常德市2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三檢測考試

數(shù)學(xué)（試題卷））

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

命題人：

注意事項：

1.所有試題的答案請在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)作答.

2.考試結(jié)束后，只交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A=,6={x|—2WxW2},則A]B=

A.[0,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.0

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=3+i,則|z|=

A.5B.V5C.V2D.1

cos0

3.已知向量a=（cosasin。），=（3,-1）,若。_16,則----------的值為

'）'）sin9+cos。

4.黨的二十大會議確定“高質(zhì)量發(fā)展是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的首要任務(wù)”的新部

署.某企業(yè)落實該舉措后因地制宜，發(fā)展經(jīng)濟，預(yù)計2023年人均交增加1000元收入，以后

每年將在此基礎(chǔ)上以10%的增長率增長，則該企業(yè)每年人均增加收入開始超過3000元的年

份大約是

（參考數(shù)據(jù)：111371.10,InlO?2.30,Inll?2.40）

A.2030年B.2032年C.2033年D.2035

年

5.某校高三年級800名學(xué)生在高三的一次考試中數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N（89,13?）,

若某學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?02分，則該學(xué)生數(shù)學(xué)成績的年級排名大約是

(附：P(〃-crWXW〃+cr)u0.6827,0(/z—2crWXW〃+2cr卜0.9545,

P(〃—3bWXW〃+3o■卜0.9973)

A.第18名B.第127名C.第245名D.第

546名

6.已知等差數(shù)列｛4｝與各項為正的等比數(shù)列｛q+d｝滿足：％=4=1,%=3,

4+4=19,則

A.b.=14B.a=17C.b4—50

D.d=54

7.我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是

官員或私人簽署文件時代表身份的信物,后因其獨特的文化內(nèi)涵,也被作為裝飾物來使用.圖

1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐

組成的幾何體；如圖2,已知正四棱柱和正四棱錐的體積之比為3：1,且該幾何體的頂點均

在體積為36二的球的表面上，則該幾何體的表面積為

圖1圖2

A.48+16后B.64+160C.48+32萬

D.64+32亞

8.已知函數(shù)〃x)=2Gsin尤cosx-2sin2%,若"％)在區(qū)間a三上是單調(diào)函數(shù)，則實

數(shù)。的取值范圍是

71717171

6'312’312’3

6'3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.某校舉行演講比賽，10位評委對某選手的評分如下：7.5,7.8,7.8,7.8,8.0,8.0,

8.3,8.3,8.8,8.9,選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后，剩下8個評分

的平均數(shù).則下列說法正確的是

A.剩下的8個評分的眾數(shù)為7.8

B.原來的10個評分的80%分位數(shù)8.3

C.剩下的8個評分的平均數(shù)比原來的10個評分的平均數(shù)小

D.剩下的8個評分的方差比原來的10個評分的方差小

10.已知。＞。＞0,則下列不等式一定成立的是

ablaba2+b1

A.-------＞-------B.-------＜J-----------Ca+b+In(^ab)>2

a+lb+1a+b、2

1+lna1+lnZ?

11.設(shè)圓(％—2『+(y—4)2=16的圓心為M,雙曲線C：?—2=1的左右焦點分別耳，

F2,已知圓M與雙曲線C相交于A,8兩點，且|4同=4攻，則下列說法正確的

A.雙曲線C的焦距為2#

B.雙曲線C的漸近線方程為＞=±岳

C.雙曲線C的焦點到漸近線距離為2

D.過點M且與雙曲線C的右支有2個交點的直線的斜率的取值范圍是—8，—孝j

12.如圖，在多面體尸中，以，平面四邊形ABCD是正方形，S.DE//PA,

PA=AB=2DE=2,M,N分別是線段BC,PB的中點，。是線段CD上的一個動點，則

下列說法正確的是

A.存在點°,使得

B.存在點。，使得異面直線NQ與尸￡所成的角為30°

12

C.三棱錐Q-4MN體積的取值范圍為-,j

D.當(dāng)點。運動到C。中點時，CD與平面QMN所成角的正弦值為如

6

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=必+xlnx在x=l處的切線方程為

\6

14.2-\/x—~j=的展開式中V的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

I

15.已知定義域為R的函數(shù)“力滿足：/（x+l）=/（l—x）,且函數(shù)/（x+2）為奇函數(shù),

則/（2024）=

%y2

16.已知橢圓C：—-+=1（a>Z?>0）的左、右焦點分別為耳,點尸為橢圓C

ab2

上一點，線段耳尸與y軸交于點。，若|尸@=2|0解，且“耳鳥為等腰三角形，則橢圓C

的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知數(shù)列｛〃/的前〃項和為S“，點〃,j在直線丁=尤+2的圖象上.

\n7

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）若數(shù)列抄〃-4｝是首項為1且公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列抄“｝的前n項和7；.

18.（本小題滿分12分）

在三棱臺ABC—AlBlCi中，已知AA｛_L平面ABC,AB=AC=4,AA1==AlCl=2,

ZBAC=90°.

B

第18題圖

(1)證明：平面ABC1，平面CBC]；

(2)若M,N分別為4c與AB的中點，直線MN與直線AG相交于點P,求平面ABC1

與平面ABP的夾角的余弦值.

19.(本小題滿分12分)

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且JO-asinC=JIccosA.

(1)求角C；

(2)若c=3,/ACS的平分線CD交A8于點。，且CD=2,求△ABC的面積.

20.(本小題滿分12分)

已知點P為拋物線C：產(chǎn)=2X(p>。)的焦點，點尸(2,1),2(0,1),S.\PF\=\QF\.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/過點。且與拋物線C相交于A,B兩點，面積為4后，求直線/的方

程.

21.(本小題滿分12分)

某企業(yè)對500個產(chǎn)品逐一進行檢驗，檢驗“合格”方能出廠.產(chǎn)品檢驗需要進行三項工序A、

8、C,三項檢驗全部通過則被確定為“合格”，若其中至少2項檢驗不通過的產(chǎn)品確定為“不

合格”，有且只有1項檢驗不通過的產(chǎn)品將其進行改良后再檢驗A、B兩項工序，如果這兩

項全部通過則被確定為“合格”，否則確定為“不合格”.每個產(chǎn)品檢驗A、B、C三項工序

工作相互獨立，每一項檢驗不通過的概率均為p(0<p<l).

(1)記某產(chǎn)品被確定為“不合格”的概率為/(p),求的值；

(2)若不需要重新檢驗的每個產(chǎn)品的檢驗費用為120元，需要重新檢驗的每個產(chǎn)品兩次檢

驗費用為200元.除檢驗費用外，其他費用為2萬元，且這500個產(chǎn)品全部檢驗，該企業(yè)預(yù)

算檢驗總費用(包含檢驗費用與其他費用)為10萬元.試預(yù)測該企業(yè)檢驗總費用是否會超

過預(yù)算？并說明理由.

22.(本小題滿分12分)

xl

e-1

設(shè)函數(shù)/(%)=-------Inx-1,=2^-1(x-l)-x.

x2

(1)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+x)上的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,+co)上的極值點為〃且零點為Z?,求證：a]nb-blna>0.

（參考數(shù)據(jù)：111270.693,2.718）

常德市2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三檢測考試

數(shù)學(xué)（參考答案）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號12345678

答案ABDDBCAA

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分

選對的得2分，有選錯的得0分.

題號9101112

答案ACDABADACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

A/3-I

13.y=3x-214.6415.016.---------

2

四、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

解：

（1）??,點在直線y=x+2的圖象上,

In）

.?.1=”+2,即S“=+2/7

n

當(dāng)〃=1時，％=S[=3

當(dāng)〃與2時，S,T=(n2+2n)-[(〃—l)2+2(n—1)]=2"+1

又％=3符合上式,

an=2n+l(〃wN*)

(2)由題設(shè)可知2-4=2〃T

則2=2〃+l+2"T

Tn=(3+5+7++(2〃+l))+(l+2+4++2〃一)

〃(3+(2〃+l))\-2n

21-2

=T+rr+2n-l

18.（本小題滿分12分）

（1）證明：取AC的中點。，則AZ>〃4G且AD=AG，

四邊形ADG4為平行四邊形，則有AAnGDuZ,

又AD=CD=2,故NAC]C=90°,

.，.AQ±CQ

又ACLAB,"AC=A,AA；,ACu平面AC￡4

AB，平面ACQA

又CGu平面ACC\A,

/.AB±CC]

又AG^CC],ACjAB^A,AC】，ABu平面ABC1

CQ_L平面ABCt

又CGu平面CBC[,

平面A3G，平面Cg

（問卷說明：（1）也可用向量方法證明）

（2）如圖，以A為原點，48,AC,44]方向分別向尤軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則5（4,0,0）,C（0,4,0）,4（2,0,2）,40,2,2）,M（1,2,1）,N（2,0,0）

因為尸在直線AC上，設(shè)尸（0,42）,則PM=（L2—4—1）,MN=（1-2-1）

由題意知P,M,N三點共線，可設(shè)PM=kMN,

l=k

則2—%=—2左，解得攵=1,2=4

—1二-k

故0(0,4,2).

設(shè)平面的法向量為m=（九,y,z）,AB=（4,0,0）,AP=（0,4,2）

4x=0

則，取y=l,則切=（0,1,-2）

4y+2z=0

由（i）知CG，平面ABG，取平面ABG的法向量為〃=gcG=（o，—1』）

設(shè)平面ABC,與平面ABP的夾角為。，

I一■Im,n

貝!Jcos0-cos<m,n>=-n--

m\\n

^|0-l-2|=3Vio

—7572—10

故平面ABC,與平面ABP的夾角的余弦值為千。

19.(本小題滿分12分)

解：

(1)因為其—asinC=J^ccosA,由正弦定理可得

\/3sinB-sinAsinC=-73sinCeosA

即y/3sin(A+C)-sinAsinC=V3sinCcosA,

即s/3sinAcosC+^3cosAsinC-sinAsinC-^3sinCeosA,

所以6sinAcosC=sinAsinC

又Ae(0,?),所以sinA>0,

所以GcosC=sinC,則tanC=溝一=百，

cosC

又Cw（O,乃），所以

71

(2)解：由題意得NACD=ZBCO=—,

6

又SAABC=S/V1CD+S&BCD

LL1I17.1ci.兀1

所以一〃/?sm-=—x2psin——F—x2?sin—,

232626

即石。/?=2（。+匕）

由余弦定理得9=a2+b--2abeosg,即9=(a+匕了—3ab

=-3ab,

解得ab=6或ab=—2（舍）

而zc卜?C_3耶

所以SAABC=-absmC=~^-

20.（本小題滿分12分）

解：

（1）由題設(shè)可知尸|尸目=|QF|

整理得2P-4=0,解得p=2.

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=4%

（2）由題可知直線/與拋物線C交于A、8兩點，故直線/的斜率存在且不為0,

可設(shè)直線/的方程為y=履+1（左00）,A（x，yJ、B（x2,y2）

聯(lián)立直線I的方程y=kx+l與拋物線方程V=4%消>得

k2x2+（2k-4）x+l=0

由A=16(1—左)>0得左<1且左70

471+k2

2kl

點P到直線l的距離為d=.11

VFZi

,.?△小^面積為小巧,

12kl

?,^APAB=40

2X加+i

化簡得2f+Z—l=0,

解得左=!或—1

2

直線I的方程為y=gx+l或y=—x+1

21.(本小題滿分12分)

解：

(1)法一：

由題知，每個產(chǎn)品首次檢驗被確定為“不合格”的概率為《p2?！猵)+《p3

首次檢驗有且只有1項檢驗不通過的產(chǎn)品再次檢驗被確定為“不合格”的概率為

C]p(l-p)2[l-(l-p)2]

則f(p)=C；p2(l-p)+Cfp3+C》(l—p)2]

=—3/+12/_]7p3+9/

法二：間接法

/(。)=1-(1--(I"PY^](1-PT

(2)設(shè)每個產(chǎn)品檢驗的費用為X元，則X的可能取值為120,200

由題知P(X=200)=夕(1—p)2

P(X=120)=1-C^p(l-p)2

：.E(X)=120+240p(l-p)2,/?e(O,l)

令g(x)=120+240x(l—x)2,%e(O,l),

則g")=240(3X_1)(%-1),

當(dāng)0<x<g時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng);<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

/」(1400?1400

則nlg(x)Wg[§J=-