MATLAB數值計算矩陣和向量及其數值運算多項式的運算求函數的極值和零點

矩陣和向量及其運算矩陣與向量的輸入MATLAB的基本數據單元是無需指定維數的矩陣,數量可看成1×1矩陣,n維行向量或列向量看做1×n或n×1矩陣.>>clear;A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]A=123456789>>A=[123456789]A=123456789>>clear;B=[012]B=012輸入矩陣元素時,同行元素間用空格或逗號分隔,不同行間用分號或回車分隔.n=length(A):取出矩陣A的行數和列數的最大值.[m,n]=size(A):取出矩陣A的行數m和列數n.向量的快捷生成利用冒號”:”生成等差數列①a=i:j初值:終值如果i<j,則生成向量a=[i,i+1,…,j];如果i>j,則生成空向量.②a=i:k:j初值:步長:終值如果i<j且k>0,或者i>j且k<0,則生成步長為k的向量a=[i,i+1,…,j];如果i<j且k<0,或者i>j,且k>0,則生成空向量.例1.利用冒號生成等差數列.>>X＝1:5

%初值:終值X＝

1

2

3

4

5>>Y＝0:2:10

%初值:步長:終值Y＝

0

2

4

6

8

10利用linspace函數生成向量①a=linspace(i,j).生成有100個元素的行向量,在i,j,之間等分分布.②a=linspace(i,j,n).生成有n個元素的行向量,在i,j,之間等分分布.利用logspace函數生成向量①a=logspace(i,j).生成有50個元素的對數等分行向量,第一個元素是10i,最后一個元素是10j.②a=logspace(i,j,n).生成有n個元素的對數等分行向量,第一個元素是10i,最后一個元素是10j.③a=logspace(i,pi).生成有50個元素的對數等分行向量,第一個元素是10i,最后一個元素是pi.例2.利用linspace和logspace生成向量示例.>>x1=linspace(1.2,5.8,4)x1=1.20002.73334.26675.8000>>x2=logspace(1.0,2.9,5)x2=10.000029.853889.1251266.0725794.3282矩陣的快捷生成用函數建立矩陣用于建立矩陣的函數,常見的有:det(A):行列式計算AT:轉置.若是復陣,則為共軛轉置inv(A):矩陣的逆orth(A):正交化poly(A):特征多項式rank(A):矩陣的秩trace(A):矩陣的跡zeros(m,n):m行n列零矩陣ones(m,n):m行n列元素全為1的矩陣eye(n):n階單位矩陣d=eig(A),[v,d]=eig(A):特征值與特征向量rand(m,n):m行n列均勻分布隨機數矩陣randn(m,n):m行n列正態(tài)分布隨機數矩陣例3.設,試生成矩陣A-1,AT,與A同階的單位矩陣.解所用MATLAB命令及運行結果為>>A=[211;312;1-10];>>inv(A)ans=1.0000-0.50000.50001.0000-0.5000-0.5000-2.00001.5000-0.5000>>A′ans=23111-1120>>eye(length(A))ans=100010001矩陣的調用假如A是一個已知10*10的方陣,那么:A(:,3)是A的第3列元素構成的列向量;A(5,:)是A的第5行元素構成的行向量;A(1:5,3)是A的前5行的第3列元素構成的列向量;A(1:5,7:10)是A的前5行,第7到第10列元素構成的子矩陣;A([135],[246])是A的第1、3、5行,第2、4、6列元素構成的子矩陣;A(:,7:-1:3)是A的第7、6、5、4、3列元素構成的子矩陣.A(:,[24])=[]用于把A的第2、4列刪除,形成A的一個子矩陣.矩陣運算矩陣的四則運算①矩陣相加減.同型矩陣相加減等于對應矩陣的元素相加減,用符號“+”和“-”表示.②矩陣相乘.矩陣相乘用符號*表示,兩個矩陣相乘以及數量和矩陣相乘遵循通常的數學規(guī)則.③矩陣相除.分右除和左除兩種,分別用符號“/”和“\”表示.例如,如果A和B都是n階矩陣,且A非奇異,則A\B=A-1B,B/A=BA-1.矩陣的乘方方陣A的乘方用符號“^”表示.當p是正整數時,Ap是A的p次冪,即:A^p=Ap;當p為0時,A^0是單位陣;當p為負數時,只有當A非奇異才有意義,例如:A^(-1)=A-1,A^(-2)=A-2.例4.設試求A+B,A*B,B*A,A2,AB-1.解所用MATLAB命令及運行結果為>>A=[-24;1-2];>>B=[24;-1-6];>>A+Bans=080-8>>A*Bans=-8-32416>>B*Aans=00-48>>A^2ans=8-16-48>>D=A/Bans=-2-211多項式的運算多項式的表示方法及其運算MATLAB中,無論是一個多項式,還是它的根,都是向量,MATLAB規(guī)定,多項式是行向量,根是列向量.例如,多項式p(x)=x3-3x+5可以表示成p=[10-35].給定一個多項式的根,也可以構造相應的多項式.在MATLAB中,函數poly(r)執(zhí)行這個任務.求多項式p=[10-35]在x=5時的值p(5),可以用函數polyval(p,5).其中第一個參數是多項式的系數向量,第二個是自變量的取值(可以是矩陣).函數polyvalm(p,X)的第二個參數是方陣,求以矩陣為自變量的多項式的值.函數roots(p)可以找一個多項式的根.例5.改變自變量時多項式的取值及求多項式的根.>>p=[10-35]p=10-35>>result=polyval(p,5)%自變量為數result=115>>A=[91;68;27];>>c=polyval(p,A)%自變量為矩陣c=70732034937327>>A=[91;68];>>c=polyvalm(p,A)%自變量為方陣c=8632201320643>>p=[10-35];>>r=roots(p)r=-2.27901.1395+0.9463i1.1395-0.9463i常見的多項式函數函數conv支持多項式乘法例6.求a(x)=x3+2x2+3x+4和b(x)=x3+4x2+9x+16的乘積.>>a=[1234];b=[14916]>>c=conv(a,b)c=162050758464多項式的加法>>d=a+bd=261220結果是d(x)=2x3+6x2+12x+20>>e=c+[000d]e=162052819684低階多項式用首零填補,使其與高階多項式有相同的階數多項式的求導函數polyder由函數deconv完成,格式為[g,r]=deconv(c,b)表示c除以b,給出商多項式g和余數r,若r=0,則c＝bg.

>>[g,r]=deconv(c,b)g=1234r=0000000例7.用例6中的多項式b和c,求它們的商.一個多項式除以另一個多項式例8.對于一個新的多項式g求導>>g=[162048697244]g=162048697244>>h=polyder(g)h=6308014413872求函數的極值和零點求解一元函數的取小值可以通過函數fminbnd來求一元函數y=f(x)在指定區(qū)間[a,b]上的函數局部極小值,該函數返回函數在極小值點時自變量x的值,調用格式為:x=fminbnd(′fun′,a,b).例9.求humps函數在開區(qū)間(0.3,1)內的最小值.humps是MATLAB內置的M文件函數,實際上是y=1/((x-0.3)^2+0.01)+1/((x-0.9)^2+0.04)-6.>>x=fminbnd(′humps′,0.3,1)x=0.6370>>f=inline(′sin(x)+3′);%用內聯(lián)函數表達>>x=fminbnd(f,2,5)x=4.7124求解多元函數的取小值函數fminsearch用于求多元函數在向量x0附近的最小值.它指定一個開始的向量(x0),并非指定一個區(qū)間.此函數返回一個向量,為此多元函數局部最小函數值對應的自變量的取值,調用格式為x=fminsearch(′fun′,x0)例10.把一個3個自變量的函數創(chuàng)建在一個M文件里.%three.mfunctionb=three(v)x=v(1);y=v(2);z=v(3);b=x*x+2.5*sin(y)-z*z*x*y*y;求這個函數在[1,-1,0]點附近的最小值可以得到:>>v=[1-10];>>fminsearch(′three′,v)ans=-0.0000-1.57080.0008也可以簡單輸入如下:f=′x(1)^2+2.5*sin(x(2))-x(3)^2*x(1)*x(2)^2′>>x=fminsearch(f,[1-10]),f=eval(f)x=-0.0000