第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做_______.必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)集【思考】復(fù)數(shù)m+ni的實(shí)部是m,虛部是ni,對(duì)嗎提示:不對(duì).由復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的概念可知,復(fù)數(shù)m+ni,只有m,n∈R時(shí),m才是m+ni的實(shí)部,復(fù)數(shù)m+ni的虛部是實(shí)數(shù)n,而不是ni.2.復(fù)數(shù)的分類(1)對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)而言,①z為實(shí)數(shù)?b=0,②z為虛數(shù)?b≠0,③z為純虛數(shù)?

(2)集合表示:

【思考】虛數(shù)為什么不能比較大小提示:引入虛數(shù)單位i后,規(guī)定i2=-1,但i與0的大小關(guān)系不能確定.理由如下:假設(shè)i>0,那么2i>i,兩邊同乘i,得2i2>i2,即-2>-1,與實(shí)數(shù)系中數(shù)的大小規(guī)定相矛盾;假設(shè)i<0,那么-2<-1?-2i>-i?-2i·i<-i·i?2<1,與實(shí)數(shù)系中數(shù)的大小規(guī)定也是矛盾的.故虛數(shù)不能比較大小.3.復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a,b,c,d都是實(shí)數(shù),那么a+bi=c+di?_________.a=c且b=d【根底小測】1.辨析記憶(對(duì)的打“√〞,錯(cuò)的打“×〞)(1)假設(shè)a,b為實(shí)數(shù),那么z=a+bi為虛數(shù). ()(2)復(fù)數(shù)z1=3i,z2=2i,那么z1>z2. ()(3)復(fù)數(shù)z=bi是純虛數(shù). ()(4)實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集. ()提示:(1)×.只有當(dāng)b不等于零時(shí)z=a+bi為虛數(shù).(2)×.復(fù)數(shù)不能比較大小,只有相等和不等之分.(3)×.只有當(dāng)b不等于零時(shí)z=bi才為純虛數(shù).(4)√.因?yàn)閷?shí)數(shù)集和虛數(shù)集統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)集,故實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集.2.假設(shè)全集C={復(fù)數(shù)},Q={有理數(shù)},P={虛數(shù)},那么(?CQ)∪(?CP)是 ()A.C B.無理數(shù)集 【解析】選A.在全集C中,有理數(shù)集Q的補(bǔ)集是虛數(shù)集P和無理數(shù)集;虛數(shù)集P的補(bǔ)集是實(shí)數(shù)集,所以(?CQ)∪(?CP)是全集C.3.假設(shè)(x-2y)i=2x+1+3i,那么實(shí)數(shù)x,y的值分別為________.

答案:-,-關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一復(fù)數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.給出以下四個(gè)命題:①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小;②假設(shè)x,y∈C,那么x+yi=1+i的充要條件是x=y=1;③假設(shè)實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng),那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng);④純虛數(shù)集在復(fù)數(shù)集中的補(bǔ)集是虛數(shù)集.其中真命題的個(gè)數(shù)是________.

【解析】①中當(dāng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí),可以比較大小;②由于x,y都是復(fù)數(shù),故x+yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件;③假設(shè)a=0,那么ai不是純虛數(shù);④由純虛數(shù)集、虛數(shù)集、復(fù)數(shù)集之間的關(guān)系知,所求補(bǔ)集應(yīng)是非純虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的并集.答案:02.復(fù)數(shù)z=a2-(2-b)i的實(shí)部和虛局部別是2和3,那么實(shí)數(shù)a,b的值分別是________.

【解析】由題意得:a2=2,-(2-b)=3,所以a=±,b=5.答案:±,5【解題策略】1.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部確實(shí)定方法首先將所給的復(fù)數(shù)化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,然后根據(jù)實(shí)部與虛部的概念確定實(shí)部、虛部.2.判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法(1)舉反例:判斷一個(gè)命題為假命題,只要舉一個(gè)反例即可,所以解答這種類型的題時(shí),可按照“先特殊,后一般,先否認(rèn),后肯定〞的方法進(jìn)行解答.(2)化代數(shù)形式:對(duì)于復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部確實(shí)定,不但要把復(fù)數(shù)化為a+bi的形式,更要注意這里a,b均為實(shí)數(shù)時(shí),才能確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部.提醒:解答復(fù)數(shù)概念題,一定要緊扣復(fù)數(shù)的定義,牢記i的性質(zhì).類型二復(fù)數(shù)的分類(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例】1.假設(shè)(y2-3y)+yi(y∈R)是純虛數(shù),那么 ()=3,或y=0C.y≠0 D.y≠32.復(fù)數(shù)z=+(a2-1)i是實(shí)數(shù),那么實(shí)數(shù)a的值等于________.

3.當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí),復(fù)數(shù)z=+(m2-2m-15)i.(1)是虛數(shù). (2)是純虛數(shù).【思路導(dǎo)引】1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0.2.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是實(shí)數(shù)的充要條件是a∈R,b=0.3.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是虛數(shù)的充要條件是a∈R,b≠0;解決復(fù)數(shù)分類問題的關(guān)鍵是找出等價(jià)條件,列出方程(組).【解析】1.選A.因?yàn)?y2-3y)+yi(y∈R)是純虛數(shù),所以解得y=3.2.因?yàn)閺?fù)數(shù)z=+(a2-1)i是實(shí)數(shù),且a為實(shí)數(shù),那么解得a=-1.答案:-13.(1)當(dāng)即m≠5且m≠-3時(shí),z是虛數(shù).(2)當(dāng)即m=3或m=-2時(shí),z是純虛數(shù).【解題策略】解決復(fù)數(shù)分類問題的方法與步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn)式:解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實(shí)部和虛部.(2)定條件:復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實(shí)部和虛部滿足的方程(組)或不等式(組)即可.【跟蹤訓(xùn)練】1.假設(shè)復(fù)數(shù)(a2-3a+2)+(a-1)i是純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)a的值為 ()或【解析】選B.根據(jù)復(fù)數(shù)的分類知,需滿足解得即a=2.2.m∈R,復(fù)數(shù)z=+(m2+2m-3)i,當(dāng)m為何值時(shí),(1)z為實(shí)數(shù)(2)z為虛數(shù)(3)z為純虛數(shù)【解析】(1)要使z為實(shí)數(shù),m需滿足m2+2m-3=0,且有意義,即m-1≠0,解得m=-3.(2)要使z為虛數(shù),m需滿足m2+2m-3≠0,且有意義,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)要使z為純虛數(shù),m需滿足=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或-2.類型三復(fù)數(shù)相等(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.假設(shè)(x+y)+yi=(x+1)i(x,y∈R),那么x-y=________.

2.a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立,那么實(shí)數(shù)a=________.

3.假設(shè)關(guān)于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的值.【思路導(dǎo)引】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及充要條件的判斷進(jìn)行求解.【解析】1.由復(fù)數(shù)相等的充要條件,得解得那么x-y=-1.答案:-12.因?yàn)閍,m∈R,所以由a2+am+2+(2a+m)i=0,可得解得或所以a=±.答案:±3.設(shè)方程的實(shí)根為x=m,那么原方程可化為3m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以解得a=11或-.【解題策略】與復(fù)數(shù)有關(guān)的兩個(gè)數(shù)的大小比較(1)復(fù)數(shù)中只有兩個(gè)實(shí)數(shù)才能比較大小,兩個(gè)虛數(shù)或一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)是不能比較大小的,假設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)有大小關(guān)系,那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)必同時(shí)為實(shí)數(shù).(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的大小求解參數(shù)值時(shí),一般先由復(fù)數(shù)的虛部為0,求得參數(shù)的值,再進(jìn)一步檢驗(yàn)所得實(shí)數(shù)的大小關(guān)系即可.【跟蹤訓(xùn)練】1.復(fù)數(shù)z1=(2m+7)+(m2-2)i,z2=(m2-8)+(4m+3)i,m∈R,假設(shè)z1=z2,那么m=________.

【解析】因?yàn)閙∈R,z1=z2,所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得m=5.答案:52.假設(shè)log2(m2+3m)+(m2-3m)i>1,那么實(shí)數(shù)m的值為________.

【解析】因?yàn)閘og2(m2+3m)+(m2-3m)i>1,那么可知log2(m2+3m)+(m2-3m)i是大于1的實(shí)數(shù),故解得m=3.答案:33.集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},假設(shè)M∪P=P,求實(shí)數(shù)m的值.【解析】因?yàn)镸∪P=P,所以M?P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i得解得m=2.綜上可知m=1或m=2.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.“a=0〞是“復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)是純虛數(shù)〞的 ()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)閺?fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)是純虛數(shù)?a=0且b≠0,所以“a=0〞是“復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)是純虛數(shù)〞的必要不充分條件.2.在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中的兩個(gè)數(shù)2+bi與a-3i相等,那么實(shí)數(shù)a,b的值分別為 ()A.2,3 B.2,-3 C.-2