專題07二次函數(shù)中的幾何存在性問題類型一、特殊三角形問題例1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點是線段上一動點，過點的直線平行于軸并交拋物線于點，當(dāng)線段取得最大值時，在軸上是否存在這樣的點，使得以點、、為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點A、B(點A在點B的左側(cè))，與y軸相交于點C，連接．(1)求線段AC的長；(2)若點Р為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)為直角三角形時，求點M的坐標(biāo)．例3.如圖，拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C，點D是拋物線上位于直線BC上方的一個動點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接AC，BD，若，求點D的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，將拋物線沿著射線AD平移m個單位，平移后A、D的對應(yīng)點分別為M、N，在x軸上是否存在點P，使得是等腰直角三角形？若存在，請求出m的值：若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)第一象限內(nèi)的二次函數(shù)圖象上有一動點P，x軸正半軸上有一點D，且OD=2，當(dāng)S△PCD=3時，求出點P的坐標(biāo)；(3)若點M在第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上，是否存在以CD為直角邊的，若存在，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+4x+c與直線AB相交于點A(0，1)和點B(3，4)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)C為直線AB上方的拋物線上一點，連接AC，BC，以AC，BC為鄰邊作平行四邊形ACBP，求四邊形ACBP面積的最大值；(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的拋物線與原拋物線相交于點D，是否存在點E使得△ADE是以AD為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型二、特殊四邊形問題例1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，(點在點的左側(cè))，與軸交于點，且點的坐標(biāo)為．(1)求點的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于點和點B，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式及對稱軸；(2)如圖，點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若，求點P的坐標(biāo)；(3)點M是拋物線上一動點，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在直線BC上方的拋物線上有動點P，過點P作軸，交BC于點Q，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點D坐標(biāo)為，軸交直線BC于點E，將沿直線BC平移得到，移動過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使以點A，C，，P為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A(﹣1，0)、B(3，0)，與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PFAB交BC于點F．(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式，(2)當(dāng)△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標(biāo)和△PEF的周長．(3)若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，，對稱軸為直線，點D為此拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及D點坐標(biāo)；(2)點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接BE和CE，求面積的最大值；(3)點P在拋物線的對稱軸上，平面內(nèi)存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，點是拋物線上位于直線下方的一點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，過點作交于點，求長度的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線沿射線的方向平移，使得新拋物線經(jīng)過點，并記新拋物的頂點為，若點為新拋物線對稱軸上的一動點，點為坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點，直接寫出所有使得以A、D、M、N為頂點的四邊形是菱形的點的坐標(biāo)，并把求其中一個點的坐標(biāo)的過程寫出來．專題07二次函數(shù)中的幾何存在性問題類型一、特殊三角形問題例1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點是線段上一動點，過點的直線平行于軸并交拋物線于點，當(dāng)線段取得最大值時，在軸上是否存在這樣的點，使得以點、、為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)，或，或【解析】(1)解：∵拋物線經(jīng)過點，，，∴，解得，∴拋物線的解析式為．(2)存在點P，以EB為腰的等腰三角形△EBP，理由如下：當(dāng)時，，∴，設(shè)直線AC的解析式為，∴，解得，∴；設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時，EF取得最大值，最大值為：，此時，又∵，∴．當(dāng)時，∵，點在軸上，∴點P的坐標(biāo)為或；當(dāng)時，關(guān)于直線對稱，∴點P的坐標(biāo)為；綜上所述，，或，或．例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點A、B(點A在點B的左側(cè))，與y軸相交于點C，連接．(1)求線段AC的長；(2)若點Р為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)為直角三角形時，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)(3)或或或【解析】(1)與x軸交點：令y=0，解得，即A(-1，0)，B(3，0)，與y軸交點：令x=0，解得y=-3，即C(0，-3)，∴AO=1,CO=3,∴;(2)拋物線的對稱軸為：x=1，設(shè)P(1，t)，∴，，∴∴t=-1，∴P(1，-1)；(3)設(shè)點M(m,m2-2m-3)，，，,①當(dāng)時，，解得，(舍)，，∴M(1，-4)；②當(dāng)時，，解得，，(舍)，∴M(-2，5)；③當(dāng)時，，解得，，∴M或；綜上所述：滿足條件的M為或或或．例3.如圖，拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C，點D是拋物線上位于直線BC上方的一個動點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接AC，BD，若，求點D的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，將拋物線沿著射線AD平移m個單位，平移后A、D的對應(yīng)點分別為M、N，在x軸上是否存在點P，使得是等腰直角三角形？若存在，請求出m的值：若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或時，是等腰直角三角形【解析】(1)解：∵拋物線交x軸于，兩點，∴拋物線的解析式為：；(2)解：當(dāng)x＝0時，y＝3，∵∠ACO+∠DBA=90°，∠ACO+∠CAB=90°，∴∠ABD＝∠CAB，∴．設(shè)點D的坐標(biāo)為，如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，則，，∴，解得x＝3．∴．(3)解：設(shè)直線AD的解析式為：y＝kx+n，把點A，D的坐標(biāo)代入得，，解得：，∴直線AD的解析式為：，∵MN＝AD＝5，∴．①如圖，若MN＝MP＝5，則∠PMN＝90°，，∴，即．②如圖，若NM＝NP＝5，則∠MNP＝90°，，∴，∴．即．③如圖，若PM＝NP，則∠NPM＝90°，過點P作PQ⊥AN于點Q，則，，∴，∴．即．綜上所述，或或時，是等腰直角三角形．【變式訓(xùn)練1】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)第一象限內(nèi)的二次函數(shù)圖象上有一動點P，x軸正半軸上有一點D，且OD=2，當(dāng)S△PCD=3時，求出點P的坐標(biāo)；(3)若點M在第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上，是否存在以CD為直角邊的，若存在，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)P1(，)，P2(2，3)；(3)存在點M其坐標(biāo)為或【解析】(1)解：由題意，將A(1，0)，B(3，0)代入得：，解得，拋物線表達式為：；(2)如圖1，連接OP，設(shè)，∵C在y軸上，∴，∴，，==，，當(dāng)時，即．解得，．∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴P1(，)，P2(2，3)(3)存在．設(shè)，如圖2，當(dāng)∠MCD=90°時，過點M做MN⊥軸于點N，則∠MNC=∠COD=90°，∵∠MCN=∠CDO，∴△MNC∽△COD，∴，即，解得(舍)，∴．如圖3，當(dāng)∠MDC=90°時，過點M做MN⊥軸于點N，則∠MND=∠COD=90°，∵∠MDN=∠DCO，∴△MND∽△DOC，∴，即，解得，．綜上所述，存在點M其坐標(biāo)為：點或．

【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+4x+c與直線AB相交于點A(0，1)和點B(3，4)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)C為直線AB上方的拋物線上一點，連接AC，BC，以AC，BC為鄰邊作平行四邊形ACBP，求四邊形ACBP面積的最大值；(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的拋物線與原拋物線相交于點D，是否存在點E使得△ADE是以AD為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，E(4，3)或(-2，5)或(-3，2)或(3，0)．【解析】(1)解：將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達式得．解得：．∴拋物線的表達式為；(2)解：設(shè)直線AB的表達式為：，將點A、B的坐標(biāo)代入得：．

解得：．故直線AB的表達式為：．過點C作軸的平行線交AB于點H．如圖．設(shè)點C(，)，則H(，+1)．∵四邊形ACBP是平行四邊形，．

∵-3<0，∴四邊形ACBP的最大值為；(3)解：∵拋物線y=-(x-2)2+5，∴將拋物線向左平移2個單位后得到的拋物線為：y=-x2+5，聯(lián)立，解得，∴D(1，4)，①如圖2，當(dāng)DA=DE，∠EDA=90°，E在AD右側(cè)時，過D作x軸平行線交y軸于N，過E作y軸平行線，兩線交于F點，∵∠DAN+∠NDA=∠NDA+∠EDF=90°，∴∠DAN=∠EDF，又∠DNA=∠EFD=90°，DA=DE，∴△DNA≌△EFD(AAS)，∴DN=EF=1，AN=DF=3，∴E(4，3)，②當(dāng)DA=DE，∠EDA=90°，E在AD左側(cè)，同理可得，E(-2，5)，③當(dāng)AD=AE，∠DAE=90°，E在AD左側(cè)時，同理可得，E(-3，2)，④當(dāng)AD=AE，∠DAE=90°，E在AD右側(cè)時，同理可得，E(3，0)，綜上所述，E(4，3)或(-2，5)或(-3，2)或(3，0)．類型二、特殊四邊形問題例1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，(點在點的左側(cè))，與軸交于點，且點的坐標(biāo)為．(1)求點的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)最大為；(3)存在，的坐標(biāo)為或(3，-16)或【解析】(1)(1)∵點在拋物線的圖象上，∴∴，∴點的坐標(biāo)為；(2)過作于點，過點作軸交于點，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)最大時，最大，設(shè)直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設(shè)，，則，∴，∵，∴當(dāng)時，最大為，∴此時最大為，即點到直線的距離值最大；(3)存在．∵，∴拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點N的坐標(biāo)為(-2，m)，點M的坐標(biāo)為(x，)分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時，如圖，∵A(-5，0)，C(0，5)，∴，即，解得，x=3.∴∴點M的坐標(biāo)為(3，-16)②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長時，如圖，方法同①可得，，∴∴點M的坐標(biāo)為(-7，-16)；③當(dāng)AC為對角線時，如圖，∵A(-5，0)，C(0，5)，∴線段AC的中點H的坐標(biāo)為，即H()∴，解得，。∴∴點M的坐標(biāo)為(-3，8)綜上，點的坐標(biāo)為：或(3，-16)或．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于點和點B，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式及對稱軸；(2)如圖，點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若，求點P的坐標(biāo)；(3)點M是拋物線上一動點，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3，對稱軸為直線：；(2)P(1，1)或(1，2)(3)存在，N(1，-4)【解析】(1)解：把A(﹣1，0)，點C(0，3)的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，對稱軸為直線x1．(2)解：如圖1中，連接BD，設(shè)BD的中點T，連接PT，設(shè)P(1，m)．∵點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，C(0，3)，∴D(2，3)，∵B(3，0)，∴T(，)，BD，∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PTBD，∴(1)2+(m)2＝()2，解得m＝1或2，∴P(1，1)或(1，2)．(3)解：存在，理由如下，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點坐標(biāo)為，對稱軸為①當(dāng)為對角線時，，設(shè)交于點，如圖，則，四邊形是菱形，，②當(dāng)為邊時，如圖，四邊形是菱形，，設(shè)，，，在拋物線上，則，解得，，或，，解得，是菱形，，，即，解得與矛盾，故不存在此情形，綜上所述，當(dāng)A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，．例3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在直線BC上方的拋物線上有動點P，過點P作軸，交BC于點Q，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點D坐標(biāo)為，軸交直線BC于點E，將沿直線BC平移得到，移動過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使以點A，C，，P為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【解析】(1)將代入，，，；(2)設(shè)直線BC的解析式為，將代入得，解得，，設(shè)，則，，過點Q作軸交于點E，如圖：，，，，(舍)，；(3)存在，；理由分析:∵點D坐標(biāo)為，B(3,0)，∴DB=1,將直線BC向左平移1個單位即可得到D點運動軌跡所在的直線，由平移得D點在平移過程中所在直線的解析式為；∵當(dāng)時，，∴，∵，∴，AC的中點坐標(biāo)為M，當(dāng)AC為對角線時，如圖1和圖2，設(shè)D'(n，-n+2)，∵，∴，∴，∴D'(1，1)或D'(-1，3)，由矩形的性質(zhì)可知，PD'經(jīng)過點M且被M點平分，∴，∴當(dāng)D'(1，1)時，，即，當(dāng)D'(-1，3)時，，即；當(dāng)AC為邊時，有如下兩種情況，如圖3和圖4，設(shè)D'(n，-n+2)，∵(圖3)，(圖4)，∴(圖3)，(圖4)，∴(圖3)，(圖4)，∴圖3中，，圖4中，∴圖3中，CD'的中點，圖4中，AD'的中點；所以圖3中，，圖4中，，∴圖3中，，即，圖4中，，即；綜上可得：存在，．【變式訓(xùn)練1】如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A(﹣1，0)、B(3，0)，與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PFAB交BC于點F．(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式，(2)當(dāng)△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標(biāo)和△PEF的周長．(3)若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線函數(shù)表達式為，直線BC的函數(shù)表達式為(2)點P的坐標(biāo)為(,)，△PEF的周長為(3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【解析】(1)解：將點A(-1,0)，B(3,0)代入，得：，解得，所以拋物線解析式為，C(0，3)設(shè)直線BC的函數(shù)表達式，將B(3，0)，C(0，3)代入得：，解得，所以直線BC的函數(shù)表達式為(2)解：如圖，設(shè)將直線BC平移到與拋物線相切時的解析式為，與拋物線聯(lián)立得：整理得，解得，將代入，解得，將代入得，即△PEF的周長為最大值時，點P的坐標(biāo)為(,)將代入得，則此時，因為△PEF為等腰直角三角形，則△PEF的周長最大為(3)答：存在．已知B(3，0)，C(0，3)，設(shè)點Ｇ(，)，N(1，n)，當(dāng)BC為平行四邊形對角線時，根據(jù)中點公式得：，，則G點坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)BC為平行四邊形對角線時，同樣利用中點坐標(biāo)公式得：或，解得或則G點坐標(biāo)為(-2，-5)或(4，-5)故點G坐標(biāo)為(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，，對稱軸為直線，點D為此拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及D點坐標(biāo)；(2)點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接BE和CE，求面積的最大值；(3)點P在拋物線的對稱軸上，平面內(nèi)存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)解析式為；D(2，)；(2)S△BCE有最大值為(3)()或(3，4)或(7，4)或()【解析】(1)解：∵，∴又∵對稱軸為，∴，將A，B代入解析式得：，解得∴；把x=2代入二次函數(shù)解析式，得，∴(2)解：∵，，∴直線BC的解析式為：設(shè)，則0<x<5，作軸交BC于點F，則∴∴當(dāng)時，有最大值，為；(3)解：設(shè)，，由(1)知，①若BC為矩形的對角線，由中點坐標(biāo)公式得：，解得：又∵，∴，即：解得或，∴或，∴或②若BP為矩形得對角線，由中點坐標(biāo)公式得，解得又∵，，即：，解得，∴③若BQ為矩形的對角線，由中點坐標(biāo)公式得，解得：又∵，∴，即：，解得∴綜上，點Q的坐標(biāo)為或或或．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，點是拋物線上位于直線下方的一點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，過點作交于點，求長度的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線沿射線的方向平移，使得新拋物線經(jīng)過點，并記新拋物的頂點為，若點為新拋物線對稱軸上的一動點，點為坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點，直接寫出所有使得以A、D、M、N為頂點的四邊形是菱形的點的坐標(biāo)，并把求其中一個點的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)(2)PG的最大長度為，此時點P的坐標(biāo)為(3，)(3)當(dāng)點N的坐標(biāo)為(10，0)或(-2，-10)或(-2，)或(-2，)時，以A、D、M、N為頂點的四邊形是菱形．【解析】(1)解：由拋物線與軸交于兩點，設(shè)拋物線的解析式為，把點C的坐標(biāo)代入得，-12a=-2，解得，故拋物線的解析式為．(2)解：設(shè)直線BC的解析式為，把點B(6，0)，點C(0，-2)代入可得，解得，即直線BC的解析式為，過點P作直線l∥BC，只有當(dāng)直線l與拋物線相切(只有一個交