本點，其中事件6先于4。通過的有(8C,/)和(8,A,。，共2個樣

21

本點，故所求概率

63

8.從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是.

I［從5個數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù)，樣本點的總數(shù)為10,若取出的兩

□

數(shù)之和等于5,則有(1,4),(2,3),共有2種樣本點，所以取出的兩數(shù)之和等于

21

5的概率為布=三?］

1U□

三、解答題

9.甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩游

戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不

放回，各抽一張.

(1)設(shè)(/，力分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗的樣本空間；

⑵甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝.你

認為此游戲是否公平？說明你的理由.

［解］(1)方片4用4'表示，試驗的樣本空間為｛(2,3),(2,4),

(2,4,)，(3,2),(3,4),⑶4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4'，2),(4‘，

3),⑷，4)｝,則樣本點的總數(shù)為12.

(2)不公平.甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4‘，2),

5757

(4‘，3)5種，甲勝的概率為8=%,乙勝的概率為鳥=高，因為有〈有，所以

1■乙1■乙1乙工乙

此游戲不公平.

10.某學(xué)校有初級教師21人，中級教師14人，高級教師7人，現(xiàn)采用分層

隨機抽樣的方法從這些教師中抽取6人對績效工資情況進行調(diào)查.

(1)求應(yīng)從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)；

(2)若從分層隨機抽樣抽取的6名教師中隨機抽取2名教師做進一步數(shù)據(jù)分

析，求抽取的2名教師均為初級教師的概率.

［解］(1)由分層隨機抽樣知識得應(yīng)從初級教師、中級教師、高級教師中抽

取的人數(shù)分別為3,2,1.

(2)在分層隨機抽樣抽取的6名教師中，3名初級教師分別記為4,A2,A,2

名中級教師分別記為4,4,高級教師記為4,則從中抽取2名教師的樣本空間

為｛(4,及)，(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),為,4),(4,4),

(力2，4),(4,4),(4,4)，(4,4)，(4,4)，(4,4)，(4,4),(4,4)｝，

即樣本點的總數(shù)為15.抽取的2名教師均為初級教師(記為事件⑸的樣本點為(4

4)，(4,4)，(4,4),共3種.

31

所以P⑦=已=￡.

155

［等級過關(guān)練］

1.（2019?全國卷III）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同

學(xué)相鄰的概率是（）

1111

A-6B-4C，3D-2

D［設(shè)兩位男同學(xué)分別為4B,兩位女同學(xué)分別為a,b,則用“樹形圖”

表示四位同學(xué)排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示.

a-b>/

a/A<b—a/

A—b

A3一<

b—B^b-AJ

b〈B-aA-a

b<a——A\/

4<Q

A<-b-B/BE-B

5a

A<

\4

<仁B

、b<吐aA

由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果（畫“J”的

121

情況）共有12種，故所求概率為藥=萬故選D.］

2.（2019?全國卷II）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指

標(biāo).若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為（）

2321

-R-c--

355D.0L

B［設(shè)5只兔子中測量過某項指標(biāo)的3只為a,期a,未測量過這項指標(biāo)

的2只為打，bz,則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為（a”生,a。,

（a,a,b\）f（a,%,bz）9（a,a,b\）9（a,&，b）,（a,bi,慶），（魚，4,

b）,（@,期&），（&,bl9㈤，（如也,㈤，共10種可能.其中恰有2只測

量過該指的情況為（a,&,b\）,（句，E，bz）9量i，&｝，6），（國，&，8），（4,

&,"），（心，b）,共6種可能.

故恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為白=去故選B.］

1U□

3.在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構(gòu)成的四邊形是梯形的

概率為

2

7［如圖，在正六邊形4況附的6個頂點中隨機選擇4個頂點，試驗空間

□

共有15個樣本點，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,

ADEF,共6個樣本點，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率「白=!」

155

4.袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3

個黑球.從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為.

2

-［設(shè)袋中紅球用a表示，2個白球分別用仄,灰表示，3個黑球分別用C”

5

c2,。3表示，則試驗的樣本空間。={(a,仇)，(a,6),(a,a),(a,c2),(a,

C3),(b［,bz)>(b、,C1),(b、,C2)>(b、,C3),(Z%,cj,(金，c?)，(力，Q)，(Q,

㈤，(a,a),(6,c3)},則樣本空間的總數(shù)有15個.兩球顏色為一白一黑的

樣本空間有(仇，a),(仇，C2),(仇，a),(th,a),優(yōu)，Q),(Z>2,a),共6

62

個????其概率為

155

5.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個，其中標(biāo)號為0的小球1個，

標(biāo)號為1的小球1個，標(biāo)號為2的小球〃個.已知從袋子中隨機抽取1個小球,

取到標(biāo)號是2的小球的概率是*

(1)求〃的值；

(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a,

第二次取出的小球標(biāo)號為8.記事件/表示“a+8=2”，求事件力的概率.

［解］⑴由題意可知：］+：+/*，解得〃=2.

(2)不放回地隨機抽取2個小球的樣本空間Q={(0,1),(0,2),(0,2』，

(1,0),(1.2,),(1,22),(2..0),(2,.1),⑵2),(22,0),(22,1),⑵2)}，共

12個，事件力包含的樣本點為：(O,2J,(0,2),(2,.0),(22,0),共4個.，尸。)

_±_］_

=?2=3，

《10.1.4概率的基本性質(zhì)》同步練習(xí)

[合格基礎(chǔ)練]

一、選擇題

1.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出

紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）

A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7

C匚?摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，摸出黑球的概率是1

-0.42-0.28=0.3,故選C.]

2.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%,甲不輸?shù)母怕适?0%,則甲、乙

兩人下和棋的概率是（）

A.60%B.30%C.10%D.50%

D[“甲獲勝”與“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不輸”即“甲獲勝

或甲、乙下成和棋”，故尸（甲不輸）=尸（甲勝）+尸（甲、乙和棋），...尸（甲、乙和

棋）=尸（甲不輸）一尸（甲勝）=90%-40%=50%.]

3.從分別寫有兒B,C,D,￡的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字

母按字母順序恰好是相鄰的概率為（）

1B?C3"

A551010

B[試驗的樣本空間Q={AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,,

共有10個樣本點，其中事件“這2張卡片上的字母按字母順序恰好是相鄰的”

42

包含4個樣本點，故所求的概率為親=3]

1U□

4.某射手的一次射擊中，射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別為0.20,0.30,0.10.

則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（）

A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90

A[不夠8環(huán)的概率為1-0.20-0.30-0.10=0.40.]

5.古代“五行”學(xué)說認為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克

木，木克土，土克水，水克火，火克金.”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩

種，則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為（）

3213

A-WB，5C-2D，5

C［試驗的樣本空間。=｛金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土,

水火，水土，火土｝,共10個樣本點，事件“抽取的兩種物質(zhì)不相克”包含5

個樣本點，故其概率為%=了］

二、填空題

6.甲、乙兩人打乒乓球，兩人打平的概率是1乙獲勝的概率是:，則乙

乙0

不輸?shù)母怕适?

R11R

76［乙不輸表示為和棋或獲勝，故其概率為々鼻3+52=R6.］

7.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個.若

從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率為.

3

7［設(shè)3個紅色球為4,4,4,2個黃色球為身，與，從5個球中，隨機取

□

出2個球的事件有：44，44，A\B\,4氏，44，4民，A6,4￡，夕￡，共

10種.其中2個球的顏色不同的有A展,45,4打，45,4氏共6種，所

以所求概率為9=*］

105

8.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標(biāo)有點數(shù)

1,2,3,4,5,6）,骰子朝上的面的點數(shù)分別為x,y,則log2』=l的概率為.

7；［易知試驗樣本點的總數(shù)為36,由log2ry=1,得2x=y,其中x,

x=2,x=3,

H{1,2,3,4,5,6},所以I共3個樣本點,

.7=4.y=6

3I

所以尸=法=7??］

OO1.乙

三、解答題

9.一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠

球.從中隨機取出1球，求:

(1)取出1球是紅球或黑球的概率；

(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.

［解］法一：(1)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取

法，得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法，任取1球有12種取法.

93

...任取1球得紅球或黑球的概率為4=莉=不

1.乙X

(2)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有

2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率5為+4\+2=石11.

JL乙JL乙

法二：(利用互斥事件求概率)記事件4=｛任取1球為紅球｝,4=｛任取1

球為黑球｝,4=｛任取1球為白球｝,4=｛任取1球為綠球｝,

5421

則尸(4)=P⑷=行,尸(4)=育0(4)=TT.

1?乙，乙1■乙上乙

根據(jù)題意知，事件4,4,4,4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

543

⑴取出1球為紅球或黑球的概率為尸(4U4)=尸(4)+P⑷=?+退=：?

(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為

54211

產(chǎn)(4U4U4)=尸(4)+尸(4)+尸(4)=—+—-\--=^.

JL乙JL乙JL乙1乙

法三：(利用對立事件求概率)

(1)由法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，

即4U4的對立事件為4U4,所以取得1球為紅球或黑球的概率為

2193

產(chǎn)(4U4)=1—P(4U4)=1一尸(4)一尸(4)=1=7.

1Lt1ZJ1Ca4

(2)4u4u4的對立事件為4,所以W41Mu4)=1一夕⑷=i-：=夕

JL乙JL乙

10.一個袋中裝有四個形狀、大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.

(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；

(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m,將球放回袋中，然后再從袋

中隨機取一個球，該球的編號為〃，求〃＜加+2的概率.

［解］(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點有：1和

2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個.從袋中取出的兩個球的編號之和

21

不大于4的事件有：1和2,1和3,共2個，因此所求事件的概率為々打亍

(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為加，放回后，再從袋中隨機取一個

球，記下編號為試驗的樣本空間｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4)｝,共16個樣本點.

又滿足條件〃2/2的樣本點有：(1,3),(1,4),(2,4),共3個.

3

所以，滿足條件n>m+2的事件的概率為P=~,

t16

313

故滿足條件n<m+2的事件的概率為1一尸產(chǎn)1一標(biāo)=苗

1616

［等級過關(guān)練］

1.擲一個骰子的試驗，事件［表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件6表示

“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件i+m發(fā)生的概率為()

1125

A.~B.~C.-D.-

。乙。O

9142

C［擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果，依題意PC4)=￡=(P⑵=1=-,

6363

-21—

所以P(B)=1—2(⑸=1—鼻=鼻，因為B表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件,

oo

———112

因此事件力與B互斥，從而P(A+B)=P(A)+2(B)=-+-=-］

ooO

2.袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取3

O

次，則⑹是下列哪個事件的概率()

A.顏色全同B.顏色不全同

C.顏色全不同D.無紅球

B［試驗的樣本空間0=｛黃黃黃，紅紅紅，白白白，紅黃黃，黃紅黃，黃

黃紅，白黃黃，黃白黃，黃黃白，黃紅紅，紅黃紅，紅紅黃，白紅紅，紅白紅，

紅紅白，黃白白，白黃白，白白黃，紅白白，白紅白，白白紅，黃紅白，黃白紅，

紅黃白，紅白黃，白紅黃，白黃紅｝，其中包含27個樣本點，事件“顏色全相同”

包含3個樣本點，則其概率為得=5=1—/所以?是事件“顏色不全同”的概

率.］

3.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，所選3人中至少有1

名女生的概率為去那么所選3人中都是男生的概率為.

1［設(shè)4={3人中至少有1名女生},3={3人都為男生},則48為對立

□

事件，

5

4.將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方

體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率為.

第［將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結(jié)果有(1,1),

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…，(6,6),共36種情

況.設(shè)事件4=”出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”，其對立事件I="出現(xiàn)向上的

點數(shù)之和大于或等于10”，彳包含的可能結(jié)果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),