高級中學名校試卷PAGEPAGE1甘肅省隴南市部分學校2024屆高三一模聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題1.設全集為R，集合則（）A.或 B.或C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，則，解得或，或，.故選：D.2.已知a為實數(shù),復數(shù)為純虛數(shù),則A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由為純虛數(shù)，，.故選：C.3.下列函數(shù)圖象的對稱軸方程為的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，，令，即，即的對稱軸方程為，A錯誤；對于B，，令，即，即的對稱軸方程為，B正確；對于C，，令，即，即的對稱軸方程為，C錯誤；對于D，，令，即，即的對稱軸方程為，D錯誤；故選：B.4.設為兩個平面，下列條件中，不是“與β平行”的充要條件的是（）A.內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B.垂直于同一條直線C.平行于同一個平面 D.內(nèi)有兩條相交直線都與β平行〖答案〗A〖解析〗對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，可可能相交，即這無數(shù)條直線都與兩平面的交線平行，故內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行得不出與β平行，A適合題意；對于B，垂直于同一條直線時，可得與β平行，反之也成立，即垂直于同一條直線是與β平行的充要條件；對于C，平行于同一個平面，則與β平行，反之也成立，故平行于同一個平面是與β平行的充要條件；對于D，內(nèi)有兩條相交直線都與β平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知與β平行，反之也成立，即內(nèi)有兩條相交直線都與β平行為與β平行的充要條件；故選：A5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（）A. B.C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因為為等比數(shù)列，則公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，則，故.故選：C.6.已知拋物線的焦點為F，其準線與x軸交于點為C上一點，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過分別作準線和軸的垂線，與準線交于點，與軸交于點.則，所以，又，，所以，解得，所以.故選：A7.知3名男同學、2名女同學和1名老師站成一排，女同學不相鄰，老師不站兩端，則不同的排法共有（）A.336種 B.284種 C.264種 D.186種〖答案〗A〖解析〗當2名女生站在兩端時，3名男生和1名老師排在中間，共有種排法；當有1名女生排在一端，另一端排男生時，共有種排法；當男生排在兩端時，共有種排法；故不同的排法共有（種），故選：A8.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以；令，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，所以，故，則，即，當且僅當時，等號成立，當，即，有，從而有；綜上，.故選：D.二、選擇題9.某廠近幾年陸續(xù)購買了幾臺A型機床，該型機床已投入生產(chǎn)的時間x(單位：年)與當年所需要支出的維修費用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗回歸方程為.則（）A.B.y與x的樣本相關系數(shù)C.表中維修費用的第60百分位數(shù)為6D.該型機床已投入生產(chǎn)的時間為10年時，當年所需要支出的維修費用一定是12.38萬元〖答案〗ABC〖解析〗根據(jù)題意可得，，，所以樣本中心點為，對于A，將樣本中心點代入回歸方程，可得，故A正確；對于B，由表中數(shù)據(jù)可得隨著增大而增大，與正相關，所以相關系數(shù)，故B正確；對于C，維修費用從小到大依次為，第60百分位數(shù)為，故C正確；對于D，根據(jù)回歸分析的概念，機床投入生產(chǎn)的時間為

10年時，所需要支出的維修費用大概是12.38萬元，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)有3個不同的零點,且，則（）A. B.的解集為C.是曲線的切線 D.點是曲線的對稱中心〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為有3個不同的零點,所以不妨設，易知展開式中的常數(shù)項為，故，又，所以，解得，所以，解得，故A正確；對于B，因為，令，即，利用數(shù)軸穿根法，解得或，故B錯誤；對于C，易得，當切線斜率為時，令，解得或，當時，，此時切線為，即，故C正確；對于D，因為，又，所以，所以點是曲線的對稱中心，故D錯誤.故選：AC.11.已知，關于x的不等式的解集為，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由題意知，關于x的不等式的解集為，不妨取，則，即，其解集為，即滿足題意，故A錯誤；對于B，即，令，由于不等式的解集為，故需滿足，且，令，則，由于，則，即得，又，故，B正確；對于C，D，，，故，令，，則，則，令，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，即，即，，C，D正確，故選：BCD.三、填空題12.已知圓O為圓錐的底面圓，等邊三角形內(nèi)接于圓O；若圓錐的體積為，則三棱錐的體積為________〖答案〗〖解析〗設圓O的半徑為r，圓錐的高為h，則，等邊三角形內(nèi)接于圓O，則，故，則三棱錐的體積為，故〖答案〗為：13.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….記大衍數(shù)列的通項公式為，若，則數(shù)列的前30項和為________.〖答案〗240〖解析〗由題意知，，故數(shù)列的前30項和為，故〖答案〗為：24014.已知M是橢圓上一點，線段AB是圓的一條動弦,且則的最大值為_______.〖答案〗70〖解析〗如圖，設中點為，由，，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，，，設，則，當且僅當時，，所以，故〖答案〗為：70.四、解答題15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為.已知（1）求b；（2）D為邊上一點，，求的長度和的大小.解：（1）由題意知在中，，故，即，由于，故；（2）由（1）知，結合，得，又，故，又，則，又，則，故，即，即，結合，解得，則，，而銳角，故.16.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，為等邊三角形.（1）證明：平面.（2）若為等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：記為的中點，連接.因為為等邊三角形，所以，因為，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面.（2）解：以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為為等邊三角形，，所以到底邊距離為，因為為等邊三角形，，所以到底邊的距離為，則，所以，設平面的法向量為，則，即，令，則，故，設平面的法向量為，則即，令，則，故，因，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.某商場在開業(yè)當天進行有獎促銷活動，規(guī)定該商場購物金額前200名的顧客，均可獲得3次抽獎機會.每次中獎的概率為，每次中獎與否相互不影響.中獎1次可獲得100元獎金，中獎2次可獲得300元獎金，中獎3次可獲得500元獎金.（1）已知，求顧客甲獲得了300元獎金的條件下，甲第一次抽獎就中獎的概率.（2）已知該商場開業(yè)促銷活動的經(jīng)費為4.5萬元，問該活動是否會超過預算?請說明理由.解：（1）設顧客甲獲得了300元獎金的事件為A，甲第一次抽獎就中獎的事件為B，則，，故；（2）設一名顧客獲得的獎金為X元，則X的取值可能為，則，，，，則（元），故，故該活動不會超過預算.18.已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且M經(jīng)過點的焦距為4.（1）求M和的方程;（2）如圖，過點T(0，1)的直線l(斜率大于0)與雙曲線M和N的左、右兩支依次相交于A,B,C,D,若求直線l的方程.解：（1）因為,的焦距為4,所以，，所以，漸近線相同，可設為，代入，，所以（2）設直線l的方程為，由化簡可得：，，時，，，時，，，所以,同理因為，所以，所以.又因為所以所以則，由，解得：，由可知，,所以直線l的方程為：.19.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性.（2）證明:當時,（3）證明:（1）解：，，當時，易知，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當時，令，解得，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，得，即在上單調(diào)遞減，綜上，當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單