專題41數(shù)列通項【學問點總結(jié)】一、視察法依據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過視察法歸納出其數(shù)列通項.二、利用遞推公式求通項公式=1\*GB3①疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得=2\*GB3②疊乘法：形如的解析式，可用遞推多式相乘求得=3\*GB3③構(gòu)造幫助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數(shù)列構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項公式.常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法和同除以指數(shù)法.④利用與的關(guān)系求解形如的關(guān)系，求其通項公式，可依據(jù)，求出【典型例題】例1．（2024·遼寧阜新·?？寄M預料）數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為所以，，所以.故選：A.例2．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列的前4項為：，則它的一個通項公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將可以寫成，所以的通項公式為；故選:C例3．（2024·高三課時練習）在數(shù)列中，若，，則的通項公式為______．【答案】【解析】由題意可知數(shù)列中，，，故，所以，故答案為：例4．（2024·高三課時練習）在數(shù)列中，若，，則的通項公式為______．【答案】【解析】由題意知，故，故，故答案為：例5．（2024秋·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級中學?？计谀┰跀?shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為______.【答案】【解析】因為，所以，所以，，，……，，，所以，所以，因為，所以符號該式，故答案為：例6．（2024·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列，則的通項公式為______．【答案】【解析】∵，∴，∴，又∵是公差為的等差數(shù)列，∴，∴，∴當時，，∴，整理得：，，∴，明顯對于也成立，∴的通項公式.故答案為：.例7．（2024秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿意，若，則__________．【答案】【解析】法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.法二：由題得，則等式兩邊同取倒數(shù)得，則，，則數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，則，當，則，則，故答案為：.例8．（2024·高三課時練習）在數(shù)列中，已知，，則的通項公式為______．【答案】【解析】由，兩邊取倒數(shù)得，即，又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，故，故答案為：例9．（2024·全國·高三專題練習）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項公式an＝________.【答案】【解析】由，得.令，則，且.所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴，∴.故答案為：例10．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為.求數(shù)列的通項公式；【解析】因為，明顯，所以，當時，由累乘法得，則，又，所以，所以當時，，時，也符合，所以.例11．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項公式.【解析】因為①，所以當時，可知，則，當時，可知②，①②得，即，所以，又滿意，所以數(shù)列的通項公式為.例12．（2024·高三課時練習）（1）已知數(shù)列滿意，求；（2）已知數(shù)列的前n項和為，若，，且，求．【解析】（1）設(shè)，當n＝1時，；當時，，得，而，也滿意此等式．所以．（2）當n＝1時，，即，解得或，因為，所以．當時，，整理得，由，則，得，于是數(shù)列是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以．例13．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為．求數(shù)列的通項公式；【解析】由，當時，，解得，當時，，，即，可得，即，因此數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，首項，可得，所以數(shù)列的通項公式．【技能提升訓練】一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿意，，則的通項為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，則當時，，將個式子相加可得，因為，則，當時，符合題意，所以.故選：D.2．（2024春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）數(shù)列，，，，的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】數(shù)列，，，，，所以第項為，所以通項公式為，故A、B、C錯誤，D正確.故選：D3．（2024秋·浙江臺州·高二期末）已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（

）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】A【解析】因為，所以，又是等差數(shù)列，故首項為3，公差為2，所以，所以．故選：A.4．（2024·全國·高二專題練習）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，故選：A5．（2024秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿意，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，當時，，當時，，時，也適合此式，∴，,故選:B.6．（2024秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期末）等比數(shù)列的前n項和，則（

）A．-2 B． C．0 D．【答案】C【解析】，當時，，當時，，故，當時，，從而，由于是等比數(shù)列，故，解得，故．故選：C．7．（2024春·江西宜春·高二江西省銅鼓中學?？茧A段練習）數(shù)列的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，可用來實現(xiàn)，而各項分母可看作，各項分子均為1，∴該數(shù)列的通項公式為.故選：D.8．（2024秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿意，，則該數(shù)列的第5項為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，，，，故選：B9．（2024春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學考試）已知數(shù)列的前項和，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因為數(shù)列的前項和，所以.故選：B10．（2024秋·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學校考期末）已知，，則數(shù)列的通項公式是（）A．n B． C．2n D．【答案】C【解析】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，因為，所以，故選：C．11．（2024秋·重慶大渡口·高二重慶市第三十七中學校?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項和，滿意，則＝（）A．72 B．96 C．108 D．126【答案】B【解析】當時，，解得：，由題意可得，①當時，，②①﹣②得，，即，故數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，故.故選：B.12．（2024·全國·高二專題練習）記為數(shù)列的前n項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，當時，，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故選：A.13．（2024·全國·高二專題練習）已知數(shù)列滿意，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，上述各式相乘得，因為，所以，經(jīng)檢驗，滿意，所以.故選：D.二、多選題14．（2024·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學?？寄M預料）設(shè)是數(shù)列的前n項和，且，，則（

）A．B．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列C．數(shù)列的前5項和最大D．【答案】AC【解析】，，或(舍)，故選項A正確；又，，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項B錯誤；由得，，數(shù)列的前5項和最大，故選項C正確；當時，，這與沖突，故選項D錯誤，故選:AC.15．（2024·全國·高二專題練習）已知數(shù)列和滿意，，，．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．數(shù)列為等比數(shù)列B．數(shù)列為等差數(shù)列C．D．【答案】BCD【解析】對A，，即，，故數(shù)列為首項為1，公比為3的等比數(shù)列，A對；對BC，，即，即，故數(shù)列為首項為，公比為2的等比數(shù)列，故，故，故數(shù)列不為等差數(shù)列，，BC錯；對D，由A得，又，兩式相加得，即，D錯.故選：BCD16．（2024秋·江蘇南京·高二南京高校附屬中學?？计谀┰O(shè)數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．的前項和為【答案】ACD【解析】由已知，當時，可得選項A，，可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；選項B，由選項A可得解得，故B錯誤；選項C，數(shù)列是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以，故C正確；選項D，因為，故D正確.故選：ACD.17．（2024春·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．是遞減數(shù)列 B．C． D．當最小時，【答案】BCD【解析】，當時，；當時，留意到時也滿意，所以數(shù)列的通項公式為，，，是遞增數(shù)列，A選項錯誤；，B選項正確；，C選項正確；，，當最小時，，D選項正確.故選：BCD.三、填空題18．（2024·高三課時練習）在數(shù)列中，若，，則的通項公式為______．【答案】【解析】由題意知，故，故，故答案為：19．（2024·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知，則的通項公式為______.【答案】【解析】由已知可得，且，，當時，由得,由于為數(shù)列的前項積，所以，，所以，又因為，所以，即，其中，所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列，所以，，當時，，當時，，明顯對于不成立，所以，故答案為：20．（2024春·上海閔行·高二上海市七寶中學校考開學考試）數(shù)列的前項和，則___________.【答案】8【解析】，，.故答案為：8.21．（2024春·河南焦作·高二溫縣第一高級中學校考階段練習）已知數(shù)列的前n項和滿意，且，則______.【答案】【解析】因為，當時，，，解得．當時，，與兩式相減得，即，化簡得：，所以時，是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，又不符合上式，故，故答案為：22．（2024秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項公式_________.【答案】【解析】因為，所以，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故答案為：23．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為______.【答案】【解析】當時，解得，不滿意，所以，同理，由可得，當時，，所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，，所以.故答案為：.24．（2024·高二課時練習）數(shù)列，，，，…的一個通項公式是______．【答案】【解析】因為，所以一個通項公式可以是，故答案為：四、解答題25．（2024·湖南·模擬預料）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿意，．(1)求數(shù)列的通項公式及前n項和；(2)設(shè)數(shù)列滿意，．求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）由，可得，兩式相減可得：，化簡可得，由正項數(shù)列知，所以，又，解得，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，由可得.（2）由（1）知，所以，所以，，，，由累加法可得，，所以.26．（2024·安徽·統(tǒng)考一模）已知在遞增數(shù)列中，為函數(shù)的兩個零點，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.【解析】（1）函數(shù)的零點為3，8，而數(shù)列遞增，則，，因此數(shù)列是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，當時，，而也滿意上式，所以數(shù)列的通項公式是.（2）證明：由（1）得，因此，而，所以.27．（2024·全國·高二專題練習）已知滿意，（是正整數(shù)），求．【解析】因為，所以，則，所以當時，則，，，，，，，將上述式子相加可得：，因為，所以，又符合上式，故數(shù)列的通項公式.28．（2024·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，其前項和滿意求數(shù)列的通項公式；【解析】，時有，則時有可得，即，所以，得，即，經(jīng)檢驗滿意上式子，故29．（2024春·安徽·高二安徽師范高校附屬中學校考階段練習）已知數(shù)列前n項和，滿意．(1)求出，；(2)求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）因為，令，可得，令，可得，解得.（2）因為，則當時，，且由（1）知，所以30．（2024春·湖南岳陽·高二校聯(lián)考階段練習）若數(shù)列的前項和為，且滿意(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）由已知可得．故，.（2）由題得當時,，上面兩式相減得整理得：，于是當時相減得由（1），此關(guān)系式對于也成立所以．31．（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）當時，，解得．當時，，則，即，從而是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，且當時，也滿意，所以故．（2）由（1）可得，則，故．32．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預料）已知與都是正項數(shù)列，的前項和為，，且滿意，等比數(shù)列滿意，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求滿意不等式的自然數(shù)n的最小值．【解析】（1）∵，∴兩式相減得：化簡得：∵為正項數(shù)列，且∴，，即為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴又∵，，為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，∴，解得或，而為正項數(shù)列，故，.綜上，數(shù)列，的通項公式分別為.（2）記，的前項和分別為由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式可知∴易知，作差可得：即當時，單調(diào)遞增，當時，，當時，∴的最小值為8.故滿意不等式的自然數(shù)的最小值為8.33．（2024春·福建·高二福建師大附中?？奸_學考試）已知數(shù)列中，，前項和.(1)求，，及的通項公式；(2)證明：.【解析】（1）對于，則有：令，則，解得；令，則，解得；當時，則，整理得，則；留意到也滿意上式，故.（2）由（1）可得，則，∵當時，恒成立，故.34．（2024春·新疆烏魯木齊·高二烏市一中校考開學考試）已知數(shù)列滿意，數(shù)列滿意.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）依題意，數(shù)列滿意，則，所以，也符合上式，所以.數(shù)列滿意，當時，，，當時，由，得，兩式相減得，，也符合上式，所以.（2）由（1）得，所以，，兩式相減得，所以.35．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．(1)求，；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）由，且，當時，，得，當時，，得；（2）對于①，當時，②，①②得，即，，又，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；（3）由（2）得，，當時，，又時，，不符合，.36．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）當時，，解得.當時，由，得，兩式相減得，即，利用累乘可得，即，因為，所以；所以的通項公式為.（2）由（1）可知，裂項可得，則.所以數(shù)列的前項和37．（2024春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項和為，且滿意.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項公式及.【解析】（1）依題意，，則，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以.38．（2024·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預料）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，當時，，兩式相減得，即，所以數(shù)列為常數(shù)列，且，所以；（2）由（1）得，所以，所以.39．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿意，數(shù)列滿意.求數(shù)列的通項公式；【解析】由得，作差得，即，即，即，所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，，所以.數(shù)列滿意①，當時，;當時，②，由①-②可得，當時，也符合上式，故數(shù)列的通項公式為.40．（2024·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，已知前n項和為，