五年級奧數正式教材老師用

目錄

目錄-1-

一數的整除-2-

二數字謎-6-

①橫式字謎-6-

②豎式字謎-8-

三定義新運算-11-

四行程問題-15-

①追擊及遇問題-15-

②火車過橋-19-

五列方程解應用題-22-

六抽屜原理-27-

七不規(guī)則圖形面積計算1-30-

八不規(guī)則圖形面積計算2-34-

九邏輯推理-39-

十牛吃草-41-

H■?一流水行船-45-

十二奇數與偶數-47-

十三周期性問題-52-

十四植樹問題-56-

十五有趣的樹陣圖-59-

十六有趣的樹陣圖練習-63-

數的整除

如果整除a除以不為零數b所得的商為整數而余數為0我們就說a能被b

整除或叫b能整除a如果a能被b整除那么b叫做a的約數a叫做b的倍數

數的整除的特征

1能被2整除的數的特征如果一個整數的個位數字是24680那么這個整數

一定能被2整除

2能被3或9整除的數的特征如果一個整數的各個數字之和能被3或9整

除那么這個整數一定能被3或9整除

3能被4或25整除的數的特征如果一個整數的末兩位數能被4或25整除

那么這個數就一定能被4或25整除

4能被5整除的數的特征如果一個整數的個位數字是0或5那么這個整數

一定能被5整除

5能被6整除的數的特征如果一個整數能被2整除又能被3整除那么這個

數就一定能被6整除

6能被7或11或13整除的數的特征一個整數分成兩個數末三位為一個數

其余各位為另一個數如果這兩個數之差是0或是7或11或13的倍數這個數就能

被7或11或13整除

7能被8或125整除的數的特征如果一個整數的末三位數能被8或125整

除那么這個數就一定能被8或125整除

8能被11整除的數的特征如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字

之和的差大減小能被11整除那么它必能被11整除

例題與方法指導

例1一個六位數23口56口是88的倍數這個數除以88所得的商是一

或____

思路導航

一個數如果是88的倍數這個數必然既是8的倍數又是11的倍數根據8的倍

數它的末三位數肯定也是8的倍數從而可知這個六位數個位上的數是0或8而

11的倍數奇偶位上數字和的差應是0或11的倍數從已知的四個數看這個六位數

奇偶位上數字的和是相等的要使奇偶位上數字和差為0兩個方框內填入的數字

是相同的因此這個六位數有兩種可能

230560或238568

又230560882620

238568882711

所以本題的答案是2620或2711

例2123456789□□這個十一位數能被36整除那么這個數的個位上的數

最小是

思路導航

因為3694所以這個十一位數既能被9整除又能被4整除因為12945由能

被9整除的數的特征可知口□之和是00091881277236634554和1899再由能被4

整除的數的特征這個數的末尾兩位數是4的倍數可知□□是0004367296這樣這

個十一位數個位上有026三種可能性

所以這個數的個位上的數最小是0

例3下面一個1983位數333口444中間漏寫了一個數字方框已

991個991個

知這個多位數被7整除那么中間方框內的數字是

思路導航

333Q444

991個991個

333109933Q410990444

990個990個

因為111111能被7整除所以333和444都能被7整除所以只要

990個990個

3口4能被7整除原數即可被7整除故得中間方框內的數字是6

例4有三個連續(xù)的兩位數它們的和也是兩位數并且是11的倍數這三個

數是____

思路導航

三個連續(xù)的兩位數其和必是3的倍數已知其和是11的倍數而3與11互質所

以和是33的倍數能被33整除的兩位數只有3個它們是336699所以有

當和為33時三個數是101112

當和為66時三個數是212223

當和為99時三個數是323334

所以答案為101112或212223或323334

［注］三個連續(xù)自然數的和必能被3整除可證明如下

設三個連續(xù)自然數為nnln2則

nnln2

3n3

3nl

所以能被3整除

鞏固訓練

有這樣的兩位數它的兩個數字之和能被4整除而且比這個兩位數大1的數它

的兩個數字之和也能被4整除所有這樣的兩位數的和是—

一個小于200的自然數它的每位數字都是奇數并且它是兩個兩位數的乘積

那么這個自然數是

任取一個四位數乘3456用A表示其積的各位數字之和用B表示A的各位數

字之和C表示B的各位數字之和那么C是

有01479五個數字從中選出四個數字組成不同的四位數如果把其中能被3

整除的四位數從小到大排列起來第五個數的末位數字是

1118

符合條件的兩位數的兩個數字之和能被4整除而且比這個兩位數大1的數如

果十位數不變則個位增加1其和便不能整除4因此個位數一定是9這種兩位數有

3979

所以所求的和是3979118

2.195

因為這個數可以分解為兩個兩位數的積而且1515225200所以其中至少有

1個因數小于15而且這些因數均需是奇數但11不可能符合條件因為對于小于

200的自然數凡11的倍數具有隔位數字之和相等的特點個位百位若是奇數十位

必是偶數所以只需檢查13的倍數中小于200的三位數1313169不合要求1315

195適合要求所以答案應是195

39

根據題意兩個四位數相乘其積的位數是七位數或八位數兩種可能

因為34563849所以任何一個四位數乘3456其積一定能被9整除根據能被

9整除的數的特征可知其積的各位數字之和A也能被9整除所以A有以下八種可

能取值918273645546372從而A的各位數字之和B總是9B的各位數字之和C也

總是9

49

V0147921能被3整除.?.從中去掉0或9選出的兩組四個數字組成的四位

數能被3整除即有0147或1479兩種選擇組成四位數由小到大排列為

104710741407147014791497所以第五個數的末位數字是9

拓展提升

1找出四個互不相同的自然數使得對于其中任何兩個數它們的和總可以被

它們的差整除如果要求這四個數中最大的數與最小的數的和盡可能的小那么這

四個數里中間兩個數的和是多少

2.只修改21475的某一位數字就可知使修改后的數能被225整除怎樣

修改

3.500名士兵排成一列橫隊第一次從左到右123451至5名報數第二次

反過來從右到左1234561至6報數既報1又報6的士兵有多少名

4試問能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上使得在任何5個相

連的數中都至少有兩個數可被3整除如果回答可以則只要舉出一種排法如果回

答不能則需給出說明

答案

1如果最小的數是1則和1一起能符合和被差整除這一要求的數只有2

和3兩數因此最小的數必須大于或等于2我們先考察2345這四個數仍不符合要

求因為527不能被5-23整除再往下就是2346經試算這四個數符合要求所以本

題的答案是347

2因為225259要使修改后的數能被25整除就要既能被25整除又能

被9整除被25整除不成問題末兩位數75不必修改只要看前三個數字即可根據某

數的各位數字之和是9的倍數則這個數能被9整除的特征因為21475191918119

27-8所以不難排出以下四種改法把1改為0把4改為3把1改為9把2改為1

3若將這500名士兵從右到左依次編號則第一次報數時編號能被5整

除的士兵報1第二次報數時編號能被6整除的士兵報6所以既報1又報6的士兵

的編號既能被5整除又能被6整除即能被30整除在1至500這500個自然數中

能被30整除的數共有16個所以既報1又報6的士兵共有16名

4不能

假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數我們來按所排列順序

將它們每5個分為一組可得20組其中每兩組都沒有共同的數于是在每一組的5

個數中都至少有兩個數是3的倍數從而一共有不少于40個數是3的倍數但事實

上在1至100的自然數中有33個數是3的倍數導致矛盾

數字謎

小朋友們都玩過字謎吧就是一種文字游戲例如空中碼頭打一城市名謎底你

還記得嗎記不得也沒關系想想空中指什么天這個地名第1個字可能是天碼頭指

什么呢碼頭又稱渡口聯系這個地名開頭是天字容易想到天津這個地名而津正好

又是渡口的意思這樣謎底就出來了天津

算式謎又被稱為蟲食算意思是說一道算式中的某些數字被蟲子吃掉了無法

辨認需要運用四則運算各部分之間的關系通過推理判定被吃掉的數字把算式還

原蟲食算主要指橫式算式謎和豎式算式謎其中未知的數字常常用口△☆等圖形

符號或字母表示文字算式謎是前兩種算式謎的延伸用文字或字母來代替未知的

數字在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數字相同的數字或字母表示

同一個數字文字算式謎也是最難的一種算式謎

□□8097在上面的3個方框內分別填入恰當的數字可以使得這3個數的平

均數是150那么所填的3個數字之和是多少

1503-8-97-5340

所以3個數之和為34512

在下列算式的口中填上適當的數字使得等式成立

16口口4+56non

27QQ84-37

33口口3+2口口17

48口□□+58口口6

分析1610456109

754837204

3339329117

4846858146

在算式407964-□□□□9998的各個方框內填入適當的數字后就可以使其

成為正確的等式求其中的除數

分析4079610239998

我學數學樂義我學數學樂數數數學數數學學數學

在上面的乘法算式中我學數樂分別代表的4個不同的數字如果樂代表9那么

我數學代表的三位數是多少

分析學1我8數681619816196661661161

口+口+口?口24在的4個方框內填入4個不同的一位數使左邊的數比右

邊的數小并且等式成立

這樣我們可以先用字母代替數字原等式寫成abedabedaedbabed

當a1時有6822489324

當a2時有493126841289612

所以滿足要求的等式有1?2+6+82414-34-84-9242+3+4+9242

4-44-64-82424-64-84-924

口X口5□②12□一口□把1至9這9個數字分別填入上面兩個算式的各

個方框中使等式成立這里有3個數字已經填好

分析根據第一個等式只有兩種可能78566954如果為7856則余下的數字

有349顯然不行而當6954時余下的數字有378那么123-78或123-87都能滿

足

迎迎義春春杯迎迎杯數數X學學數賽賽數春春X春春迎迎賽賽

在上面的3個算式中相同的漢字代表相同的數字不同的漢字代表不同的數

字如果這3個等式都成立那么迎春杯數學賽等于多少

分析考察上面三個等式可以從最后一個等式入手能夠滿足春春X春春

迎迎賽賽的只有88887744于是春8迎7賽4這樣不難得到第一個為7788

6776第二個為55995445

所以迎春杯數學賽78659439

迎春X春迎春迎杯X迎杯迎杯

在上面的兩個橫式中相同的漢字代表相同的數字不同的漢字代表不同的數字那

么迎春杯等于多少

分析同樣可以從第二個算式入手發(fā)現滿足要求的只有818181于是迎8

這樣第一個算式顯然只有89989所以迎春杯89118在圖4-1所示的算式中每

一個漢字代表一個數字不同的漢字代表不同的數字.那么喜歡這兩個漢字所代表

的兩位數是多少

分析首先看個位可以得到歡是0或5但是歡是第二個數的十位所以歡

不能是0只能是5再看十位歡是5加上個位有進位1那么加起來后得到的人就

應該是偶數因為結果的百位也是人所以人只能是2由此可知喜等于8所以喜歡

這兩個漢字所代表的兩位數就是85

在圖4-2所示的豎式中相同的漢字表示相同的數字不同的漢字表示不同的

數字.如果巧解數字謎30那么數字謎所代表的三位數是多少

分析還是先看個位5個謎相加的結果個位還是等于謎謎必定是50顯然

可以排出接著看十位四個字相加再加上進位2結果尾數還是字那說明字只能是

6再看百位三個數相加再加上進位2結果尾數還是數數可能是4或9再看千位1

如果數為4兩個解相加再加上進位1結果尾數還是解那說明解只能是95649

2430-246巧等于6與字等于6重復不能2如果數為9兩個解相加再加上進位2

結果尾數還是解那說明解只能是856982830-282可以所以數字謎代表的三位

數是965

在圖4-3所示的加法算式中相同的漢字表示相同的數字不同的漢字表示不

同的數字.請把這個豎式翻譯成數字算式.

分析首先萬位上華1再看千位香只能是8或9那么人就相應的只能是0或

1但是華1所以人就是0再看百位人0那么十位上必須有進位否則港人還是港

由此可知回比港大1這樣就說明港不是9百位向千位也沒有進位于是可以確定香

等于9的再看十位回愛港要有進位的而回比港大1那么愛就等于8同時個位必

須有進位再看個位兩數相加至少12至多13即只能是57或67顯然港5回6

歸7這樣整個算式就是9567108510652

圖4-4是一個加法豎式其中EFINORSTXY分別表示從0到9的不同數字且

FS不等于零.那么這個算式的結果是多少

分析先看個位和十位N應為0E應為5再看最高位上S比F大1千位上0最

少是8但因為N等于。所以I只能是10只能是9由于百位向千位進位是2且X

不能是0因此決定了TR只能是78這兩個如果T7X3這是只剩下了246三個數

無法滿足SF是兩個連續(xù)數的要求所以T8R7由此得到X4那么F2s3Y6所以

得到的算式結果是31486

在圖4-5所示的減法算式中每一個字母代表一個數字不同的字母代表不同

的數字.那么DG等于多少

分析先從最高位看顯然AIB0E9接著看十位因為E等于9說明個位有

借位所以F只能是8由F8可知C7這樣DG有2435和46三種可能所以D+G

就可以等于68或10

王老師家的電話號碼是一個七位數把它前四位組成的數與后三位組成的數

相加得9063把它前三位數組成的數與后四位數組成的數相加得2529.求王老師

家的電話號碼.

分析我們可以用abcdefg來表示這個七位數電話號碼由題意知abcdefg

9063abcdefg2529

首先從第一個算式可以看出a8從第二個算式可以看出d1再回到第一個算式g

2掉到第二個算式c7又回到第一個算式f9掉到第二個算式b3那么e6所以

王老師家的電話號碼是8371692

3將一個四位數的各位順序顛倒過來得到一個新的四位數.如果新數比原數

大7902那么在所有符合這樣條件的四位數中原數最大是多少

分析用abed來表示愿四位數那么新四位數為debadeba-abed7902由最

高為看起a最大為2則d9但個位上10a-d2所以a只能是1接下來看百位b

最大是9那么c8正好能滿足要求所以原四位數最大是1989

1已知圖4-6所示的乘法豎式成立.那么ABCDE是多少

分析由17的特點易知ABCDE428571428573428571

某個自然數的個位數字是4將這個4移到左邊首位數字的前面所構成的新數

恰好是原數的4倍.問原數最小是多少

分析由個位起逐個遞推4416原十位為646125原百位為545222原千

位為2

42210原萬位為0144正好所以原數最小是102564

在圖4-7所示的豎式中相同的漢字表示相同的數字不同的漢字表示不同的

數字.則符合題意的數迎春杯競賽贊是多少

分析同第10題一樣也是利用17的特點因為每個字母代表不同的數字因

此好只有3和6可選

好3則1428573428571好6則1428576857142兩個都能滿足所以符合題意的

數迎春杯競賽贊可能是428571或857142

行程問題是小學奧數中變化最多的一個專題不論在奧數競賽中還是在小升

初的升學考試中都擁有非常重要的地位行程問題中包括火車過橋流水行船沿途

數車獵狗追兔環(huán)形行程多人行程等等每一類問題都有自己的特點解決方法也有

所不同但是行程問題無論怎么變化都離不開三個量三個關系

這三個量是路程s速度v時間t

三個關系1簡單行程路程速度X時間

2相遇問題路程和速度和X時間

3追擊問題路程差速度差X時間

牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關系就會發(fā)現解決行程問題還是

有很多方法可循的

例有甲乙丙三人同時同地出發(fā)繞一個花圃行走乙丙二人同方向行走甲與乙

丙相背而行甲每分鐘走40米乙每分鐘走38米丙每分鐘走36米在途中甲和乙相

遇后3分鐘和丙相遇問這個花圃的周長是多少米這個三人行程的問題由兩個相

遇一個追擊組成題目中所給的條件只有三個人的速度以及一個3分鐘的時間

第一個相遇在3分鐘的時間里甲丙的路程和為4036X3228米第一個追擊這228

米是由于在開始到甲乙相遇的時間里乙丙兩人的速度差造成的是逆向的追擊過

程可求出甲乙相遇的時間為228+38-36114分鐘

第二個相遇在114分鐘里甲乙二人一起走完了全程

所以花圃周長為4038X1148892米

我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題使解題思路更加清

晰

東西兩地間有一條公路長2175千米甲車以每小時25千米的速度從東到西地

15小時后乙車從西地出發(fā)再經過3小時兩車還相距15千米乙車每小時行多少千

米

思路導航

從圖中可以看出要求乙車每小時行多少千米關鍵要知道乙車已經行了多少

路程和行這段路程所用的時間

解1甲車一共行多少小時15345小時

2甲車一共行多少千米路程25X451125千米

3乙車一共行多少千米路程2175-1125105千米

4乙車每小時行多少千米105-154-330千米

答乙車每小時行30千米

例3兄妹二人同時從家里出發(fā)到學校去家與學校相距1400米哥哥騎

自行車每分鐘行200米妹妹每分鐘走80米哥哥剛到學校就立即返回來在途中與

妹妹相遇從出發(fā)到相遇妹妹走了幾分鐘相遇處離學校有多少米

思路導航

從圖中可以看出哥與妹妹相遇時他們所走的路程的和相當于從家到學校距

離的2倍因此本題可以轉化為哥哥妹妹相距2800米兩人同時出發(fā)相向而行哥哥

每分鐘行200米妹妹每分鐘行80米經過幾分鐘相遇的問題解答就容易了

解1從家到學校的距離的2倍1400X22800米

2從出發(fā)到相遇所需的時間28004-2008010分

3相遇處到學校的距離1400-80X10600米

答從出發(fā)到相遇妹妹走了10分鐘相遇處離學校有600米

鞏固訓練

1兩城市相距328千米甲乙兩人騎自行車同時從兩城出發(fā)相向而行甲

每小時行28千米乙每小時行22千米乙在中途修車耽誤1小時然后繼續(xù)行駛與甲

相遇求出發(fā)到相遇經過多少時間

分析如果乙在中途不停車那么甲乙兩人從出發(fā)到相遇共行路程的和32822

XI350千米兩車的速度和282250千米小時然后根據相遇問題路程和?速度和

相遇時間得350?507小時

解32822X14-2822

3504-50

7小時

解法2

328-22X14-2822

3004-50

6小時

617小時

答從出發(fā)到相遇經過了7小時

快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出已知快車每小時行40千米經過3小時

快車已過中點12千米與慢車相遇慢車每小時行多少千米

分析

從圖中可知快車3小時行的路程40*3120千米比全程的一半多12千米全

程的一半是120-12108千米而慢車3小時行的路程比全程的一半還少12千米所

以慢車3小時行的路程是108-1296千米由此可以求出慢車的速度

解甲乙兩地路程的一半40X3-12108千米

慢車3小時行的路程108-1296千米

慢車的速度964-332千米

答慢車每小時行32千米

小華和小明同時從甲乙兩城相向而行在離甲城85千米處相遇到達對方城市

后立即以原速沿原路返回又在離甲城35千米處相遇兩城相距多少千米

分析

從圖上可以看出小華和小明兩人第一次相遇時行了一個全程小華行了85千

米當小華和小明第二次相遇時共行了3個全程這時小華共行了3個85千米如果

再加上35千米相當于小華行了2個全程甲乙兩地全長也就可以求出來了

解1甲乙出發(fā)到第二次相遇時小華共行了多少千米85X3255千米

2甲乙兩城相距多少千米25535+22904-2145千米

答兩城相距145千米

拓展提升

客車和貨車同時從甲乙兩地相對開出客車每小時行54千米貨車每小時行48

千米兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進客車到達乙站后立即返回貨車到達甲

站后也立即返回兩車再次相遇時客車比貨車多行216千米求甲乙兩站相距多少

千米

分析

如圖從出發(fā)到第二次相遇時客車和貨車共行3個全程在這段時間里客車一

共比貨車多行216千米客車每小時比貨車快54-486千米這樣可以求出行3個全

程的時間為216?636小時由此可求出行一個全程時間36?312小時因而可以

求出甲乙兩站的距離

解從出發(fā)到第二次是兩車行駛的時間216-54-4836小時

從出發(fā)到第一次相遇所用的時間36?312小時

甲乙兩站的距離5448X121224千米

答求甲乙兩站相距1224千米

2甲乙丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去甲乙兩車速度分別為每小時60

千米和48千米有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6小時7小時8小時先

后與甲乙丙三車相遇求閃車的速度

分析

解答的關鍵是求出卡車的速度從圖上明顯看出甲車6小時的行程與乙車7

小時的行程差正好是卡車的速度再根據速度和相遇時間和路程三者之間的關系

求出丙車速度

解1卡車的速度60X6-48X74-7-6244-124千米

AB兩地之間的距離6024X6504千米

丙車與卡車的速度和5049864千米

丙車的速度64-2440千米小時

答丙車的速度每小時40千米

兩列火車從某站相背而行甲車每小時行58千米先開出2小時后車以每小時

62千米才開出乙車開出5小時后兩列火車相距多少千米

②火車過橋

過橋問題也是行程問題的一種首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋

到車尾離橋列車過橋的

總路程是橋長加車長這是解決過橋問題的關鍵過橋問題也要用到一般行程

問題的基本數量關系

過橋問題的一般數量關系是

因為過橋的路程橋長車長

所以有通過橋的時間橋長車長+車速

車速橋長車長?過橋時間

公式的變形

橋長車速X過橋時間車長

車長車速X過橋時間橋長

后三個都是根據第二個關系式逆推出的

火車通過隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的也要通過上面的數量關系

來解決

例題與方法指導

例1一列客車經過南京長江大橋大橋長6700米這列客車長100米火車每

分鐘行400米這列客車經過長江大橋需要多少分鐘

思路導航

從火車頭上橋到火車尾離橋這之間是火車通過這座大橋的過程也就是過橋

的路程是橋長車長通過過橋的路程和車速就可以求出火車過橋的時間

1過橋路程67001006800米

2過橋時間68004-40017分

答這列客車通過南京長江大橋需要17分鐘

例2一列火車長160米全車通過440米的橋需要30秒鐘這列火車每

秒行多少米

思路導航

要想求火車過橋的速度就要知道過橋的路程和過橋的時間

1過橋的路程160440600米

2火車的速度600?3020米

答這列火車每秒行20米

例3某列火車通過360米的第一個隧道用了24秒鐘接著通過第二個長

216米的隧道用了16秒鐘求這列火車的長度

思路導航

火車通過第一個隧道比通過第二個隧道多用了8秒為什么多用8秒呢原因

是第一個隧道比第二個隧道長360216144米這144米正好和8秒相對應這樣

可以求出車速火車24秒行進的路程包括隧道長和火車長減去已知的隧道長就是

火車長

1第一個隧道比第二個長多少米

360216144米

2火車通過第一個隧道比第二個多用幾秒

24168秒

3火車每秒行多少米

1444-818米

4火車24秒行多少米

18X24432米

5火車長多少米

43236072米

答這列火車長72米

鞏固訓練

1某列火車通過342米的隧道用了23秒接著通過234米的隧道用了17

秒這列火車與另一列長88米速度為每秒22米的列車錯車而過問需要幾秒鐘

思路導航

通過前兩個已知條件我們可以求出火車的車速和火車的車身長

3422344-231718米車速

18X2334272米車身長

兩車錯車是從車頭相遇開始直到兩車尾離開才是錯車結束兩車錯車的總路

程是兩個車身之和兩車是做相向運動所以根據路程?速度和相遇時間可以求

出兩車錯車需要的時間

72884-18224秒

答兩車錯車而過需要4秒鐘

一列火車全長265米每秒行駛25米全車要通過一座985米長的大橋問需要

多少秒鐘

2659854-2550秒

答需要50秒鐘

一列長50米的火車穿過200米長的山洞用了25秒鐘這列火車每秒行多少米

200504-2510米

答這列火車每秒行10米

拓展提升

1一列長240米的火車以每秒30米的速度過一座橋從車頭上橋到車尾

離橋用了1分鐘求這座橋長多

少米

1分60秒

30X602401560米

答這座橋長1560米

2一列貨車全長240米每秒行駛15米全車連續(xù)通過一條隧道和一座橋

共用40秒鐘橋長150米

問這條隧道長多少米

15X40240150210米

答這條隧道長210米

3一列火車開過一座長1200米的大橋需要75秒鐘火車以同樣的速度

開過路旁的電線桿只需15秒鐘求火車長多少米

12004-751520米

20X15300米

答火車長300米

4在上下行軌道上兩列火車相對開來一列火車長182米每秒行18米另

一列火車每秒行17米兩列火車錯車而過用了10秒鐘求另一列火車長多少米

1817X10182168米

答另一列火車長168米

列方程解應用題

同學們在解答數學問題時經常遇到一些數量關系較復雜的或較隱蔽的逆向

問題用算術方法解答比較困難如果用方程解就簡便得多它可以進一步培養(yǎng)我們

分析問題和解決問題的能力抽象思維能力列方程解應用題一般分為五步

一審題弄清已知數和未知數以及它們之間的關系

二用字母表示未知數通常用x表示

三根據等量關系列出方程

四解方程求出未知數的值

五驗算并答題

一例題與方法指導

例1金臺小學學生參加申奧植樹活動六年級共植樹252棵比五年級植樹

總數的倍少8棵五年級植樹多少棵

思路導航

六年級比五年級植樹總數的倍少8棵就是六年級的倍的數少8等于六年級植

樹的總數等量關系是五年級的倍一8=六年級的植樹總數

解設五年級植樹x棵根據題意列方程得

驗算把代入原方程

左邊

右邊=252

左邊=右邊

是原方程的解

答五年級植樹208棵

例2一瓶農藥700克其中水比硫磺粉的6倍還多25克含硫磺粉的重

量是石灰的2倍這瓶農藥里水硫磺粉和石灰粉各多少克

思路導航

這是道比較復雜的和倍應用題硫磺粉和水有直接關系硫磺粉和石灰也有直

接關系因此應設未知數硫磺粉為x克水的重量是硫磺的6倍還多25克也就是6x

+25克石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2也就是克等量關系式表示為

水+硫磺粉+石灰=農藥重量

解設硫磺粉的重量是x克那么水的重量是克石灰重量是克根據題意列

方程解

驗算把代入原方程

左邊

右邊=700

左邊=右邊

是原方程的解

例3兩袋米同樣重第一袋吃去18千克第二袋吃去25千克余下的第一

袋剛好是第二袋的2倍兩袋原來各有多少千克

思路導航

題中告訴我們原來兩袋大米同樣重解答時可以設兩袋大米原來各重x千克

第一袋剩下的則是千克第二袋剩下的則是千克根據題意第一袋剩下的大米是第

二袋剩下的2倍也就是說如果把第二袋剩下的擴大2倍就和第一袋剩下的相等

解設兩袋大米原來的重量各為x千克根據題意列方程得

驗算左邊

右邊=32—18=14

左邊=右邊

x=32是原方程的解

答兩袋大米原來各重32千克

鞏固訓練

1李紅看一本小說上午看了60頁相當于下午看的頁數的又4頁李紅這天共

看了多少頁小說

思路導航

這道題和求的問題是這一天共看了多少頁小說題目中已知上午看了60頁所

以只要求出下午看的頁數就可以了題目中明確告訴了我們等量關系即上午看了

60頁相當于下午看的頁數的又4頁

等量關系下午看的頁數X+4=上午看的頁數

解法一設下午看了x頁

60+64=124頁

答這天共看了124頁

解解法二這一天共看了x頁

答這一天共看了124頁

2已知一個長方形的長是20米如果把它的寬減少4米新得到一個長方

形它的面積想法于原來長方形的面積的原來長方形的周長是多少

思路導航

這道題的所求問題是求原來長方形的周長而題目中明確告訴了我們等量關

系即新得到的長方形的面積相當于原來長方形面積的如果沒有原來長方形的寬

為x米原來長方形的面積就是20x平方米新的長方形的寬就是x4米新的長方形

面積就是平方米

等量關系原長方形面積乂=新長方形面積

解設原長方形的寬是x米

根據題意列方程得

答原來長方形的周長是68米

3兩根繩共長90米已知第一根繩長的等于第二根繩長的求兩根繩各長多

少米

思路導航

解答時首先抓住題目中的等量關系第一根繩長的等于第二根繩長的再根據

第一根繩長為90-x米就可以列出方程

等量關系第一根繩長X=第二根繩長X

解設第一根繩長x米第二根繩長米根據題意列方程得

90-50=40

答第一根繩長50米第二根繩長40米

拓展提升

1甲乙兩個糧倉共有糧食55萬千克如果甲倉運出乙倉運出6萬千克則甲

乙兩倉存糧相等甲乙兩倉原來各存糧多少萬千克

解設甲倉原有糧食有x萬千克則乙倉原有糧食萬千克根據題意列方程

得

55-35=20

答甲倉原有35萬千克乙倉原有20萬千克

2用5千克含鹽20的鹽水如果把它稀釋為含鹽15的鹽水需要加水多少千

克

解設需要加水x千克

答需要加水千克

3有甲乙兩筐蘋果如果從甲筐取10千克放入乙筐則兩筐相等如果從兩筐

中各取出10千克這時甲筐余下的比乙筐余下的多5千克求兩筐蘋果原來各多少

千克

解設乙筐原有蘋果x千克

40+20=60

答甲筐原有蘋果60千克乙筐原有40千克

4同學們到郊區(qū)野炊一個同學到老師那里去領碗老師問他領多少他說領

55個又問多少人吃飯他說一人一個飯碗兩人一個菜碗三人一個湯碗算一算有多

少人吃飯

解設參加野炊活動的人數為x人

答參加野炊活動的有30人

抽屜原理

如果將5個蘋果放到3個抽屜中去那么不管怎么放至少有一個抽屜中放

的蘋果不少于2個道理很簡單如果每個抽屜中放的蘋果都少于2個即放1個或不

放那么3個抽屜中放的蘋果的總數將少于或等于3這與有5個蘋果的已知條件相

矛盾因此至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個

同樣有5只鴿子飛進4個鴿籠里那么一定有一個鴿籠至少飛進了2只鴿

子

以上兩個簡單的例子所體現的數學原理就是抽屜原理也叫鴿籠原理

抽屜原理1將多于n件的物品任意放到n個抽屜中那么至少有一個抽屜中的

物品不少于2件

說明這個原理是不難的假定這n個抽屜中每一個抽屜內的物品都不到2

件那么每一個抽屜中的物品或者是一件或者沒有這樣n個抽屜中所放物品的總

數就不會超過n件這與有多于n件物品的假設相矛盾所以前面假定這n個抽屜中

每一個抽屜內的物品都不到2件不能成立從而抽屜原理1成立

從最不利原則也可以說明抽屜原理1為了使抽屜中的物品不少于2件最不利

的情況就是n個抽屜中每個都放入1件物品共放入n件物品此時再放入1件物品

無論放入哪個抽屜都至少有1個抽屜不少于2件物品這就說明了抽屜原理1

例題與方法指導

例1某幼兒園有367名1996年出生的小朋友是否有生日相同的小朋友

分析與解1996年是閏年這年應有366天把366天看作366個抽屜將367名

小朋友看作367個物品這樣把367個物品放進366個抽屜里至少有一個抽屜里不

止放一個物品因此至少有2名小朋友的生日相同

例2在任意的四個自然數中是否其中必有兩個數它們的差能被3整除

分析與解因為任何整數除以3其余數只可能是012三種情形我們將余數的這

三種情形看成是三個抽屜一個整數除以3的余數屬于哪種情形就將此整數放在

那個抽屜里

將四個自然數放入三個抽屜至少有一個抽屜里放了不止一個數也就是說至

少有兩個數除以3的余數相同這兩個數的差必能被3整除

例3在任意的五個自然數中是否其中必有三個數的和是3的倍數

分析與解根據例2的討論任何整數除以3的余數只能是012現在對于任意的

五個自然數根據抽屜原理至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數于是可分下

面兩種情形來加以討論

第一種情形有三個數在同一個抽屜里即這三個數除以3后具有相同的

余數因為這三個數的余數之和是其中一個余數的3倍故能被3整除所以這三個數

之和能被3整除

第二種情形至多有兩個數在同一個抽屜里那么每個抽屜里都有數在每

個抽屜里各取一個數這三個數被3除的余數分別為012因此這三個數之和能被3

整除

綜上所述在任意的五個自然數中其中必有三個數的和是3的倍數

鞏固訓練

1有蘋果和桔子若干個任意分成5堆能否找到這樣兩堆使蘋果的總數與桔

子的總數都是偶數

分析與解由于題目只要求判斷兩堆水果的個數關系因此可以從水果個數的

奇偶性上來考慮抽屜的設計

對于每堆水果中的蘋果桔子的個數分別都有奇數與偶數兩種可能所以

每堆水果中蘋果桔子個數的搭配就有4種情形

奇奇奇偶偶奇偶偶

其中括號中的第一個字表示蘋果數的奇偶性第二個字表示桔子數的奇

偶性

將這4種情形看成4個抽屜現有5堆水果根據抽屜原理可知這5堆水果里至

少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形由于奇數加奇數為偶數偶數加偶數仍為

偶數所以在同一個抽屜中的兩堆水果其蘋果的總數與桔子的總數都是偶數

2用紅藍兩種顏色將一個2X5方格圖中的小方格隨意涂色見右圖每個小

方格涂一種顏色是否存在兩列它們的小方格中涂的顏色完全相同

分析與解用紅藍兩種顏色給每列中兩個小方格隨意涂色只有下面四種情形

將上面的四種情形看成四個抽屜根據抽屜原理將五列放入四個抽屜至

少有一個抽屜中有不少于兩列這兩列的小方格中涂的顏色完全相同

在上面的幾個例子中例1用一年的366天作為366個抽屜例2與例3用整數

被3除的余數的三種情形012作為3個抽屜例4將一條線段的10等份作為10

個抽屜例5把每堆水果中蘋果數與桔子數的奇偶搭配情形作為4個抽屜例6將每

列中兩個小方格涂色的4種情形作為4個抽屜由此可見利用抽屜原理解題的關鍵

在于恰當地構造抽屜

3在長度是10厘米的線段上任意取11個點是否至少有兩個點它們之間的

距離不大于1厘米

分析與解把長度10厘米的線段10等分那么每段線段的長度是1厘米見下圖

將每段線段看成是一個抽屜一共有10個抽屜現在將這11個點放到這

10個抽屜中去根據抽屜原理至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的點包括這些

線段的端點由于這兩個點在同一個抽屜里它們之間的距離當然不會大于1厘米

所以在長度是10厘米的線段上任意取11個點至少存在兩個點它們之間的距

離不大于1厘米

拓展提升

1有5個小朋友每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚

棋子請你證明這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的

分析與解答首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況可以有3

黑2黑1白1黑2白3白共4種配組情況看作4個抽屜把每人的3枚棋作為一組

當作一個蘋果因此共有5個蘋果把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應

的抽屜由于有5個蘋果比抽屜個數多所以根據抽屜原理至少有兩個蘋果在同一

個抽屜里也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的

一副撲克牌去掉兩張王牌每人隨意摸兩張牌至少有多少人才能保證他們當

中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的

分析與解答撲克牌中有方塊梅花黑桃紅桃4種花色2張牌的花色可以有2

張方塊2張梅花2張紅桃2張黑桃1張方塊1張梅花1張方塊1張黑桃1張方塊

1張紅桃1張梅花1張黑桃1張梅花1張紅桃1張黑桃1張紅桃共計10種情況

把這10種花色配組看作10個抽屜只要蘋果的個數比抽屜的個數多1個就可以有

題目所要的結果所以至少有11個人

3從24630這15個偶數中任取9個數證明其中一定有兩個數之和是34

分析與解答我們用題目中的15個偶數制造8個抽屜

凡是抽屜中有兩個數的都具有一個共同的特點這兩個數的和是34

現從題目中的15個偶數中任取9個數由抽屜原理因為抽屜只有8個必

有兩個數在同一個抽屜中由制造的抽屜的特點這兩個數的和是34

不規(guī)則圖形面積計算1

我們曾經學過的三角形長方形正方形平行四邊形梯形菱形圓和扇形等圖形

一般稱為基本圖形或規(guī)則圖形我們的面積及周長都有相應的公式直接計算如下

表

實際問題中有些圖形不是以基本圖形的形狀出現而是由一些基本圖形組合

拼湊成的它們的面積及周長無法應用公式直接計算一般我們稱這樣的圖形為不

規(guī)則圖形

那么不規(guī)則圖形的面積及周長怎樣去計算呢我們可以針對這些圖形通過實

施割補剪拼等方法將它們轉化為基本圖形的和差關系問題就能解決了

一例題與方法指導

例1如右圖甲乙兩圖形都是正方形它們的邊長分別是10厘米和12厘米

求陰影部分的面積

思路導航

陰影部分的面積等于甲乙兩個正方形面積之和減去三個空白三角形△ABG4

BDEAEFG的面積之和

例2如右圖正方形ABCD的邊長為6厘米△ABE4ADF與四邊形AECF

的面積彼此相等求三角形AEF的面積

思路導航

VAABEAADF與四邊形AECF的面積彼此相等

...四邊形AECF的面積與△ABE4ADF的面積都等于正方形ABCD的

在4ABE中因為AB6所以BE4同理DF4因此CECF2

...△ECF的面積為2X2?22

所以SAAEFS四邊形AECF-S4ECF12-210平方厘米

例3兩塊等腰直角三角形的三角板直角邊分別是10厘米和6厘米如

右圖那樣重合求重合部分陰影部分的面積

思路導航

在等腰直角三角形ABC中

VAB10

VEFBFAB-AF10-64

，陰影部分面積SAABG-SABEF25-817平方厘米

例4如右圖A為4CDE的DE邊上中點BCCD若4ABC陰影部

分面積為5平方厘米

求AABD及AACE的面積

思路導航

取BD中點F連結AF因為△ADFAABF和AABC等底等高

所以它們的面積相等都等于5平方厘米

.,.△ACD的面積等于15平方厘米4ABD的面積等于10平方厘米

又由于4ACE與4ACD等底等高所以4ACE的面積是15平方厘米

二鞏固訓練

1如右圖在正方形ABCD中三角形ABE的面積是8平方厘米它是三角形

DEC的面積的求正方形ABCD的面積

解過E作BC的垂線交AD于F

在矩形ABEF中AE是對角線所以SAABESAAEF8

在矩形CDFE中DE是對角線所以SAECDSAEDF

2如右圖已知SAABC1AEEDBDBC求陰影部分的面積

解連結DFVAEED

ASAAEFSADEFSAABESABED

3如右圖正方形ABCD的邊長是4厘米CG3厘米矩形DEFG的長DG為5

厘米求它的寬DE等于多少厘米

解連結AG自A作AH垂直于DG于H在AADG中AD4DC4AD上的高

ASAAGD4X44-28又DG5

ASAAGDAHXDG4-2

AAH8X24-532厘米

ADE32厘米

4如右圖梯形ABCD的面積是45平方米高6米4AED的面積是5平方米

BC10米求陰影部分面積

解?.?梯形面積上底下底X高92

即45ADBCX64-2

45AD10X64-2

AAD45X24-6-105米

.'.△ADE的高是2米

EBC的高等于梯形的高減去4ADE的高即6-24米

5如右圖四邊形ABCD和DEFG都是平行四邊形證明它們的面積相等

證明連結CE

ABCD的面積等于ACDE面積的2倍

而DEFG的面積也是4CDE面積的2倍

/.ABCD的面積與DEFG的面積相等

不規(guī)則圖形面積計算2

不規(guī)則圖形的另外一種情況就是由圓扇形弓形與三角形正方形長方形等規(guī)

則圖形組合而成的這是一類更為復雜的不規(guī)則圖形為了計算它的面積常常要變

動圖形的位置或對圖形進行適當的分割拼補旋轉等手段使之轉化為規(guī)則圖形的

和差關系同時還常要和容斥原理即集合A與集合B之間有SAUB=SA+Sb-SAPIB

合并使用才能解決

例題與方法指導

例1如右圖在一個正方形內以正方形的三條邊為直徑向內作三個半

圓求陰影部分的面積

解法1把上圖靠下邊的半圓換成面積與它相等右邊的半圓得到右圖這時右

圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣因此它們的面積相等所以上

圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半

解法2將上半個弧邊三角形從中間切開分別補貼在下半圓的上側邊上如右

圖所示陰影部分的面積是正方形面積的一半

解法3將下面的半圓從中間切開分別貼補在上面弧邊三角形的兩側如右圖

所示陰影部分的面積是正方形的一半

例2如右圖正方形ABCD的邊長為4厘米分別以BD為圓心以4厘米為半

徑在正方形內畫圓求陰影部分面積

解由容斥原理S陰影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD

例3如右圖矩形ABCD中AB=6厘米BC=4厘米扇形ABE半徑AE=6

厘米扇形CBF的半CB4厘米求陰影部分的面積

例4如右圖直角三角形ABC中AB是圓的直徑且AB=20厘米如果陰影I

的面積比陰影H的面積大7平方厘米求BC長

分析已知陰影I比陰影II的面積大7平方厘米就是半圓面積比三角形ABC

面積大7平方厘米又知半圓直徑AB=20厘米可以求出圓面積半圓面積減去7平

方厘米就可求出三角形ABC的面積進而求出三角形的底BC的長

鞏固訓練

1如右圖兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米求陰影部分的面積

分析陰影部分的面積等于底為16高為6的直角三角形面積與圖中I的面積

之差而I的面積等于邊長為6的正方形的面積減去以6為半徑的圓的面積

2如右圖將直徑AB為3的半圓繞A逆時針旋轉60°此時AB到達AC的位

置求陰影部分的面積取“3

解整個陰影部分被線段CD分為I和II兩部分以AB為直徑的半圓被弦AD

分成