2021屆高三數(shù)學“小題速練”9

答案解析

一、單項選擇題：.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合4=?>1},8=卜,=/一1,%61<},貝ij他4用8=()

A.(-1,1)B.[-1,0]C.[-1,0)D.(-oo,0]

【答案】B

【解析】由題意A={x|x>0}=(0,+oo),B={y|y>-l}=[-l,+oo),

”=S,0],

所以9RA)n8=[—1,0],

故選：B.

2.設(l—i)z=|G+i],則復平面內彳對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

因為(1-i)z=|6+i卜J3+1=2,

所以(l+i)(l_，)z=2(l+z),

所以2z=2(l+j),即z=l+i

所以』=l-i在復平面對應的點(1,-1)位于第四象限，

故選：D

3.（五-2）的展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式中的常數(shù)項為（）

A.120B.-120C.60D.-60

【答案】C

【解析】

由題意2"=64，解得〃=6,

展開式通項公式為&I=C；（4）6T—女=（—2）「。。丁，令—一=0,r=2,

lx/2

所以常數(shù)項為（-2）2。：=6（）.

故選：C.

4.某學校數(shù)學建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度d（每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間夾空

夕—4-7----------\

氣層厚度/對保溫效果的影響，利用熱傳導定律得到熱傳導量夕滿足關系式.其中玻璃

a+2

的熱傳導系數(shù)4=4xi（尸焦耳/（厘米.度），不流通、干燥空氣的熱傳導系數(shù)4nzsxicr4焦耳八厘米.度）,

△T為室內外溫度差，4值越小，保溫效果越好，現(xiàn)有4種型號的雙層玻璃窗戶，具體數(shù)據如下表：

型號每層玻璃厚度d（單位：厘米）玻璃間夾空氣層厚度/（單位：厘米）

A型0.43

B型0.34

C型0.53

D型0.44

則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是()

A.A型B.B型C.C型D.D型

【答案】D

4xl0-3x|AT|/-3-/I

4=477;—\=

4x10-3=4x10x|AT|,固定|AT|,可知16/+M最大時，4

【解析】區(qū)+2

d------I+2d16/+2d

)25x10-4

最小，保溫效果最好,

對于A型玻璃,16/+切=16x3+2x0.4=48.8,

對于B型玻璃,16/+2d=16/+/2d=16x4+2x0.3=64.6，

對于C型玻璃,16/+2tZ=16x3+2x0.5=49,

對于D型玻璃,16/+2d=16x4+2x0.4=64.8,

經過比較可知,D型玻璃保溫效果最好.

故選：D.

5.設函數(shù)/(x)=log2W,若“=/log12,Z?=/(log52),c=/(e02),則a,c的大小為()

37

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】A

【解析】函數(shù)的定義域為(T?,0)U(0,+8),

因為〃X)=log2N,所以/(-x)=log2r=log2W=/(x),

所以/(x)為偶函數(shù),

所以a=/log]2=/(-log32)=/(log32),

\3J

因為0<10852<1。832<1,e。？>],

2

所以0<log52<log32<e°-,

因為/(x)=log2|x|在(0，+°。)上為增函數(shù)，

所以,(logs2)</(log,2)</(e02),所以b<a<c,

故選：A

6.五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、

羽.如果把這五個音階全用上，排成一個5個音階的音序，從所有的這些音序中隨機抽出一個音序，則這個

音序中宮、羽不相鄰的概率為()

1234

A-B.—C.-D.-

5555

【答案】C

【解析】中國古樂中的五聲音階依次為：官、商、角、微、羽，把這五個音階全用上，排成一個5個音階

的音序，基本事件總數(shù)“=6=120,

其中宮、羽不相鄰的基本事件有m=&=72,

則從所有的這些音序中隨機抽出一個音序，這個音序中宮、羽不相鄰的概率為

m723

P———----二一，

n1205

故選：C

7.將函數(shù)/(x)=sin2x+2石cos?x-百圖象向右平移專個單位，再把各點的橫坐標伸長到原來的2倍

(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法中正確的是()

A.g(x)的周期為兀B.g(x)是偶函數(shù)

c.g(x)的圖象關于直線x=2對稱D.g(x)在-St上單調遞增

1，\0Jy

【答案】D

【解析】函數(shù)/(x)=sin2x+2>/3cos2x-6=sin2x+ecos2x=2sin

71

把函數(shù)圖象向右平移二個單位，

12

(兀、冗(不、

得到y(tǒng)=2sin2x---+—=2sin2x+一,

_k12；3JI6J

再把各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，

■」g(x)=2sin(x+?J.

①故函數(shù)的最小正周期為2?,故選項A錯誤；

②函數(shù)g(x)Hg(—x),不為偶函數(shù)，故選項B錯誤；

③當x=2L時，g|-^|=V2^2,故選項C錯誤；

12U2J

④由于工€[-2,9],所以0<X+工〈工,

Vo3762

故函數(shù)g(x)單調遞增，故選項D正確.

故選：D.

8.已知產是拋物線y2=2"x(p>0)的焦點，過尸的直線與拋物線交于A，5兩點，A3的中點為。，過C

作拋物線準線的垂線交準線于G，若CC的中點為M(l,4),則P=()

A.4B.8C.4及D.8>/2

【答案】B

【解析】因為cq的中點為"（1,4）,所以%+%=8,%—5=2xl,

所以+18—4+p,xc=2+,

設直線A3的方程為》”，+勺代入拋物線的方程得，y2-2pmy-p2=0,

所以y4+.yB=2pw,xA+xB=/M（yA+>>B）+/?=8/M+p

p=8

8=2pm，解得《1

所以<

8m+p=4+pm=—

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.下列判斷正確的是（）

A.若隨機變量J服從正態(tài)分布P（^<4）=0.79,則-2）=0.21；

B.已知直線/，平面a,直線相//平面￡,則是“/，機”的充分不必要條件；

C.若隨機變量J服從二項分布：則￡（J）=l；

D.〃加？〉人〃］？是的充分不必要條件.

【答案】ABCD

【解析】A.已知隨機變量。服從正態(tài)分布N(1,/),尸&4)=0.79,則曲線關于x=l對稱，可得尸(。

＞4)=1-0.79=0.21,尸(生-2)=P(＜f＞4)=0.21,故A正確；

B.若a.”小,直線/J_平面a,直線/_1_夕，：」工m成立.

若LLm,當m〃夕時，則/與夕的位置關系不確定，.?.無法得到a〃夕.

“a〃，提“江利”的充分不必要條件.故B對；

C.由于隨機變量《服從二項分布：4?B(4,-),則優(yōu)=4x0.25=1,故C對；

4

O.%層＞加產,可推出，力＞〃，，但七＞〃，推不出“切2＞歷?2，，,比如〃?=0,故。對；

故選：ABCD.

10.由我國引領的5G時代已經到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務在內的通信行業(yè)整體的快

速發(fā)展，進而對GAP增長產生直接貢獻，并通過產業(yè)間的關聯(lián)效應和波及效應，間接帶動國民經濟各行業(yè)

的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經濟增加值.如圖是某單位結合近年數(shù)據，對今后幾年的5G經濟產出所做的預測.結

合圖，下列說法不正確的是()

□運營商□信息服務商□設備制造商

A.5G的發(fā)展帶動今后幾年的總經濟產出逐年增加

B.設備制造商的經濟產出前期增長較快，后期放緩

C.設備制造商在各年的總經濟產出中一直處于領先地位

D.信息服務商與運營商的經濟產出的差距有逐步拉大的趨勢

【答案】C

【解析】由圖可知設備制造商在各年的總經濟產出中在前期處于領先地位，而后期是信息服務商處于領先

地位，故C項表達錯誤.

故選：C

11.關于函數(shù)〃x）=：+lnx,下列判斷正確的是（）

A.x=2是/（力的極大值點

B.函數(shù)y=/（x）-x有且只有1個零點

C.存在正實數(shù)人使得/（x）＞"成立

D.對任意兩個正實數(shù)，且玉＞々，若/（玉）=/（*2），則%+%＞4.

【答案】BD

21_2

【解析】對于A選項，函數(shù)的的定義域為（0,+紀），函數(shù)的導數(shù)1（耳=一/+：=￥r,

.??xe（O,2）時，尸⑺＜0,函數(shù)f（x）單調遞減,

%?2收）時，尸（力＜0,函數(shù)“X）單調遞增，

???》=2是/（力的極小值點，故A錯誤;

2

對于B選項，y=/(x)-x=—+lnx-x,

x

：.y'^-^+--\=~x2+^~2<0,

x~XX

...函數(shù)在(0,+紡)上單調遞減,

又???l=2+lnl—1=1>0,/(2)-2=l+ln2-2<0,

/.函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個零點，故B正確；

對于C選項，若/(x)>束，可得人<&1=二+皿，

XXX

人/、2\nx,/、-4+x-x\nx

令g(x)=?+7,則g<x)=------------

令/z(x)=T+x-xlnx,貝ij/z'(x)=-lnx,

.?.在xe(O,I)上，/?'(%)>0,函數(shù)力⑴單調遞增，

X€(l,+。。)上，A'(x)<0,函數(shù)/z(x)單調遞減，

〃(x)W〃⑴=-3<0,

g'(x)<。，

...g(x)=卞+—在(0,+8)上函數(shù)單調遞減，函數(shù)無最小值，

不存在正實數(shù)3使得/(x)>"成立，故C錯誤；

對于D選項，由玉>%2，/(玉)=/(%2)可知司>2,0<工2<2,

要證尤1+%2>4,即證玉>4一々，且玉>4-々>2,

由函數(shù)在xe(2,+8)是單調遞增函數(shù)，

所以有/(芭)>/(4一々)，

由于/(%)=1(％)，所以/(電)>〃4-電)

即證明/（%）>/（4-X）,XG（0,2）,

/z22

令加(x)=/(x)-/(4-x)=lnx-ln(4-x)+-------,XG(0,2),

>X4~~x

,、—8(x—2)/\/\

則加，(x)=T——8<0,所以加(x)在(0,2)是單調遞減函數(shù)，

x~(4-x)

所以根(x)>/〃(2)=0,即/(x)>/(4一x),xw(O,2)成立，

故％+々>4成立，所以。正確.

綜上，故正確的是BD.

故選：BD.

12.已知函數(shù)〃x)=sinx—cosx,g(x)是/(x)的導函數(shù)，則下列結論中正確的是(）

A.函數(shù)/(%)的值域與g(x)的值域不相同

B.把函數(shù)“X)的圖象向右平移事個單位長度，就可以得到函數(shù)g(x)的圖象

C.函數(shù)/(x)和g(x)在區(qū)間-上都增函數(shù)

D.若X。為是函數(shù)“X)的極值點，則/是函數(shù)g(x)的零點

【答案】CD

【解析】

/(x)=sinA:-cosx=V2sin，g(x)=f'(x)=cosx+sinx=0sin(x+?

函數(shù)〃x)的值域與g(x)的值域均為［-夜,夜］,故A錯誤；

函數(shù)/(x)的圖象向右平移］個單位長度，得y=0sin［x-］=Jlsin卜一個

,不是

g(x)=&sin(x+?J的圖像，故B錯誤；

?7T7T\7T{7T\7T(TTi

xe一疝7時x--5'°’"X)是單調遞增函數(shù)，^+-€0,-,g(x)是單調遞增函數(shù)，故

C正確；

X。為是函數(shù)“X)的極值點，則g(Xo)=/'(%)=0,即X。是函數(shù)g(x)的零點，故D正確.

故選：CD.

三、填空題：本題共4小題.

13.若非零向量］、日，滿足同=W?2G+B)J_5,則方與日的夾角為.

【答案】1200

【解析】設々與I的夾角為的由題意同=M，(2M+5)J_5,,

可得(22+b)石=2同同cose+時=0>所以cos。=-g,

再由00464180°可得，9=120，

故答案是120.

22

14.雙曲線C：點—方=1(〃>00>0)的左、右焦點分別為耳(一2,0)、6(2,0),M是C右支上的一

點，加耳與y軸交于點P,AMP居的內切圓在邊PF?上的切點為。，若|P0=3,則c的離心率為一.

【答案】V2

【解析】設△例的內切圓與MFI,MB的切點分別為A,B,

由切線長定理可知PA^PQ,BF2=QF2,

又PFI=PFZ,

：.MF\-MF2=(MA+AP+PFO-(MB+8B)=PQ+PF2-QF2=2PQ

由雙曲線的定義可知MF\-MF2=2a,

故而a=PQ=&,又c=2,

.?.雙曲線的離心率為6=工=J5.

a

故答案為：72.

(2)若/(0)是f(x)的最小值，則”的取值范圍是.

【答案】(1).；(2).[0,V21

【解析】(1)當。=工時，當爛0時，/(x)=(%--)2>(--)2=~,

2224

當x>0時，/CO=x+->2/%--!-=2,當且僅當x=l時取等號，