3．1橢圓3．1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))2．掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))3．理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題．(難點(diǎn))

1．通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓焦點(diǎn)三角形的有關(guān)問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助軌跡方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理及直觀想象素養(yǎng).必備知識(shí)?探新知

橢圓的定義知識(shí)點(diǎn)11.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于_______(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2．焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3．焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝_______(常數(shù))且2a_____|F1F2|.常數(shù)2a>做一做：(多選題)下列說法中，不正確的是(

)A．到點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡是橢圓B．到點(diǎn)M(0，－3)，N(0,3)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C．到點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓D．到點(diǎn)M(0，－3)，N(0,3)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓[解析]

選項(xiàng)A中所求點(diǎn)的軌跡不存在，選項(xiàng)B中所求點(diǎn)的軌跡是線段MN，選項(xiàng)C由橢圓的定義知，C選項(xiàng)說法正確，選項(xiàng)D中所求點(diǎn)的軌跡是線段MN的垂直平分線.ABD求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)2F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)b2＝a2－c2思考：能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判定焦點(diǎn)位置？提示：能．橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含y2項(xiàng)的分母較大．[解析]

因?yàn)?69>25，所以焦點(diǎn)在y軸上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－12)和(0,12)．y(0，－12)和(0,12)2．焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，且經(jīng)過點(diǎn)P(6,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________.關(guān)鍵能力?攻重難1．根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；題型探究題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[分析]

(1)設(shè)出焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)條件求出a，b的值，即可求得方程；(2)設(shè)出焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)條件求出a，b的值，即可求得方程；(3)焦點(diǎn)位置不確定，可以分兩種情況分別求解，也可直接設(shè)所求橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．[規(guī)律方法]

1.定義法求橢圓方程利用定義，直接求出a，c，再求出b后根據(jù)焦點(diǎn)的位置寫出橢圓的方程．2．待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，還是在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能．(2)設(shè)方程：②在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè)mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．(3)找關(guān)系：依據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b或m，n的方程組．(4)得方程：解方程組，將a，b或m，n代入所設(shè)方程即為所求．提醒：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程首先要關(guān)注焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)位置不同橢圓的方程不同．

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?題型二橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題[分析]

(1)由|PF1|＋|PF2|是定值，求|PF1|·|PF2|的最大值，可考慮用基本不等式；(2)求焦點(diǎn)三角形的面積，可考慮用定義|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|，再考慮用三角形面積公式求面積．[規(guī)律方法]

焦點(diǎn)三角形的常用公式(1)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L＝2a＋2c.(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cosθ.(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓M上，且△PF1F2的面積為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?題型三定義法求軌跡方程3．一動(dòng)圓過定點(diǎn)A(2,0)，且與定圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．[解析]

將定圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x＋2)2＋y2＝62，這時(shí)，已知圓的圓心坐標(biāo)為B(－2,0)，半徑為6，如圖所示，設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，由于動(dòng)圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為C.∴已知圓(大圓)半徑與動(dòng)圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，根據(jù)橢圓的定義知M的軌跡是以點(diǎn)B(－2,0)和點(diǎn)A(2,0)為焦點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)O(0,0)為中心的橢圓．[規(guī)律方法]

觀察幾何圖形，根據(jù)幾何圖形的直觀性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾何屬性，由曲線的定義直接得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程．注意要檢驗(yàn)是否有要?jiǎng)h除的點(diǎn)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?課堂檢測(cè)?固雙基1．設(shè)F1，F(xiàn)2為定點(diǎn)，|F1F2|＝6，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝10，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(

)A．橢圓 B．直線

C．圓 D．線段[解析]

∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由橢圓定義，動(dòng)點(diǎn)M軌跡為橢圓．AA．2 B．4C．6 D．8[解析]

由橢圓定義知|