習題8-81求函數f(x,y)4(x-y)-x2-y2的極值.解解方程組求得駐點為(2,-2)由于Afxx(2,-2)-20,Bfxy(2,-2)0,Cfyy(2,-2)-2,ACB20所以在點(22)處,函數取得極大值,極大值為f(22)82求函數f(x,y)(6x-x2)(4y-y2)的極值.解解方程組得因此駐點為(0,0),(0,4),(3,2),(6,0),(6,4).函數的二階偏導數為fxx(x,y)-2(4y-y2),fxy(x,y)4(3-x)(2-y)fyy(x,y)-2(6x-x2)在點(0,0)處,fxx0,fxy24,fyy0,AC-B2-2420,所以f(0,0)不是極值在點(0,4)處,fxx0,fxy24,fyy0,AC-B2-2420,所以f(0,4)不是極值在點(3,2)處,fxx8,fxy0,fyy18,AC-B28180,又A0,所以f(3,2)36是函數的極大值;在點(6,0)處,fxx0,fxy24,fyy0,AC-B22420,所以f(6,0)不是極值在點(6,4)處,fxx0,fxy24,fyy0,AC-B22420,所以f(6,4)不是極值綜上所述函數只有一個極值這個極值是極大值f(32)363求函數f(x,y)e2x(x+y2+2y)的極值.解解方程組得駐點Afxx(x,y)4e2x(x+y2+2y+1),Bfxy(x,y)4e2x(y+1),Cfyy(x,y)2e2x因為在點處,A2e0,B0,C2e,AC-B24e20,所以函數在點處取得極小值,極小值為4求函數zxy在適合附加條件x+y1下的極大值.解條件x+y1可表示為y1-x,代入zxy,于是問題化為zx(1-x)的無條件極值問題令得駐點因為所以為極大值點極大值為5從斜邊之長為l的一切直角三角形中,求有最大周界的直角三角形.解設直角三角形的兩直角邊之長分別為x,y,則周長Sx+y+l(0xl,0yl)因此本題是在x2+y2l2下的條件極值問題,作函數F(x,y)x+y+l+(x2+y2-l2)解方程組得唯一可能的極值點根據問題性質可知這種最大周界的直角三角形一定存在,所以斜邊之長為l的一切直角三角形中,周界最大的是等腰直角三角形.6要造一個容積等于定數的長方體無蓋水池應如何選擇水池的尺寸方可使表面積最小.解設水池的長為x,寬為y,高為z,則水池的表面積為Sxy2xz2yz(x0,y0,z0).本題是在條件xyzk下,求S的最大值.作函數F(xyz)xy2xz2yz+(xyz-k)解方程組得唯一可能的極值點由問題本身可知S一定有最小值,所以表面積最小的水池的長和寬都應為高為.7在平面xOy上求一點,使它到x0,y0及x+2y-160三直線距離平方之和為最小.解設所求點的坐標為(x,y),則此點到x0的距離為|y|,到y(tǒng)0的距離為|x|,到x+2y-160的距離為,而距離平方之和為.解方程組即得唯一的駐點,根據問題的性質可知,到三直線的距離平方之和最小的點一定存在,故即為所求.8將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉而構成一個圓柱體,問矩形的邊長各為多少時,才可使圓柱體的體積為最大？解設矩形的一邊為x,則另一邊為(p-x),假設矩形繞p-x旋轉,則旋轉所成圓柱體的體積為Vx2(px)由,求得唯一駐點.由于駐點唯一,由題意又可知這種圓柱體一定有最大值,所以當矩形的邊長為和時,繞短邊旋轉所得圓柱體體積最大.9求內接于半徑為a的球且有最大體積的長方體.解設球面方程為x2+y2+z2a2,(x,y,z)是它的各面平行于坐標面的內接長方體在第一卦限內的一個頂點,則此長方體的長寬高分別為2x,2y,2z,體積為V2x×2y×2z8xyz令F(xyz)8xyz(x2y2z2a2)解方程組即得唯一駐點由題意可知這種長方體必有最大體積,所以當長方體的長、寬、高都為時其體積最大.10拋物面zx2+y2被平面x+y+z1截成一橢圓,求原點到這橢圓的最長與最短距離.解設橢圓上點的坐標(x,y,z),則原點到橢圓上這一點的距離平方為d2x2+y2+z2,其中x,y,z要同時滿足zx2+y2和x+y+z1令F(xyz)x2y2z2