2024屆高考數(shù)學(xué)專項妙解離心率問題

妙解離心率問題

【目錄】

考點一:頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題

考點二:焦點三角形頂角范圍與離心率

考點三:共焦點的橢圓與雙曲線問題

考點四:橢圓與雙曲線的4a通徑體

考點五:橢圓與雙曲線的4a直角體

考點六:橢圓與雙曲線的等腰三角形問題

考點七:雙曲線的4a底邊等腰三角形

考點八:焦點到漸近線距離為b

考點九:焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形

考點十:以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題

考點十一:漸近線平行線與面積問題

考點十二:數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長度角度

求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題，多以選擇、填空題的形式考查，難度中等.

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考/卷第5、16題，10分離心率問題一直是高考每年必考，對圓錐曲線

2023年甲卷第9題，5分概念和幾何性質(zhì)的考查為主，一般不會出太難，

2022年甲卷第10題，5分二輪復(fù)習(xí)我們需要掌握一些基本的性質(zhì)和常規(guī)

離心率

2022年浙江卷第16題，4分的處理方法，挖掘橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)下手.

2021年甲卷第5題，5分

2021年天津卷第8題，5分

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

利用曲線的范圍建立不等關(guān)系.

2.利用線段長度的大小建立不等關(guān)系.瓦月為橢圓?血>9。）的左、右焦點，P為橢圓上的任

意一點，爐網(wǎng)|e[a-c,a+c]；4月為雙曲線gg=l（a>0.&>0）的左、右焦點，P為雙曲線上的任一

一a2b2

點，|PE|>C—Q.

3.利用角度長度的大小建立不等關(guān)系.用岳為橢圓宅+￥=1的左、右焦點，P為橢圓上的動點,若/月

ab

P月=凡則橢圓離心率e的取值范圍為sin~|we<l.

4.利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系.

5.利用判別式建立不等關(guān)系.

6.利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

7.利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

2

題目①（2023-新高考I）設(shè)橢圓+y=l（a>1）,G：（+y=1的離心率分別為生，e2.若e2=氐e、,

a4

貝！Ja=（）

A.B.V2C.V3D.V6

o

題目囪（2023-甲卷）已知雙曲線—￡=l（a>0,b>0）的離心率為娓,C的一條漸近線與圓Q-2）2

ab‘

+（夕—3）2=1交于A,B兩點，則|AB|=（）

V5_2V5_「3V5；八

AA，5R5C-5D-5

22

題目33（2022?甲卷）橢圓C：4+"=l（a>b>0）的左頂點為4點P,Q均在。上，且關(guān)于夕軸對稱,若

直線AP,AQ的斜率之積為:，則。的離心率為（）

題目0（2021-甲卷）已知E，鳥是雙曲線。的兩個焦點，P為。上一點，且/月?月=60°,|PE|=3|PE|,則

。的離心率為（）

A.V7B.V13D.平

題目回（2021?天津）已知雙曲線三—斗=l（a>0,6>0）的右焦點與拋物線/=2pa;（p>0）的焦點重合，

ab

拋物線的準線交雙曲線于力，B兩點,交雙曲線的漸近線于兩點，若|8|=2因8,則雙曲線的離心

率為（）

B.V3?M

［題目|6）（2022-甲卷）已知橢圓+?=l（a>b>0）的離心率為今，4,4分別為。的左、右頂點，B

為。的上頂點.若鼐?嬴=—1,則。的方程為（）

A-正+而=1B.g+9=1C?9+丁=1D.^+y-1

題目［jJ（2022-全國）若雙曲線?？肌?l（a>0,b>0）的一條漸近線與直線夕=2c+1垂直，則。的離

ab

心率為（）

A.5B.V5C.4D.項

42

題目回（多選題）（2022。乙卷）雙曲線C的兩個焦點為E，E，以。的實軸為直徑的圓記為。，過E作。的切

線與。交于M,N兩點，且cos/理田=3,則。的離心率為（）

5

A乎B.fC.呼D.平

22

題目可（2023?新高考I）已知雙曲線鼻—%=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為E，￡.點入在。上,

ab~

點口在沙軸上，瓦？，的，南=一1■麗，則。的離心率為

［題目I10〕（2022-浙江）已知雙曲線W—%=l（a>0,5>0）的左焦點為F,過F且斜率為擊的直線交雙曲

線于點40，％），交雙曲線的漸近線于點3（電，%）且電<0<如若|FB|=3|FA|,則雙曲線的離心率是

考點一:頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題

■規(guī)律總結(jié)

頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題，如圖所示：

橢圓：e=-~±——=--------i---------,根據(jù)a范圍求解值域.

sma+cosa2sin(a+⑥

雙曲線：e=——L—=-------------------，根據(jù)a范圍求解值域.

cosa-smaV2cos(?+1)

題型特訓(xùn)

?M

吼1（2。24-重慶沙坪壩-高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知橢圓，+%心9。）上一點4它關(guān)于原

點的對稱點為B,點F為橢圓右焦點，且滿足AF，BF,設(shè)AABF=a，且ae［金晝），則該橢圓的離心

率e的取值范圍是（）

A.［冬遍-1）B.［f普］D.［哈甯

22

題目B（2024?高三單元測試）已知橢圓與+9=l（a>6>0）上有一點A,它關(guān)于原點的對稱點為B,點F

ab

為橢圓的右焦點，且設(shè)瓦占a,且aC［白則該橢圓的離心率e的取值范圍為（）

L12b」

A."—1,平］B.［遍—1,*C.［平，甯D.（0,乎）

題目區(qū)（2024.寧夏銀川.高三銀川二中?？茧A段練習(xí)）己知橢圓考■+￡■=l（a>6>0）上有一點A,它關(guān)于

ab

原點的對稱點為8,點F為橢圓的右焦點,且滿足設(shè)/ABF=a，且&C［金，舅,則該橢圓的離

心率e的取值范圍為（）

A.弩普］B/第/卷］乎］D.［?］

22

題目區(qū)（2024.河南駐馬店.高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線。:號-9（a>6>0）右支上非頂點的一點A關(guān)于原

ab

值范圍是（）

A.(V2,2]B.[V2,+co)C.(V%+8)D.(2,+oo)

考點二:焦點三角形頂角范圍與離心率

?規(guī)律總結(jié)

22

E,凡是橢圓號+*=l（a>b>0）的焦點，點P在橢圓上，/及P￡=。,則cos9>l—2e?（當(dāng)且僅當(dāng)動點

（1bz一

為短軸端點時取等號）.

網(wǎng)］1（2024?遼寧葫蘆島?高三統(tǒng)考期末）已知點E，E分別是橢圓M+M=l（a>b>0）的左、右焦點，點P

ab

是橢圓上的一個動點，若使得滿足APF；E是直角三角形的動點P恰好有6個，則該橢圓的離心率為

()

B.空D.冬

O

題目工（2024?江西撫州?高三統(tǒng)考期末）設(shè)E,方是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點p,使乙?鏟月=120°,則

橢圓離心率的取值范圍是（）

?M

A.(0,

D?［乎J)

題目囪（2024.寧夏.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知用，鳥是橢圓C:g+g=l（a>b>0）的兩個焦點，若橢

ab

圓。上存在點P,使得PE，PE，則橢圓的離心率的取值范圍為（）

A.白空）B.[fa）C.（o4]DQ孚]

22

題目可（2024?高三課時練習(xí)）已知橢圓4+9=l（a>6>0）的兩個焦點分別為瓦、E，若橢圓上存在點

ab

P使得/EP月是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（。，*）B.（冬1）C.（0）1）D.（1）1）

考點三:共焦點的橢圓與雙曲線問題

■^規(guī)律總結(jié)

i2Acos2紅

—sn六+—止=1,與基本不等式聯(lián)姻求解離心率的取值范圍

e橢e雙

一題型特訓(xùn)

腳11（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點E，E，P是它們的一個交點，且/用。鳥=

告,記橢圓和雙曲線的離心率分別為生工2,則當(dāng)工取最大值時，e]，e2的值分別是（）

36但

建目工（2024.湖南?高三校聯(lián)考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點用，月，P,Q分別是它們在第一象限

和第三象限的交點，且QFU&P,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e“e2,則4e；+e；最小值等于.

題目叵（2024.湖北咸寧.校考模擬預(yù)測）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為回，

E，且兩條曲線在第一象限的交點為鳥是以PE為底邊的等腰三角形，若|PE|=24,橢圓與雙曲線

的離心率分別為生/2,則3eg2的取值范圍是（）

A.（l，+8）B.（l,+oo）C.（!，+co）D.（J,+co）

考點四:橢圓與雙曲線的通徑體

4a

■規(guī)律總結(jié)

橢圓與雙曲線的4a通徑體

如圖，若A耳，EE,易知|人月|="，若羽=痛茁Q>1）,則一定有|力司=,根據(jù)\AF{\+\AF2\=

a2a

2a可得笥3-?=2a,即叩?（1—e2）=lne=J^K

而J1（2024.河南新鄉(xiāng).高三統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線C：金—乂=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別是用、冷過后

-ab

的直線交雙曲線。的左支于河、N兩點，若|A必|=|用勾，且2|上用|=|N用，則雙曲線。的離心率是

（）

22

題目工（2024.甘肅慶陽.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）己知用，月分別是橢圓。：與+9=l（a>6>0）的左、右焦

ab

點，過點E的直線交橢圓。于M,N兩點.若|ACV|+|g|=2|皿四，且岫,則橢圓C的離心率為

B?普

C.亨

題目團（2024?湖南衡陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：4+￥=l（a>6>0）的左、右焦點分別為后、耳，過

ab

用作直線，與橢圓相交于M、N兩點，/蟠N=90°,且4網(wǎng)N|=3|昌叫,則橢圓的離心率為（）

AA.B工Cn娓

A，3B2C-3D5

考點五:橢圓與雙曲線的直角體

4a

■規(guī)律總結(jié)

如左圖，若AR,,48過原點，且衣產(chǎn)在酒,/a,則ecos?=可得離心率.

如右圖，若四，AC,AB過原點，且/2=通苕（0<4<1），通過補全矩形，可得AFUAC，3回=

41?上，借助公式ecosa=可得離心率.

2a4+1

題型特訓(xùn)

0U（2。24.山東濟南.校聯(lián)考）設(shè)此月分別是橢圓4+^=1（99。）的左、右焦點，過￡的直線交橢

圓于4B兩點，且羽?旗=0,溷=2演，則橢圓E的離心率為（）

R3

B

-7?M

遒?、?4?安徽池州?高三統(tǒng)考期末）設(shè)印用分另叫橢圓七號+2=傘>9°）的左、右焦點'過點用

（―c,0）的直線交橢圓E于兩點，若以用|=3國B|,且48,4鳥,則橢圓E的離心率是（）

D.警

［題目|2］（2024.湖北黃岡.高三統(tǒng)考期末）已知橢圓C:三+g=l（a>6>0）的左、右焦點分別為此，與過

月的直線交橢圓于4B兩點，演=4磔，且福?亞=0,橢圓。的離心率為卓,則實數(shù)4=（）

A.。OB.2C.方OD.3

考點六:橢01與雙曲線的等腰三角形問題

一坪件產(chǎn)結(jié)

同角余弦定理使用兩次

題工己知橢圓。的焦點為用（一1,0）,另（1,0）,過月的直線與。交于48兩點.若|3月1=2網(wǎng)B|,|4B||=

|B司，則。的方程為（）

A土I2_1T5工?1r_1pi-Iy~—］p>工Iy一1

A.^+y-1B-T+y-1C7+與TD.與+4-1

題目工（2024?江西九江?高三九江一中?？计谀┮阎p曲線三一K=l（a>0,b>0）左右焦點為E，E，

ab

過月的直線與雙曲線的右支交于P,Q兩點，且標2=2或，若4PQ四為以Q為頂角的等腰三角形，則雙

曲線的離心率為（）

A.-\/7B.C.OD.-\/3

原目區(qū)（2024?遼寧沈陽?高三沈陽二中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線4—￥=l（a>0,b>0）左右焦點為用,

ab

E，過其的直線與雙曲線的右支交于P,Q兩點，且時2=3就，若4PQ用為以Q為頂角的等腰三角形，則

雙曲線的離心率為（）

A.3B.2C.V2D.V3

考點七:雙曲線的4a底邊等腰三角形

?規(guī)律總結(jié)

1

當(dāng)㈤川=\F2B\或者|人目=4a時，令NAR^=a,則一定存在①|(zhì)W|=舊目,②e=,

Vcos2a???

22

刷1（2024.河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)E為雙曲線C：與—9=l（a>0,6>0）的右焦點，直線Z"—3夕

ab

+c=0（其中c為雙曲線。的半焦距）與雙曲線。的左、右兩支分別交于M,N兩點，若麗?

（加+麗）=0,則雙曲線。的離心率是（）

A.2富B.乎C.春D.李

3332

題目田（2024?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)同為雙曲線C：4一￡■=l（a>0,b>0）的右焦點，直線Z：2一2夕

ab

+c=0（其中c為雙曲線。的半焦距）與雙曲線。的左、右兩支分別交于兩點，若加?（麗+成）

=0,則雙曲線。的離心率是（）

A.4B.4C.D.烏^

3333

22

、題目區(qū)（2024?全國?高三長垣市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)雙曲線C:4—%=l（o>0,6>0）的左、右焦

a2b2

點分別為瓦E，過點E作斜率為4的直線Z與雙曲線。的左、右兩支分別交于兩點,且

（另訪+或）?加=0,則雙曲線。的離心率為（）

A.V2B.V3C.V5D.2

［題目①（2024?全國?模擬預(yù)測）已知E，E分別為雙曲線。名―4=19>0,6>0）的左、右焦點，過E的

arb

直線與雙曲線。的左支交于A,B兩點，連接入鳥，B鳥，在△4B月中，sin/竽里=：,|48|=田可|,則雙

曲線。的離心率為（）

A.3B.V2C.V3D.2

考點八:焦點到漸近線距離為b

規(guī)律總結(jié)

雙曲線的特征三角形，如圖所示,設(shè)漸近線k-.y=-x,l2：y=-2工,過右焦點作FW，。3由于漸近

aa

線方程為片±9,故=3且斜邊°耳口c,故黑=需=?，故］。必=］。川=%感回

=\NF,\=b.

22

網(wǎng)］1（2024?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:9-&=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為用,

ab

月，過后作雙曲線。的一條漸近線的垂線Z,垂足為H,直線Z與雙曲線。的左支交于E點，且H恰為線

段朋的中點，則雙曲線。的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

題目工（2024?吉林白山?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線"—%=l（a>0,6>0）的左右焦點分別為3

ab

用以O(shè)R為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點河（異于坐標原點O），若線段M艮交雙曲線于點P,且

山里〃OP則該雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.乎D.V6

痼目0（2024.山西運城.高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線4-^=1（?>0,&>0）的左、右焦點分別為&段以

ab

OR為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點若線段上有交雙曲線于點P,且|PE|=5|PEl，則雙曲線

的離心率為（）

A.B.C.V2D.V3

44

題目區(qū)（2024.遼寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線°—耳=l（o>0,6>0）的一個焦點為F,過F作雙曲

ab

線。的一條漸近線的垂線,垂足為A若△OR4（O為坐標原點）的面積等于￥（c為雙曲線。的半焦距）,

則雙曲線。的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

題目④（2024.廣西南寧.統(tǒng)考）已知雙曲線E：與-4-l（O>0,b>0）的左焦點為E，過點E的直線與兩條

（Ibz

漸近線的交點分別為M、N兩點（點FI位于點用■與點N之間），且礪=2麗，又過點E作EPJ_于P

（點O為坐標原點），且QN|=|OP|,則雙曲線E的離心率6=（）

A.V5B.V3C.D.乎

考點九:焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形

■規(guī)律總結(jié)

利用幾何法轉(zhuǎn)化

一題型特訓(xùn)

血］1（2024.江西九江.高三九江一中?？茧A段練習(xí)）F是雙曲線冬—%=l（a>0,6>0）的左焦點，過點F作

ab

雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為交另一條漸近線于點B.若3兩=麗，則此雙曲線的離心率為

（）?M

A.2B.C.D.V3

oo

22

題目0（2024廣西玉林??？寄M預(yù)測）過雙曲線C：%—斗=l（a>0,6>0）的右焦點F引一條漸近線的

CLb2

垂線，與另一條漸近線相交于第二象限，則雙曲線。的離心率的取值范圍是（）

A.,+oo）B.（V3,+8）C.（2,+oo）D.（3,+°o）

22

題目區(qū)（2024?江西新余?統(tǒng)考）已知雙曲線。:與—3=l（a>0,6>0）,過右焦點F作。的一條漸近線的垂

ab

線，，垂足為點與。的另一條漸近線交于點B,若#=?左友則。的離心率為（）

5

空c2V3

AB.2c.kD.《

5

考點十:以兩焦點為直徑的Bi與漸近線相交問題

■^規(guī)律總結(jié)

以FE為直徑作圓，交一條漸近線y=9于點B'班交另一條漸近線于點4則令/反況二°,則/班

F2=-y,e=+tan%

睥11（2024?全國?校聯(lián)考）過雙曲線C：4—9=l（a>0,b>0）的右焦點F作立軸的垂線，與雙曲線C及其一

a-b2

條漸近線在第一象限分別交于4B兩點，且赤=2小4一場（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率是

（）

A.2.B.V3C.D.

/O

心5（2。24.山西晉城.統(tǒng)考）設(shè)F"是雙曲線。：。務(wù)1（9。,9。）的左、右焦點，以線段至為

直徑的圓與直線bx—ay=0在第一象限交于點_A,若tanZAJ^O=2，則雙曲線。的離心率為（）

???

5_

題目0（2024.河北衡水.高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線。：考■—￡■=l（a>0,6>0）的左，

ab

右焦點分別為此，月，若以EE為直徑的圓和曲線。在第一象限交于點P,且APOE恰好為正三角形，則雙

曲線。的離心率為（）

1+V3

C.1+A/3D.1+V5

題目3（2024?陜西寶雞?統(tǒng)考）已知雙曲線C:馬—冬=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為用，后,且以E月

為直徑的圓與雙曲線。的漸近線在第四象限交點為P,P用交雙曲線左支于Q,若2瓦目=），則雙曲線的

離心率為（）

V10+1V5+1

B.VWD.V5

考點十一:漸近線平行線與面積問題

?規(guī)律總結(jié)

①雙曲線c：N—%=1上的任意點。到雙曲線。的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)@半

a-c2

2

①2y

②雙曲線。：三7—2=1上的任意點P作雙曲線。的兩條漸近線的平行線，分別交于A,B兩點，則

廬川|PB|是一個常數(shù):,SAOBP=^-,OA-OB=丐^

^題型特訓(xùn)

網(wǎng)］1（2024?北京?人大附中?？迹┮阎狤，方分別為雙曲線。：考■—*=1（&>0力>0）的左、右焦點,過河作

ab

。的兩條漸近線的平行線,與漸近線交于兩點.若cos/MFW=2,則。的離心率為（）

C.V5

題目①（2024.山東濰坊.高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線。:考■—4=：!（&>0,6>0）上一點P坐標為（逐,m）

ab

（M>0）,F為雙曲線。的右焦點，且PF垂直于力軸.過點P分別作雙曲線。的兩條漸近線的平行線，它們

與兩條漸近線圍成的圖形面積等于1,則該雙曲線的離心率是.

、題目區(qū)（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）過雙曲線C：名—￡=l（a>0,6>0）右支上一

a2bz

點P作兩條漸近線的平行線分別與另一漸近線交于點A/,N,O為坐標原點，設(shè)△OAiN的面積為S,若S

>9,則雙曲線。的離心率取值范圍為.（用區(qū)間作答）

考點十二:數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長度角度

.岬什M辛

數(shù)形結(jié)合

■k題型特訓(xùn)

22

吼工（2024.四川瀘州.高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知耳,另分別為雙曲線。：%—%=

l（a>0,6>0）的左、右焦點，P是。左支上一點，|P￡|=21P園，若存在點初滿足F\P=TMP,OM-FP}

=0,則。的離心率為.

［題目,（2024?內(nèi)蒙古赤峰?高三?？计谀┮阎p曲線「:《一￥=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為E，

ab

3點A在r上,且福?萬苞=0,射線分別交「于B,。兩點（O為坐標原點），若I居8|=區(qū)。，則

r的離心率為.

「題目囪（2024.福建龍巖.高三福建省連城縣第一中學(xué)校考期末）如圖，已知雙曲線C：4-17=1的左、

右焦點分別為■是。上位于第一象限內(nèi)的一點，且直線F2M與y軸的正半軸交于A點，/XAMF.的內(nèi)

切圓在邊上見上的切點為N,若|AW|=2,則雙曲線。的離心率為.

「2X

妙解離心率問題

【目錄】

考點一:頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題

考點二:焦點三角形頂角范圍與離心率

考點三:共焦點的橢圓與雙曲線問題

考點四:橢圓與雙曲線的4a通徑體

考點五:橢圓與雙曲線的4a直角體

考點六:橢圓與雙曲線的等腰三角形問題

考點七:雙曲線的4a底邊等腰三角形

考點八:焦點到漸近線距離為b

考點九:焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形

考點十:以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題

考點十一:漸近線平行線與面積問題

考點十二:數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長度角度

求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題，多以選擇、填空題的形式考查，難度中等.

考點要求考題統(tǒng)計考倩分析

2023年新高考/卷第5、16題，10分離心率問題一直是高考每年必考，對圓錐曲線

2023年甲卷第9題，5分概念和幾何性質(zhì)的考查為主，一般不會出太難，

2022年甲卷第10題，5分二輪復(fù)習(xí)我們需要掌握一些基本的性質(zhì)和常規(guī)

離心率

2022年浙江卷第16題，4分的處理方法，挖掘橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)下手.

2021年甲卷第5題，5分

2021年天津卷第8題，5分

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

利用曲線的范圍建立不等關(guān)系.

2.利用線段長度的大小建立不等關(guān)系.4其為橢圓冬+g=l(a>6>0)的左、右焦點，P為橢圓上的任

ab

意一點，e[a-c,a+c]；4月為雙曲線gZ=l(a>0,&>0)的左、右焦點，P為雙曲線上的任一

一a2b2

點，|PE|>C—Q.

3.利用角度長度的大小建立不等關(guān)系.耳譙為橢圓宅+￥=1的左、右焦點，P為橢圓上的動點，若窈

ab

P￡=。,則橢圓離心率e的取值范圍為sin-|-<e<l.

4.利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系.

5.利用判別式建立不等關(guān)系.

6.利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

7.利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

2

題目刀(2023-新高考I)設(shè)橢圓+y=l(a>1),+y=1的離心率分別為et,e2.若e2=氐e、,

a4

貝！JQ=()

A.B.V2C.V3D.V6

【答案】A

【解析】由橢圓。2：今+y2—1可得電=2,匕2=1，二。2=V4—1=V3,

橢圓。2的離心率為已2=，

,?*e2=V3ei,e產(chǎn)J,-=

/QlN

:.Q；=4ct=4(ai—fei)=4(a?—1),

...a=手或a=_當(dāng)1(舍去).

oo

故選：A.

題目J](2023.甲卷)已知雙曲線。:考■—￡=l(a>0,b>0)的離心率為逐，。的一條漸近線與圓(,一2)2

ab

+3—3)2=1交于兩點，則|AB|=()

AV5_B2V10-^1D

5555

【答案】。

22

【解析】雙曲線C:—z---冬—l(a>0,b>0)的離心率為V5,

ab

可得c=V5a，所以b=2Q,

所以雙曲線的漸近線方程為：y=±2x,

一條漸近線與圓(x-2)2+(g—3)2=1交于4,6兩點，圓的圓心(2,3),半徑為1,

|4-3|1

圓的圓心到直線g=2%的距離為：

V1+4

T_4V5

所以|4B|二2

5—5.

故選：D

22

皿>。22.甲卷）橢圓。?l（a〉b>。）的左頂點為4點P,Q均在。上，且關(guān)于“軸對稱.若

直線AP,AQ的斜率之積為十，則。的離心率為（）

士

AAB.Wc—D

-2。2-f

【答案】A

【解析】已知A（—Q,0）,設(shè)P（g,%），則Q（-g,%）,

^AP~y。

x0+a'

^AQ-y。

a—x0

y。Vo7①，

故^AP'^AQ'

x0+aa-x0O^-XQ

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??T+需=1,即得5逾②,

aba

②代入①整理得：鳥=1

a口，

cV3

e=一二=

a2

故選：4

題目0（2021-甲卷）已知E，用是雙曲線。的兩個焦點，P為。上一點,且/理P月=60°,|P罰=3|。月|,則

。的離心率為（）

A.V7B.V13C.笄D.

【答案】。

【解析】設(shè)F園=m,FEI="，

則根據(jù)題意及余弦定理可得：

m=3n

x=/+一一4/，解得

{22mn

所求離心率為至=2c=/^=近.

2am—n2

V7C

故選：c.

題目0（2021-天津）已知雙曲線%—*=l（a>0,6>0）的右焦點與拋物線娟=2pc（p>0）的焦點重合，

a匕

拋物線的準線交雙曲線于兩點,交雙曲線的漸近線于C,。兩點，若|。。|=四因8,則雙曲線的離心

率為（）

A.V2B.V3C.2