5.4正、余弦定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一判斷三角形的形狀【例1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)△的三邊長為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的三條邊和與之對應(yīng)的三個角滿足等式則此三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．下列有關(guān)等邊三角形的四個命題中正確的是（

）．A．若，則是等邊三角形B．若，則是等邊三角形C．若，則是等邊三角形D．若，則是等邊三角形考點(diǎn)二最值問題【例2-1】(2023·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角所對的邊分別為，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【例2-2】(2023·江西·上饒市第一中學(xué)二模（文））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若點(diǎn)D在邊上，且，則的最大值是___________.【例2-3】(2023·黑龍江·哈爾濱三中二模）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·安徽黃山·二模（理））設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，其中，若，則面積的取值范圍為______________.3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角外接圓的半徑為，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，，則的取值范圍是____.4．(2023·甘肅·二模（理））如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，且依次成等差數(shù)列.(1)求邊AC的長；(2)求四邊形ABCD周長的最大值.5．(2023·廣東江門·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角B的大??；(2)若，求的取值范圍.考點(diǎn)三三角形解的個數(shù)【例3-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，，則此三角形（

）A．無解 B．一解C．兩解 D．解的個數(shù)不確定【例3-2】(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，當(dāng)有兩解時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3-3】(2023·浙江·高三專題練習(xí)）中，角，，的對邊分別是，，，，，若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，使得三角形有兩解的條件是（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，滿足條件，的三角形有兩個，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，則“”是“有兩個解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，下列條件使有兩解的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)四幾何中的正余弦定理【例4】(2023·浙江寧波·二模）如圖，在中，，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），若，則___________，的面積是___________.【一隅三反】1．(2023·山東煙臺·一模）如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．2．(2023·陜西渭南·二模）如圖，在中，角，D為邊AC上一點(diǎn)，且，，求：(1)的值；(2)邊的長.3．(2023·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．考點(diǎn)五正余弦定理與平面向量的綜合運(yùn)用【例5】(2023·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（

）A． B． C． D．【一隅三反】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論:①；②為銳角三角形；③；④其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則是的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形3．(2023·廣東佛山·二模）中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．54．(2023·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六正余弦定理與其他知識的綜合運(yùn)用【例6-1】(2023·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)．，，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【例6-2】(2023·遼寧·育明高中高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且的面積為，且恒成立，則的最小值為________．【一隅三反】1．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知，是雙曲線（，）的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線的左支上一點(diǎn)，滿足，且，則該雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．22．(2023·江西·模擬預(yù)測（理））在中，角所對的邊分別為，滿足，若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后的圖象于軸對稱，則在的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．3．(2023·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（理））橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過原點(diǎn)O的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，若∠PFQ=120°，，，則橢圓C的離心率為________．5.4正、余弦定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一判斷三角形的形狀【例1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形答案：ACD【解析】對于A，因?yàn)椋?，，因?yàn)椋?，為的?nèi)角，所以，，都是銳角，所以是銳角三角形，故選項A正確；對于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯；對于C：由及正弦定理化邊為角，可知，即，因?yàn)椋瑸榈膬?nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故選項C正確；對于D：由和正弦定理化邊為角，易知，所以，因?yàn)椋?，為的?nèi)角，所以，所以是等邊三角形，故選項D正確；故選：ACD.【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案：A【解析】∵，可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴為直角三角形，且，故選：A.2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)△的三邊長為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形答案：B【解析】設(shè)，△的內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示，法一：∴①；②.①÷②，得：，即．于是，，，從而得或，∴或．故△為等腰三角形或直角三角形，（1）當(dāng)時，內(nèi)心I在等腰三角形的底邊上的高上，，從而得．又，代入①式，得，即，上式兩邊同時平方，得：，化簡，即．即△直角三角形，∴△為等腰直角三角形．（2）當(dāng)時，易得．代入②式，得，此式恒成立，綜上，△為直角三角形．法二：利用，及正弦定理和題設(shè)條件，得①，②.∴③；④.由③和④得：，即，，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，∴或，即或．（1）若，代入③得：⑤又，將其代入⑤，得：．變形得，即⑥，由知A為銳角，從而知．∴由⑥，得：，即，從而，．因此，△為等腰直角三角形．（2）若，即，此時③④恒成立，綜上，△為直角三角形．故選：B3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的三條邊和與之對應(yīng)的三個角滿足等式則此三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形答案：A【解析】，可得，整理，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或或，故三角形為等腰三角形.故選：A4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．下列有關(guān)等邊三角形的四個命題中正確的是（

）．A．若，則是等邊三角形B．若，則是等邊三角形C．若，則是等邊三角形D．若，則是等邊三角形答案：BCD【解析】A，若，由正弦定理可知：任意都滿足條件，因此不一定是等邊三角形，不正確；B，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．C，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．D，若，∴，時，是等邊三角形；時，研究函數(shù)的單調(diào)性，，時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此不成立．綜上可得：是等邊三角形，正確．故選：BCD．考點(diǎn)二最值問題【例2-1】(2023·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角所對的邊分別為，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，，即，，，，，，，則當(dāng)時，，.故選：A.【例2-2】(2023·江西·上饒市第一中學(xué)二模（文））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若點(diǎn)D在邊上，且，則的最大值是___________.答案：【解析】由，得，因?yàn)?，，所以，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，則由正弦定理得，如圖所示，取的中點(diǎn)，在中，；在中，，當(dāng)且僅當(dāng)圓心在上時取等號，所以的最大值是，故答案為：．【例2-3】(2023·黑龍江·哈爾濱三中二模）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，，故題干條件可化為，由余弦定理得，故，又由正弦定理化簡得：，整理得，故或（舍去），得為銳角三角形，故，解得，故故選：C【一隅三反】1．(2023·安徽黃山·二模（理））設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，其中，若，則面積的取值范圍為______________.答案：【解析】，化簡得：，由正弦定理可得：,，，即，,或，即或，又，，即,，又，，當(dāng)僅當(dāng)時等號成立，，即，.故答案為：2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3acosC＋b＝0，則tanB的最大值是________.答案：【解析】在ABC中，因?yàn)?acosC＋b＝0，所以C為鈍角，由正弦定理得3sinAcosC＋sin(A＋C)＝0，3sinAcosC＋sinAcosC＋cosAsinC＝0，所以4sinAcosC＝－cosA·sinC，即tanC＝－4tanA.因?yàn)閠anA>0，所以tanB＝－tan(A＋C)＝－＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)tanA＝時取等號，故tanB的最大值是.故答案為：3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角外接圓的半徑為，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，，則的取值范圍是____.答案：【解析】因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故，即，所以的取值范圍?故答案為：.4．(2023·甘肅·二模（理））如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，且依次成等差數(shù)列.(1)求邊AC的長；(2)求四邊形ABCD周長的最大值.答案：(1)(2)10【解析】(1)因?yàn)橐来纬傻炔顢?shù)列，所以，又，所以,又，則由余弦定理得:，所以.(2由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及，知，在中，由余弦定理得，又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時“=”成立），所以，即，則四邊形ABCD周長最大值.5．(2023·廣東江門·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角B的大?。?2)若，求的取值范圍.答案：(1)(2)【解析】(1)因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，化簡得，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所?2)因?yàn)椋?由正弦定理得，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，所以，，所以，即的取值范圍為考點(diǎn)三三角形解的個數(shù)【例3-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，，則此三角形（

）A．無解 B．一解C．兩解 D．解的個數(shù)不確定答案：C【解析】在中，，，，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解．故選：C【例3-2】(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，當(dāng)有兩解時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，即,則由，解得,則當(dāng)有兩解時，，則，所以，故選：.【例3-3】(2023·浙江·高三專題練習(xí)）中，角，，的對邊分別是，，，，，若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)檫@個三角形有兩解，故滿足，即，解得.故選：B【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，使得三角形有兩解的條件是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，到的距離，當(dāng)時，三角形無解，當(dāng)時，三角形有一解，當(dāng)時，三角形有兩解，當(dāng)時，三角形有一解．故選：．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，滿足條件，的三角形有兩個，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)?，，由正弦定理可得，所以，又滿足題意的三角形有兩個，所以只需，即，解得.故選：C.3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，則“”是“有兩個解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】，若有兩個解，則，即，即，“”是“有兩個解”的必要不充分條件.故選：B.4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，下列條件使有兩解的是（

）A．B．C．D．答案：D【解析】選項A.由余弦定理可得的三邊分別為，所以滿足條件的三角形只有一個.選項B.，則,由正弦定理可得所以，的三邊為定值，三個角為定值，所以滿足條件的三角形只有一個.選項C.由，則由正弦定理可得所以,由則，所以角為一確定的角，且，則角角為一確定的角，從而邊也為定值，所以滿足條件的三角形只有一個.選項D.作,在的一條邊上取，過點(diǎn)作垂直于的另一邊，垂足為.則,以點(diǎn)為圓心，4為半徑畫圓弧，因?yàn)?，所以圓弧與的另一邊有兩個交點(diǎn)所以均滿足條件，所以所以滿足條件的三角形有兩個.故選：D考點(diǎn)四幾何中的正余弦定理【例4】(2023·浙江寧波·二模）如圖，在中，，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），若，則___________，的面積是___________.答案：

【解析】在中，因?yàn)?，可得，由，且，在中，由正弦定理，可得，因?yàn)椋詾殇J角，所以，又由，所以，所以，設(shè)，因?yàn)榍尹c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，可得，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.【一隅三反】1．(2023·山東煙臺·一模）如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．答案：(1)(2)∠ACB=【解析】(1)在△ABC中，，因?yàn)椋裕?2)設(shè)，則，，．在△ACD中，由，得．在△ABC中，由，得．聯(lián)立上式，并由得，整理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，即∠ACB的值為．2．(2023·陜西渭南·二模）如圖，在中，角，D為邊AC上一點(diǎn)，且，，求：(1)的值；(2)邊的長.答案：(1)(2)【解析】(1)在中,由余弦定理的推論得,,,,(2),,,,在中,由正弦定理得,3．(2023·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．答案：(1)(2)【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，與互補(bǔ)，則，解得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)椋裕夥?、由題意可得，，由AM為邊BC上的中線，則，兩邊同時平方得，，故，因?yàn)镸為BC邊中點(diǎn)，則的面積為面積的，所以，即，化簡得，．(2)解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分別為邊BC，AC上的中線可知P為重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因?yàn)锽N為邊AC上的中線，所以，，，即．所以．考點(diǎn)五正余弦定理與平面向量的綜合運(yùn)用【例5】(2023·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)椋?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)時，取等號；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號；故選：C【一隅三反】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論:①；②為銳角三角形；③；④其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】由AH為BC邊上的高，∴，而，故，①正確；知：向量的夾角為鈍角，即為銳角，而無法判斷是否為銳角三角形，②錯誤；，③正確；，④正確.故選：C2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則是的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形答案：C【解析】由，可得，又由余弦定理，可得，整理得，所以是直角三角形.故選：C.3．(2023·廣東佛山·二模）中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．5答案：C【解析】過點(diǎn)O作，垂足分別為D，E，如圖，因O是外接圓圓心，則D，E分別為AC，的中點(diǎn)，在中，，則，即，，同理，因此，，由正弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最大值為3.故選：C4．(2023·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)椋?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)時，取等號；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號；故選：C考點(diǎn)六正余弦定理與其他知識的綜合運(yùn)用【例6-1】(202