八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【答案】

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

1.下面是同學(xué)們設(shè)計的一些美麗有趣的圖案，其中是軸對稱圖形的是（）

◎

2.為慶祝首個“中國農(nóng)民豐收節(jié)”，十渡鎮(zhèn)西河村舉辦“西河稻作文化節(jié)”活動.西河水

稻種植歷史悠久，因“色白粒粗，味極香美，七煮不爛”而享譽京城.已知每粒稻谷重

約0.000035千克，將0.000035用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.35X10-6B.3.5X10-6C.3.5X10-5D.0.35X10-4

3.如果在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.無W7B.x<7C,x>7D.

4.下列運算正確的是（）

A.也=±2B.（4）2=4C.J（-4）2=-4D.（一《）2=-4

5.如圖，RtAABC^RtADEF,ZE=55°，則NA的度數(shù)為（)

C.45°D.55°

6.如圖，AABC中，NC=90°,AO平分NC48,交BC于點、D,OELA8于點￡若C￡>

)

A.2B.3C.灰D.2表

7.如圖，AABC中，AB=AC,AD1BC,垂足為D,DE//AB,交4c于點E,則下列結(jié)論

A.ZCAD=ZBADB.BD=CDC.AE=EDD.DE=DB

8.如圖，有三種規(guī)格的卡片共9張，其中邊長為“的正方形卡片4張，邊長為6的正方形

卡片1張，長，寬分別為人的長方形卡片4張.現(xiàn)使用這9張卡片拼成一個大的正方

形，則這個大正方形的邊長為（）

a

A.2a+bB.4a+bC.a+2bD.a+3b

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.若分式2a的值為o,則x的值是.

X

10.計算翼■一^■的結(jié)果是.

11.計算（J%2）（斐-2）的結(jié)果是.

12.在"BC中，AB=AC,BC=5,/8=60°,則△ABC的周長是.

13.如圖，線段AB與CD相交于點。，且04=。。，連接AC,BD,要說明△40C絲△D08,

還需添加的一個條件是.（只需填一個條件即可）

14.寫出一個能用平方差公式分解因式的多項式：.

15.已知#+2x=3,則代數(shù)式（x+l）2-（x+2）（x-2）+x2的值為

16.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中記

載了一個“折竹抵地”問題：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，問折者高幾何？”

譯文：“有一根竹子，原高二丈（1丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，竹梢觸地面處與竹根的距離

為6尺，間折斷處離地面的高度為多少尺？”

如圖，我們用點4B,C分別表示竹梢，竹根和折斷處，設(shè)折斷處離地面的高度8C=x尺,

則可列方程為.

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第2￡26題，每小題5分，第27,

28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.計算：（避義/-萬）

18.分解因式：4ma2-mb2.

以解方程：左=一品.

20.如圖，AB=AC,點O,E分別是線段4c的中點，連接BE,CD.求證：ZB=Z

C.

21.下面是小蕓設(shè)計的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程.

已知：AABC.

求作：△48C的邊BC上的高AD

作法：①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，

交直線BC于點M,N；

②分別以點M,N為圓心，以大于＞1-的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；

③作直線AP交BC于點D,則線段AD即為所求AABC的邊BC上的高.

根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明：

證明：''AM=,MP=,

是線段MN的垂直平分線.()(填推理的依據(jù))

.?.A￡>_LBC于O,即線段AO為△ABC的邊BC上的高.

A

22.如圖，四邊形48C。中，NB=90°,ZACB=30°,AB=2,CD=3,AD=5.

(1)求證：AC±CD：

(2)求四邊形ABC。的面積.

23.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點0(0,0),4(-1,2),B(2,1).

(1)在圖中畫出/\AO8關(guān)于y軸對稱的△4。*,并直接寫出點&和點鳥的坐標；(不

寫畫法，保留畫圖痕跡)

(2)在x軸上存在點尸，使得PA+P8的值最小，則點尸的坐標為,PA+P8的最小

2

24.先化簡，再求值：(1-二)2*二一,其中，“=2019.

m-2m-2m

25.下面是兩位同學(xué)的一段對話：

聰聰：周末我們?nèi)也┪镳^參觀“偉大的變革--慶祝改革開放40周年大型展覽”吧.

明明：好啊，我家離國家博物館約30km,我坐地鐵先走，地鐵的平均行駛速度是公交車的

1.5倍呢.

聰聰：嗯，我周末住奶奶家，離國家博物館只有封小，坐公交車，你出發(fā)40分鐘后我再出

發(fā)就能和你同時到達.

根據(jù)對話內(nèi)容，請你求出公交車和地鐵的平均行駛速度.

26.閱讀下列材料:

在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替(即換元)，不僅

可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因

式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”.

下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式(》2-4x+l)(%2-4x+7)+9進行因式分解的過程.

解：設(shè)N-4x=y

原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)

=y2+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(N-4x+4)2(第四步)

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

(1)小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的______；

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果：；

(3)請你用換元法對多項式(#+20(N+2V+2)+1進行因式分解.

27.已知6C=5,AB=1,ABLBC,射線CMJ_8C,動點尸在線段8c上(不與點8,C重

合)，過點P作。FLAP交射線CM于點。，連接AO.

(1)如圖1,若BP=4,判斷△AOP的形狀，并加以證明.

(2)如圖2,若BP=1,作點C關(guān)于直線。尸的對稱點C',連接AC'.

①依題意補全圖2；

②請直接寫出線段AC，的長度.

圖1圖2

28.一般情況下，且4=烏+1不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如：a=l,b=2.

abab

我們稱使得且W==+l成立的一對數(shù)a,b為“相伴數(shù)對"，記為(a,b).

abab

(1)判斷數(shù)對(-2,1),(3,3)是否是“相伴數(shù)對”；

(2)若(k,-1)是“相伴數(shù)對”，求k的值；

2

(3)若(4,，〃)是“相伴數(shù)對”，求代數(shù)式您二叵二燮匚1注的值.

3m(m-4)

2018.2019學(xué)年北京市燕山區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

1.下面是同學(xué)們設(shè)計的一些美麗有趣的圖案，其中是軸對稱圖形的是（）

B.

【分析】根據(jù)軸對稱的定義，結(jié)合所給圖形進行判斷即可.

【解答】解：A、是軸對稱圖形;

B、不是軸對稱圖形;

C、不是軸對稱圖形;

。、不是軸對稱圖形;

故選：A.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊

后可重合.

2.為慶祝首個“中國農(nóng)民豐收節(jié)”，十渡鎮(zhèn)西河村舉辦“西河稻作文化節(jié)”活動.西河水

稻種植歷史悠久，因“色白粒粗，味極香美，七煮不爛”而享譽京城.已知每粒稻谷重

約0.000035千克，將0.000035用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.35X10-6B.3.5X10-6C.3.5X10-5D.0.35X10-4

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中1WIHV10,〃為整數(shù).確定〃的值

時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值＞1時，"是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負數(shù).

【解答】解：0.000035=3.5X10-5,

故選：C.

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其中

l^laKW,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及"的值.

3.如果在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.xW7B.x<7C.x>7D.x27

【分析】直接利用二次函數(shù)有意義的條件分析得出答案.

【解答】解：???《，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

Ax-7^0,

解得：x27.

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

4.下列運算正確的是（）

A.5=±2B.（也）2=4C.1（-4）2=-4D,（-也）2=-4

【分析】根據(jù)算式平方根的定義和二次根式的性質(zhì)逐一化簡可得.

【解答】解：4皿=2,此選項錯誤；

B.（、月）2=4,此選項正確；

C.d（_4）2=%此選項錯誤；

D.（-4）2=%此選項錯誤；

故選:B.

【點評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì).

5.如圖，RtAABC^RtADEF,ZE=55°，則NA的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/EOF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答.

【解答】解：\-ZEFD=90°,NE=55°,

：.ZEDF=90°-55°=35°,

VRtAABC^RtADEF,

ZA=ZEDF=35°,

故選:B.

【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)角相

等是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，AABC中，ZC=90°,平分NCAB,交BC于點、D,OELA8于點E,若CQ

=灰，則?！甑拈L為（）

g------------B

A.2B.3C.&D.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：..N。平分/C48,DEVAB,ZC=90°,

:.CD=DE=&,

故選：C.

【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解角平分線的性質(zhì)定理，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

7.如圖，AA8C中，AB=AC,AD1BC,垂足為。，DE//AB,交AC于點E,則下列結(jié)論

不正確的是（）

A.NCAD=NBADB.BD=CDC.AE=EDD.DE=DB

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)解答.

【解答】解：'：AB=AC,ADLBC,

：.ZCAD^ZBAD,A正確，不符合題意；

BD=CD,8正確，不符合題意；

,JDE//AB,

：.ZEDA=ZBAD,

'：ZEAD^ZBAD,

/EAD=NEDA,

：.AE=ED,C正確，不符合題意；

OE與08的關(guān)系不確定，。錯誤，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握在直角

三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，有三種規(guī)格的卡片共9張，其中邊長為。的正方形卡片4張，邊長為人的正方形

卡片1張，長，寬分別為“，人的長方形卡片4張.現(xiàn)使用這9張卡片拼成一個大的正方

形，則這個大正方形的邊長為（）

a.

A.2a+bB.4a+bC.a+2bD.a+3b

【分析】先計算出這9張卡片的總面積，其和為一完全平方式，因式分解即可求得大正方形

的邊長.

【解答】解：由題可知，9張卡片總面積為4a2+4如+兒，

4cfi+4ab+b-=（2a+b）2,

...大正方形邊長為2?+尻

故選：A.

【點評】本題考查了完全平方公式的運用，利用完全平方公式分解因式即可得出大正方形的

邊長.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.若分式注乜的值為0,則x的值是4.

X

【分析】根據(jù)分式的值為零的條件即可求出答案.

（x-4=0

【解答】解：由題意可知：一

IxHO

解得：x=4,

故答案為：4

【點評】本題考查分式的值為零，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的值為零的條件，本題屬于基

礎(chǔ)題型.

10.計算W■二7的結(jié)果是，

【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案.

【解答】解：原式=包3

a-1

=2,

故答案為：2

【點評】本題考查分式的運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)

題型.

11.計算（加+2）（VS-2）的結(jié)果是-1.

【分析】利用平方差公式計算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算可得.

【解答】解：原式=（&）2-22

=3-4

=-1,

故答案為：-1.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運算順

序和運算法則.

12.在/MBC中，A5=AC,BC=5,/B=60°,則ZVLBC的周長是15.

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：ZB=60°,

...△ABC是等邊三角形，

■：BC=5,

.?.△ABC的周長為15,

故答案為15.

【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常

考題型.

13.如圖，線段AB與CO相交于點O,且。4=。。，連接AC,BD,要說明ZMOC會△。。8,

還需添加的一個條件是0C=08或或=或.（只需填一

個條件即可）

B

【分析】已知條件中OA=OD,且NAOC=NDOB為對頂角相等，則還需添加這一對角的

另一對對應(yīng)邊相等或另一組對應(yīng)角相等即可.

【解答】解："OA=OD,且NAOC=NDOB,

二添加0C=08或AB=C。時，依據(jù)SAS即可判定ZSAOC名△OOB；

添加或/8=NC,依據(jù)AS4或44s即可判定NIOC絲/XOOB；

故答案為：OC=OB或AB=C。或NA=ND或NB=NC.(答案不唯一)

【點評】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法,

取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩

角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則

找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊.

14.寫出一個能用平方差公式分解因式的多項式：加一4.

【分析】這是一道自由發(fā)揮問題，根據(jù)能用平方差公式因式分解的多項式的特點，只要是兩

個平方項，且符號相反即可.

【解答】解：：(a+2)(a-2),

—a2-2a+2a-4,

—a2-4,

.?.滿足條件的多項式是:a2-4.

故答案可以是：足-4.

【點評】本題考查了利用平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，是開放型題目，

答案不唯一.

15.已知#+2》=3,則代數(shù)式(x+1)2-(x+2)(x-2)+#的值為8.

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式可以化簡題目中的式子，然后根據(jù)"+入=3整體

代入即可解答本題.

【解答】解：(x+l)2-(x+2)(x-2)+N,

—x2+2x+l-(x2-4)+x2,

=x2+2x+5,

：X2+2X=3

，原式=3+5=8.

故答案為：8.

【點評】本題考查整式的混合運算-化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡求值的方法.

16.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中記

載了一個“折竹抵地”問題：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，問折者高幾何？”

譯文：“有一根竹子，原高二丈（1丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，竹梢觸地面處與竹根的距離

為6尺，問折斷處離地面的高度為多少尺？”

如圖，我們用點4B,C分別表示竹梢，竹根和折斷處，設(shè)折斷處離地面的高度8C=x尺，

則可列方程為內(nèi)2+62=（20-X）2.

【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（20-x）

尺，利用勾股定理解題即可.

【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（20-x）尺，

根據(jù)勾股定理得：『+62=（20-%）2.

故答案為N+62=（20-x）2.

【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運

用勾股定理解題.

三、解答題（本題共68分，第17.22題，每小題5分，第M26題，每小題5分，第27,

28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.計算：（?X斐-阮）

【分析】根據(jù)二次根式的混合運算順序和運算法則計算可得.

【解答】解：原式=（技-6）+&

=技+&-舊+F

=也-打

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運算順

序和運算法則.

18.分解因式：4ma2-mb2.

【分析】應(yīng)先提取公因式4〃?，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解.

【解答】解：4ma2-mb2,

—m(46/2-從),

=m(2a+b)(2a-b).

【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，關(guān)鍵在于提取公因式后繼續(xù)利用平方差

公式進行因式分解.

19.解方程：-^-=1

x+13(x+l)

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗即可得到

分式方程的解.

【解答】解：去分母得，3x=3x+3-2x,

移項合并同類項得，2x=3,

系數(shù)化1得，戶日，

3

檢驗：X="|是原方程的解.

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

20.如圖，AB=AC,點Q,E分別是線段A8,AC的中點，連接BE,CD.求證：NB=N

C.

【分析】證明△A8E絲△AC。(SAS),即可求解.

【解答】證明：???點。，E分別是線段A8,4c的中點,

：.AD=-AB,AE=—AC,

22

'：AB=AC,

：.AD=AE,

在△ABE和△AC。中，AB=AC,/A=NA,AD=AE,

：.^ABE^/\ACD（SAS）,

：.ZB=ZC.

【點評】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，用邊角邊定理判定三角形全等時，一定要

注意的是“兩邊夾一角”.

21.下面是小蕓設(shè)計的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程.

已知：AABC.

求作：ZkABC的邊BC上的高AO.

作法：①以點4為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，

交直線BC于點M,N；

②分別以點M,N為圓心，以大于aMN的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；

③作直線AP交BC于點D,則線段4。即為所求ZMBC的邊BC上的高.

根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：AN,MP=NP,

,AP是線段MN的垂直平分線，（到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直

平分線上）（填推理的依據(jù)）

.?.AOLBC于O,即線段4。為△A8C的邊BC上的高.

【分析】（1）利用幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；

（2）通過作圖得到AM=AN,MP=NP,則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判

斷AP是線段MN的垂直平分線，從而得到A。，8c.

【解答】解：（1）補全的圖形如圖所示;

：.AP是線段MN的垂直平分線(到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分

線上)

：.ADLBC于D,即線段AD為△A8C的邊BC上的高.

故答案為AN,NP,到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般

是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的

性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

22.如圖，四邊形4BC。中，ZB=90°,ZACB=30°,AB=2,CD=3,AD=5.

(1)求證：AC±CD；

(2)求四邊形ABC。的面積.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=24B=4,根據(jù)跟勾股定理的逆定理即可得

到結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理得到尤=妤二于=2/，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：在RtZXABC中，ZB=90°,ZACB=30°,AB=2,

.\AC=2AB=4f

在△ACD中，AC=4,8=3,AO=5,

???42+32=52,即AC2+CZ)2=AO2,

AZACD=90°,

：.AC1CD；

(2)解：在RizMBC中，ZB=90°,AB=2,AC=4f

???8C=朽5=2灰，

RtAABC的面積為2X2A=2Jj,

又「RtZvlC。的面積為LC?C￡>=2X4X3=6,

22

四邊形ABC。的面積為：2jj+6.

【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積，熟練掌握勾股定理的逆

定理是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點O(0,0),4(-1,2),B(2,1).

(1)在圖中畫出“08關(guān)于y軸對稱的ZMIOBI，并直接寫出點A1和點鳥的坐標；(不

寫畫法，保留畫圖痕跡)

(2)在x軸上存在點P,使得PA+PB的值最小，則點P的坐標為(1,0),PA+PB

的最小值為30.

【分析】(1)分別作出點4和點8關(guān)于y軸的對稱點，再與點。首尾順次連接即可得；

(2)作點8關(guān)于x軸的對稱點夕，連接A夕，與x軸的交點即為所求點尸，AB'的長即

為PA+PB的最小值，利用勾股定理計算可得答案.

【解答】解：(1)如圖所示，ZMi。片即為所求；

(2)由圖知，點尸即為所求，點P的坐標產(chǎn)(1,0),

PA+PB的最小值為舊行=3班，

故答案為：(1,0),3班.

【點評】本題主要考查作圖-軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的定義和性質(zhì)，并

根據(jù)軸對稱變換的定義和性質(zhì)得出變換后的對應(yīng)點位置.

24.先化簡，再求值：(1-烏)?衛(wèi)尸些，其中機=2019.

m-2m4-21rl

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將〃7的值代入計算可得.

【解答】解：原式=(嗎-二)?會屬2)

m-2m-2(nri-4)(m-4)

m-2(m+4)(m-4)

ID

nri-4

當(dāng)業(yè)加=2o0ni1a9時‘原店卡式=而201而9=2竭019

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算

法則.

25.下面是兩位同學(xué)的一段對話：

聰聰：周末我們?nèi)也┪镳^參觀“偉大的變革--慶祝改革開放40周年大型展覽”吧.

明明：好啊，我家離國家博物館約30%〃?，我坐地鐵先走，地鐵的平均行駛速度是公交車的

1.5倍呢.

聰聰：嗯，我周末住奶奶家，離國家博物館只有5k機，坐公交車，你出發(fā)40分鐘后我再出

發(fā)就能和你同時到達.

根據(jù)對話內(nèi)容，請你求出公交車和地鐵的平均行駛速度.

【分析】根據(jù)題意列出分式方程，解方程得到答案.

【解答】解：設(shè)公交車平均行駛速度為xh"〃7,則地鐵的平均行駛速度為1.5xh“〃7,

根據(jù)題意，得;32-----=-^-,

1.5xX60

解得，x=22.5,

經(jīng)檢驗：x=22.5是所列方程的解，且符合題意，

5x=1.5X22.5=33.75k，〃//?.

答：公交車和地鐵的平均行駛速度分別為22.5km/h和33.75M.

【點評】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹I」、解、驗、

答.

26.閱讀下列材料:

在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替(即換元)，不僅

可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因

式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”.

下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式-4x+l)-以+7)+9進行因式分解的過程.

解：設(shè)x2-4x=y

原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)

=)，2+8)，+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(W-4x+4)2(第四步)

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

(1)小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的C:

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果：(%

-2#:

(3)請你用換元法對多項式(爐+合)(X2+2A-+2)+1進行因式分解.

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式進行分解因式；

(2)最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；

(3)根據(jù)材料，用換元法進行分解因式.

【解答】解：(1)故選：C;

(2)(x2-4A+1)(X2-4X+7)+9,

設(shè)N-4x=y,

原式=(y+1)(y+7)+9,

=y2+8y+16,

=(y+4)2,

=(x2-4x+4)2,

=(x-2),

故答案為：(x-2)4；

(3)設(shè)“2+設(shè)=y,

原式=y(y+2)+1,

—y2+2y+l,

=(y+1)2,

=(x2+2x+l)2,

=(x+1)支

【點評】本題考查了因式分解-換元法，公式法，也是閱讀材料問題，熟練掌握利用公式法

分解因式是解題的關(guān)鍵.

27.已知8c=5,AB=1,ABLBC,射線CA/_L8C,動點尸在線段8c上（不與點8,C重

合），過點尸作。PL4P交射線CM于點。，連接AD.

（1）如圖1,若BP=4,判斷zMOP的形狀，并加以證明.

（2）如圖2,若BP=1,作點C關(guān)于直線OP的對稱點C',連接AC'.

①依題意補全圖2；

②請直接寫出線段AC'的長度.

圖1圖2

【分析】（1）先判斷出PC=A8,再用同角的余角相等判斷出NAPB=NPOC,得出ZVlBP

鄉(xiāng)△PC。（/LAS）,即可得出結(jié)論；

（2）①利用對稱的性質(zhì)畫出圖形：

②先求出CP=4,AB=AP,/CPO=45°,進而得出C'P=CP=4,NCPD=NCPD=45°,

再判斷出四邊形BQCP是矩形，進而求出4Q=BQ-AB=3,最后用勾股定理即可得出

結(jié)論.

【解答】（1）△AOP是等腰直角三角形.

證明：：8C=5,BP=4,

：.PC=\,

：.PC=AB.

9/ABLBC,CMLBC,DPl.APf

：.ZB=ZC=90°,

ZAPB+ZDPC=90°,ZPDC+ZDPC=90°,

/APB=/PDC,

2B=/C

在△ABP和中，（ZAPB=ZPDC

AB二PC

「?△A8P絲△PCD（AAS）

：.AP=PDf

VZAPD=90°,

.?.△A。尸是等腰直角三角形.

（2）①依題意補全圖2；

圖2

②?:BP=l,AB=1,BC=5,

:.CP=4,AB=APf

VZABP=90°,

ZAPB=45Q,

VZAPD=90°,

：.ZCPD=45°,

連接CP,

???點。與c關(guān)于。P對稱，

???CP=CP=4,ZCPD=ZCPD=45°,

：.ZCPC=90°,

AZBPC=90°,

過點C作CQ±BA交BA的延長線于Q,

.,./0=9O°=NABP=/BPC,

，四邊形8QCP是矩形，

：.CQ=BP=\,BQ=C'P=4,

：.AQ=BQ-AB=3,

在RtZ\AC'Q中，AC=疝

【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

28.一般情況下，且凸=*-+1不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如：a=l,b=2.

abab

我們稱使得包4=3+1成立的一對數(shù)a,b為“相伴數(shù)對”，記為（a,b）.

abab

（1）判斷數(shù)對（-2,1）,（3,3）是否是“相伴數(shù)對”；

（2）若（k,-1）是“相伴數(shù)對”，求k的值；

（3）若（4,>n）是“相伴數(shù)對”，求代數(shù)式4卬一［3如：二2（零匚1）1的值.

【分析】（1）利用“相伴數(shù)對”的定義化簡，計算即可求出〃的值；

（2）根據(jù)“相伴數(shù)對”的定義解答即可；

（3）利用“相伴數(shù)對”定義得到蘇-4,〃=-1,原式去括號整理后代入計算即可求出值.

【解答】解：（1）士蜜、一+1，二（-2,1）不是“相伴數(shù)對”；

（3,3）是“相伴數(shù)對”；

（2）???（&,-1）是“相伴數(shù)對”，

解得k=l；

(3)???(4,一)是“相伴數(shù)對”,

4m4m

/.nfi-4m=-1,

?4m_〔3ip2_2(4m-])]4m(3ir|28nri~2)

3m(m~4)3(m2-4ni)

-3m"+l2ro~2

3(ro2-4in)

._3(n)2-4m)-2

3(m2-4m)

_-3X(-1)-2=1

3X(-1)~31

【點評】此題考查了整式的加減，以及代數(shù)式求值，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊期末考試試題【答案】

一、選擇題（每小題4分，共48分）

1.（4分）計算（-242）3的結(jié)果為（）

A.-2〃B.-8小C.-8a5D.-6a6

2.（4分）下列交通標志中，是軸對稱圖形的是（）

A.B。（V）

3.（4分）若分式丹3有意義，則〃的取值范圍是（）

a-2

A.a=0B.a=-2C.aW2D.

4.（4分）等腰三角形的周長為9c〃z,其中一邊長為2c則該等腰三角形的底邊長為（)

A.2cmB.3.5cmC.5cmD.7cm

5.（4分）分解因式3。2/?-6出?+3。的結(jié)果是（）

A.3b(a2-2a)B.b(3a2-6a+l)

C.3M-2ab)D.3b(a-1)2

6.（4分）如圖，在aABC中，ZACB=45°,AQ_L8C于點點、E為AD上一點，連

，則N8的度數(shù)為（)

C.70°D.75°

7.（4分）如圖，在zMBC中，平分NA8C,DE//BC,且交A8于點E,ZA=60°,

ZBDC=S6°,則N3OE的度數(shù)為（）

B

A.26°B.30°C.34°D.52°

8.（4分）如圖，在Rtz^ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分線。E交8C于點。，垂足

為點E,連接4力，若A。平分NC4B,BC=6,則BO的長為（）

A.2B.3C.4D.5

9.（4分）若N+25-3）x+1是完全平方式，x+"與x+2的乘積中不含x的一次項，則

心的值為（）

A.-4B.16C.4或16D.-4或-16

10.（4分）某足球生產(chǎn)廠計劃生產(chǎn)4800個足球，在生產(chǎn)完1200個后，采用了新技術(shù)，工

作效率比原計劃提高了20%,結(jié)果共用了21天完成全部任務(wù).設(shè)原計劃每天生產(chǎn)x個足

球，根據(jù)題意可列方程為（）

A1200I4800

x*］（1+20%）x

口12004800-1200-

丁卡（l+20%）x

12004800-1200^

x+20%x

c48004800-1200O1

D--T+（l+20%「

11.（4分）如圖，已知每個小方格的邊長為1,A,8兩點都在小方格的頂點上，請在圖中

找一個頂點C,使△A8C為等腰三角形，則這樣的頂點C有（）

A.8個B.7個C.6個D.5個

x-3<x-2

12.（4分）若數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組《工亍

有且僅有四個整數(shù)解，且使

x+a>5（l-2x）

關(guān)于），的分式方程鬻一有整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是

)

A.3B.2C.-2D.-3

二、填空題（本大題6個小題，每小題4分，共24分）

13.（4分）計算：4a3匕5.2出＞2=.

14.（4分）一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差是180。，則這個多邊形的邊數(shù)為.

15.（4分）如圖，AABC是等邊三角形，為AC邊上的中線，點E在BC的延長線上,

連接。E,若CE=2,NE=30°,則線段BC的長為.

17.（4分）如圖，把三角形紙片ABC折疊，使得點8,點C都與點4重合，折痕分別為

DE,MN,若N84C=110°,則/。4例=度.

18.（4分）如圖，等邊ZMBC的邊長為2,CD為A8邊上的中線，E為線段C。上的動點,

以BE為邊,在BE左側(cè)作等邊△BEF,連接。F,則。尸的最小值為.

三、解答題（本大題2個小題，每小題8分，共16分）

19.（8分）解方程

（1）_JL_=Z±1

x-4x-1

22xi

（2）----^=士

x+11-x2X-1

20.（8分）如圖，ZVIBC的三個頂點的坐標分別是A（3,3）,B（1,1）,C（4,-1）.

（1）直接寫出點A、8、C關(guān)于x軸對稱的點A［、B［、C］的坐標；A1（，）、

B［（,）、C,（,）

（2）在圖中作出ZV18C關(guān)于y軸對稱的圖形zM232c2.

（3）求△ABC的面積.

四、解答題（本大題5個小題，每小題10分，共50分）

21.（10分）計算:

(1)(x+2y)2-(x+y)(x-y)

(2)(■—~1-i?-4)+a'Y，a+'9

a+2a+2

22.(10分)如圖，點E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,AF=DE,AF與DE相交于點

23.（10分）2018年我市的臍橙喜獲豐收，臍橙一上市，水果店的陳老板用2400元購進一

批臍橙，很快售完；陳老板又用6000元購進第二批臍橙，所購件數(shù)是第一批的2倍，但

進價比第一批每件多了20元.

（1）第一批臍橙每件進價多少元？

（2）陳老板以每件120元的價格銷售第二批臍橙，售出60%后，為了盡快售完，決定打

折促銷，要使第二批臍橙的銷售總利潤不少于480元，剩余的臍橙每件售價最低打幾折？

（利潤=售價-進價）

24.（10分）如圖，A4BC和△/!￡>￡均為等腰直角三角形，44C=ND4E=90°,B、C、

E三點共線，連接。C,點尸為CD上的一點，連接AF.

（1）若BE平分/AE￡）,求證：AC=EC；

（2）若/。4F=NA￡C,求證：BE=2AF.

16=52-32,24=72-52,……，我們則稱形如8,16,24這樣的正整數(shù)。為“奇特數(shù)”.

（1）請寫出最小的三位“奇特數(shù)”，并表示成連續(xù)的兩個奇數(shù)的平方差的形式；

（2）求證：任意一個“奇特數(shù)”都是8的倍數(shù)；

（3）若一個三位數(shù)b為“奇特數(shù)”，其百位和個位上的數(shù)字相同，十位上的數(shù)字比個位

上的數(shù)字大，"（m為正整數(shù)），求滿足條件的所有三位“奇特數(shù)”.

五、解答題（本題1個小題，共12分）

26.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，△A8C為等腰直角三角形，/C4B=90°,點A,

點8的坐標分別為A（0,a）,B（b,0）,且a,b滿足足+*_4。一汕+20=0,AC與

x軸交于點D.

（1）求△4OB的面積；

（2）求證：點。為AC的中點；

（3）點E為x軸的負半軸上的動點，分別以O(shè)A,AE為直角邊在第一、二象限作等腰直

角三角形△OAN和等腰直角三角形△E4M,連接交y軸于點尸，試探究線段OE與

AP的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

2018?2019學(xué)年重慶市兩江新區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試

卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共48分）

1.（4分）計算（-2。2）3的結(jié)果為（）

A.-2〃B.-8a6C.-8a5D.-6a6

【分析】根據(jù)積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘，計算

后直接選取答案.

【解答】解：（-2a2）3=（-2）（.2）3=-8a6.

故選：B.

【點評】本題考查積的乘方的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（4分）下列交通標志中，是軸對稱圖形的是（）

B.?C⑥"6

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

8、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，故此選項正確；

Q、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，注意軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分折疊后可重合.

3.（4分）若分式，二有意義，則。的取值范圍是（）

a-z

A.a—0B.a--2C.a#2D.“WO

【分析】根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解.

【解答】解：由題意得，a-2^0,

解得aN2.

故選：c.

【點評】考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：

(1)分式無意義O分母為零；

(2)分式有意義0分母不為零；

(3)分式值為零0分子為零且分母不為零.

4.(4分)等腰三角形的周長為9cm,其中一邊長為2c〃?，則該等腰三角形的底邊長為()

A.2cmB.3.5cmC.5cmD.7cm

【分析】分為兩種情況：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底邊，然后進一

步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行分析能否構(gòu)成三角形.

【解答】解：若2cm為等腰三角形的腰長，則底邊長為9-2-2=5(5)，2+2<5,不

符合三角形的三邊關(guān)系；

若2c”為等腰三角形的底邊，則腰長為(9-2)+2=3.5(an),此時三角形的三邊長

分別為2c，"，3.5,cm,3.5cm,符合三角形的三邊關(guān)系；

故選：A.

【點評】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時注意三角形的三邊關(guān)系：三角

形任意兩邊之和大于第三邊.

5.(4分)分解因式3展％-6a6+3b的結(jié)果是(