第五講一次函數

［教學內容］

《佳一動態(tài)數學思維》春季版，九年級第五講“一次函數”.

［教學目標］

知識技能

1.初步認識平面直角坐標系，

2.理解并掌握一次函數的基本概念、圖象性質，會利用待定系數法確定一次函數的解析式，并能

夠畫出一次函數的圖象；

3.掌握一次函數圖象平移的變化規(guī)律；

4.理解一次函數與正比例函數的關系，體會一次函數與二元一次方程的關系；

5.能夠利用一次函數的圖象求一元一次方程（組）的解及一元一次不等式（組）的解集，并能用

一次函數解決簡單實際問題.

數學思考

1.通過用一次函數表述數量關系得過程，體會模型的思想，建立符號意識；

2.在研究點在平面直角坐標系中的運動，進一步發(fā)展空間觀念；

3.獨立思考，體會類比、數形結合等思想方法.

問題解決

1.經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分

析問題和解決問題的一些基本方法.

2.在與他人合作和交流的過程中，能較好地理解他人的思考方法和結論.

情感態(tài)度

1.通過解決現(xiàn)實情境中問題，增強數學素養(yǎng)，用數學的眼光看世界.

2.通過小組活動，培養(yǎng)學生的合作意識和能力.

［教學重點、難點］

重點：平面直角坐標系的認識、一次函數的圖象與性質及應用

難點：一次函數的圖象平移規(guī)律以及一次函數與一元一次方程（組）和不等式（組）的關系

［教學準備］

動畫多媒體語言課件

第一課時

教學路徑

導入

師：前面幾次課我們主要復習了中考中的第一大塊內容一一實數與方程，從這節(jié)課

開始那我們就開始復習中考數學的第二大塊內容一一函數，同學們想一下，我們都

學習過了哪幾種函數？

生：我們學習了一次函數、反比例函數和二次函數.

師：很好，初中階段我們主要學習了這三種簡單的函數模型，在復習的時候同學們

要注意進行類比復習，首先那這節(jié)課我們就一起來復習一下一次函數.

啟動性問題

下象棋是同學們喜愛的事，同學們可否知道，象棋里充滿著數學問題.“馬能否

跳回原位”就是其中的一個問題：

象棋盤上有一只馬（如圖1和圖2所示），它跳七步能回到原來的位置上嗎？你

不論你怎么跳，都回不到原位，是嗎？這是怎么回事呢？利用坐標方法可以幫

助你解決這個問題.

解析：

我們可在棋盤上建立直角坐標系，并設這只馬所在的位置P的坐標為（孫yo）,

那么根據象棋規(guī)則“馬走日字”，馬跳一步后的位置的坐標應為（次+幻,泗+6）,這

里的Xi和yi的取值只有以卜可能性：xi取±1、yi取±2；xi取±2、yi取±1,所以xi+yi

的值只可能是1、T、3、-3.（下一步）

同樣，跳第二步后，馬位置的坐標應為（%o+xi+x2,yo+yi+y2）,這里的xi和yi的

取值只有以下可能性：X2取±1、丁2取±2；12取±2、'2取±1,所以的值只可能

是1、-1、3、-3.（下一步）

跳七步后，馬位置的坐標為（X0+X1+X2+X3+/4+X5+X6+X7,》（）+丁1+*+y3+*+*+”+/）；

（下一步）

如果這時馬又回到原來的位置（xo,yo）,那么有

X,+々+七+X4+*5+Xb+Xl=0，

冗0+X+%+&+工4+%5+*6+工7=工()，即《

Jo+X+%+%+”+/+%+%=即、乂+H+%+以+為+%+必=°，

兩式相力口，有（Xl+jl）+（*2+了2）+（尤3+丫3）+（X4+V4）+（m+/）+（胚+”）+（X7+V7）=0;

（下一步）

因為Xl+yi,X2+）>2,X3+53,X4+y4,X5+”，尤6+卜6,xi+yi,這七個數只能取1、T、

3、-3,但是不論怎樣取法，由于奇數個奇數相加和為奇數，所以這樣取出的七個數

的和等于o是不可能的，所以馬跳七步不可能回到原來的位置.

考點23平面直角坐標系

師：大家一起先來回顧平面直角坐標系的相關知識.

回顧：（一行一行出現(xiàn)）

L平面直角坐標系四個象限：（出現(xiàn)坐標系）

4

點P(x,y）在第一象限ox>0,y>Q；（出現(xiàn)（+,+））3

點P（x,y）在第二象限ox<0,y>0；（出現(xiàn)"，+））

點P(x,y）在第三象限ox<0,y<0；(出現(xiàn)(-,-))TO

點P(x,y）在第四象限ox>0,>,<0.（出現(xiàn)（+,-））-2

(-?-)

坐標軸上：點P（x,y）在x軸上oy=0,x為任意數；（閃爍x軸或者變紅色）-3-

-4

點P（x,y）在y軸上ox=0,y為任意數;（閃爍y軸或者變紅色）-5-

原點。的坐標為（0,0）.（閃爍原點）

注意：（1）x軸、y軸上的點不屬于任何象限.

（2）坐標平面內的點與有序實數對是一--對應的.

（下一步）

2.平行于坐標軸的直線上的點的坐標的特征（出現(xiàn)坐標系）

平行于x軸：縱坐標相同，橫坐標為不相等的實數；（出現(xiàn)平行于x軸的直線）

平行于y軸：橫坐標相同，縱坐標為不相等的實數.（出現(xiàn)平行于y軸的直線）

6

5

4

3

234567*^

-1o

3.各象限角平分線上的點的坐標特征（出現(xiàn)坐標系）

第一、三象限角平分線上的點：橫、縱坐標相等；（出現(xiàn)產x直線）

第二、四象限角平分線上的點：橫、縱坐標互為相反數.（出現(xiàn)y=-x直線）

4?點與坐標軸的距離與點的坐標的關系（出現(xiàn)坐標系）

（1）點P（a,。）與原點、坐標軸的距離（出現(xiàn)點P）

到x軸的距離：等于點P的縱坐標的絕對值，即彷|；（出現(xiàn)垂直于x的線段和|加）

到y(tǒng)軸的距離：等于點P的橫坐標的絕對值，即以|；（出現(xiàn)垂直于y的線段和。）

到原點的距離：等于點P的橫、縱坐標平方和的算術平方根，即廿.（出現(xiàn)

P0線段和+廿）

（2）坐標軸上兩點間的距離

在X軸上兩點Pl（XI,0）,P2（X2,0）間的距離P1P2I=IX2-X\;（出現(xiàn)P1P2線段和

P1P2I=IX2-Xl|）

在y軸上兩點Q（0,yi）,。2（0,*）間的距離iQQl=l?-yiI；（出現(xiàn)QQ線段和

。1。2=|y2-yi|）

在x軸上的點尸|（孫0）與丁軸上的點。（0,6）之間的距離|尸10||=+.（出現(xiàn)

PiQi線段和|PIQI|=舊+y；）

師：下面我們就一起來看幾道例題.

初步性問題

探究類型之一求平面直角坐標系中點的坐標

例1在直角坐標平面內的機器人接受指令（aX）,0°<A<180°）后的

行動結果為：在原地沿正前方直線行走“，再順時針旋轉A.若機器人的位置在原點,

正前方為y軸的負半軸，則它完成一次指令［2,60°］后位置的坐標為（）

A.（-1,-73）B.（-1,~y/3）

C.（-6,-］.）D.（-V3,1）

解析：

模擬機器人（用點3表示）的運動情況如圖所示；（下一步）動畫顯示點8的運

動過程：從原點處向下移動2個單位長度，然后順時針旋轉60°,圖中標上60°；

（下一步）

求點的坐標點到坐標軸的距離（或線段的長度■解直角三角形（F

一步）

易知。8=2,過點B作），軸的垂線BC（在圖中作出），

0C=-OB=1,BC=y/OB2-OC2=V22-l2=百；（下一步）

2

點B的坐標為(-75,-1).

答案：c

師：首先大家根據題目已知條件畫出圖形，，如何求點的坐標呢？

生：（預設）轉化為求線段的長度或點到坐標軸的距離.

師：如何求線段的長度或點到坐標軸的距離？

生：（預設）解直角三角形.

師：在坐標系中求幾何圖形的點的坐標，通常轉化為利用幾何圖形的性質，求該點

到兩坐標軸的距離，常用到三角形，四邊形，勾股定理等知識.

類似性問題

1.如圖所示，在平面直角坐標系中，菱形MNPO的頂點P坐標是（3,4）,則頂點

M,N的坐標分別是（）

A.M（5,0）,N（8,4）B.M（4,0）,N（8,4）

P.-----N

C.M(5,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)

解析:

過點P作PELOM于點E（在圖中作出），則OE=3,PE=4,根據勾股定理得

OP=S]OE2+PE2=5；（下一步）根據菱形的性質可知OM=PN=OP=5,所以點M的

坐標為（5,0）,點N的坐標為（8,4）.

初步性問題

探究類型之二坐標平面內點的特征

例2已知點P（4,0-1）在平面直角坐標系的第一象限內，則a的取值范圍在數軸

上可表示為（）

D.

解析：

點、P（x,y）在第一象限u>x>0,y>0；（下一步）

所以卜解得a>L

a-1>0,

答案：A

師：點在第一象限的符號特征是什么？

生：（預設）橫縱坐標都大于0.

師：解此類問題的一般方法是根據點在坐標系中的符號特征，建立不等式組或者方

程（組），把點的問題轉化為不等式組或方程（組）來解決.

類似性問題

2.若點P（a,?-2）在第四象限，則a的取值范圍是（）

A.-2<a<0B.0<a<2

C.a>2D.a<0

解析：

點P（x,y）在第四象限ox>0,y<0；（下一步）

所以解得0<a<2.

4一2<0,

初步性問題

探究類型之三坐標平面內點的運動

例3一只跳蚤在第一象限及x軸、），軸上跳動，在第一秒鐘，它從原點跳動到（0,

1）,然后接著按圖中箭頭所示方向跳動［即（0,0）->（0,1）-*（1,1）-（1,0）

—且每秒跳動一個單位，那么第35秒時跳蚤所在位置的坐標是（）

解析：

記跳蚤運動到點（〃，?）需要的時間為加，其中〃與1且〃為正整數:

跳蚤跳到點（1,1）的位置，力=1X2_秒；（下一步）

跳蚤跳到點（2,2）的位置，1X2+2X2=2X3―秒；（下一步）

跳蚤跳到點（3,3）的位置，△=_2X3-2X3=3義4—秒;（下一步）

跳蚤跳到點（4,4）的位置，M=—3X1+2X4=4X5—秒；（下一步）

跳蚤跳到點（5,5）的位置，4X5+2X5=5X6秒；（下一步）

再向下跳動個單位長度，即第35秒時跳蚤到達點_1（5,0）.

答案：B

師：如何求第35秒時跳蚤所在位置的坐標？

生：（預設）通過觀察尋找跳蚤運動過程中所在位置坐標的規(guī)律.

師：你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？

學生總結規(guī)律.

師：平面直角坐標系中的質點運動要注意觀察橫坐標與縱坐標隨時間的變化規(guī)律.

類似性問題

3.在直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.且規(guī)定，正方形的

內部不包含邊界上的點.觀察如圖所示的中心在原點、一邊平行于x軸的正方形：

邊長為1的正方形內部有1個整點，邊長為2的正方形內部有1個整點，邊長為3

的正方形內部有9個整點，…，則邊長為8的正方形內部的整點的個數為（）

A.64B.49C.36D.25一-vt后

解析：

觀察圖形可總結出規(guī)律：設正方形的邊長為〃,

當〃為奇數時，正方形內部有/個整點；（下一步）

當〃為偶數時，正方形內部有（〃T）2個整點.

邊長為8的正方形內部的整點的個數為（8-1）2=49.

師：復習完了平面直角坐標系的知識，下面我們來復習下變量與函數.

考點24變量與函數

師：首先同學們先回顧一下變量與函數的基本概念.

回顧：（先出現(xiàn)紅色字體，再出現(xiàn)黃色陰影字體）

1.常量與變量：在某一變化過程中，始終保持不變的量叫做常量，數值發(fā)生變

化的量叫變量.

2.函數：一般地，在某個變化過程中，如果有兩個變量，例如lx與y,對于x的

每一個值，y都有唯一確定的值與之對應，我們就說x是自變量，y是因變量，也稱

y是x的函數.

3.函數的表示：（1）解析式法；（2）列表法；（3）圖象法.

4.函數的圖象：一般地，對于一個函數，如果自變量與函數的每對對應值分別

作為點的橫坐標、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的

圖象.

描點法畫函數圖象的一般步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線.

師：接下來我們來看幾道相關例題.

初步性問題

探究類型之一函數的概念

例1下列函數中，自變量x的取值范圍為x<l的是（）

a1n,1

A.y=---B.y=]__

1-xx

解析：

求函數自變量的取值范圍，要滿足以下兩個條件:

（1）分母不為0；

（2）被開方數非負.（下一步）

如圖1:表示離出發(fā)點的距離S與時間/的函數圖象中，①代表物體勻速運動遠

離出發(fā)點，②代表物體停止，③代表物體反向勻速運動直至回到原出發(fā)

點.（出現(xiàn)圖1,下一步）

如圖2：表示速度V與時間/的函數圖象中，①表示物體從0開始加速運動，②

代表物體勻速運動，③代表物體減速運動到停止.（出現(xiàn)圖2）

圖1圖2

答案：D

師：如何根據函數關系判斷函數圖像？

生：（預設）觀察圖象時，首先弄清橫軸和縱軸所表示的意義，分析圖象的變化趨

勢，結合實際問題的意義進行判斷.

師：如圖，在表示離出發(fā)點的距離s與時間f的函數圖象中，每一段分別表示什么？

生：（預設）①代表物體勻速運動遠離出發(fā)點，②代表物體停止，③代表物體反向勻

速運動直至回到原出發(fā)點..

師：這樣我們是否就可以判斷了呢，對比下面的函數圖像，每一段各代表什么呢？

生：（預設）①表示物體從0開始加速運動，②代表物體勻速運動，③代表物體減速

運動到停止.

類似性問題

2.小明從家中出發(fā)，到離家1.2千米的早餐店吃早餐，用了咳I」鐘吃完早餐后，按原

路返回到離家1千米的學校上課，在下列圖象中，能反映這一過程的大致圖象是

（）

解析：

在吃飯的一刻鐘時間內距離保持不變，故可排除A、D,由于學校離家的距離比

第4步

注意：畫一次函數圖象時，只要取兩個點即可.

（下一步）

3.一次函數圖象及性質：（先出現(xiàn)藍色字體，再兩行兩行出現(xiàn)）

函數k,取值大致圖象經過的象限函數性質

yJ[

k>0

——、二y隨x增大而增大

/'Ox

y=kx（原0）yi

k<Q

7二、四y隨x增大而減小

O

k>0y一、二、三

才

b>00X

iiyy隨x增大而增大

k>Q/.X一、三、四

0,

b<0/\

y=kx+b（后0）

y

k<07一、二、四

b>0

k<0二、三、四y隨尤增大而減小

b<0

4.待定系數法：先設表達式中的未知系數，再根據條件求出未知系數，從而寫

出函數的解析式.

師：接下來我們來看幾道相關例題.

初步性問題

探究類型之一一次函數的圖象與性質

例1已知一次函數〃-2的圖象如圖所示，則機，〃的取值范圍是（）

A.m>0,71V2B.m>0,n>2y

\

C.m<0,n<2D.m<0,n>2\.

O\X

解析：r斜率左的符號決定函數的增減性

y=kx+b（后0）

截距b的符號決定函數圖像與y軸交點在上方還是下方

（下一步）

m<0,m<0,

所以解得4

/?—2>0,n>2.

答案：D

師：如何求一次函數中字母系數的取值范圍呢？

生：（預設）根據函數的增減性判斷斜率攵的符號，截距人的符號決定函數圖像與y

軸交點在上方還是下方.

類似性問題

1.已知一次函數的圖象經過第一、二、三象限，則人的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.2

2.已知關于x的一次函數產依+4&-2（原0）.若其圖象經過原點，則上；若y隨x

的增大而減小，則k的取值范圍是.

解析:

一次函數產乙+飲-2（原0）的圖象經過原點，則4&-2=0,解得上;；（下一步）

一次函數）=依+462（原0）,），隨犬的增大而減小，則ZV0.

初步性問題

探究類型之二用待定系數法求一次函數的解析式

例2如圖所示,在平面直角坐標系中,A,B均在邊長為1的正方形網格格點上.

（1）求線段AB所在直線的函數解析式,并寫出當0鄉(xiāng)￡2時，自變量x的取值范圍；

（2）將線段A8繞點8逆時針旋轉90。，得到線段8C,請在圖中畫出線段BC.若直

線BC的函數解析式為y=kx+h,則y隨x的增大而______（填“增大”或“減小”）.

解析：

（l）A（l,0）,8（0,2）,設直線A8的函數解析式為用待定系數法求解;

（下一步）

（2）動畫展示將線段A3繞點8逆時針旋轉90°,得到線段8c的過程.從圖象

上觀察可得出結果.

答案：

解：（1）觀察圖象可知A（l,0）,8（0,2）,設直線A3的函數解析式為產履+。，

b=C（k=-?

根據題意得一'解得''

h=2,[b=2.

所以y=-2x+2,當0gg2時，00爛1.（下一步）

（2）增大（直接填在空處）

師：如何求直線的函數解析式？

生：（預設）待定系數法.

師：待定系數法的一般步驟是？

生：（預設）（1）設一次函數的解析式為產氣+從原0）；（2）把已知兩點坐標

Pi（m,h）,P2（a2,岳）代入得（3）解方程組求出k,b的值；⑷將求出

b2=a2k+b;

的待定系數代回所求的函數解析式.

師：通過圖像觀察能否得到函數的增減性呢？

生：（預設）從左往右看，上山就是遞增的，下山就是遞減的.

類似性問題

3.已知：一次函數），=辰+力的圖象經過M（0,2）,N33）兩點.

（1）求上。的值；

（2）若一次函數>=入+。的圖象與x軸的交點為A（a,0）,求。的值.

解析：

h=2（k=\

（1）將點M,N的坐標代入產履+分得"‘解得一’（下一步）

-k+b=3,[b=2-,

（2）由（1）可知y=x+2,把點A的坐標代入得a+2=0,即。=-2.

第二課時

教學路徑

師：下面這節(jié)課我們主要來復習一下一次函數圖象的平移，一次函數與一元一次方

程（組）、不等式（組）的關系及一次函數應用問題.

考點26一次函數圖象的平移

師：我們首先來回憶一下一次函數），=依+匕的圖象可由正比例函數y=區(qū)的圖象如何

平移得到？

回顧：

一次函數圖象的平移：一次函數產履+。的圖象可由正比例函數嚴質的圖象平移得

到，b>0,上移。個單位；b<0,下移㈤個單位.（下一步）

例如：y=2x+3

y=2x

（下一步）j=2x-3

師：接下來我們來看一道例題.

初步性問題

探究類型一次函數圖象的平移

例1已知一次函數>=依-4,當x=2時，y=-3.

（1）求一次函數的解析式；

（2）將該函數的圖象向上平移6個單位，求平移后的圖象與x軸交點的坐標.

解析：

（1）將x=2,y=-3代入求出k的值；（下一步）

（2）將一次函數），=依-4的圖象向上平移6個單位，得到的函數圖象對應的解

析式為_y=hc-4+6=y=kx+2.

答案：

解：（1）根據題意得-3=2公*4,解得Z=L

2

所以一次函數的解析式為產;k4.（下一步）

（2）將一次函數廠4的圖象向上平移6個單位，得到的函數圖象對應

的解析式為y=；x+2.

令y=0,得0='x+2,解得x=-4,

2

所以平移后的圖象與x軸交點的坐標為（-4,0）.

師：圖像平移求解析式的口訣是？

生：（預設）上加下減，左加右減.

師：直線丁=履+力（燈0）在平移過程中％值不變.平移的規(guī)律是若上下平移，則直接

在常數。后加上或減去平移的單位數;若向左（或向右）平移機個單位，則直線）=依+匕

(Z^O)變?yōu)閥=k(x±m(xù))+b.

類似性問題

(1)在平面直角坐標系中，將直線y=-2x+l向下平移4個單位長度后所得直線的解

析式為.

(2)在平面直角坐標系中，將直線y=-2x+l向左平移4個單位長度后所得直線的解

析式為.

解析：

根據“上加下減，左加右減”的口訣求解.

考點27一次函數與一次方程(組)與不等式(組)

師：一次函數與一次方程(組)與不等式(組)之間有什么樣的關系呢？同學們思

考一下如何利用一次函數的圖象來求一次方程(組)的解及一次不等式(組)的解

集？

回顧：

一元一次不等式一元一次方程

kx+b>0kx+b=a

(y0)(20)

是不等式解集

解

方

程

組

求

兩

條

直

線

的

交

點

y=kjx+bt

y=k2x+bz

（下一步）

L一次函數與一次方程（組）與不等式（組）（下一步）

（1）一次函數值為0時，相應的自變量的值為方程的根；（下一步）

（2）-次函數值大于（或小于）0,相應的自變量的值為不等式的解集；（下一步）

（3）兩直線的交點是兩個一次函數解析式所組成的方程組的解.（下一步）

2.兩直線的交點坐標及一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形面積（下一步）

（1）一次函數與x軸交點坐標：設），=0,求出對應的x值；（下一步）

（2）一次函數與y軸交點坐標：設x=0,求出對應的y值；（下一步）

（3）一次函數與其他函數圖象的交點坐標：解由兩個函數解析式組成的二元方程組,

方程的解即兩函數的交點坐標；（下一步）

（4）直線產氣+6與x軸交點為（--,0）,與y軸交點為（0,力，且這兩個交點與坐

k

標原點構成的三角形面積為s=x|b|=二.（下一步）

2k2網

師：下面我們一起來看兩道例題.

初步性問題

探究類型之一利用函數圖象解解一元一次不等式（組）

例1如圖所示，直線yi=依+〃過點A（0,2）,且與直線”="比交于點P（1,根）,

則不等式組nix>kx+b>mx-2的解集是

解析：

由P（l,/〃）知依+。成立時對應的x>l；（下一步）

將直線yi=mx向下平移2個單位，得到直線>,3=/nr—2,與y軸交于點B,與直

線y交于點C,如圖所示（在原圖上畫出圖形）；（下一步）

過點P作PELy軸于E,過點C作CFLy軸于F（在圖中作出，并突出下列兩

PFApAn

個A型），則借助兩個“A型相似形"得上=竺=絲，易知PE=1,AO=2,A8=4,

CFACAB

12

所以」一=±,所以b=2,即點C的橫坐標為2；（下一步）

CF4

kx+b>mx-2成立時對應的x<2,故不等式組mx>kx+b>mx-2的解集是1<

答案：Kx<2

師：如何求不等式組的解集大家都已經掌握了，那我們就看看如何求下面兩個不等

式，第一個不等式丘+。的解集是？

生：（預設）首先找到兩條直線的交點，根據一次函數和不等式的關系知：可以從直

線y=mx在直線y=kx+b上方的部分找到不等式mx>kx+b的解集.

師：第二個不等式呢？

生：（預設）關鍵是找到兩條直線交點的橫坐標.

師：如何求交點坐標呢？

生：（預設）過點作坐標軸的垂線，借助兩個A型相似形得到交點的橫坐標.

類似性問題

1.已知一次函數y=^+3的圖象如圖所示，則不等式依+3<0的解集是.

求不等式匕+3<0的解集即為求當函數值產"+3小于0時自變量x的取值范圍,

表現(xiàn)在圖象上即為直線y=^+3在無軸下方部分（在圖中變色，如右圖），（下

一步）觀察圖象可知不等式依+3<0的解集為x>1.5.

初步性問題

探究類型之二一次函數與坐標軸圍成的面積

例2如圖所示，直線）=2尤+3與x軸交于點A,與y軸交于點8.

（1）求A,8兩點的坐標；

（2）過8點作直線與x軸交于點P,且使0P=2QA,求的面積.

（1）由x軸上的點縱坐標為0,y軸上的點橫坐標為0,代入直線產2%+3易求

出A,8點的坐標；（下一步）

（2）求出OP的長度，轉化為P點的坐標，注意分P點在原點。兩側兩種情況

來計算△A8P的面積，（畫出兩種情況下的直線BP）（下一步）SzxA8P=SziOBP±SAOBA.

（顏色標出兩個三角形的面積）

答案：

解：（1）令y=0,得0=2x+3,解得x=-2,故點A的坐標為（-士，0）.

22

令x=0,得y=3,故點8的坐標為（0,3）.（下一步）

（2）由（1）可知。4=一，08=3,所以OP=2OA=3.（下一步）

2

1139

SAOBA=-OA-OB=-X-X3=—,

2224

iIo

SAOBP=-OP-OB=-X3X3=-,（下一步）

222

QQQ

若點P在原點。的左側，如圖所不，SMBP=S&OBP~SAOBA=—,（b

244

一步）

9927

若點P在原點O的右側，如圖所不，SAA8P=SAOBP+SAOBA=—+—=—.（F

244

師：如何求直線和坐標軸交點的坐標？

生：（預設）根據交點坐標的特征，與x軸交點的橫坐標為0,與y軸交點的縱坐標

為0.

師：第二問，根據題目條件首先應該畫出圖形，如何求△A8P的面積？

生：（預設）利用面積的割補法求三角形的面積，當點尸在原點。的左側時，

的面積等于兩個面積的差，當點P在原點。的右側時，AABP的面積等于兩個面積

的和.

師：還有別的方法嗎？

生：（預設）直接用面積公式，求出三角形的底和高.

類似性問題

2.已知梯形A3CO的四個頂點的坐標分別為A（-1,0）,B（5,0）,C（2,2）,D

（0,2）,直線y=^+2將梯形分成面積相等的兩部分，則々的值為（）

22八4八2

AA.——Bn.——C.——D.——

3977

y=kx-r23個

解析：\DC

畫出圖形如圖所示（給出圖形），設直線y=^+2______

AO￡'Bx

與x軸交于點E,易知A8=6,CD=2,0D=2,

S梯修（AB+CD）?00=8；（下一步）

2

由“直線），=心+2將梯形分成面積相等的兩部分”可知S“DE=gS|wABCD=4,

所以LAEX2=4,得AE=4,故OE=3,即E（3,0）；（下一步）

一2

2

把點E的坐標代入y=kx+2,得0=3k+2,解得k=~—.

'3

考點28一次函數的應用

師：復習完了一次函數的基本知識，那么我們該如何利用一次函數來解決實際問題

呢？

回顧：

用一次函數模型解決實際生活問題（下一步）

方法：從給定的信息中抽象出一次函數關系，再利用一次函數的圖象和性質求解，

一般需要求出自變量的取值范圍.（下一步）

常見類型：（1）求一次函數的解析式；

（2）利用一次函數圖象與性質解決某些問題，如最大（最小）值問題等.

師：下面我們就一起來看一下利用一次函數模型可以解決哪些實際問題.

初步性問題

探究類型之一利用一次函數進行方案選擇

例1某通訊公司推出①、②兩種通訊收費方式供用戶選擇，其中一種有月租費，

另一種無月租費，且兩種收費方式的通訊時間x（分鐘）與收費y（元）之間的函數

關系如圖所示.伊元）

o\100200300400500分鐘）

（1）有月租費的收費方式是一（填①或②），月租費是____元；

（2）分別求出①、②兩種收費方式中y與自變量x之間的函數關系式；

（3）請你根據用戶通訊時間的多少，給出經濟實惠的選擇建議.

解析：

（1）當x=0,y=30,即表示有月租30元；（F一步）

（2）設①收費方式中函數解析式為“產立什30,②收費方式中函數解析式為y

元=%?,用待定系數法求解；（下一步）

（3）y〃=y尤時，即選擇收費方式①、②一樣實惠，再討論不等關系.

注：根據圖像得到實際問題中的有用信息，如下圖，直接列算式計算：

費用方案①方案②

月租費（元）300

單價（元/分鐘）(80-30)4-500=0.11004-500=0.2

設通話時間為X分鐘，費用為y元，根據收費標準得：

方案①：y=30+0.lx；

方案②：y=0.2x.

答案：

解：（1）①；30（直接填在橫線上）（下一步）

（2）設①收費方式中函數解析式為y〃=%ix+3O,把（500,80）代入，

得80=500M+30,解得力=-L,所以y『J-x+30.

1010

設②收費方式中函數解析式為產元=以，把（500,100）代入，

得100=50022,解得女2=（,所以y尤=（x.（下一步）

（3）令尤，BP—x+30=-x,解得x=300.

105

觀察函數圖象可知：當用戶通訊時間小于300分鐘時，選擇②收費方式比較

經濟實惠；當用戶通訊時間大于300分鐘時，選擇①收費方式比較經濟實惠；

當用戶通訊時間等于300分鐘時，選擇兩種收費方式一樣.

師：橫軸表示時間，縱軸表示費用，如何求兩種方案下函數關系式呢？

生：（預設）待定系數法求函數解析式.

師：還有別的方法嗎？

生：（預設）根據圖像求出兩種方案下每分鐘的花費，然后再根據實際意義求解析式.

師：如何判斷哪個方案更優(yōu)惠？

生：（預設）關鍵是找到兩條直線的交點，交點就是分界點.

師：（1）方案比較問題，一般都有兩個一次函數式，且隨著自變量取值的不同，其

函數值也不同.利用它們的這種變化過程，找到界點，便可加以比較.

（2）銷售或調運問題，數據較多，通過列表分析，使數量關系清晰明朗，易得函數

表達式，再根據實際問題有意義的條件確定自變量的取值范圍，利用一次函數的性

質可求其最值來解決實際問題最值問題.

類似性問題

1.甲、乙兩人沿相同的路線由A地到8地勻速前進，A,8兩地間的路程為20千米,

他們前進的路程為s（單位：千米），甲出發(fā)后的時間為r（單位：小時），甲、乙前

進的路程與時間的函數圖象如圖所示.根據圖象信息，下列說法正確的是（）

A.甲的速度是4千米/時$/千米t

B.乙的速度是10千米/時\

C.乙比甲晚出發(fā)1小時'

D.甲比乙晚到B地3小時；34）小時

解析：

觀察圖象可知：乙比甲晚出發(fā)1小時，早到達4-2=2（小時）；（下一步）

甲從A地到8地，共用了4小時，故速度為20y=5（千米/時）；乙從A地到8

地，共用了1小時，故速度為20千米/時.

初步性問題

探究類型之二利用一次函數進行資源收費

例2今年我省部分地區(qū)遭遇嚴重干旱，為鼓勵市民節(jié)約用水，我市自來水公司

（2）按上述分段收費標準，小聰家三、四月份分別交水費29元和19.8元，問四月

份比三月份節(jié)約用水多少噸？

解析：

分別表示出當0%口0和x>10時所對應的的函數解析式；（下一步）

（1）當x=7時，求出對應的），值即可；（下一步）

（2）當y=29時對應的尤>10,當y=19.8時對應的grWO,分別代入對應的函數

解析式求出x的值，然后作差即可.

注：根據圖像得到實際問題中的有用信息，如下圖，直接列算式計算:

用水量（噸）水費（元/噸）

用水量不超過10噸的部分224-10=2.2

用水量超過10噸的部分(57-22)4-(20-10)=3.5

設用水量為九噸，水費為y元，根據收費標準得:

當0夕00時，y=2.2x；

當x>10時，y=3.5x-（3.5-2.2）X10=3.5x-l3.

（或y=2.2X10+3.5（尸10）=3.5xT3.）

用水7噸需交的水費是:2.2X7=15.4（元），

當三月份水費為29元時，用水量為：10+（29-22）+3.5=12（噸）,

當四月份水費為19.8元時，用水量為：19.8+2.2=9（噸）.

答案:

解：當grglO時，設產qx,把（10,22）代入，

得22=10心，解得h=2.2,所以y=2.2x.（下一步）

當x>10時，設產&2X+4把（10,22）和（20,57）代入,

22=1O&+加解得,3=3.5,

得所以y=3.5x-13.

57—20k-,+b,b=—13,

2.2x(O<x<10)

所以y=,（下一步）

3.5x-13(%>10)

(1)當x=7時，y=2.2X7=15.4,即應交水費15.4元.（下一步）

(2)當y=29時，x>10,故29=3.5xT3,解得x=12.

當y=19.8時,0勺00,故19.8=2.2x,解得x=9.

12-9=3（噸）,即四月份比三月份節(jié)約用水3噸.

師：首先明確橫軸縱軸的意義？

生：（預設）橫軸表示用水量，縱軸表示水費.

師：當用水量超過10噸后，直線上揚，說明什么？

生：（預設）水價提高.

師：我們如何求水費和用水量之間的函數關系式呢？

生：（預設）待定系數法.

師：還有別的方法嗎？

生：（預設）求出水的單價，根據實際意義求函數解析式.

師：解有關分段函數問題，要善于利用圖象發(fā)現(xiàn)有用的信息，再利用待定系數法求

解.數形結合是解決這類問題最重要的數學思想.

類似性問題

2.今年，號稱“千湖之省”的湖北正遭受大旱，為提高學生環(huán)保意識，節(jié)約用水，

某校數學教師編造了一道應用題：

為了保護水資源，某市制定一套節(jié)水的管理措施，其中對居民生活用水收費作如下

規(guī)定：

月用水量（噸）單價（元/噸）

不大于10噸部分1.5

大于10噸不大于m噸部分（20勺?W50）2

大于m噸部分3

（1）若某用戶六月份用水量為18噸，求其應繳納的水費；

（2）記該用戶六月份用水量為x噸，繳納水費y元，試列出y關于x的函數式；

（3）若該用戶六月份用水量為40噸，繳納水費y元的取值范圍為70gs90,試求〃?

的取值范圍.

解析：

（1）用水18噸交費時包括兩部分：10噸以內和超過10噸部分；（下一步）

（2）利用水費的不同階段的收費標準列出函數關系式即可；（下一步）

（3）用40代替（2）中求得的函數解析式中的x,利用繳納水費y元的取值范

圍為709mo得到有關機的不等式組，解得即可，要注意分406W50和

20sM<40兩種情況討論.

答案：

【類似性問題】

考點23

1.A

2.B

3.B

考點24

1.D

2.B

考點25

1.D

2.-；k<Q

2

3.解：(1)將點M,N的坐標代入>=區(qū)+6得1'解得1'

k+b=3,[b=2;

(2)由(1)可知y=x+2,把點A的坐標代入得a+2=0,即a=-2.

考點26

(1)y=-2x~3

(2)y=~2x-7

考點27

1.x>l.5

2.A

考點28

1.C

2.解：(1)?.T8<m,.?.此時前面10噸每噸收1.5元，后面8噸每噸收2元,

則應繳納的水費為10X1.5+(18-10)X2=31(元).