核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)五十七

橢圓

鞏固提升練(3。分鐘60分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)

22

1.(2019?北京高考)已知橢圓匚"=1(a>b>0)的離心率為丄,則()

“2h27

A.a2=2b2B.3a2=4b2

C.a=2bD.3a=4b

【解析】選B.離心率平方e2=J=H」，即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.

力2a

22

2.已知橢圓匚匚=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是x+y-6x+8=0的圓心，且短軸長(zhǎng)為8,

C26222

則橢圓的左頂點(diǎn)為()

A.(-3,0)B.(-4,0)

C.(-10,0)D.(-5,0)

【解析】選D.因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=l,所以圓心坐標(biāo)為⑶0),所以c=3,

又b=4,所以ar'%2+c2=5,因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的左頂點(diǎn)為

(-5,0).

3.已知橢圓=咤=1(a>b>0)的離心率為止,橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為12,

cZ624

則橢圓短軸長(zhǎng)為()

-1-

A.8B.6C.5D.4

22?-

［解析］選A.橢圓匸三=1(a>b>0)的離心率e0三橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距

力2M2nW

離之和為12,即2a=12,可得a=6,c=2一,

所以b二,Q2p2=J36-20=4,則橢圓短軸長(zhǎng)為2b=8.

2

4.設(shè)r,F分別為橢圓亍+y2=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且|相+而|=2、向

則NFPF=()

12

A.-B.-C.-D.-

6AR?

【解析】選D.若0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

即0為J'的中點(diǎn)，則PF+PF=2-^),

因?yàn)镮國(guó)+樂(lè)I=2\用,所以|P0入3，

又|01|二.2|=\"二、，§

所以P,F,F在以點(diǎn)0為圓心的圓上，且FF為直徑，所以NFPF二.

1212122

”22

5.已知點(diǎn)P(x,y)是橢圓上+二v=1上一點(diǎn),F,F是左、右焦點(diǎn)，若NFPF取最大值

11K161212

時(shí)，則aPFF的面積是()

12

A.巴-B.12

C.16(2+v3)D.16(2-^)

22

【解析】選B.因?yàn)闄E圓方程二2_=1,

2516

-2-

所以a=5,b=4,c=；25-16=3,

因此，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(-3,0),F(3,0),

12

根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，ZFPF取最大值，

12

則此時(shí)aPFF的面積S=2X丄X3X4=12.

12?

二、填空題(每小題5分，共15分)

2..2、

6.(2020?南陽(yáng)模擬)已知0為坐標(biāo)原點(diǎn),F為橢圓C:—v世_=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，

“2h2

過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線與橢圓C交于第一象限一點(diǎn)P,若APOF為正三角

形,則橢圓C的離心率為.

【解析】因?yàn)閨OF|=c,△POF為正三角形，

所以|P0|二c,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為gc,?C)，

整理得e4-8e?+4=0,解得

所以封丿4-2\"=、爭(zhēng)1?

答案:

-3-

7.已知F是橢圓5x2+9y2=45的左焦點(diǎn),P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn),A(1,1)是一定點(diǎn),則

|PA|+1PF|的最大值為,最小值為.

【解析】設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，則F(2,0),

11

所以IA叩?②

所以|PA|+|PF|=|PA卜|PFj+6,

又一|AFjWlPAHPFjW|A叩(當(dāng)P,A,「共線時(shí)等號(hào)成立)，

所以|PA|+|PF|W6+J2,|PA|+|PF|26-J3

答案：6+V26飛2

8.點(diǎn)M是橢圓二式廣1(a>b>0)上的點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點(diǎn)

62

F,圓M與y軸相交于P,Q,若△PQM是鈍角三角形,則橢圓離心率的取值范圍是

--n

【解析】不妨設(shè)圓M與橢圓相切于左焦點(diǎn)F,

2

設(shè)M(-c,y”)，由圓的性質(zhì)可知：|MF|=|MQ|=|MP|=|yJ,則PQ1二y5-C2,

即|PQ|2=4yk4c2,由△MPQ為鈍角三角形，即NPMQ為鈍角，

貝IcosNPMQ」：在廣+厶七廣一"'1三1遅KO,所以2c2-y2<0.

又因?yàn)镸(-C,yM)在橢圓上，代入化簡(jiǎn)得巧詐&”=?,故2c2-行-:丿~<0,

化簡(jiǎn)得(￡)'-4(￡7+1>0,

-4-

即e4-4e2+1>0,解得e2〈2、,g或e2>2+y3，又e￡（0,1）,所以e2<2—yg,故0<e<

在12,即離心率的取值范圍是（0,、?。?/p>

答案：（o,三目

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.已知橢圓C:—^=l（a>b>0）的離心率e=~,且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,、③.

“2h22

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）過(guò)點(diǎn)P⑵1）作直線I與該橢圓相交于A,B兩點(diǎn),若線段AB恰被點(diǎn)P所平分,

求直線/的方程.

rc_1

【解析】（1）由題意得（c2=Q2f2.解得a2=8,b2=6,所以橢圓C的方程為

43.

"-+丁-b2=1"

日占.

PA

---------1-:-=],

⑵由題意點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，設(shè)A(x,y),B(x,y),則《6r兩式相減,

1122I2-.2

I三v+里=1,

,86

得所&1丁”+61+及丿6二不丿=0,AB的中點(diǎn)為P(2,1),所以x+x=4,y+y=2,

o01212

代人上式得紀(jì)土丄+心二2=0,得k=叁士=3

R6AB必』?

-5-

所以直線/的方程為y-k-三(x-2),即3x+2y-8=0.

2

10.若A(x,y),B(x,y)是橢圓E:—+y2=l上位于x軸上方兩點(diǎn),且x+x=2.

1122g12

（1）若y+y=1,求線段AB的垂直平分線的方程.

12

⑵求直線AB在y軸上截距的最小值.

【解析】（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則以1,丄）,

2

J+*=L

由4+=L

得小宀53+(y-y)(y+y)R,

g1212

所以—(x-x)+(y-y)-'2=二,

91212xx-%29

即k二-乙,所以線段AB的垂直平分線的斜率為所以線段AB的垂直平分線的方

AB92

程為y-l=-(x-1),即9x-2y-8=o.

77

⑵由題意知AB斜率存在，設(shè)直線AB：y=kx+m.

由卩,=kx+m,得(i+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,

(x2+9y2=9,

x+x=-18km=2,即9k2+9km+1=0,①

121+*2

因?yàn)锳(x,y),B(x,y)是橢圓E:—+y=1上位于x軸上方兩點(diǎn)，所以k<0,m>0,②

1122g2

-6-

△=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)>0,

即9k2-m2+1>0,③

結(jié)合①②得m=(-k)+—當(dāng)且僅當(dāng)k=-L時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，k=-l,m工滿足③.

-9kRaRR

所以直線AB在y軸上截距的最小值為l

綜合運(yùn)用練(15分鐘35分)

1.(5分)(2020?濟(jì)南模擬)已知兩圓C:(x-4)2+y=169,C:(x+4)2+y2=9,動(dòng)圓在圓

122

C內(nèi)部且和圓C相內(nèi)切,和圓C相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()

112

【解析】選D.設(shè)圓M的半徑為r,

則|MC|+|MC|=(13-r)+(3+r)=16>8=|CC],所以M的軌跡是以C,C為焦點(diǎn)的橢

121212

圓，且2a=16,2c=8,

22

故所求的軌跡方程為3.

2.(5分)(2019?全國(guó)卷I)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F(-1,0),F(1,0),過(guò)F的直線

122

與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=2|FB|,；|AB|=|BF|,則C的方程為()

221

A.%與B.Q-1

232

c.9=lD.^-Z=l

4aE4

-7-

【解析】選B如圖,由已知可設(shè)|F?8|二必則|￡F?|=2n,|8FI|=MB|=3n,由橢圓的

定義有2a=舊品|+|8F/=4n,所以MF/=2a-MF/=2n.在△AFB中，由余弦定理

推論得cosZFAB*型主

19*9r)*In旦

在4AFF中，由余弦定理得4n2+4m-2?2n?

12

2n?丄=4,解得"必.

所以2a=4n=2\g,所以a=\.?,所以b2=a2-C2=37=2,

22

所以所求橢圓方程為tva_=i.

3.(5分)已知橢圓C:二上=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,直線/:2x-y=0交橢圓C于A,B

/?262

兩點(diǎn)，且IAF|+1BF|=6,若點(diǎn)F到直線I的距離不小于2,則橢圓C的離心率e的取

值范圍是()

A住,1)B.惇,1)

C出,1)D.(0,三

【解析】選B.設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，由于直線/:2x-y=0過(guò)原點(diǎn)，因此A,B兩點(diǎn)關(guān)

1

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以四邊形AFBF是平行四邊形,所以|BF|+|BF|=|AF|+|BF|=6,即

11

-8-

2a=6,a=3,點(diǎn)F(c,0)到直線/的距離d=&22,所以又c<a,即療Wc<3,

v5

所以e旦之

n3La'J

4.(10分)已知橢圓C:~+il(a>b>0)的離心率為上，點(diǎn)M(2,1)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程.

(2)直線I平行于。此且與橢圓C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn).若NA0B為鈍角，求直線

/在V軸上的截距m的取值范圍.

【解析】⑴依題意有=z解得Q=8,

Id2

二2,

=1,

22

所以所求橢圓C的方程為土衛(wèi)1=1.

⑵由直線/平行于0M,得直線/的斜率k=k=丄，又/在y軸上的截距為m,所以/

OM2

,\y=-x+m,

的方程為y=lx+m.由，,2r

7［土+厶=1,

k82

得X2+2mx+2m2-4=0.

因?yàn)橹本€/與橢圓C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以△=(2m)2-4(2m2-4)>0,

解得-2<m<2.

設(shè)A(x,y),B(x,y),則x+x=-2m,xx=2m2-4,

11221212

又NAOB為鈍角等價(jià)于蘇?麗<0且m/0,

XX+yy

則OA*OB-1212

/+m)(Ix2+m)

-9-

+xx+—(x+x)+m2<0,將

412712

x+x=-2m,xx=2m2-4代入，

1212

化簡(jiǎn)整理得m2<2,即、粒<m<2

故m的取值范圍為（320）U（0,v2）.

5.（10分）（2020?武漢模擬）如圖，已知橢圓「：二+匚=1左、右焦點(diǎn)分別為F,F,

4312

分別過(guò)F,F作兩條平行直線AB,CD交橢圓r于點(diǎn)A,B,C,D.

12

⑴求證：|AB|=|CD|.

⑵求四邊形ABCD面積的最大值.

【解析】(1)設(shè)直線AB的方程為x=my-l,

22

A(x,y),B(x,y),將x=my-1代入二+1_=1,整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,

1122AR

匕「，、,丄-6m_9

所以y+y-_--,yy―—--.

121

Rm2+42+J

設(shè)C(x,y),D(x,y),

3344

22

因?yàn)锳B〃CD,所以CD的方程為x=my+1,代入7-=1,

4a

整理得(3m2+4)y2+6my-9-0,

匕s?丄一6m_9

所以y+y-------------,yy--------------,

34^m2+4343毎+4

所以y+y=-(y+y),yy二yy,

12341234

-10-

所以|y「yj=|y「yj,

因?yàn)镮AB|i4-m21y-yj-

ICDI|y,-yJ,所以IABI=ICDI.

⑵由⑴知四邊形ABCD是平行四邊形，

所以S=4S,S=-?|OF|?|y-y|,

°ABCDAAOBAAOBy112

所以S=2?Iy-yI

。ABCD12

2

+y/-4yy=24|

=J(yY2L2匕心

\N(3m+4尸

二24I1Z,

[“1+僧2丿+/+6

設(shè)t=1+nv,f(t)=9t+丄+6(t21),

t

則f'(t)=9-丄=竺二＞0,

Mt2

所以f(t)在[1,+8)上遞增，f(t)=f(1)=16,

min

故m=0時(shí)，四邊形ABCD面積取最大值6.

【拓廣探索練】

1.設(shè)點(diǎn)P為橢圓C:二￡^=1上一點(diǎn),F,F分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),且APFF

1912