第1課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)證明當(dāng)_____________時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)___________________時(shí)，命題成立，證明當(dāng)________時(shí)，命題也成立．綜上(1)，(2)知，對(duì)任意的正整數(shù)n≥n0，命題都成立．這種證明方法稱(chēng)為_(kāi)___________．n＝n0

n＝k(k≥n0，k∈N*)

n＝k＋1

數(shù)學(xué)歸納法

3．(2017年合肥期中)一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題成立，那么綜合上述，則(

)A．一切正整數(shù)命題成立 B．一切正奇數(shù)命題成立C．一切正偶數(shù)命題成立 D．以上都不對(duì)【答案】B

【解析】可以推出對(duì)n＝1,3,5,7，…，命題都成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立．故選B．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【解題探究】(1)這是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的恒等式問(wèn)題，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要嚴(yán)格按兩步來(lái)證明，缺一不可．(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．

(1)在本例證明過(guò)程中，步驟①考慮“n取第一個(gè)值的命題形式”時(shí)，需認(rèn)真對(duì)待，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假；步驟②在由n＝k到n＝k＋1的遞推過(guò)程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．

(1)在本例證明過(guò)程中，步驟①考慮“n取第一個(gè)值的命題形式”時(shí)，需認(rèn)真對(duì)待，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假；步驟②在由n＝k到n＝k＋1的遞推過(guò)程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．(2)在步驟②的證明過(guò)程中，突出了兩個(gè)“湊”字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確n＝k＋1時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系．【例2】用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．【解題探究】這是一個(gè)與整除有關(guān)的命題，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)該證n＝1時(shí)命題成立，第二步要明確目標(biāo)，即在假設(shè)(3k＋1)·7k－1能被9整除的前提下，證明[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1也能被9整除．用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題

證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題獲證．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，顯然命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，命題成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3)．由假設(shè)可知上式可被x2＋3x＋3整除，即n＝k＋1時(shí)命題成立．由(1)(2)可知，原命題成立．【例3】平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無(wú)三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成n2－n＋2個(gè)部分．【解題探究】這是一個(gè)與幾何有關(guān)的命題，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，難點(diǎn)在于幾何元素從k個(gè)變成k＋1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少．用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題

用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k＋1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析，可以先從有限個(gè)圓的情形中，歸納出所證幾何量的增加量．在實(shí)在分析不出來(lái)的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說(shuō)明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧．1．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要嚴(yán)格按兩步來(lái)證明，缺一不可．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明的原理為無(wú)限自動(dòng)遞推，故證n＝k＋1時(shí)，須將假設(shè)結(jié)論作為條件，參與證明．3．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等．4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是明確n＝k＋1時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞

用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k＋1個(gè)時(shí)，所證