第一章立體幾何初步

1.1空間幾何體

1.1.1構(gòu)成空間集合體的基本元素

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、平面

(1)平面的概念

平面和點(diǎn)、直線一樣是構(gòu)成空間圖形的基本元素之一，是一個(gè)只描述而不加定義的原

始概念。

【注意】a、立體幾何中所見到的平面與我們?nèi)粘Ｉ钪械钠矫媸怯袇^(qū)別的，立體幾

何里所說(shuō)的平面是從生活中常見的平面里抽象出來(lái)的。立體幾何中的平面是理想的、

絕對(duì)的平且無(wú)限延展的。

b、幾何平面是無(wú)大小、無(wú)厚薄之分的。

(2)平面的畫法

立體幾何中，我們通常畫平行四邊形來(lái)表示平面。

【注意】a、畫的平行四邊形表示整個(gè)平面

b、畫平面的平行四邊形時(shí)，通常把它的銳角畫成45°,橫邊畫成是臨邊的兩倍。

c、兩個(gè)相交平面的畫法：當(dāng)一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)該把遮住部分線段畫

成虛線或者不畫，以增強(qiáng)立體感。

(3)平面的表示方法

通常用一個(gè)小寫的希臘字母表示。

2、長(zhǎng)方體的有關(guān)概念

長(zhǎng)方體由六個(gè)矩形圍成，圍成長(zhǎng)方體的各個(gè)矩形叫做長(zhǎng)方體的面，相鄰兩個(gè)面的公共

邊，叫做長(zhǎng)方體的棱，棱和棱的公共點(diǎn)叫做長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)。

3、空間基本圖形之間的關(guān)系

點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)

重點(diǎn)：從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)來(lái)初步認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、體之間的生成關(guān)系和位置關(guān)系

難點(diǎn)：通過(guò)幾何體的直觀圖觀察其基本元素間的關(guān)系以及注意到共建中存在既不平行也

不相交的直線。

1、對(duì)于構(gòu)成空間幾何體的基本元素的學(xué)習(xí)，要通過(guò)以下幾個(gè)途徑：

(1)充分利用模型和畫出的圖形，在直觀感知基礎(chǔ)上，體會(huì)空間的點(diǎn)、線、面

之間的關(guān)系，體會(huì)他們?nèi)绾螛?gòu)成了空間圖形。

(2)了解軌跡和圖形的關(guān)系。

2、注意在直觀感知基礎(chǔ)上展開交流討論。

3、學(xué)習(xí)制作幾何模板，通過(guò)模板認(rèn)識(shí)幾何機(jī)構(gòu)。

考點(diǎn)：平面的概念、構(gòu)成幾何體的基本元素、長(zhǎng)方體中基本元素間的位置關(guān)系。

三、隨堂練習(xí)

例1、下列說(shuō)法中正確的是()

(1)平行四邊形是一個(gè)平面；

(2)任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面；

(3)平靜的太平洋就是一個(gè)平面；

(4)圓和平行四邊形都可以表示平面。

例2、下列敘述中，一定是平面的是()

A.一條直線平行移動(dòng)形成的面

B.三角形經(jīng)過(guò)延展得到的平面

C.組成圓錐的面

D.正方形圍繞一條邊旋轉(zhuǎn)形成的面

例3、下列是幾何體的是()

A.方磚

B.足球

C.圓錐

D.魔方

例4、長(zhǎng)方體六個(gè)面中，與面垂直的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例5、在長(zhǎng)方體的棱中，與既不相交也不平行的不是下面哪條棱()

A.ABB.BCC.D.CD

例6、如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)方體的圖形，并指出其中:

(1)一組互相平行的面。

(2)一組互相垂直的面。

(3)一條直線與一個(gè)平面平行o

(4)一條直線與一個(gè)平面垂直o

(5)一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面的距離。

(6)兩條既不相交，也不平行的直線o

1.1.2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1＞多面體

(1)多面體是由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。

(2)多面體的元素

a、圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面。

b、相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱。

c、棱和棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。

d、連接不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對(duì)角線。

(3)凸多面體

凸多面體：把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同

一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體。

(4)多面體的分類

按多面體是否在任一面的同側(cè)來(lái)分，可分為凸多面體和非凸多面體。(注意：我們所研

究餓多面體若不特殊說(shuō)明，都是指凸多面體)

(5)多面體的截面

一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形，叫做這個(gè)幾何體的截面。

2、棱柱的結(jié)構(gòu)特征

(1)定義

一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的交線都互

相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面,

簡(jiǎn)稱底，其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共

頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)；棱柱中不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對(duì)角線。

(2)準(zhǔn)確理解棱柱的概念要注意它的兩大特征

a、有兩個(gè)互相平行(底面)

b、其余各面每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都是互相平行的。

(3)棱柱的性質(zhì)

a、側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；b、兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形;

c、過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形。

(4)棱柱的分類

a、按底面多邊形的邊數(shù)分類

底面是三角形、四邊形、五邊形等等的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱等等

b、按側(cè)棱與地面關(guān)系分類

側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多

(斜棱柱

邊形的直棱柱叫做正棱柱。即棱柱土,+,、(正棱柱

直棱柱一人―

<I其他棱柱

(5)特殊的四棱柱

a、底面是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體；b、側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直

平行六面體；c、底面是矩形的直平行六面體是長(zhǎng)方體；d、棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體是正方體。

(6)棱柱的記法

a、用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱；b、用棱柱的對(duì)角線表示棱柱。

3、棱錐的結(jié)構(gòu)特征

(1)定義

一般地，有一個(gè)面試多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，有這些面所圍成

的幾何體叫做棱錐。這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的

側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。

說(shuō)明：棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個(gè)本質(zhì)特征：a、有一個(gè)面是多邊形b、其

余的各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可。

(2)記法

棱錐可用表示頂點(diǎn)和底面的字母表示。

(3)分類

底面為三角形、四邊形等等的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐等等，其中三棱錐又叫四面

體。

(4)正棱錐

如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，這樣的棱錐叫

做正棱錐。

(5)正棱錐的性質(zhì)

a、各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；b、棱錐的高、斜高和斜高在地面上的

射影組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個(gè)直角三角形。

4、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

(1)定義

底面水平放置的棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái).

(2)棱臺(tái)中的有關(guān)概念

原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；其他的各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；相

鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；當(dāng)棱臺(tái)的地面水平放置時(shí)，鉛垂線與兩底面交點(diǎn)間的線

段叫做棱臺(tái)的高；正棱臺(tái)各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺(tái)的斜高。

(3)正棱臺(tái)

由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。

(4)正棱臺(tái)的性質(zhì)

a、各側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形。

b、兩底面以及平行于底面的截面是相似多邊形。

c、兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形。

d、兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面外接圓相應(yīng)的半徑組成一個(gè)直角梯形。

e、正棱臺(tái)的上下底面中心的連線是棱臺(tái)的一條高。

f、正四棱臺(tái)的對(duì)角面是等腰梯形。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)

重點(diǎn)：多面體概念、棱柱定義和性質(zhì)、棱錐與棱臺(tái)的有關(guān)定義、性質(zhì)及他們之間的關(guān)系。

逐步培養(yǎng)空間與平面問題相互轉(zhuǎn)化的思想方法。

難點(diǎn)：特殊棱柱(如長(zhǎng)方體、正方體、平行六面體、正四棱柱、直四棱柱等)的特征性

質(zhì)的區(qū)別。

1、要準(zhǔn)確理解和把握棱柱的本質(zhì)特征：

(1)有兩個(gè)面互相平行；

(2)其余各面每相鄰兩面的公共邊都互相平行，進(jìn)而弄清楚棱柱的側(cè)面都是平行四

邊形。區(qū)分概念：直棱柱、直四棱柱、正四棱柱、平行六面體、直平行六面體、

長(zhǎng)方體、正方體。

2、從運(yùn)動(dòng)變化的角度認(rèn)識(shí)棱柱

有一個(gè)平面多邊形及其內(nèi)部各點(diǎn)沿同一方向平移形成空間幾何體叫做棱柱，平移起止位

置的兩個(gè)面叫做底面，多邊形的邊平移形成的面叫做側(cè)面，多邊形的頂點(diǎn)平移形成的線

段叫做側(cè)棱

3、注意通過(guò)實(shí)物、現(xiàn)代信息工具、圖形，觀察體會(huì)棱柱的各種位置截面及形狀特征。

4、正棱錐、正棱臺(tái)特征性質(zhì)的應(yīng)用；能夠反映他們特征性質(zhì)的直角三角形、直角梯形這些

核心圖形的掌握；棱錐、棱臺(tái)的特殊截面。

考點(diǎn)：棱柱、棱錐定義，長(zhǎng)方體對(duì)角線問題，截面問題，正棱錐概念與性質(zhì)，棱錐、棱

臺(tái)中的計(jì)算，多面體展開與折疊。

三、隨堂練習(xí)

例1、若正棱錐的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，則該棱錐一定不是()

A.三棱錐B.四棱錐C.五棱錐D.六棱錐

例2、下列命題正確的是()

A.四棱柱是平行六面體B.直平行六面體是長(zhǎng)方體

C.六個(gè)面都是矩形的六面體是長(zhǎng)方體D.底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體

例3、如圖，已知長(zhǎng)方體，過(guò)BC和AD分別作一個(gè)平面交底/j,Fc,

面與EF、PQ,則長(zhǎng)方體被分成三個(gè)幾何體中，棱柱的個(gè)數(shù)是o

A.OB.1C.2D.3/：./\'\

例4、如圖所示，直平行六面體的側(cè)棱長(zhǎng)是100cm,底面兩鄰邊的長(zhǎng)分別是23cm和11cm,

底面的兩條對(duì)角線的比為2:3,求它的兩個(gè)對(duì)角面的面積。

［解析］因/1g是直平行六面體.所以兩對(duì)角面都是

矩形，其側(cè)棱<4就是矩形的高.

由題意■，得/1ZJ=23em,AD--IIcm,/Vt,——100cm.

BD:AC=2:3.設(shè)BD=2x,則AC=3x.在平行四邊

形XHCD中，HD2+AC2=2(Afi2+A/)2),即(2x)2+(3.v)2

=2(23?+II2),角單得x=10.

J./"J=20cm,=30cm.

2

=BD-BBt=2000(em),

?AA?=30(X)(<'n>2).

例5、已知正三棱錐V-ABC,底面邊長(zhǎng)為8,側(cè)棱長(zhǎng)為2,計(jì)算它的高和斜

眉1。

［角翠析］設(shè)C是底面中心.“為笈。的中點(diǎn).

△1<4<?和△\(：!)是直角三角形.

;底面邊長(zhǎng)為8.側(cè)棱長(zhǎng)為2后.

二/I"=孚x8=.CD=4.

()=VV42-A()z=J(2?2_(與司

_2J6

ID=\/VC2-C/J2=V(2-42=2j2.

即正三棱錐的高是斜高是2J2.

例6、長(zhǎng)方體中，AB=4,BC=3,=5,一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)，求螞蟻爬行

的最短路線。

［解析］分三種情況展成平面圖形求解一

沿長(zhǎng)方體的一條棱剪開.使a和G展在同一平面上，

求線段/ic,的長(zhǎng)即可，有如圖所示的三種剪法：

(1)若將。"乙剪開，使面八名與面4G共面，可求得

A(Jt-\/2+(5+3)2=^01

(2)若將1/7剪開.使面八C與面/“；,共兩，可求得

AC：,=\/32-?-(54-4)2=

(3)若，序CC\的開，便面BC、與面An,共面.可求彳導(dǎo)

4C,=\/(4+3)2+天=V741

相I?匕較可彳導(dǎo)螞蟻爬行白勺最短是各線長(zhǎng)為^/74.

1.1.3圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

（1）圓柱的結(jié)構(gòu)特征

a、定義

以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面和平面所圍成的幾何體叫

圓柱。

b、性質(zhì)

與圓柱的底面平行的截面是圓；與軸平行的截面是矩形；與軸斜交的截面，如果不與兩底面

相交，交線是橢圓。

c、記法

用表示軸的字母表示。

（2）圓錐的結(jié)構(gòu)特征

a、定義

以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面和平面所圍

成的幾何體叫做圓錐。

b、性質(zhì)

與圓錐底面平行的截面是圓，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)的錐面是等腰三角形，兩個(gè)腰都是母線，頂角最

大的是軸截面。

一般圓錐底面半徑用r來(lái)表示，母線長(zhǎng)用I來(lái)表示，高用h表示，且

c、記法

用表示軸的字母表示。

（3）圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

a、定義

用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)。

b、性質(zhì)

平行于底面的截面都是圓。

過(guò)軸的截面是全等的等腰梯形。

圓臺(tái)的母線長(zhǎng)都相等，每條母線延長(zhǎng)后，都與軸的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)。

c^記法

用表示軸的字母表示

2、球

（1）球的結(jié)構(gòu)特征

定義：半圓以它的直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱

球。

球心：形成球的半圓的圓心叫做球的球心。

球的半徑：連接球面上的兩點(diǎn)且通過(guò)球心的線段叫做球的直徑。

球的記法：用表示球心的字母表示。

（2）球的截面的性質(zhì)

a、，其中r為截面圓的半徑，R為球的半徑，d為球心0到截面圓的距離。

（3）球面上兩點(diǎn)間的距離（球面距離）

經(jīng)過(guò)球面上兩點(diǎn)的大圓（即過(guò)球心的圓）在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫

做兩點(diǎn)間球面的距離。

（4）組合體

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)分析

重點(diǎn)：對(duì)旋轉(zhuǎn)體概念的再認(rèn)識(shí)

難點(diǎn)：1、從運(yùn)動(dòng)變化的角度認(rèn)識(shí)幾何體之間的聯(lián)系。

2、注意有關(guān)截面的問題的廣泛展開討論探究。

3、弄清柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開圖中的幾何量之間的關(guān)系

4、球的問題除了上面已涉及內(nèi)容外，還有幾點(diǎn)要清楚：

（1）球面與球體的區(qū)別：球面僅僅指球的表面，而球體不僅包括球的表面，同時(shí)還包括球

面所圍成的空間。

（2）地球儀上的經(jīng)緯度。

（3）球面上兩點(diǎn)的球面距離可結(jié)合實(shí)物搞清楚，必須是過(guò)該兩點(diǎn)的球的大圓上的位于這兩

點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)。

5、深刻領(lǐng)會(huì)空間問題是如何向平面問題轉(zhuǎn)化的，截面問題，展開問題等都是空間問題向平

面轉(zhuǎn)化的途徑。

6、注意了解幾類組合體

（1）球的內(nèi)接正方體（）；正方體內(nèi)切球（2R=a）；球與正方體的各棱相切（）；球內(nèi)接長(zhǎng)方

體（）.

（2）球內(nèi)接圓柱（球與圓柱的側(cè)面及兩底面均相切）；圓錐內(nèi)接正方體的軸截面。

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的概念；圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征及運(yùn)算；球面距離，旋轉(zhuǎn)體側(cè)面展

開圖形；旋轉(zhuǎn)體軸截面的結(jié)構(gòu)特征及簡(jiǎn)單組合體。

三、隨堂練習(xí)

例1、邊長(zhǎng)為5cm的正方形EFGH是圓錐的軸截面，則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的

最短距離是（）

A.10cmB.cmC.cmD.cm

［角車析］圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，展開后

E'<；=TT）--^―X/TT，+4（<-iii）.

例2、有一個(gè)半徑為5的半圓，將它卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐的高。

［角牟析］如圖，由題知，半圓的半徑

等于圓錐的母線長(zhǎng)，即SA=5.二六圓的弧

長(zhǎng)等于圓錐底面冏長(zhǎng)，1殳半徑為貝U宥

ur5

*.*5TT=2TT/\r=,

即圓錐的高是2f

例3、圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為8,母線與軸的夾角為30°,下底面半徑是上底面半徑的2倍，求兩

底面面積和軸截面面積。

［角牟析］-設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為.貝I］下底

面半徑為2丁，陽(yáng)圓臺(tái)還厚成圓至隹，車由音殳面

女口I名所示-WJZLASC)=30

在Rgsxs中，S4=w6o0=o

在中.S/l==4八

AA'=SA—SAz=2,，R|J2，=8,u=4.

S=TT，-2=16TT,S尸=TT(2，-)2=4TT/-2=6>4-TT.

過(guò)zl'tk/y于。,貝|J/1'?「=,<X：=<?zz4z,?:

為白勺K—，原,AC=,-=4,在KiZX4'4Q中，A，《尸=4,4之—

=82—4?=46一?.4'Q=45

貝1J、'、…?=---(2/1'3+2/1。)xW:=12x4J3=

48J3.

月『以［四臺(tái)k,底.T&7T67秒1為16IT.底,T&7T&J邛只為64TT.車山丞戈

面面積為48氏

例4、在地球北緯60°圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差180°,A、B兩地沿緯線圈的弧

長(zhǎng)與A、B兩點(diǎn)的球面距離之比為()

A.3:2B.2:3C.l:3D.3:l

L角平析］木幽主曜七誨王衣而R巨食白勺求法，求王求?7用是

二代王式W*巨,白勺關(guān)釣電.

人/?【對(duì)地白勺建而界巨？^是乙=^^r-rr/e=

1<Skf_+

而人/?TW上也幺韋z受「闋白勺引R長(zhǎng)為不、r?白勺半個(gè)r?網(wǎng),

.，*1.一

---/_2=TT--—=——TT/r.

Z2:Zj=——rr/?:—^―TT/?=3:2.

例5、一個(gè)球的內(nèi)接圓臺(tái)上、下底半徑與高分別為1、2、3,求球大圓的面積。

［角單木斤］

?八、、《〉另U溝閾合W7/氐T?1IMJ><?J<TX

大生?〉《〉a="，貝ij?、=3—x

???<7/1=?=/e,r?zi2=，〃片，

艮［J1+<3—“>2=4+“2.J?e=1.

琲*彳至//=冰大I園詢積TT/“5>TT

例6、兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9n和16n,則這兩個(gè)平面間的距離

是（）

A.lB.7C.3或4D.1或7

［角翠析］如圖（1，所示，若兩個(gè)平彳亍平面在球心同側(cè),

貝ij（：/）=X/52^32-—\/52^42=1.

7寸—3?-4-\/53—42=7.

例7、在北緯450圈上有甲、乙兩地，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)140。與西經(jīng)130°,設(shè)地球

半徑為R,則甲、乙兩地的球面距離是nR3

［角卒析］1殳引匕2書45。圈刁、圓I.?心，乙.貝ijN/1O,n=90。，

..1^13兩地白勺肆面是巨離為3R,

O1<SvJ

??.4、〃白勺球面是巨為q-代.

例8、在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49冗cm?和400ncn?,求此球的半

徑。

［角年析］力普W旅；商仔n于m求，<?白勺同彳則，&口「藥（1》月亍示

門2:'11-7'■I11''''.I'

白勺聞，一，1殳子求白勺/修彳圣為/“存弋商［即白勺徑分另為/-、/「.

TFT/-；=49TT,社號(hào)/?J="7.「hjTT，？=4?X)TT,f')'7*=20.

在Rl△on.中，CQj=IY—/-：=x/N—49,

詐Ki△one:中,=V/e2—，-2=V/e2—4(M).

由逝意可知，CC、—CC=9,

即7Y一4。—5/—4CC=9,

解彳導(dǎo)ze=25.

C2)考^王^，NErW崔tTST21『司,女口田(2>月廳,

<)<二、=7/B-4。,cc=V/e2—4<x).

由是理毒可矢口,QC[+<><7=D,

即J7「慶W-49-4-x/7ea—4()0=9,

7r針—49=D—7M—4co,

整壬里,彳導(dǎo)400=—15,止匕方程.無(wú)角率,

__t月斤d?g.,止匕王求"白勺—1^-彳至：為25e-tii.

例9、圓錐底面半徑為1,高為，軸截面為PAB,如圖，從A點(diǎn)拉一繩子

作/V>J_AA',貝〔J4八""=60°,

AA'=24Z>=2x3xsiii6O。=3萬(wàn)，

最短繩,長(zhǎng)為3后.

例10、圓臺(tái)的一個(gè)地面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392cm2,母線與

軸的夾角是45°,求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和兩底面半徑。

［解析］圓臺(tái)的軸截面如圖所示.

,

設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分另J為xcmX2xcni^3xcm,

延長(zhǎng)/L4i交()0,的延長(zhǎng)線于S.

在1^1△*><?.!中，N/1S。=45°,貝ijNS/1。=45<

SC=/40=3?,「.(j=2.V.

S，由“而=——(6:*+2.v)-2.v=392.彳導(dǎo),v=7.

故圓臺(tái)白勺高C?八=14<iii,

"fO7必治/\].4=>,=14?I]].

TW7^.T&-^r-f至另1為7fin、21<,m.

1.1.4投影與直觀圖

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、有關(guān)概念

（1）平行投影

a、點(diǎn)的平行投影

b、圖形的平行投影

如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線i的平行投影構(gòu)成圖形產(chǎn)。則F叫做圖形F在內(nèi)關(guān)

于直線I的平行投影。平面叫做投射面，直線I叫做投射線。

（2）當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影具有以下性質(zhì)：

a、直線或線段的平行投影仍是直線或者線段。

b、平行直線的平行投影式平行或重合的直線。

c、平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)。

d、與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等。

e、在同一直線或者平行線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比。

2、直觀圖

（1）空間圖形的直觀圖：用來(lái)表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖。

（2）斜二測(cè)畫法：一種畫直觀圖的方法。

（3）正等測(cè)畫法。

3、中心投影

中心投影:一個(gè)點(diǎn)光源把一個(gè)圖形照射到一個(gè)平面上，這個(gè)圖形的影子就是它在這個(gè)平面上

的中心投影。

【注意】a、畫實(shí)際效果圖時(shí)，一般用中心投影法。

b、中心投影和平行投影的區(qū)別在于：平行投影的投射線都互相平行，中心投影的投射線交

于同一點(diǎn)。

c、中心投影和平行投影都是空間圖形的基本畫法。

d、畫實(shí)際效果圖時(shí)，一般用中心投影法；畫立體幾何中的圖形時(shí)一般用平行投影法。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)分析

重點(diǎn)：平行投影的性質(zhì)，斜二測(cè)畫法規(guī)則。

難點(diǎn)：斜二測(cè)畫法要點(diǎn)的掌握。

1、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系：

（1）中心投影和平行投影都是空間圖形的基本畫法。平行投影包括斜二測(cè)畫法和三

視圖。中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性強(qiáng)，看起來(lái)與

人的視覺效果一致，最像原來(lái)的物體。

（2）畫實(shí)際效果圖時(shí)，一般用中心投影法，畫立體幾何中的圖形時(shí)，一般用平行投

影法。

（3）平行投影的投射線互相平行，中心投影的投射線交于一點(diǎn)。

2、圓的直觀圖通常用正等測(cè)畫法，實(shí)際畫圖時(shí)常用模板畫。

考點(diǎn)：（1）水平放置平面圖形直觀圖畫法

（2）與投影和直觀圖有關(guān)的計(jì)算問題

（3）幾何體的直觀圖畫法

三、隨堂練習(xí)

例1、下列命題正確的是（）

A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一點(diǎn)是梯形

C.兩條相交直線的投影可能平行D.一條線段中點(diǎn)的平行投影認(rèn)識(shí)這條線段投影的中點(diǎn)

例2、下面命題中真命題的個(gè)數(shù)是()

①正方形的平行投影一定是菱形；

②平行四邊形的平行投影一定是平行四邊形

③三角形的平行投影一定是三角形

④如果一個(gè)三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位線的平行投影仍是這個(gè)三角形平

行投影的中位線。

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

例3、水平放置的矩形ABCD長(zhǎng)AB=4,寬BC=2,以AB、AD為軸作出斜二測(cè)直觀圖AEC3,

則四邊形AEUD，的面積為()

例4、已知正AABC的邊長(zhǎng)為a,以它的一邊為x軸，對(duì)應(yīng)的高線為y軸，畫出它的水平放

置的直觀圖△AWC7,則△AWC的面積是()

A.B.C,D.

E角牟析］決口LS為.及手上直觀LSA'U'C'-

S-()'C'-^ii>45o=xx4=

2242

三〃2,故選1).

1O

例5、如圖所示，有一燈0,在它前面有一物體AB,燈所發(fā)出的光使物

體AB在離燈O為10m的墻上形成了一個(gè)放大了3倍的影子AT,試求燈

與物體之間的距離。

［角軍析］如圖所示,作OHJ_AH于〃.延長(zhǎng)OH交4'

于〃'.貝"on即為所求.

由平面幾何及光線沿直線傳播知，△OA'/f.

A13_OHI/?g,且OH'=IOin.

…A'B'=75T77*'A'B'

OH=孚“i.即火丁與物體AH之間的距離為孚in.

例6、ZXABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為acm的正△AWC,求AABC的面積。

r*賴*Afcb件逑'賴*圖募流b*&nb。5*ia與氣

±±c:r作c'/>j_/rzr,垂足為ir,

-.■正△/1'zrc'Gi.長(zhǎng)為“，

.'.CT)'=-^-(/,耳、:F?>'?：'=J2CJr1)'=-^-<|,

。、4'=?)，LT一,4"'

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原￥?W「豹女口I■豹,f>\

ci==(>'/*'=耳；I.,ex:=2cy—后門,

-*--S△?w=1,A"??》<：=；-<i-底</—<i2.

例7、小坤和小鵬兩人站成一列，背著墻，面朝太陽(yáng)，小坤靠近墻，在太陽(yáng)光照射下，小坤

的頭部影子正好落在墻角處。如果小坤身高為L(zhǎng)6m,離墻距離為3m,小鵬的身高1.5m,離

墻的距離為5m,則小鵬的身影是否在小坤的腳下，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明。

［解析］如圖設(shè)小鵬的影長(zhǎng)為XIH,

小鵬小昆

根據(jù)太陽(yáng)光平行的特征有三=品

1.51.6

x—2.81,2.81m+3n】=5.81m>5m,

所以小鵬的身影會(huì)在小昆的腳下.

1.1.5三視圖

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、正投影

（1）定義：在物體的平行投影中，如果投射線與投射面垂直，則稱這樣的平行投影為正投

影。

（2）正投影的性質(zhì)：垂直于投射面的直線或線段的正投影是點(diǎn)；垂直于投射面的平面圖形

餓正投影是直線或者直線的一部分。

【注意】正投影還具有以下一些性質(zhì)：

直線或線段的平行投影仍是直線或線段；

平行直線的平行投影式平行或重合的直線；

平行于投射面的線段，它的投影與這個(gè)圖形全等；

與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；

在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的長(zhǎng)度等于這兩條線段的長(zhǎng)度比。

2、三視圖

（1）三視圖的定義

a、水平投射面、俯視圖：一個(gè)投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖

形叫做俯視圖。

b、直立投射面、主視圖：一個(gè)投射面放置在正前方，這個(gè)投射面叫做直立投射面；投射到

這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做主視圖。

c、側(cè)立投射面、左視圖：和直立、水平兩個(gè)投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，通常

把這個(gè)平面放在直立投射面右面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖。

d、將空間圖形向水平投射面、直立投射面、側(cè)立投射面作正投影，然后把這三個(gè)投影按一

定的布局放在一個(gè)平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫做空間圖形的三視圖。

（2）三視圖的畫法要求

a、三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是人從物體的正前方、正上方、正左方看到的物

體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。

b、一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖下面，長(zhǎng)度與主視圖一樣，左視圖

放在主視圖右面，高度與主視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣。

c、記憶口訣

主左一樣高，主俯一樣長(zhǎng)，俯左一樣寬。

d、在視圖中，被擋住的輪廓線畫成虛線，尺寸線用細(xì)實(shí)線標(biāo)出；

【注意】柱、錐、臺(tái)、球的三視圖

①圓柱的主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖為圓

②圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓和圓心

③圓臺(tái)的主視圖和左視圖都是等腰梯形，俯視圖是兩個(gè)同心圓

④球的三視圖都是圓

（3）簡(jiǎn)單組合體的三視圖

對(duì)于簡(jiǎn)單空間幾何體的組合體，一定要認(rèn)真的觀察，先認(rèn)識(shí)它的基本結(jié)構(gòu)，然后再畫三視圖

（4）重點(diǎn)提示:畫簡(jiǎn)單的組合體的三視圖時(shí)注意一下問題：

①確定主視、俯視、左視的方向，同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同

②看清簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體生成的，并注意他們的生成方式，特別是他們的交

線位置

③要檢驗(yàn)畫出的三視圖是否符合“主左一樣高，主俯一樣長(zhǎng)，俯左一樣寬“的基本特征，特

別注意幾何體中與投射面垂直或平行的線及面的位置。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)總結(jié)

重點(diǎn)：三視圖畫法規(guī)則及其原理

難點(diǎn)：三視圖畫法規(guī)則及其應(yīng)用

考點(diǎn)：正投影問題；簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；簡(jiǎn)單組合體的三視圖；由三視圖畫直觀圖；三視

圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用

三、隨堂練習(xí)

例1、給出下列命題，正確的有（）

①如果一個(gè)幾何體的三視圖是完全相同的，則這個(gè)幾何體是正方體；

②如果一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方形；

③如果一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方形；

④如果一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖都是等腰梯形，則這個(gè)幾何體是圓臺(tái)。

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

例2、當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，關(guān)于平行投影的性質(zhì)，下列說(shuō)法不正確的

是（）

A.直線或線段的平行投影仍是直線或線段

B,平行直線的平行投影仍是平行的直線

C.與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等

D.在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比

例3、對(duì)幾何體的三視圖，下列說(shuō)法正確的是（）

A.主視圖反映物體的長(zhǎng)和寬

B.俯視圖反映物體的長(zhǎng)和高

C.左視圖反映物體的高和寬

D.主視圖反映物體的高和寬

例4、已知某物體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)物體的形狀是（）

A.長(zhǎng)方體

B.圓柱

C.立方體

D.圓錐

例5、如圖，正方體中，E、F分別是，的中點(diǎn)，G是正方形的中心，則空間四邊形AEFG在

該正方體各面上的正投影不可能是（B）

A.正六棱柱主視圖左視圖的視圖

B,正四棱柱

C.圓柱

D.正五棱柱

例7、（08廣東理）若正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示A,B,C分別是△GHI三邊的中點(diǎn)）得

到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（A）

ABCD

例8、如圖，直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，正

視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則其左視圖的面積為（）

A.4B.C.D.

B.

例9、給出以下結(jié)論，其中正確的結(jié)論的序號(hào)是（）

①一個(gè)點(diǎn)光源把一個(gè)平面圖形照射到一個(gè)平面上，它的投影與這個(gè)圖形全等

②平行于投射面的平面圖形，在平行投影下，它的投影與原圖形全等

③垂直于投射面的平面圖形，在平行投影下，它的投影與原圖形相似。

④在平行投影下，不平行、也不垂直于投射面的線段的投影仍是線段，但與原線段不等長(zhǎng)

例10、如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，該幾何體是（正六面體）

1.1.6棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、直棱柱的表面積

直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，由矩形面積公式可得直棱柱的側(cè)面積公式為，其中棱柱的高為

h,底面多邊形的周長(zhǎng)為c。

（1）語(yǔ)言表述：直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和高的乘積。

（2）直棱柱的表面積等于側(cè)面積與上下底面積的和

（3）求斜棱柱的側(cè)面積可以先求出每個(gè)側(cè)面的面積，然后求和，也可以用直截面周長(zhǎng)與

側(cè)棱長(zhǎng)的乘積表示，其中直截面是指垂直于側(cè)棱的截面，即（其中直截面周長(zhǎng)為4

側(cè)棱長(zhǎng)為I）

2,正棱錐的表面積

正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，底面是正多邊形，如果設(shè)它的底面邊長(zhǎng)

為a,底面周長(zhǎng)周長(zhǎng)為c,斜高為h一則正n棱錐的側(cè)面積公式為：

（1）語(yǔ)言表述：正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積的一半0

（2）正棱錐的全面積等于正棱錐的側(cè)面積與底面積的和

（3）一般棱錐的每個(gè)側(cè)面都是三角形，因此求出他們各自的面積然后相加，即可求

出它的側(cè)面積

3、正棱臺(tái)的表面積

正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是全等的等腰梯形，底面是正多邊形，如果設(shè)棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為a,

周長(zhǎng)為c,上底面邊長(zhǎng)為a，，周長(zhǎng)為M斜高為h一則正n棱臺(tái)的側(cè)面積公式為

S初校臺(tái)=1n（a+a,）h,=|（na+na,）h,=|（c+c'）h，

（1）正棱臺(tái)的表面積公式亦可由兩個(gè)棱錐表面積之差得出

（2）正棱臺(tái)的表面積等于側(cè)面積與底面積的和

（3）一半棱臺(tái)的側(cè)面積可分別先求出每個(gè)側(cè)面的面積然后相加

【重點(diǎn)提示】正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是全等的等腰梯形，可轉(zhuǎn)化為求梯形面積的問題來(lái)求

解

4、球的表面積

公式：，其中R為球的半徑。

（1）語(yǔ)言表述：球面面積等于它的大圓面積的4倍。

（2）推導(dǎo)過(guò)程以后再加以研究，本書只要求記住結(jié)論，并會(huì)運(yùn)用。

（3）球面不能展開成平面圖形，因此不能根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的導(dǎo)出方法求出面

積

5、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的面積

我們知道計(jì)算直棱柱和正棱錐以及正棱臺(tái)的表面積的關(guān)鍵是計(jì)算它們的側(cè)面積，其側(cè)面

積的計(jì)算方法是利用它們的側(cè)面展開圖來(lái)計(jì)算。同樣，利用側(cè)面展開圖的方法也可以計(jì)

算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積，從而計(jì)算它們的表面積

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式

（1）圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，因此側(cè)面積公式為（其中R為底面圓半徑，h為圓柱

的高）

（2）圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，因此側(cè)面積公式為（其中C為圓錐底面周長(zhǎng)，I為母

線長(zhǎng)，R為底面圓半徑）

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)

重點(diǎn)：直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的表面積公式的推導(dǎo)方法。進(jìn)一步加強(qiáng)空間與平面問題

相互轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用。

難點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)、和球的面積公式的應(yīng)用

1、求面積問題，要充分照顧到幾何體的性質(zhì)

2、圓錐、圓臺(tái)餓側(cè)面積公式

（1）底面半徑為r,母線長(zhǎng)為I的圓錐側(cè)面積為

（2）設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑為r、R,母線長(zhǎng)為I,則

考點(diǎn)：柱體、椎體的側(cè)面積；球的表面積問題；椎體、臺(tái)體的平行于底面的截面性質(zhì)；

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的組合問題。

三、隨堂練習(xí)

例1、將一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積正加了（）

A.6a2B.12a2C.18a2D.24a2

［角早析］癖來(lái)正方體表面積為.S,=6<產(chǎn),切割成27個(gè)

全等的小正方體后.每一個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為-<i,翼表

面積為6x(.總表面'積S2=27x=

22

18<z:!■曾力口了$2-.S1=I2</.

例2、正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰為正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的全面積與正四面體的全

面積之比為()

A.B.C.D.

［角牟析］士殳正力?體0勺1麥-長(zhǎng)河〃.

S..你；=而正prjW體自句/麥-氏為后，.

-SH-,,,;=4XX(J2f!)2=2,

=6。==反

、”3；2京產(chǎn)

例3、長(zhǎng)方體一頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3、4、5,且它的頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球

的表面積是()

A.B.25C.50D.200

［解析］球的直彳空就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，

2.R=\/32+42+52=5叵，二代=多巨.

表面積4TT/?2=50TT.

例4、設(shè)球內(nèi)切于圓柱，則此圓柱的表面積與球的表面積之比是()

A.l:lB.2:lC.3:2D.4:3

［解析］圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑設(shè)為

2/L貝ij圓柱全面積S］=2F/F+2FK?2R=6TT/?2，球表面

2

積S2=4TT/?，.二\=

例5、(xx濰坊模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，根

據(jù)圖中標(biāo)出數(shù)據(jù)，可得這個(gè)幾何體的表面積為()

A.4+4B.4+4C.D.12

［角卒衍JthfV.r?.-iz>n.pr已，士，氏mi力n.誨正視圖左視圖俯視圖

fi

i>ftjil："7''r.<>??/?=.IKn<：仃勺P.-K.(.

?.1i.7“力llI-；，'臼1.

K-SO-N.-I.Z2=5.

：：

2x2+4xyx2x.^=4+4&

例6、如果圓臺(tái)的上底面半徑為5,下底面半徑為R,中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，

它們的側(cè)面積之比為1：2,那么R等于()

A.10B.15C.20D.25

例7、過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，做垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積之

比為()

A.B.D.

［角牟析］設(shè)球半徑為/<.貝所得截面O,八的半彳圣，-=

此球的表面積為4TT/鏟截面圓面積為

例8、(08,山東理)下圖是一個(gè)幾何體的三視

圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

()

A.9nB.10nC.llJtD.12n

IK幾句體力-微*蝴撕始都如

側(cè)(左)視圖俯視圖

xl2+irxl2x2+2irxlx3=12ifttD.

例9、矩形的邊長(zhǎng)分別為2和4,繞其一邊旋轉(zhuǎn)360°成圓柱，則此圓柱的全面積為()

A.24nB.48nC.16nD.24”或48”

例10、在一個(gè)圓柱內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，又在這正三棱柱內(nèi)作一內(nèi)切圓柱，那么這兩個(gè)

圓柱的側(cè)面積之比是()

A.3:2B.3:lC.2:lD.2：

［解析］正三棱柱底面正三角形的中心到頂點(diǎn)的距

離為外接圓柱的底面半徑A,到邊的距離(邊心距)為

內(nèi)切圓柱的底面半徑r,.\/<=2r,

由側(cè)面積公式知孕手=3■，選C.

2TT/71

例11,若球的表面積為16Jr,則與球心距離為的平面截球所得的圓面面積為(滅)

例12、圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是3cm,側(cè)面展開后所得扇環(huán)的圓心角為180。，側(cè)面積為10“cm2,

則圓臺(tái)的高為(cm),上、下底面半徑分別為(cm)、(cm)o

［角牟析］如圖所示，設(shè)上、下底面的半徑分別為f2

商為廣一(言一檔)=為

.:74,?21

!4卷的組合體，力求棱第的斜高/,'=25<-iii.

K-表面料.S=42+4x4x2+(-y-x4x2fijx」

=48+16j2(<,iiiJ).

例14、有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第

三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比。

［角牟析］作出截面圖，分別求出三個(gè)球的半徑.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a

(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六

個(gè)面正方形的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面女口圖

所,^)X以2r］=ft,/?1=-^―,所以.S,=4TTZ-2=TT“2.

(2)球與口/體的各梗的切點(diǎn)在每■卷性的中點(diǎn),過(guò)球

2.7"2=《,月亍=4TT/專=2TTVN-

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1.1.7柱、錐、臺(tái)和球的體積

—?、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、柱體的體積公式

，其中S為柱體(圓柱、棱柱)的底面積，h為高。

,其中r為圓柱的底面圓半徑，h為圓柱的高。

2、椎體的體積公式

,其中S為椎體的底面積，h為椎體的高。

,其中r為圓錐的底面圓半徑，h為高。

3、臺(tái)體的體積

V臺(tái)==；h(S+底-+S)，其中S、S，分別為臺(tái)體上、下底面面積，h為臺(tái)體的高。

V回臺(tái)=；他(產(chǎn)+/7+J2)，其中，r、「分別為圓臺(tái)上、下底面半徑，h為圓臺(tái)的高。

【說(shuō)明】(1)公式的證明可由兩個(gè)椎體的差來(lái)證明。

(3)臺(tái)體的體積公式中，如果設(shè)S，=S,就得到柱體的體積公式；如果設(shè)S，=0,就

得到椎體的體積公式。由此可見，柱體、椎體的體積公式是臺(tái)體的體積公

式的特例。

4、球體的體積公式

,其中R為球的半徑。

5、求體積的幾種方法

體積的求解與計(jì)算式立體幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其方法靈活多樣，

而分割、補(bǔ)形和等積變換是我們中學(xué)階段常見的三種求體積的方法。其中分割、補(bǔ)形也稱為

“割補(bǔ)法”。

(1)分割求和法

把不規(guī)則的圖形分成規(guī)則的圖形，然后驚醒體積求和。

(2)補(bǔ)形法

把不規(guī)則的形體補(bǔ)成規(guī)則的形體，不熟悉的形體補(bǔ)成熟悉的形體，便于計(jì)算其體積。

(3)等積法

等積法也稱等積變形或等積轉(zhuǎn)換法，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求體積的一種方法。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)總結(jié)

重點(diǎn)：柱、錐和臺(tái)的體積公式的推導(dǎo)方法

難點(diǎn)：對(duì)祖眶原理的理解和柱、錐、臺(tái)和球的體積公式的運(yùn)用

考點(diǎn)：柱體、椎體、臺(tái)體和球的體積計(jì)算、等積變換

三、隨堂練習(xí)

例1、若長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別為、。則長(zhǎng)方體的體積為（）

A.B.C.D.

例2、若圓錐、圓柱的底面半徑和它們的高都等于一個(gè)球的直徑，則圓錐、圓柱、球的體積

之比為（）

A.l:3:4B.l:3:2C.l:2:4D.l:4:2

例3、如圖，有一中心角為90°的扇形AOB