第五章分式與分式方程4分式方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1分式方程的概念1.(2022河南鄲城第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)關(guān)于x的方程:①x2-x是分式方程有(填序號(hào)).

知識(shí)點(diǎn)2解分式方程2.關(guān)于x的分式方程2x+mx-2=1的解為x=4,則A.-2B.2C.-1D.13.(2023山西大同一模)解分式方程1x-2-2=1+x2A.1-2(x-2)=1+xB.1-2(x-2)=-1+xC.1-2(x-2)=-1-xD.-1-2(x-2)=1+x4.(2023甘肅武威中考)方程2x=1xA.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知關(guān)于x的分式方程xx-3=2-m3-x的解是負(fù)數(shù)A.m<6B.m>6且m≠9C.m>3D.m>66.【一題多變】(2022安徽合肥瑤海期末)若關(guān)于x的分式方程x-3x-1=2+mx[變式]若關(guān)于x的分式方程x-3x-1=2m+mx

7.(2022江蘇無(wú)錫江陰期末)解方程:(1)2x知識(shí)點(diǎn)3列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題8.【愛(ài)國(guó)主義教育】(2023安徽阜陽(yáng)統(tǒng)考)學(xué)校在清明節(jié)組織了部分團(tuán)員到烈士陵園去掃墓,上午8點(diǎn)大部分同學(xué)和老師騎自行車(chē)先行,40min后,兩位老師和兩位同學(xué)乘坐攜帶花籃的小汽車(chē)后行(行駛路線相同).已知小汽車(chē)的速度是自行車(chē)速度的3倍,學(xué)校與烈士陵園相距15km,結(jié)果小汽車(chē)早20min到達(dá)烈士陵園.設(shè)自行車(chē)的速度為xkm/h,則下列所列方程正確的是()A.15xC.159.【教材變式·P129例3】為參加縣中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì),學(xué)校運(yùn)動(dòng)隊(duì)購(gòu)買(mǎi)了一批數(shù)量相等的氫氣球(個(gè))和彩帶(條),其中購(gòu)買(mǎi)氫氣球用了40元,購(gòu)買(mǎi)彩帶用了35元.已知每個(gè)氫氣球比每條彩帶貴0.5元,求每個(gè)氫氣球和每條彩帶各多少元.10.【愛(ài)國(guó)主義教育】(2023四川樂(lè)山中考)為了踐行習(xí)近平總書(shū)記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某地計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)種植梨樹(shù)6000棵.開(kāi)始種植時(shí),由于志愿者的加入,實(shí)際每天種植梨樹(shù)的數(shù)量比原計(jì)劃增加了20%,結(jié)果提前2天完成任務(wù),則原計(jì)劃每天種植梨樹(shù)多少棵?11.(2022湖南永州冷水灘月考)某廣場(chǎng)籌建之初的一項(xiàng)挖土工程招標(biāo)時(shí),接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書(shū),每施工一天,需付甲工程隊(duì)工程款2.4萬(wàn)元,付乙工程隊(duì)工程款1.8萬(wàn)元,工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書(shū)測(cè)算,可有三種施工方案:方案一:甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程,剛好按規(guī)定工期完成;方案二:乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定工期多用6天;方案三:若由甲、乙兩隊(duì)合作做5天,剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做,也正好按規(guī)定工期完工.(1)求出完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間;(2)如果你是工程領(lǐng)導(dǎo)小組的組長(zhǎng),為了節(jié)省工程款,同時(shí)又能如期完工,你將選擇哪一種方案?說(shuō)明理由.能力提升全練12.【換元法】(2023上海中考,2,★☆☆)在分式方程2x-1x2+x22x-1=5中A.y2+5y+5=0B.y2-5y+5=0C.y2+5y+1=0D.y2-5y+1=013.【跨學(xué)科·語(yǔ)文】(2023云南中考,11,★★☆)閱讀,正如一束陽(yáng)光.孩子們無(wú)論在哪兒,都可以感受到陽(yáng)光的照耀,都可以通過(guò)閱讀觸及更廣闊的世界.某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書(shū)會(huì)”的分享活動(dòng).甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動(dòng)地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā),參加分享活動(dòng).甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍,乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn).若設(shè)乙同學(xué)的速度是x米/分鐘,則下列方程正確的是()A.x800-B.1.2xC.4001.2xD.8001.214.(2022重慶中考A卷,11,★★★)若關(guān)于x的一元一次不等式組x-1≥4x-13,5x-1<a的解集為x≤-2,且關(guān)于A.-26B.-24C.-15D.-1315.【新考法】(2023河北中考,18,★★☆)根據(jù)下表中的數(shù)據(jù),可知a的值為,b的值為.

x結(jié)果代數(shù)式2n3x+17b2a116.【跨學(xué)科·體育與健康】(2022山東菏澤中考,19,★★☆)某健身器材店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批籃球和排球,已知每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)是每個(gè)排球進(jìn)價(jià)的1.5倍,若用3600元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用3200元購(gòu)進(jìn)排球的數(shù)量少10個(gè).(1)籃球、排球的進(jìn)價(jià)分別為每個(gè)多少元?(2)該健身器材店決定用不多于28000元購(gòu)進(jìn)籃球和排球共300個(gè)進(jìn)行銷(xiāo)售,則最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)籃球?17.(2023四川德陽(yáng)中考,23,★★★)2022年8月27日至29日,以“新能源、新智造、新時(shí)代”為主題的世界清潔能源裝備大會(huì)在德陽(yáng)舉行.大會(huì)聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點(diǎn)和前瞻性問(wèn)題,著力實(shí)現(xiàn)會(huì)展聚集帶動(dòng)產(chǎn)業(yè)聚集.其中德陽(yáng)清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽(yáng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū),規(guī)劃面積4.82平方千米,計(jì)劃2025年基本建成.若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項(xiàng)工程,已知該項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需要18個(gè)月完成,若由乙工程隊(duì)先單獨(dú)施工2個(gè)月,再由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工10個(gè)月也恰好完成.承建公司每個(gè)月需要向甲工程隊(duì)支付施工費(fèi)用8萬(wàn)元,向乙工程隊(duì)支付施工費(fèi)用5萬(wàn)元.(1)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要幾個(gè)月?(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工,且盡可能減少成本,承建公司決定讓甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)施工,并將該工程分成兩部分,甲工程隊(duì)完成其中一部分工程用了a個(gè)月,乙工程隊(duì)完成另一部分工程用了b個(gè)月,已知甲工程隊(duì)施工時(shí)間不超過(guò)6個(gè)月,乙工程隊(duì)施工時(shí)間不超過(guò)24個(gè)月,且a,b均為正整數(shù),則甲、乙兩工程隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有幾種方案?哪種方案所支付的費(fèi)用最低?素養(yǎng)探究全練18.【運(yùn)算能力】(2023河北保定十七中期末)閱讀材料:對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,若關(guān)于x的分式(x-a)(x-b)x的值為零,則x1=a,x2=b,又因?yàn)?x-a)((1)理解應(yīng)用:方程x2+2x=5+25的解為x1=(2)知識(shí)遷移:若關(guān)于x的方程x+3x=7的解為x1=a,x2=b,求a2+b2的值(3)拓展提升:若關(guān)于x的方程6x-1=k-x的解為x1=t+1,x2=t2+2,求k2-4k+4t319.【模型觀念】(2022湖南懷化中考)去年防洪期間,某部門(mén)從超市購(gòu)買(mǎi)了一批數(shù)量相等的雨衣(單位:件)和雨鞋(單位:雙),其中購(gòu)買(mǎi)雨衣用了400元,購(gòu)買(mǎi)雨鞋用了350元,已知每件雨衣比每雙雨鞋貴5元.(1)求每件雨衣和每雙雨鞋各多少元.(2)為支持今年防洪工作,該超市今年的雨衣和雨鞋的單價(jià)在去年的基礎(chǔ)上均下降了20%,并按套(一件雨衣和一雙雨鞋為一套)優(yōu)惠銷(xiāo)售.優(yōu)惠方案:若一次購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)5套,則每套打九折;若一次購(gòu)買(mǎi)超過(guò)5套,則前5套打九折,超過(guò)部分每套打八折.設(shè)今年該部門(mén)購(gòu)買(mǎi)了a套,購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為W元,請(qǐng)寫(xiě)出W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式.(3)在(2)的情況下,今年該部門(mén)購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用不超過(guò)320元時(shí),最多可購(gòu)買(mǎi)多少套?

答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.②④⑤解析根據(jù)分式方程的定義可知②④⑤是分式方程.2.D將x=4代入2x+mx-2=1中得,23.C等式兩邊同時(shí)乘(x-2)得,1-2(x-2)=-(1+x),即1-2(x-2)=-1-x,故選C.4.A去分母得2(x+1)=x,解得x=-2,經(jīng)檢驗(yàn),x=-2是原方程的解,故選A.5.D去分母得x=2(x-3)+m,解得x=6-m,∵x≠3,∴m≠3,∵xx-3=2-m3-x的解為負(fù)數(shù)6.-2解析去分母,得x-3=2(x-1)+m,由分式方程有增根,得x-1=0,∴x=1,把x=1代入x-3=2(x-1)+m,得1-3=2×(1-1)+m,解得m=-2.故答案為-2.[變式]答案-2或12解析去分母,得x-3=2m(x-1)+m①,(1)當(dāng)分式方程有增根時(shí),此分式方程無(wú)解,此時(shí)x=1,把x=1代入①,得1-3=m,解得m=-2;(2)將①整理得(2m-1)x=m-3,當(dāng)2m-1=0,即m=12時(shí),①無(wú)解,即分式方程無(wú)解綜上,當(dāng)m=-2或12時(shí),原分式方程無(wú)解7.解析(1)去分母得2x=5(x+3),解得x=-5,檢驗(yàn):把x=-5代入x(x+3),得x(x+3)=-5×(-5+3)=10≠0,∴分式方程的解為x=-5.(2)去分母得(x+1)2-4=x2-1,解得x=1,檢驗(yàn):把x=1代入x2-1,得x2-1=0,∴x=1是增根,故分式方程無(wú)解.8.C∵自行車(chē)的速度為xkm/h,∴小汽車(chē)的速度為3xkm/h,由題意可得15x-159.解析設(shè)每條彩帶x元,則每個(gè)氫氣球(x+0.5)元,根據(jù)題意,得40x解得x=3.5.經(jīng)檢驗(yàn),x=3.5是所列方程的解,且符合題意.所以x+0.5=4.答:每條彩帶3.5元,每個(gè)氫氣球4元.10.解析設(shè)原計(jì)劃每天種植梨樹(shù)x棵,由題意可知6000x解得x=500,經(jīng)檢驗(yàn),x=500是原方程的解,且符合題意.答:原計(jì)劃每天種植梨樹(shù)500棵.11.解析(1)設(shè)完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間為x天,則甲工程隊(duì)需x天完成這項(xiàng)工程,乙工程隊(duì)需(x+6)天完成這項(xiàng)工程,根據(jù)題意得5×1x解得x=30,經(jīng)檢驗(yàn),x=30是原方程的解,且符合題意.答:完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間為30天.(2)選擇方案三.理由如下:方案一需付工程款:2.4×30=72(萬(wàn)元);方案二不能如期完工,不符合題意;方案三需付工程款:2.4×5+1.8×30=66(萬(wàn)元).∵72>66,∴選擇方案三.能力提升全練12.D∵2x-1x2=y,∴原方程可變形為y+1y=5,去分母得y2+1=5y,即13.D∵乙同學(xué)的速度是x米/分鐘,∴甲同學(xué)的速度為1.2x米/分鐘,根據(jù)題意得8001.2x-14.Dx-1≥4x-13①,5x-1<a②,解不等式①得x≤-2,解不等式②得x<a+15,∵不等式組x-1≥4x-13,5x-1<a的解集為x≤-2,∴a+15>-2,解得a>-11,解方程y-1y+1=ay15.52解析當(dāng)x=n時(shí),3x+1=b,即3n+1=b,當(dāng)x=2時(shí),2x+1x=a,即a=2×2+12=52,當(dāng)x=n時(shí),2x+1x=1,即216.解析(1)設(shè)每個(gè)排球的進(jìn)價(jià)為x元,則每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)為1.5x元,根據(jù)題意得36001.5x=經(jīng)檢驗(yàn),x=80是原分式方程的解,且符合題意.∴1.5x=120.答:每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)為120元,每個(gè)排球的進(jìn)價(jià)為80元.(2)設(shè)該健身器材店購(gòu)進(jìn)籃球a個(gè),則購(gòu)進(jìn)排球(300-a)個(gè),根據(jù)題意,得120a+80(300-a)≤28000,解得a≤100.答:該健身器材店最多可以購(gòu)進(jìn)籃球100個(gè).17.解析(1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這個(gè)工程需要x個(gè)月,則2x+101經(jīng)檢驗(yàn),x=27是原方程的解,且符合題意.答:乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要27個(gè)月.(2)由題意可得a18+b27=1,∴3a+2b=54,∵a≤6,b≤24,∴18-23b≤6,∵a,b都為正整數(shù),∴b為3的倍數(shù),∴a∴甲、乙兩工程隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有3種方案.方案①:安排甲工程隊(duì)工作6個(gè)月,乙工程隊(duì)工作18個(gè)月,所需費(fèi)用為6×8+18×5=138(萬(wàn)元);方案②:安排甲工程隊(duì)工作4個(gè)月,乙工程隊(duì)工作21個(gè)月,所需費(fèi)用為4×8+21×5=137(萬(wàn)元);方案③:安排甲工程隊(duì)工作2個(gè)月,乙工程隊(duì)工作24個(gè)月,所需費(fèi)用為2×8+24×5=136(萬(wàn)元).∵136<137<138,∴安排甲工程隊(duì)工作2個(gè)月,乙工程隊(duì)工作24個(gè)月,所需支付的費(fèi)用最低,為136萬(wàn)元.素養(yǎng)探究全練18.解析(1)∵x+abx=a+b的解為x1=a,x2∴x2+2x=x+2x故答案為5;25(2)∵方程x+3x=7的解為x1=a,x2∴a+b=7,ab=3,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=49-6=43.(3)方程6x-1=k-x可變形為x-1+設(shè)y=x-1,則y+6y∴y1·y2=6,y1+y2=k-1,y1=x1-1,y2=x2-1,∵x1=t+1,x2=t2+2,∴y1=t+1-1=t,y2=t2+2-1=t2+1,∴t(t2+1)=6,t+t2+1=k-1,∴k=t+t2+2,t3+t=6,∴k2-4k+4t3=k(k-4)+4t3=(t+t2+2)(t+t2-2)+4t3=t4+6t3+t2-4=t(t3+t)+6t3-4=6t+6t3-4=6(t3+t)-4=6×6-4=32.19.