高二人教A版《數(shù)學(xué)》必修5系列教案：1.1.1正弦定理2

1.1正弦定理（教學(xué)設(shè)計(jì)）

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明

方法;會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題.

2.過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)

系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察,推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理,并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)

踐操作.

3.情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力;培養(yǎng)學(xué)生合情

推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)問(wèn)

的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù).

學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：^^=磊=薪，接著就一般斜

三角形進(jìn)行探索,發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓

學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡(jiǎn)捷,新穎.

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情景、新課引入

如圖1.1T,固定AABC的邊CB及/B,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng).人

思考：NC的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？/\

顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角NC的大小的增大而增大.能否//\

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？c4------------%

二、新課講解：（圖1.1-1）

在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形,下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式

關(guān)系.如圖1.1-2,在RtAABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定

義，有g(shù)=sinA,2=sin6,又sinC=1=￡,

ccc

be

從而在直角三角形ABC中,南

sin8sinC

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定

義'有CD=as?s…而下彳而

1

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c_b

同理可得

sinCsin8

ab

從而

siv\Asin5

（圖1.1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題,從而可以考慮用向量來(lái)研究

這個(gè)問(wèn)題.

（證法二）：過(guò)點(diǎn)A作7,比，

由向量的加法可得痢=歷+而

則7.的=7.（無(wú)+的

.期=7?號(hào)

問(wèn)附cos（90。-/＜）=0+|）||Cfi|cos（900-C）

csin/=〃sinC,B［JC，=/?

sin4sinC

同理，過(guò)點(diǎn)c作沅，可得工二G

sinSsinC

Ii-r-3bC

從而---^=—―-=—一-

sinAsin8sinC

類似可推出，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立.（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過(guò)程,可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即

3_bc

sinAsin6sinC

［理解定理］

⑴正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在

正數(shù)k使a=/rsin/,b=ksinBfc=ks\nC；

⑵a_b_c等價(jià)a廠b____c_=_b____a「c

sinAsin8sinC'sinAsin8'sinCsinB'sin/lsinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a="空；

sinF

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值,如sin4=垓sinB.

b

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形.

［例題分析］

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例1（課本例題）.在A43c中,已知4=32.0°,8=81.8°,“=42.9cm,解三角形.

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-（Z+8）

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°;

根據(jù)正弦定理,

“sinB_42.9sin81.8°

?80.1(cw);

-sin/-sin32.0°

根據(jù)正弦定理,

=asinC42.9sin66.2°

c-sin/-sin32.0°?74.1(C/H).

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器.

變式訓(xùn)練1：已知在。中，c=10,Z=45°,C=30°,求a,b和8

解：???c=10,4=45°,C=30°

/.5=180°-(/4+C)=105°

由，=」得吐血1=1。，叫5。=]0五

sin4sinCsinCsin30

由“一=上得

sinBsinC

,csin510xsin105".V6+V2<殳，<行

b----------=-------------——=20sin750=20x-----------=5"6+5。2

sinCsin30°4

例2.（課本例題）在A/l8c中，已知a=20cm,6=28cm,/=40°,解三角形（角度精確到

1°,邊長(zhǎng)精確到1cm）.

解：根據(jù)正弦定理，

.nbsmA28sin40°

sinn=-------x0.8999.

a=~20-

因?yàn)?°<8<180°,所以8y64°,或

⑴當(dāng)8264°時(shí)，

C=180°-(J+5)?180°-(40°+64°)=76°,

./sinC20sin76°

‘一sin/一sin400?30(cw).

⑵當(dāng)8N16°時(shí),

C=1800—(N+8)Z80°—(40°+l16°)=24°,

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asinC20sin240

?13(cm).

sin/sin40°

評(píng)述：應(yīng)注意己知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),可能有兩解的情形.

變式訓(xùn)練2：

⑴在&46。中，b=g,8=60°,c=l,求a和4c

⑵在A46c中，0=6,4=45°,4=2,求6和8,。

解：⑴sinC=3=y匕」

sin5sinCbJ32

?;b>c,B=60°,.??C<民C為銳角，.?.C=30°,8=90°

/.a=ylh2+c2=2

小Qc.-csinA痛xsin450V3

(2)???———=———sinC=-------=-----------------=—

sinAsinCa22

csinA<a<c,:.C=60°或120°

.?.當(dāng)C=60°時(shí)，8=75。力=受比=回空^=6+1,

sinCsin60°

.?.當(dāng)C=120°時(shí)，8=15。/=￡^1^二遙sml：>=91

sinCsin60°

.-.6=73+1,5=75°,C=60°或b=g—1,6=15°,C=120°

a+b+c

例3：己知AABC中，NA=60°,a=技求

sin/l+sin8+sinC

b

分析：可通過(guò)設(shè)一參數(shù)k（k〉0）使=k,

siv\AsinBsinC

ba+b+c

證明出

siv\Asin8sinCsin/l+sin^+sinC

解：設(shè)工=/^=[J=A(A>o)

sinAsinFsinC

則有a=4sinA,b=ks\nB,c=ks\nC

“Ka+b+cZrsinA+ks\nB+ks\nC.

從而——A—：一?~~：—^二——：---—二k

sin/+sind+sinCsin/l+sind+sinC

又芻--^0=2=4,所以.-4石+.空.—八二2

sinAsin60sin/l+sin^+sinC

評(píng)述：在公出(：中，等式^^=^5=^7；=.=k(k〉6

sin，sin?sinCsin/+sinG+sinC'7

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恒成立.

變式訓(xùn)練3：已知AABC中,sinAsinB:sinC=1:2:3,求a:匕:c

（答案：1：2：3）

例4：在△46C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,

求證：三角形面積=—?6sinC=—6csin^=—acsinB

MBC222

（記憶：兩邊夾角正弦值的一半）

附：（課本P8探究與發(fā)現(xiàn)的分析）

已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況:

⑴若A為銳角時(shí)：

a<bsinA無(wú)解

a=bsinA—解（直角）

bsinA<a<b二解（一銳，一鈍）

a>b一解（銳角）

a<b無(wú)解

⑵若A為直角或鈍角時(shí)：

a>b一解（銳角）

三、課堂小結(jié)

ab_c_a+h+c

（1）定理的表示形式:=4/>0）；

sinZsin8sinCsin力+sin8+sinC

或a=/rsix\A,b=ks\v\B,c=ks\nC（左>0）

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊,求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.

四、課時(shí)必記：（優(yōu)化設(shè)計(jì)P1知識(shí)拓展）

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即

a_b.=2R（其中R指的是三角形夕卜接圓的半

sinAsin8

徑）

五、分層作業(yè)：

A組：：

1.在△46C中，siMasiM於sin2c則a'為（A）

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高二人教A版《數(shù)學(xué)》必修5系列教案：1.1.1正弦定理2

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形

2.在△4?。中，已知角8=45°,c=20,6=迪，則角A的值是（D）

3

A.15°B.75°C.105°D.75°或15°

3.若包工=*=駟￡，則△加。是（C）

ahc

A.等邊三角形B.有一內(nèi)角是30°

C.等腰直角三角形D.有一內(nèi)角是30°的等腰三角形

4、（坨0146101）已知八/止。中，a=50,b=25遍，A=450,求B.

（答：60?；?20。）

5、（tb0146102）在AABC中，已知a=g,b=痣，B=45°,求角A、C和邊c.

76+V2A/6—V2

（答:A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=）

22

B組：

1、在△/阿中，a:b:c=l:行：2,則4:8:。等于（A）

A.：j3B.231C.L32D.312

2、（tb4800310）已知在AABC中，三內(nèi)角正弦之比為4：5：6,又周長(zhǎng)為"，求三邊長(zhǎng).

2

（略解：2,-,3）

2

C組：

1、（tb4800302）已知為6的平分線,求證：AB：BC=AD：〃以備注：內(nèi)角平分線

定理）

分析：前面大家所接觸的解三角形問(wèn)題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問(wèn)題,而