四、計(jì)算題

I.求下圖所示三角波調(diào)幅信號(hào)的頻譜。(已知圖中所示三角波的傅立葉變換為

解:

圖中所示調(diào)幅波是三角波與載波COSW卡的乘積。兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的乘積，對應(yīng)其在

頻域中的卷積。

余弦信號(hào)頻譜為《俗(/+工))+3{f-Z,)J

三角波頻譜為：一sin，2

2

則信號(hào)的頻譜為：

F(f)=jsin。2(苧)彳廨(/+4)+//-/)]

r.2^(/+fo)-2T(f

=-[sinc——~幺上+sinc—?！獈一九)、

422

2.求被截?cái)嗟恼液瘮?shù)sin。(/的傅立葉變換。

sincoat,|r|<T

x(f)=<

0\t\>T

解

原函數(shù)x⑺可看作是正弦函數(shù)Xo?)=sin6V和矩形窗函數(shù)w(t)的乘積，即

x(f)=X。⑺，以，),其中

又X。3)="同0+g)-5(0-g)]

W((y)=「w(/)eT"力

J—00

=e-jMdt

jaTjtoT

_e--e

-jco

=2Tsinc(coT)

X((y)=Xxo(<y)*WZ(6y)

2萬

=—?"忸(0+g)-2Tsinc(a)T)

2"

=jT[sinc{co+co^T-sinc(fi)-CD^T]

3.求被截?cái)嗟挠嘞液瘮?shù)cosg，如下，求其傅立葉變換。(9分)

[cos^\t\<T

I。M>T

解：

原函數(shù)x(f)可看作是余弦函數(shù)Xo?)=cosgf和矩形窗函數(shù)卬⑺的乘積，即

x(?)=X。(/)?w(t),其中

fl,,<T

w(t)=\

[0\t\>T

又Xo(69)="b(G+Go)+S(69-g)]

w⑼=「w(t)e-j(0,dt

J—00

=，<加dt

e-jMr

一加一T

e-i<?T_ej(oT

-jco

=2Tsinc(a)T)

X((y)=，Xo3)*W((y)

=---7i\8(g+)+5(G—怒)[*2Tsinc(a)T)

2萬

=TfsinC(G+d>0)T+sinc(co-)T]

4.求指數(shù)函數(shù)%(0=465(。>0/20)的頻譜。

解：

X(f)=Tx(t)e-j2^dt

J—00

=VAe-a,e-i2r!f'dt

Jo

=rAe-(a,+J2^dt

Jo

00

_4_____!_____

-(a+j27if)0

=A1

a+j24f

4.求正弦信號(hào)x（r）=x0sinQx+cp）的均值人和均方值/。

解：

1rT

lim—x(t)dt

T->ooTJO

1rT.

=彳Jox。sin(&+(p)dt

=0

〃：=lim—[x2(t)dt

R*TTOO7JO

1.r2.2

=-J。x0sin(cot+(p)dt

和[1-cos（2次+2夕）卜，

玉)

~2

5.求衰減振蕩信號(hào)x（，）=e-"cosG（J,。＞0」之0的頻譜。

al

解：設(shè)內(nèi)（。=e~,x2（r）=cos①0￡

Jo

1

a+j2兀于

X2（/）=g［演/+4）+以/—4）］

X（/）=X,（/）*X2（/）

=一/j）］

a+jl7vf2

111

——［-------------1--------------］

2a+j2^f+f0）a+j2^f-f0）

6.一時(shí)間函數(shù)/⑺及其頻譜函數(shù)尸3）如圖1-2所示，其最高頻率為例,,。函數(shù)

x（/）=/（f）.cosgr,（%>雙“），試分別作出工⑺及其頻譜函數(shù)X（。）的圖形。分析當(dāng)

g<%時(shí)，X（。）的圖形會(huì)出現(xiàn)什么情況？

▲▲

0t一%

解：X。）相當(dāng)于信號(hào)/⑺與COSQ"的調(diào)幅信號(hào)，其時(shí)域與頻域結(jié)果如下圖所示:

(b)

圖中，(a)為調(diào)幅信號(hào)波形圖，圖(b)為調(diào)幅信號(hào)頻譜圖。當(dāng)他)<@“時(shí)，兩邊圖形將在

中間位置處發(fā)生混疊，導(dǎo)致失真。

7,圖1-3所示信號(hào)a(t)及其頻譜A(f)。試求函數(shù)/?)=0?)?(1+cos24玲。的傅氏變換

F(f)并畫出其圖形。

_,T/a)=a(f>(l+cos2)//)

解：由于八，

=a(t)+?cos2萬f()t

并且FT[a(t)]=A(f),

FT[cos(2/朗=(/+%)+5(/-A)]

F⑺=A(f)+A(/)*1^(/+4)+J(/-工))]

所以11

=A(7)+-A(/+^)+-A(/-4)

/(/)的頻譜圖如下圖所示:

第二章

一三、名詞解釋

1.分辨力

引起測量裝置的輸出值產(chǎn)生一個(gè)可覺察變化的最小輸入量(被測量)變化值稱為分辨力。

2.靈敏度

當(dāng)裝置的輸入x有增量Ax變化時(shí)，相應(yīng)的輸出y有增量Ay變化，把Ay與Ax的比值

定義為靈敏度。

3.線性度

實(shí)際特性曲線與參考直線偏離的程度稱為線性度。

四、計(jì)算題

1.求周期信號(hào)x?)=2cos(1000-45°)通過傳遞函數(shù)為H(s)=一^工的裝置后所得

0.05s+1

到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

解：

、0.005s

,/H(s)=---------

0.005.V+1

TCD

A(M

夕⑷=arctan(——)

TO)

0.005x1000

A(100Q=a0.98;

71+(O.OO5xlOOQ2

0(1000)=arctan(0.005x1000)?11.31°

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

y(t)=2x0.98cos(l000-45°+11.31°)

=0.96coscos(l000-33.69°)

2.某一階測量裝置的傳遞函數(shù)為一!—,若用這一測量裝置測量頻率為2Hz的正弦信

0.04s+1

號(hào)，試求其幅度誤差.

解：

0.04s+1

4/)=j1,

_________I

42)=

J+(0.04x2萬x2)2

=0.894

其幅度誤差（1-0.894）xl00%=10.6%。

3.用一個(gè)一階測量裝置測量100Hz的正弦信號(hào)，如果要求振幅的測量誤差小于5%,問：

此儀器的時(shí)間常數(shù)應(yīng)不大于多少？（7分）

解：

（1分）

，4/）=1，-（1分）

戊+（工2兀f￥

A（100）=,1）1-5%（2分）

J1+（TX2IX100）2

r<5.23x10^*5（3分）

4.試求傳遞函數(shù)為———和~史幺——的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后組成的系統(tǒng)的傳遞函

3.5s+0.5s+\Aa>ns+

數(shù)及系統(tǒng)總的靈敏度。

解：

當(dāng)兩環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)為：

”(5)=口(力也(5)

1.54/

=--------------------------

3.5s+0.5s~+L469“S+co~

_________12%；________

2

(7s+1)(5+1A(OnS+①;)

求當(dāng)S=0時(shí)的兩傳遞函數(shù)之值

L5」.(J;,4I-,

3.5s+0.5s=°?'Y+1.44s+戊s=0

兩環(huán)節(jié)串聯(lián)后系統(tǒng)的總靈敏度為

S=3.0x41=123

5.用圖示裝置去測周期為Is,2s,5s的正弦信號(hào)，問幅值誤差是多少？（R=350Ks,C=1MF）

uKt)UoCt)

R

解：根據(jù)基爾霍夫定律

因?yàn)?⑺=[「《)必+用⑺

并且〃。⑺=&⑺，迨)=乜黑

R

所以有%(f)="o⑺+《J"；，df

兩邊拉氏變換后得

U,(s)=U,,G)+察

RCs

Md-=2

4(s)j11l+RCs

RCs

這是一個(gè)高通濾波器，當(dāng)工=RC=350x103x10'=0.35時(shí)

0.35s

”(s)

0.355+1

./0.35。

H(JCD)

川.35。+1

聞網(wǎng)=4杵加藍(lán)+i

幅值相對誤差：廠=紜一1=1一一J=[l—A(o)]xl00%

X"X"

式中X?！斎胄盘?hào)幅值;

Yn——輸出信號(hào)幅值。

當(dāng)T=2s時(shí)，(ox—2乃f—2萬x"=2萬,4q)=0.91,{-9%

當(dāng)T=ls時(shí)，co2=TV,A(692)=0.74,r2=26%

2

當(dāng)T=5s時(shí)，叫=飛冗、A（電）=0.4,r3=60%

三、名詞解釋

1.一塊金屬板置于一只線圈附近，相互間距為6,當(dāng)線圈中有一高頻交變電流，’通過時(shí)，

便產(chǎn)生磁通“。此交變磁通通過鄰近金屬板，金屬板表層上產(chǎn)生感應(yīng)電流即渦電流，渦

電流產(chǎn)生的磁場會(huì)影響原線圈的磁通，使線圈的阻抗發(fā)送變化，這種現(xiàn)象稱為渦流效應(yīng)。

2.某些物質(zhì)在受到外力作用時(shí)，不僅幾何尺寸發(fā)生變化，而且內(nèi)部極化，表面上有電荷出

現(xiàn)，出現(xiàn)電場，當(dāng)外力去除后，有重新恢復(fù)到原來狀態(tài)，這種現(xiàn)象成為壓電效應(yīng)。

3.金屬材料在發(fā)生機(jī)械變形時(shí)，其阻值發(fā)生變化的現(xiàn)象成為電阻應(yīng)變效應(yīng)。

4.將霍爾元件置于磁場中，當(dāng)相對的兩端通上電流時(shí)，在另相對的兩端將出現(xiàn)電位差，稱

為霍爾電勢，此現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。

5.當(dāng)激光照射到運(yùn)動(dòng)物體時(shí)，被物體反射或散射的光頻率即多普勒頻率發(fā)生變化，且多普

勒頻率與物體運(yùn)動(dòng)速度成比例，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。

6.某些半導(dǎo)體元件，當(dāng)在相對的兩端通上電流時(shí)，將引起沿電流方向電阻的變化，此現(xiàn)象

稱為磁阻效應(yīng)。

7.傳感器是直接作用于被測量，并能按一定規(guī)律將被測量轉(zhuǎn)換成同種或別種量值輸出的器

件。

8.半導(dǎo)體材料受到光照時(shí)，電阻值減小的現(xiàn)象稱為內(nèi)光電效應(yīng)。

9.壓阻效應(yīng)是指單晶半導(dǎo)體材料在沿某一軸向受到外力作用時(shí)，其電阻率發(fā)生變化的現(xiàn)

象。

10.在光照作用下，物體內(nèi)的電子從物體表面逸出的現(xiàn)象稱為外光電效應(yīng)。

II.在光的照射下使物體產(chǎn)生一定方向電動(dòng)勢的現(xiàn)象稱為光生伏打效應(yīng)。

四、計(jì)算題

1.把靈敏度為404X10-6PC/Pa的壓電力傳感器與一臺(tái)靈敏度調(diào)到0.226mV/PC的電荷放

大器相接，求其總靈敏度。

解：

S=404X106PC/PaxO.226mV/PC

=9.13x10-5mv/Pa

2.進(jìn)行某次動(dòng)態(tài)壓力測量時(shí)，所采用的壓電式力傳感器的靈敏度為90.9nC/MPa,將它與增

益為0.005V/nC的電荷放大器相連，而電荷放大器的輸出接到一臺(tái)記錄儀上，記錄儀的靈敏

度為20mm/V。當(dāng)壓力變化為3.5MPa時(shí)，記錄筆在記錄紙上的偏移量是多少。

解：

S=90.9x0.005x20mm/MPa

=9.09mm/MPa

記錄筆在記錄紙上的偏移量9.09x3.5mm=31.82mm

3.一電容測微儀，其傳感器的圓形極板的半徑r=4mm,工作初始間隙a=0.3帆加，空氣

介質(zhì)，試求：(已知空氣介電常數(shù)￡=8.85x1()12/7/m)

(1)通過測量得到的電容變化量為AC=±3x10-3,則傳感器與工件之間由初始間隙變

化的距離A6=?

(2)如果測量電路的放大倍數(shù)4=100V/p/,讀數(shù)儀表的靈敏度、2=5格/mV,則此

時(shí)儀表指示值變化多少格？

解：(1),極距變化型電容傳感器靈敏度為：

_AC_￡(A

3c---------()-

△382

則

c2

A5=-

￡asA

(0.3x10-3)2X^3x10-3x10-12)

8.85xl0-12xlx^x0.0042

=±0.6l(/zm)

(2)設(shè)讀數(shù)儀表指示值變化格數(shù)為m,則

3

m=Sl-S2-AC=100x5x(±3xl0-)=±1.5(格)

4.有一鋼板，原長/=1機(jī)，鋼板彈性模量E=2x10”產(chǎn)〃，使用BP-3箔式應(yīng)變片R=120C,

靈敏度系數(shù)S=2,測出的拉伸應(yīng)變值為300限。求：鋼板伸長量△/,應(yīng)力GAH/R及兇。

如果要測出1.應(yīng)變值則相應(yīng)的AR/R是多少？

解：因?yàn)椤?〃=￡,則有

△/=/.￡=1X300X10-6=3X10-4(m)=03(；?m)

cr=￡-E=300xl0-6x2xl011=6xlO7(Pa)

竺=S-￡=2x300x1()6=6xl(T*

R

A/?=/?Sf=120x6xl0-4=7.2xl0-2(Q)

如果要測出1.應(yīng)變值，則

竺=S￡=2xlxl()6=2xlOY

R

三、名詞解釋

1.調(diào)制

調(diào)制是指利用被測緩變信號(hào)來控制或改變高頻振蕩波的某個(gè)參數(shù)(幅值、頻率或相位),

使其按被測信號(hào)的規(guī)律變化，以利于信號(hào)的放大與傳輸。

2.截止頻率

輸出幅值衰減為原信號(hào)幅值的0.707時(shí)所對應(yīng)的頻率稱為截止頻率。由于

201go.707=-3dB,故截止頻率又稱為-3dB點(diǎn)。

4.解調(diào)

是指從已調(diào)制信號(hào)中恢復(fù)出原低頻調(diào)制信號(hào)的過程。

四、計(jì)算題

1.以阻值R=120。，靈敏度S=2的電阻應(yīng)變片與阻值R=120。的固定電阻組成的電橋，供

橋電壓為3V,并假定負(fù)載為無窮大，當(dāng)應(yīng)變片的應(yīng)變值為2四和2000回時(shí);分別求出單臂、

雙臂電橋的輸出電壓，并比較兩種情況下的電橋的靈敏度。(M￡：微應(yīng)變，即10?)

解

(1)單臂電橋輸出電壓。

①當(dāng)應(yīng)變片為2“時(shí)，

1\R

u=-------U-

°4R'

S?￡-U.

4'

=-X2X2X10-6X3=3X10^(V)

②當(dāng)應(yīng)變值為2000四時(shí)的輸出電壓為

63

Mo=lx2x2000xl0-x3=3xl0-(V)

(2)雙臂電橋輸出電壓。

①當(dāng)應(yīng)變片為2四時(shí)，

1AR

u=---u.

=1X2X2X10-6X3=6X10-6(V)

②當(dāng)應(yīng)變值為2000四時(shí)的輸出電壓為

-(,-3

MO=1X2X2000X10X3=6X10(V)

(3)雙臂電橋比單臂電橋的電壓輸出靈敏度提高一倍。

2.用電阻應(yīng)變片接成全橋，測量某一構(gòu)件的應(yīng)變，已知其變化規(guī)律為：

￡(0=AcoslOr+jBcoslOOr如果電橋的激勵(lì)電壓%=U-sinlOOOO/,試求此電橋的輸出

信號(hào)頻譜。畫出頻譜圖。

解：全橋時(shí)，電橋輸出電壓為：U0=k-U/E(t),k為常數(shù)，應(yīng)變片的靈敏度及電橋的接法

有關(guān)。則

1

uo=k-U-sinlOOOOr?(Acos10/+BcoslOOz)

=k-U-Asin10000/?cosl0t+k-U-Bsin10000??cos100/

k-U-Ak-U-B

=…c10010z+sin9990/)+“口°(sin10100/+sin990力

22

其頻譜如下圖所示。

KUBKUAKUAKUB

990I9990100101Q1003

三、名詞解釋

1.采樣定理

為了避免混疊以使采樣處理后仍有可能準(zhǔn)確地恢復(fù)其原信號(hào)，采樣頻率fs必須大于最高

頻率fh的兩倍，即fs>2fh，這就是采樣定理。

四、計(jì)算題

1.求h(t)的自相關(guān)函數(shù)。帕)=e'摩0，。>0

01<0

解：

1"

/?(r)=lim—[+r)dt

vr->ooT

=lim-e-a,e-aU+Tydt

TJO

=e-flrWm-\'e-la'dt

T-?ooTJ。

=e“

i2aTL,

=e“叫

J，2aTLJ

=0

2.求正弦函數(shù)XO=10sin(20加+45°)的自相關(guān)函數(shù)。

解：

1cT

7?v(r)=lim-￡x(t)x(t+r)dt

T->xTJO

pl0sin(20加+4^)x1Osin[20萬?+r)+45°]dr

40

100八,、、r°

=---cos(20^r)-r

2700

=50cos(20萬7)

3.求方波y(t)和正弦波x(t)的互相關(guān)函數(shù)，其中(7分)

-1，5-個(gè)<，<"a

y(t)=12

1,kTn<t<kT0-^-

解：

R、*=pmy(t)x(t+T)dt

4T8TJO

2rt)/2.、」

=〒JoSin<yo(r+r)j/

-22

cos6)0(f+r)|y

①Ro

=[cosgt—COS690(t+")]

2乃

2

=-coscot

7T()

4.設(shè)有兩個(gè)周期信號(hào)工(力=/5111(初+。),<)</)=%5由(初+6-0)。求其互相關(guān)函數(shù)。

解：

1rT

⑺=lim-Lx(f)y(r+rWt

-T—>001JO

1eT

=lim—xsin((^r+^)-ysin(^^COT+0-(p)dt

TfocTJ。00

da

令（ot+6=a,則力=——,又coT=2萬

CD

H\.）.⑺=I）。J）sin（cif）?sin（6z+（DT-（p）da

三"『-g[cos（2a+or_9）一cos（69T-（p）\la

=^Y^-cos(^r-^)

5.假定有一個(gè)信號(hào)x(t),它是兩個(gè)頻率、相角均不等的余弦函數(shù)疊加而成，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

X(o=COS(69/+^1)+A2COS(692r+),求該信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。

解：

,1rT

R=lim—x（t）x（t+r）dr

718TJ。

{A,COS[69JQ+r)+四]+4cos[d>2(r+r)+(p2]}df

由于qwg”根據(jù)正(余)弦函數(shù)的正交性，所以

{用COS（69/+*]）cos[q?+匯）+夕/+A；COS（G/+?）COS[??+匯）十}力

工)Jo

9s.+*osw

2.2用一個(gè)時(shí)間常數(shù)為0.35s的一階裝置去測量周期分別為Is,2s,5s的正弦信號(hào)，問幅值

誤差將是多少？

1_1y⑹

解：H⑹=

jra）+10.35句+1X（<y）

A（（y）=1

Jl+（0.35cy）2

當(dāng)T=ls時(shí)，A（01）=O.41,即Ay=0.4L4「誤差為59%

當(dāng)T=2s時(shí)，A（02）=O.67,誤差為33%

當(dāng)T=5s時(shí)，A(g)=0.90，誤差為8%

2.3求周期信號(hào)=0.5coslOr+0.2COJ(100-45°),通過傳遞函數(shù)為H(s)=0I+]

的裝置后所得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

解：利用疊加原理及頻率保持性解題

削=0.5sin(lOf+900)+0.2sin(l00+45°)

A(G)=—2—蒼=—j=,犬0)=—arc(g(0.005cy)

l+(wa+(0.00%)2

a)x=10>A(<W])=1,必<yj—2.86°

x(tt)=0.5x1.sin(lOr+90°-2.86°)，

④2=10°,A(?2)=0.89,。(。2)=一26.57°

)=0.2x0.89-sin(lOQf-26.5T+45°)

???刈=0.5sin(l0+87.14°)+(-0.178)sin(lOft+18.43°)

2.7將信號(hào)COS〃輸入一個(gè)傳遞函數(shù)為“(s)=的一階裝置后，試求其包括瞬態(tài)過程

2s+1

在內(nèi)的輸出必)的表達(dá)式。

解：M)=cos(w)=sin("+90°)

A3)=,°--arctg(rco)

71+(r(y)2

M)1sin(69Z+90；arctg(T(o^)

71+(r0>)2

1

co^cot-aretgvco)

3155072

2.8求頻率響應(yīng)函數(shù)的系統(tǒng)對正弦輸入

(1+0.01%)(1577536H750-療)

班)=10sin(62.8r)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的均值顯示。

解：寫成標(biāo)準(zhǔn)形式

“⑹"①+以法)2+2’血0時(shí)+覺]

](12582

(O.Oljw+l)(-#)+2xl25曾0+)+(125歲

11

A(<y)二x—x2

71+(62.8x0.01)222

628176

1-d------------

12561577536

=1.69x0.99=1.7

比A1.7x10

對正弦波，％=&=叵=12

1.541比

2.9試求傳遞函數(shù)分別為和的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后組

S2+1.4。$S2+1.4(y?52

成的系統(tǒng)的總靈敏度（不考慮負(fù)載效應(yīng)）

解：H(to)=H1(0)H2(to)

=3

3.5S+0.5-7S+1

皿

“2(0)=4

，S2=41

S-+S+G)~

S=SrS2=3x41=123

2.10想用一個(gè)一階系統(tǒng)作100Hz正弦信號(hào)的測量，如要求限制振幅誤差在5%以內(nèi)，則時(shí)間

單常數(shù)應(yīng)去多少？若用該系統(tǒng)測試50IIz正弦信號(hào)，問此時(shí)的振幅誤差和相角差是多少？

解：由振幅誤差

石=14-4|=]_%=]_A3）W5%

4/A,

A（＜y）＞95%

即4(0)=-；=^=95%

-=0.95,r=5.23x10-45

Jl+(2?x100)2

當(dāng)口=24=2萬x50=10(k,且7=5.23乂1075時(shí)

A?)=1,?98.7%

71+(5.23xl0-4xl0Cbr)2

此時(shí)振幅誤差回=1—98.7%=1.3%

=-arc^（5.23x10yxi00r）?—9.3°

2.11某力傳感器可以作為二階振蕩系統(tǒng)處理。已知傳感器的固有頻率為800Hz,阻尼比

占=0.14,問使用該傳感器作頻率為400Hz的正弦力測試時(shí)，其振幅比A（＜y）和相角差夕（0）

各為多少？若該裝置的阻尼比可改為J=0.7,問A（。）利°（啰）又將作何種變化？

解：作頻率為400Hz的正弦力測試時(shí)

A（o）=

400