押廣東卷第15題最值四邊形規(guī)律廣東中考數(shù)學對15題的知識的考查要求高，一般均是以函數(shù)綜合與幾何綜合求最值、規(guī)律題的形式進行考查，一般難度較大。如：2019年考查代數(shù)式規(guī)律題；2020年與2021年考幾何最值及隱形圓的最值模型。預計2023年廣東數(shù)學還是會以隱圓為基礎的最值壓軸問題。必備知識若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓．如圖，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點在以點O為圓心、OA為半徑的圓上．模型2：對角互補共圓模型2．若一個四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的四個頂點共圓．如圖，在四邊形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）則A，B，C，D四點在同一個圓上．拓展：若一個四邊形的外角等于它的內對角，則這個四邊形的四個頂點共圓．如圖，在四邊形ABCD中，∠CDE為外角，若∠B＝∠CDE，則A，B，C，D四點在同一個圓上．模型3：定弦定角共圓模型若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線段的兩個端點共圓如圖，點A，D在線段BC的同側，若∠A＝∠D，則A，B，C，D四點在同一個圓上．解題技巧縱觀近幾年的中考考試題，主要考查以下兩個方面：一是動點函數(shù)圖形與幾何結合求多解問題，二是幾何函數(shù)結合求點的坐標，解析式等，三是圖形動點求最值情況。1．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為_____．2．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，，點，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點，點到，的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為_________．3．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動（不與點A，B重合），∠DAM=45°，點F在射線AM上，且，CF與AD相交于點G，連接EC，EF，EG，則下列結論：①∠ECF=45°；②的周長為；③；④的面積的最大值.其中正確的結論是____.（填寫所有正確結論的序號）4．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┰谥?，，點分別在邊上，且，將繞點旋轉至，點分別對應點，當三點共線時，則的長為___________．5．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖，是直徑，點C在上，垂足為D，點E是上動點（不與C重合），點F為的中點，若，，則的最大值為_____．6．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）在《九章算術》“割圓術”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術所體現(xiàn)的是一種由有限到無限的轉化思想．比如在求的和中，“…”代表按此規(guī)律無限個數(shù)相加不斷求和．我們可設．則有，即，解得，故．類似地，請你計算：_________．（直接填計算結果即可）7．（2023春·江蘇宿遷·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，矩形，，，E為中點，F(xiàn)為直線上動點，B、G關于對稱，連接，點P為平面上的動點，滿足，則的最小值___________．8．(2023·湖南湘潭·?？寄M預測）如圖，菱形草地中，沿對角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點，在線段BD上有一個流動飲水點，若要使的距離最短，則最短距離是_____米．9．（2023秋·黑龍江雞西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸分別交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，在其對稱軸上有一動點，連接，則周長的最小值是______．10．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）一個質點在第一象限及軸、軸上運動，在第一秒鐘，它從原點運動到，然后接著按圖中箭頭所示方向運動[即]，且每秒移動一個單位，那么第2023秒時質點所在位置的坐標是_____．11．（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的式子：，……第n個式子是___________．12．（2023秋·河南許昌·九年級?？计谀┢矫嬷苯亲鴺讼抵校舾蓚€半徑為1，圓心角為的扇形組成的圖形如圖所示，點P從原點O出發(fā)，向右沿箭頭所指方向做上下起伏運動，點P在直線上運動的速度為每秒1個單位長度，在弧線上運動的速度為每秒個單位長度，則2021秒時，點P的坐標是__________．13．（2023·江蘇揚州·九年級專題練習）如圖，在正方形中，頂點，，點是的中點，與軸交于點，與交于點，將正方形繞點順時針旋轉，每次旋轉，則第2023次旋轉結束時，點的坐標為______．14．(2023秋·黑龍江雞西·九年級校考期末）如圖，把邊長為2的等邊繞原點O按逆時針方向依次旋轉得到按此規(guī)律下去，那么點的坐標是_____．15．（2023春·山東青島·九年級專題練習）如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．16．(2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內一動點，，連接、，則的最小值是___________．17．(2023·全國·九年級專題練習）如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為__________________．18．(2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊中，，點E為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________．19．(2023·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．20．（2023秋·浙江溫州·九年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=________．21．(2023·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，半徑為的經過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為______．22．(2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．23．(2023春·全國·九年級專題練習）如圖，點，的坐標分別為，，為坐標平面內一動點，且，點為線段的中點，連接，當取最大值時，點的縱坐標為____．24．(2023·四川成都·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．25．(2023春·全國·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點F與點C的最小距離為________．26．（2023·廣東東莞·東莞中學南城學校校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，，，是矩形內部的一個動點，且，則線段的最小值為______．27．(2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．若點P是內一點，則的最小值為____________．28．(2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，AD＝，點P為邊AB上一點．以DP為折痕將△DAP翻折，點A的對應點為點A'．連結AA'，AA'交PD于點M，點Q為線段BC上一點，連結AQ，MQ，則AQ＋MQ的最小值是________29．(2023·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．30．(2023·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．31．(2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，，，，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得，以EC、EF為鄰邊構造，連接EG，則EG的最小值為________．押廣東卷第15題最值四邊形規(guī)律廣東中考數(shù)學對15題的知識的考查要求高，一般均是以函數(shù)綜合與幾何綜合求最值、規(guī)律題的形式進行考查，一般難度較大。如：2019年考查代數(shù)式規(guī)律題；2020年與2021年考幾何最值及隱形圓的最值模型。預計2023年廣東數(shù)學還是會以隱圓為基礎的最值壓軸問題。必備知識若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓．如圖，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點在以點O為圓心、OA為半徑的圓上．模型2：對角互補共圓模型2．若一個四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的四個頂點共圓．如圖，在四邊形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）則A，B，C，D四點在同一個圓上．拓展：若一個四邊形的外角等于它的內對角，則這個四邊形的四個頂點共圓．如圖，在四邊形ABCD中，∠CDE為外角，若∠B＝∠CDE，則A，B，C，D四點在同一個圓上．模型3：定弦定角共圓模型若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線段的兩個端點共圓如圖，點A，D在線段BC的同側，若∠A＝∠D，則A，B，C，D四點在同一個圓上．解題技巧縱觀近幾年的中考考試題，主要考查以下兩個方面：一是動點函數(shù)圖形與幾何結合求多解問題，二是幾何函數(shù)結合求點的坐標，解析式等，三是圖形動點求最值情況。1．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為_____．答案:分析：由已知，，根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知，點在以為圓心為半徑的圓上，線段長度的最小值為．【詳解】如圖：以為半徑作圓，過圓心作，以為圓心為半徑作圓，則點在圓上，,線段長度的最小值為:．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角與圓心角的關系，圓外一點到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．2．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，，點，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點，點到，的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為_________．答案:分析：根據(jù)當、、三點共線，距離最小，求出BE和BD即可得出答案．【詳解】如圖當、、三點共線，距離最小，∵，為的中點，∴，，，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，兩點間的距離線段最短，判斷出距離最短的情況是解題關鍵．3．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動（不與點A，B重合），∠DAM=45°，點F在射線AM上，且，CF與AD相交于點G，連接EC，EF，EG，則下列結論：①∠ECF=45°；②的周長為；③；④的面積的最大值.其中正確的結論是____.（填寫所有正確結論的序號）答案:①④分析：①正確．如圖1中，在BC上截取BH=BE，連接EH．證明△FAE≌△EHC（SAS），即可解決問題；②③錯誤．如圖2中，延長AD到H，使得DH=BE，則△CBE≌△CDH（SAS），再證明△GCE≌△GCH（SAS），即可解決問題；④正確．設BE=x，則AE=a-x，AF=，構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質解決最值問題．【詳解】解：如圖1，在BC上截取BH=BE，連接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH=BE，∵AF=BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正確，如圖2中，延長AD到H，使得DH=BE，則△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③錯誤，∴△AEG的周長=AE+EG+AG=AG+GH+AE=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②錯誤，設BE=x，則AE=a-x，AF=，∴∴，∴當時，的面積有最大值，最大值是，④正確；故答案為①④.【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，二次函數(shù)的應用等知識，熟練掌握并靈活運用是解題的關鍵.4．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┰谥?，，點分別在邊上，且，將繞點旋轉至，點分別對應點，當三點共線時，則的長為___________．答案:或/或分析：根據(jù)題意分兩種情況討論，當點在線段上，證明四邊形是矩形，得出,當點在線段的延長線上，證明根據(jù)全等三角形的性質進行分析即可求解．【詳解】解：如圖1，當點在線段上，∵，∴，∵將繞點旋轉至，∴，∴，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，且，∴四邊形是矩形，∴，如圖2，當點在線段的延長線上，∵，∴點四點共圓，∴，∵，∴∴，∴，∴，綜上所述：或，故答案為：或12．【點睛】本題考查旋轉的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，直角所對的弦是直徑，勾股定理等知識，利用分類討論解決問題是解答本題的關鍵．5．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖，是直徑，點C在上，垂足為D，點E是上動點（不與C重合），點F為的中點，若，，則的最大值為_____．答案:7.5分析：延長交于點G，連接、，根據(jù)垂徑定理得到，推出，得到當取最大值時，也取得最大值，然后在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：延長交于點G，連接、，∵，即，且是的直徑，∴，∵點F為的中點，∴，∴當取最大值時，也取得最大值，設的半徑為r，則，在中，，∴，解得：，∴的最大值為15，∴的最大值為7.5，故答案為：7.5．【點睛】本題考查了垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．6．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）在《九章算術》“割圓術”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術所體現(xiàn)的是一種由有限到無限的轉化思想．比如在求的和中，“…”代表按此規(guī)律無限個數(shù)相加不斷求和．我們可設．則有，即，解得，故．類似地，請你計算：_________．（直接填計算結果即可）答案:分析：設，仿照例題進行求解．【詳解】設，則，，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查類比推理，一元一次方程的應用，理解題意，正確列出方程是解題的關鍵．7．（2023春·江蘇宿遷·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，矩形，，，E為中點，F(xiàn)為直線上動點，B、G關于對稱，連接，點P為平面上的動點，滿足，則的最小值___________．答案:分析：由題意可知，，可得，可知點在以為弦，圓周角的圓上，（要使最小，則點要靠近蒂點，即點在的右側），設圓心為，連接，，，，，過點作，可知為等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三邊關系可得：，當點在線段上時去等號，即可求得的最小值．【詳解】解：∵B、G關于對稱，∴，且∵E為中點，則為的中位線，∴，∴，∵，即，∴點在以為弦，圓周角的圓上，（要使最小，則點要靠近蒂點，即點在的右側）設圓心為，連接，，，，，過點作，則，∵，∴，則為等腰直角三角形，∴，又∵為中點，∴，，又∵四邊形是矩形，∴，，∴四邊形是正方形，∴，，∴，由三角形三邊關系可得：，當點在線段上時去等號，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱的性質，矩形的性質，隱形圓，三角形三邊關系，正方形的判定及性質，等腰直角三角形的判定及性質，根據(jù)得知點在以為弦，圓周角的圓上是解決問題的關鍵．8．(2023·湖南湘潭·?？寄M預測）如圖，菱形草地中，沿對角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點，在線段BD上有一個流動飲水點，若要使的距離最短，則最短距離是_____米．答案:50分析：作關于的對稱點，連接，交于，連接，當點與重合時，的值最小，根據(jù)菱形的性質和勾股定理求出長，即可得出答案．【詳解】解：作關于的對稱點，連接，交于，連接，當點與重合時，的值最小，四邊形是菱形，，，即在上，，，為中點，為中點，為中點，四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，設與的交點為點，四邊形是菱形，，米，米，米，的最小值是50米．故答案為：50．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據(jù)軸對稱找出的位置．9．（2023秋·黑龍江雞西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸分別交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，在其對稱軸上有一動點，連接，則周長的最小值是______．答案:分析：根據(jù)“將軍飲馬”模型，先求出，由二次函數(shù)對稱性，關于對稱軸對稱，從而，，則周長的最小值就是的最小值，根據(jù)兩點之間線段最短即可得到的最小值為三點共線時線段長，從而得到，即可得到答案．【詳解】解：拋物線與x軸分別交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，當時，解得或，即；當時，，即，由二次函數(shù)對稱性，關于對稱軸對稱，即，，，周長的最小值就是的最小值，根據(jù)兩點之間線段最短即可得到的最小值為三點共線時線段長，，周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查動點最值問題與二次函數(shù)綜合，涉及“將軍飲馬”模型求最值、二次函數(shù)圖像與性質、解一元二次方程、勾股定理求線段長等知識，熟練掌握動點最值的常見模型是解決問題的關鍵．10．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）一個質點在第一象限及軸、軸上運動，在第一秒鐘，它從原點運動到，然后接著按圖中箭頭所示方向運動[即]，且每秒移動一個單位，那么第2023秒時質點所在位置的坐標是_____．答案:分析：應先判斷出走到坐標軸上的點所用的時間以及相對應的坐標，可發(fā)現(xiàn)走完一個正方形所用的時間分別為3，5，7，9…，此時點在坐標軸上，進而得到規(guī)律．【詳解】解：由題意可知，這點移動的速度是1個單位長度/每秒，設這點為，到達時用了3秒，到達時用了4秒，從到有4個單位長度，則到達時用了秒，到時用了9秒；從到有6個單位長度，則到達時用秒，到時用16秒；從到有8個單位長度，則到達時用秒，到時用了25秒；從到有10個單位長度，則到達時用秒，到時用了36秒；…，可得在軸上，橫坐標為偶數(shù)時，所用時間為秒，在軸上時，縱坐標為奇數(shù)時，所用時間為秒，，，，，，第2023秒時這個點所在位置的坐標為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了點的坐標的變化規(guī)律，得出運動變化的規(guī)律是解決問題的關鍵．11．（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的式子：，……第n個式子是___________．答案:分析：根據(jù)所給式子找出各部分的規(guī)律解答即可．【詳解】解：，…，分子可表示為：．，…，分母可表示為：，則第n個式子為：．故答案是：．【點睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字類規(guī)律與探究，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．此題注意分別觀察各部分的符號規(guī)律．12．（2023秋·河南許昌·九年級?？计谀┢矫嬷苯亲鴺讼抵?，若干個半徑為1，圓心角為的扇形組成的圖形如圖所示，點P從原點O出發(fā)，向右沿箭頭所指方向做上下起伏運動，點P在直線上運動的速度為每秒1個單位長度，在弧線上運動的速度為每秒個單位長度，則2021秒時，點P的坐標是__________．答案:，分析：根據(jù)勾股定理和弧長公式求出的坐標，設第秒運動到為自然數(shù)）點，根據(jù)點的運動規(guī)律找出部分點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律“，，，，，”，依此規(guī)律即可得出結論．【詳解】解：如圖，過點A作軸，垂足為B，由題意可得：，，∴，，一段弧線長為，∴，，設第秒運動到為自然數(shù)）點，觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，，，，，，，，，，．，為，，故答案為：，．【點睛】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標，解題的關鍵是找出變化規(guī)律，本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)運動的規(guī)律找出點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出坐標變化的規(guī)律是關鍵．13．（2023·江蘇揚州·九年級專題練習）如圖，在正方形中，頂點，，點是的中點，與軸交于點，與交于點，將正方形繞點順時針旋轉，每次旋轉，則第2023次旋轉結束時，點的坐標為______．答案:分析：根據(jù)正方形的性質得到，，根據(jù)全等三角形的性質得到，根據(jù)余角的性質得到，過作于，根據(jù)相似三角形的性質得到，根據(jù)勾股定理得到，求得，找出規(guī)律即可得到結論．【詳解】解：四邊形是正方形，，，點是的中點，與軸交于點，，（SAS），，，，，，，，過作于，，，，，，，，，將正方形繞點順時針旋轉，每次旋轉，第一次旋轉后對應的點的坐標為，第二次旋轉后對應的點的坐標為，第三次旋轉后對應的點的坐標為，第四次旋轉后對應的點的坐標為，，，每4次一個循環(huán)，第2023次旋轉結束時，相當于正方形繞點順時針旋轉3次，第2023次旋轉結束時，點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，坐標與圖形變換—旋轉，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確的理解題意是解題的關鍵．14．(2023秋·黑龍江雞西·九年級?？计谀┤鐖D，把邊長為2的等邊繞原點O按逆時針方向依次旋轉得到按此規(guī)律下去，那么點的坐標是_____．答案:分析：先根據(jù)圖形旋轉的規(guī)律可得每旋轉6次坐標一循環(huán)，可求出點的坐標與點坐標相同，進而完成解答．【詳解】解：由題意，得出每旋轉=6次坐標一循環(huán)，得出余5，即的坐標與點坐標相同，即可得出點與點B1關于x軸對稱，如圖：過作于C∵等邊∴∵∴由勾股定理可得：∴∵點與點B1關于x軸對稱∴點坐標為：，∴點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了坐標圖形變化﹣旋轉、規(guī)律型﹣點的坐標等知識，學會探究規(guī)律的方法是，解題的關鍵．15．（2023春·山東青島·九年級專題練習）如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．答案:分析：分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接，當點M、N在上時，的周長最小．【詳解】解：分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．∵點P關于的對稱點為C，關于的對稱點為D，∴；∵點P關于的對稱點為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值．故答案為：．【點睛】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定．作點P關于OA、OB的對稱點C、D是解題的關鍵所在．16．(2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內一動點，，連接、，則的最小值是___________．答案:分析：取點，連接，．根據(jù)，有，即可證明，即有，進而可得，則有，利用勾股定理可得，則有，問題得解．【詳解】解：如圖，取點，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，（當B、P、T三點共線時取等號）的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．17．(2023·全國·九年級專題練習）如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為__________________．答案:分析：根據(jù)題意可知：點C在半徑為的⊙B上．在x軸上取OD=OA=6，連接CD，易證明OM是△ACD的中位線，即得出OM=CD，即當OM最大時，CD最大，由D，B，C三點共線時，即當C在DB的延長線上時，OM最大，根據(jù)勾股定理求出BD的長，從而可求出CD的長，最后即可求出OM的最大值．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標平面內一點，，∴C在⊙B上，且半徑為，在x軸上取OD=OA=6，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=CD，∴即當OM最大時，CD最大，而D，B，C三點共線時，即當C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),∴OM=CD，即OM的最大值為，∵M是AC的中點，則M（4,4），故答案為：（4,4）．【點睛】本題考查坐標和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識．確定OM為最大值時點C的位置是解題關鍵，也是難點．18．(2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊中，，點E為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________．答案:/30度分析：①與為等邊三角形，得到，，，從而證，最后得到答案．②過點D作定直線CF的對稱點G，連CG，證出為等邊三角形，為的中垂線，得到，，再證為直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：①∵為等邊三角形，∴，，∴，∵是等邊三角形，∵，，∴，，∴，在和中∴，得；故答案為：．②（將軍飲馬問題）過點D作定直線CF的對稱點G，連CG，∴為等邊三角形，為的中垂線，，∴，連接，∴，又，∴為直角三角形，∵，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定及性質，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及性質，勾股定理等內容，熟練運用將軍飲馬是解題的關鍵，具有較強的綜合性．19．(2023·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．答案:4分析：在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進一步求得結果．【詳解】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解直角直角三角形，解題的關鍵是作輔助線．20．（2023秋·浙江溫州·九年級校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=________．答案:分析：如圖1，將△BQC繞點B順時針旋轉60°得到△BNM，連接QN，當點A，點Q，點N，點M共線時，QA+QB+QC值最小，此時，如圖2，連接MC，證明AM垂直平分BC，證明AD=BD，此時P與D重合，設PD=x，則DQ=x-2，構建方程求出x可得結論．【詳解】解：如圖1，將△BQC繞點B順時針旋轉60°得到△BNM，連接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等邊三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴當點A，點Q，點N，點M共線時，QA+QB+QC值最小，此時，如圖2，連接MC∵將△BQC繞點B順時針旋轉60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此時P與D重合，設PD=x，則DQ=x-2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確運用等邊三角形的性質解決問題，學會構建方程解決問題．21．(2023·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，半徑為的經過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為______．答案:分析：過點作關于的平行線，過點作垂直于該平行線于，可將轉化為，此時就等于，當共線時，即為所要求的最小值．【詳解】解：如圖所示，過點作關于的平行線，過點作垂直于該平行線于，，，，，，，，，當，，三點共線，即在圖中在位置，在位置的時候有最小，當，，三點共線時，有最小值，此時，的最小值為，故答案為．【點睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關鍵是在于將進行轉換．22．(2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．答案:5分析：因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當B、G、I共線時，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關鍵．23．(2023春·全國·九年級專題練習）如圖，點，的坐標分別為，，為坐標平面內一動點，且，點為線段的中點，連接，當取最大值時，點的縱坐標為____．答案:分析：根據(jù)同圓的半徑相等可知：點C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在AB的延長線上時，AC最大，根據(jù)中點坐標公式可得結論．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標平面內一點，BC=2，∴C在⊙B上，且半徑為2，∴當C在AB的延長線上時，AC最大，過點C作CD⊥x軸，∵點，的坐標分別為，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴．∵CD⊥x軸，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，解得：，∴C點的縱坐標為，∵點為線段的中點，∴點的縱坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標和圖形的性質，動點線段最值問題，勾股定理等知識，確定AC為最大值時點C的位置是解題的關鍵．24．(2023·四川成都·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．答案:分析：如圖，連接，在上取一點，使得，進而證明,則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，構造是解題的關鍵．25．(2023春·全國·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點F與點C的最小距離為________．答案:4分析：如圖，取AB的中點G，連接FG，F(xiàn)C，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因為DE＝4，可得FG＝，推出點F的運動軌跡是以G為圓心為半徑的圓，再利用兩點之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AB的中點G，連接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝4，∴FG＝，∴點F的運動軌跡是以G為圓心為半徑的圓，∵GC＝，∴FC≥GC?FG，∴FC≥4，∴CF的最小值為4．故答案為：4．【點睛】本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．26．（2023·廣東東莞·東莞中學南城學校校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，，，是矩形內部的一個動點，且，則線段的最小值為______．答案:分析：根據(jù)，可得到點E的運動軌跡是以AB的中點O為圓心，AB長為直徑的圓，連接OC交圓O于點，從而得到當點E位于點位置時，線段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解【詳解】解：∵，∴點E的運動軌跡是以AB的中點O為圓心，AB長為直徑的圓，如圖所示，連接OC交圓O于點，∴當點E位于點位置時，線段CE取最小值，在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB==1，∵，∴，∴故答案為：【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的基本性質及矩形的性質，勾股定理，根據(jù)，可得到點E的運動軌跡是以AB的中點O為圓心，AB長為直徑的圓是解題的關鍵27．(2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．若點P是內一點，則的最小值為____________．答案:分析：根據(jù)題意，首先以點A為旋轉中心，順時針旋轉△APB到△AP′B′，旋轉角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉的性質和全等三角形的性質、等邊三角形的性質，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【詳解】解：以點A為旋轉中心，順時針旋轉△APB到△AP′B′，旋轉角是60°，連接BB′、PP′，，如圖所示，則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=，∴CB′=，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉的性質、等邊三角形的性質、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學思想是數(shù)形結合的思想．28．(2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，AD＝，點P為邊AB上一點．以DP為折痕將△DAP翻折，點A的對應點為點A'．連結AA'，AA'交PD于點M，點Q為線段BC上一點，連結AQ，MQ，則AQ＋MQ的最小值是________答案:分析：如圖，作點A關于BC的對稱點T，取AD的中點R，連接BT，QT，RT，RM．想辦法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根據(jù)QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得結論．【詳解】解：如圖，作點A關于BC的對稱點T，取AD的中點R