蘇科版高一數(shù)學必修一第4章4.24.2.2對數(shù)的運算性質(zhì)2024新高一暑假自學課堂4.2.2對數(shù)的運算性質(zhì)1．掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，并能運用運算性質(zhì)進行對數(shù)的有關運算．(重點)2．了解換底公式．3．能用換底公式將一般對數(shù)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)．(難點)1．借助對數(shù)的運算性質(zhì)化簡、求值，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．2．通過學習換底公式，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．回顧指數(shù)性質(zhì)：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么對數(shù)有哪些性質(zhì)？如loga(MN)＝？知識點1對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．1．當M>0，N>0時，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？[提示]不一定．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)log2x2＝2log2x． ()(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． ()(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． ()[答案](1)×(2)×(3)×知識點2對數(shù)的換底公式若a>0且a≠1；c>0，c≠1，N>0，則有l(wèi)ogaN＝eq\f(logcN,logca)．2．換底公式中底數(shù)c是特定還是任意數(shù)？[提示]c是大于0且不等于1的任意數(shù)．2．eq\f(log29,log23)＝________．[答案]2類型1對數(shù)運算性質(zhì)的應用【例1】計算下列各式：(1)log5eq\r(3,625)；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log5eq\f(9,5)．[解](1)原式＝eq\f(1,3)log5625＝eq\f(1,3)log554＝eq\f(4,3)．(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9．(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2．對數(shù)式化簡與求值的原則和方法1基本原則：對數(shù)的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進行.2兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對數(shù)的和差收成積商的對數(shù)；②“拆”，將積商的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和差.eq\o([跟進訓練])1．計算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8)．[解](1)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5lg2－2lg7))－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lg7＋lg5))＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg2＋lg5))＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2)．(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lg2＋lg5))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg2))2＝2lg10＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg5＋lg2))2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3．(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(lg1.8,2lg1.8)＝eq\f(1,2)．【例2】化簡：(1)log2(28×82)；(2)用lg2和lg3表示lg24；(3)用logax，logay，logaz表示loga(xy2zeq\s\up12(－eq\f(1,2)))．[解](1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2214＝14．(2)lg24＝lg(3×8)＝lg3＋lg8＝lg3＋3lg2．(3)loga(xy2zeq\s\up12(－eq\f(1,2)))＝logax＋logay2＋logazeq\s\up12(－eq\f(1,2))＝logax＋2logay－eq\f(1,2)logaz．1．這類問題一般有兩種處理方法一種是將式中真數(shù)的積、商、方根運用對數(shù)的運算法則將它們化為對數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的對數(shù)的和、差、積、商運用對數(shù)的運算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根，然后化簡求值．要特別注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN．2．對數(shù)的運算性質(zhì)的推廣：logambn＝eq\f(n,m)logab(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．eq\o([跟進訓練])2．化簡：(1)logeq\s\do16(eq\r(2))(45×82)；(2)logeq\s\do16(eq\f(1,3))27－logeq\s\do16(eq\f(1,3))9；(3)用lgx，lgy，lgz表示lgeq\f(x2\r(y),\r(3,z))．[解](1)logeq\s\do16(eq\r(2))(45×82)＝logeq\s\do16(eq\r(2))(210×26)＝logeq\s\do16(eq\r(2))216＝16logeq\s\do16(eq\r(2))2＝16×2＝32．(2)logeq\s\do16(eq\f(1,3))27－logeq\s\do16(eq\f(1,3))9＝logeq\s\do16(eq\f(1,3))eq\f(27,9)＝logeq\s\do16(eq\f(1,3))3＝－1．(3)lgeq\f(x2\r(y),\r(3,z))＝lgx2＋lgeq\r(y)－lgeq\r(3,z)＝2lgx＋eq\f(1,2)lgy－eq\f(1,3)lgz．類型2換底公式及其應用【例3】(1)計算(log43＋log83)·log32；(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a、b表示)．[解](1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,log34)＋\f(1,log38)))·log32＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2log32)＋\f(1,3log32)))·log32＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)．(2)因為18b＝5，所以b＝log185．所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log182×18)＝eq\f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq\f(a＋b,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a)．[母題探究]本例(2)條件不變，求log915(用a、b表示)．[解]因為18b＝5，所以log185＝b．所以log915＝eq\f(log1815,log189)＝eq\f(log183×5,log189)＝eq\f(log183＋log185,a)＝eq\f(log18\r(9)＋b,a)＝eq\f(\f(1,2)a＋b,a)＝eq\f(a＋2b,2a)．1．換底公式即將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化成底數(shù)相同的對數(shù)，從而進行化簡、計算或證明．換底公式應用時，一般換成以10為底的常用對數(shù)，或以e為底的自然對數(shù)，但也應該結(jié)合已知條件來確定．2．換底公式推導出的兩個恒等式(1)logamNn＝eq\f(n,m)logaN；(2)logab·logba＝1，要注意熟練應用．eq\o([跟進訓練])3．已知log37＝a,2b＝3，試用a，b表示log1456．[解]因為2b＝3，所以b＝log23，即log32＝eq\f(1,b)，log1456＝eq\f(log356,log314)＝eq\f(log323×7,log32×7)＝eq\f(3log32＋log37,log32＋log37)＝eq\f(\f(3,b)＋a,\f(1,b)＋a)＝eq\f(3＋ab,1＋ab)．類型3對數(shù)運算在實際問題中的應用【例4】2020年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，如果年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年，我國國民生產(chǎn)總值是2020年的2倍？(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.08≈0.0334，精確到1年)[思路點撥]認真分析題意，找出其中各量之間的關系，列出式子，并利用對數(shù)運算求解．[解]設經(jīng)過x年，我國國民生產(chǎn)總值是2020年的2倍．經(jīng)過1年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)，經(jīng)過2年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)2，……經(jīng)過x年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)x．由題意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2，兩邊取常用對數(shù)，得lg1.08x＝lg2，則x＝eq\f(lg2,lg1.08)≈eq\f(0.3010,0.0334)≈9(年)．所以約經(jīng)過9年，國民生產(chǎn)總值是2020年的2倍．解對數(shù)應用題的步驟eq\o([跟進訓練])4．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質(zhì)量M(單位：kg)，火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(單位：kg)滿足ev＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))eq\s\up12(2000)(e為自然對數(shù)的底數(shù)，ln3≈1.099)．當燃料質(zhì)量M為火箭(除燃料外)質(zhì)量m的兩倍時，求火箭的最大速度(單位：m/s)．[解]因為v＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))eq\s\up12(2000)＝2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，所以v＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故當燃料質(zhì)量M為火箭質(zhì)量m的兩倍時，火箭的最大速度為2198m/s．1．(多選題)若a>0，a≠1，x>0，y>0，則下列式子正確的是()A．logax＋logay＝loga(x＋y)B．logax－logay＝loga(x－y)C．logaeq\f(x,y)＝logax－logayD．loga(xy)＝logax＋logayCD[由對數(shù)的運算性質(zhì)知C、D正確．]2．計算：log123＋log124等于()A．1 B．2C．3 D．4A[log123＋log124＝log12(3×4)＝1．]3．化簡eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的結(jié)果為________．log6eq\r(3)[原式＝log6eq\r(12)－log62＝log6eq\f(\r(12),2)＝log6eq\r(3)．]4．求值2log510＋log50.25＝________．2[2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2．]5．若lg2＝a，lg3＝b，則log512用a，b表示為________．eq\f(b＋2a,1－a)[log512＝eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq\f(b＋2a,1－a)．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．運算性質(zhì)中底數(shù)a能等于零或小于零嗎？真數(shù)M、N呢？[提示]由對數(shù)的定義知底數(shù)a>0，且a≠1，故不能小于或等于0．M、N均為正數(shù)．2．換底公式有哪些作用？[提示]利用換底公式可以把不同底數(shù)的對數(shù)化為同底數(shù)的對數(shù)，便于化簡、求值．3．運用對數(shù)的運算性質(zhì)應注意哪些問題？[提示]①在各對數(shù)有意義的前提下應用運算性質(zhì)．②根據(jù)不同的問題選擇公式的正用或逆用．③避免出現(xiàn)以下公式錯誤：logaNn＝(logaN)n，loga(MN)＝logaM·logaN，logaM±logaN＝loga(M±N)．4．換底公式反映了數(shù)學上的哪種思想？[提示]轉(zhuǎn)化與化歸．課時分層作業(yè)(十七)對數(shù)的運算性質(zhì)一、選擇題1．已知a2＝eq\f(16,81)(a>0)，則logeq\s\do16(eq\f(2,3))a＝()A．eq\f(4,9) B．eq\f(4,3)C．eq\f(8,27) D．2D[由a2＝eq\f(16,81)(a>0)，得a＝eq\f(4,9)，所以logeq\s\do16(eq\f(2,3))eq\f(4,9)＝logeq\s\do16(eq\f(2,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝2．]2．已知4a＝3，b＝log23，則4a－b＝()A．3 B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[∵4a＝3，∴a＝log43，∴a－b＝log43－log23＝eq\f(1,2)log23－log23＝－eq\f(1,2)log23＝log4eq\f(1,3)，∴4a－b＝4eq\s\up12(log4eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)．]3．已知log23＝a，log38＝b，則ab＝()A．4 B．3C．2 D．1B[∵log23＝a，log38＝b，則ab＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg8,lg3)＝eq\f(lg8,lg2)＝log28＝3．]4．設7a＝8b＝k，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則k＝()A．15 B．56C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,56)B[∵7a＝k，∴a＝log7k．∵8b＝k，∴b＝log8k．∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logk7＋logk8＝logk56＝1，∴k＝56．]5．已知ab>0，有下列四個等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10)，其中正確的是()A．① B．②C．③ D．④C[當a<0，b<0時，①lg(ab)＝lga＋lgb不成立；②lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝lga－lgb不成立；③由ab>0可得，eq\f(a,b)>0，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))成立；④根據(jù)對數(shù)的換底公式可得當ab＝1時，lg(ab)＝eq\f(1,logab10)不成立．]二、填空題6．已知log32＝a，則log296＝________．(用a的代數(shù)式表示)5＋eq\f(1,a)[因為log32＝a，所以log296＝eq\f(log396,log32)＝eq\f(log332＋log33,log32)＝eq\f(5log32＋1,log32)＝eq\f(5a＋1,a)＝5＋eq\f(1,a)．]7．eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________．1[eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg22－1,lg1.2)＝eq\f(lg12－1,lg1.2)＝eq\f(lg\f(12,10),lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝1．]8．里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．610000[由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的級數(shù)為6級．設9級地震的最大振幅為A1,5級地震的最大振幅為A2，則lgeq\f(A1,A2)＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4，所以eq\f(A1,A2)＝104＝10000．所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10000倍．]三、解答題9．計算：(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg1.2)；(2)(lg5)2＋lg2·lg50．[解](1)原式＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2),lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3lg3＋6lg2－3,2lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2)．(2)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1．10．(1)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b；(2)設a＝lg2，b＝lg7，用a，b表示lgeq\f(8,7)，lgeq\f(50,49)．[解](1)∵10a＝2，∴l(xiāng)g2＝a．又∵10b＝3，∴l(xiāng)g3＝b，∴1002a－b＝100(2lg2－lg3)＝100lgeq\f(4,3)＝102lgeq\f(4,3)＝10lgeq\f(16,9)＝eq\f(16,9)．(2)lgeq\f(8,7)＝lg23－lg7＝3lg2－lg7＝3a－b．lgeq\f(50,49)＝lg(2×52)－lg(72)＝lg2＋2lg5－2lg7＝lg2＋2(1－lg2)－2lg7＝2－a－2b．11．(多選題)若a>0，b>0，給出下列四個等式，其中錯誤的是()A．lg(a＋b)＝lga＋lgb B．lga2＝2lgaC．eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝lgeq\f(a,b) D．lg(ab)＝eq\f(1,logab10)AD[∵a>0，b>0，∴l(xiāng)ga＋lgb＝lg(ab)，故A中等式不成立．∵a>0，b>0，∴a2>0，eq\f(a,b)>0，∴l(xiāng)ga2＝2lga，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝lgeq\f(a,b)，故B、C中等式成立．當ab＝1時，lg(ab)＝0，但logab10無意義，∴D中等式不成立．]12．根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與eq\f(M,N)最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)()A．1033B．1053C．1073 D．1093D[由已知得，lgeq\f(M,N)＝lgM－lgN≈361×lg3－80×lg10≈361×0.48－80＝93.28＝lg1093.28．故與eq\f(M,N)最接近的是1093．]13．設a表示eq\f(1,3－\r(5))的小數(shù)部分，則log2a(2a＋1)的值是________．－1[eq\f(1,3－\r(5))＝eq\f(3＋\r(5),4)，可得a＝eq\f(3＋\r(5),4)－1＝eq\f(\r(5)－1,4)．則lo