2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學文

化、新定義）專題06向量專題（新定義）

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）定義平面向量之間的一種運算“?！比缦拢簩θ我獾摹?（m,"）,b=（p,q）?令

ab=mq-np,下面說法錯誤的是（）

A.若Q與b共線，則αb=0

B.ab=ba

C.對任意的;I∈R,（Xa）b=λ[aZ?）,

D.（ɑb）~+（α?θ）~=,[W

2.（2022春?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期中）定義qWb=∣αf-α?b.若向量&=（2,6），向量6為單位向量，則

的取值范圍是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

3.（2021春?云南昆明?高一云南師大附中?？计谥校┢矫鎯?nèi)任意給定一點。和兩個不共線的向量q,%由

平面向量基本定理，平面內(nèi)任何一個向量機都可以唯一表示成e∣,e2的線性組合，/"=xq+ye2（x,y∈R）,

則把有序數(shù)組（x，y）稱為m在仿射坐標系[。；q,02]下的坐標，記為“2=（x,y）,在仿射坐標系[o；4,?2]下，。，

/?為非零向量，且〃=（N，X）,6=住2,%），則下列結論中（）

①〃+〃=（玉+工2，乂+必）②若αl?b,則XM2+X%=。

.?-y.?

③若a/∕b,貝IJXy2=工2%④COS?&》?=,

√%,-+χ?√X2+X

一定成立的結論個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022.高一單元測試）若對于一些橫縱坐標均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標不同，則稱這些向

量為“等模整向量”，例如向量〃=（1,3W=（T-1）,即為“等模整向量”，那么模為5&的“等模整向量”有（）

A.4個B.6個C.8個D.12個

5.(2017?四川廣元?統(tǒng)考三模)對于"個向量4小,%,若存在”個不全為0的示數(shù)%,,均，使

得:kiay+k2a2+kia3+,+匕4=6成立;則稱向量《,電，4,…是線性相關的,按此規(guī)定，能使向量&=(1,0),

%=(1,-1),4=(2,2)線性相關的實數(shù)4,&2,則勺+4&的值為()

A.-1B.0C.1D.2

6.(2022秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中)對任意兩個非零的平面向量巴夕，定義αB=端,若平面

PP

向量α,b滿足碓W>0,9的夾角共(0寸，且a6和人&都在集合限回中，則“b=()

I35

A.?B.1C.-D.-

222

7.(2023?全國?高三專題練習)互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系

中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行

線，其在X軸和)，軸上的截距”，匕分別作為點P的X坐標和y坐標，記P(αS),則在X軸正方向和)，軸正方

向的夾角為。的斜坐標系中，下列選項錯誤的是()

A.當。=60。時A(l,2)與8(3,4)距離為2百

B.點A(l,2)關于原點的對稱點為A'(T,-2)

C.向量。=(XI,%)與G=(X2,%)平行的充要條件是MX2=%再

D.點A(l,2)到直線x+y-l=0的距離為應

8.(2022春?黑龍江大慶?高三大慶實驗中學校考階段練習)如圖所示，設Ox,Oy是平面內(nèi)相交成券

角的兩條數(shù)軸，4*2分別是與X,y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系Xoy為。斜坐標系，若

OM=xei+ye2,則把有序數(shù)對（XM叫做向量OM的斜坐標，記為OM=（XM.在。=?的斜坐標系中,

a=j；,曰]力=（百,7）.則下列結論中，錯誤的是（）

①α-匕=—+1；②同=1；③a_LA;④b在&上的投影為-√Σ

V22√

A.②③B.②④C.③④D.②③④

9.（2021春?上海浦東新?高一華師大二附中?？茧A段練習）如圖，定義°、的向量積[α,可=WWsina,a

為當〃、力的起點相同時，由”的方向逆時針旋轉到與b方向相同時，旋轉過的最小角，對于：，=（.%）,

（）

b=χ2,y2，C=（XVy3）的向量積有如下的五個結論:

①[而,悶=.[α∕]；②[￡,可=區(qū)可;

③[砌=XMFy1；(4)[α,?+cJ=[α,可+[α,c]：

⑤[q,b+c]=[db-c];

其中正確結論的個數(shù)為（)

a

a

b,

A.1個B.2個

C.3個D.4個

10.(2022春?山西朔州?高一?？茧A段練習)定義d(αM=∣α-b∣為兩個向量”，匕間的“距離”，若向量”，匕滿

足下列條件：(i)W=l；(ii)a≠?;(iii)對于任意的feR,恒有電，仍卜〃(。力)，現(xiàn)給出下面結論的編號，

①.a_L8②."(a-?③.““”-⑷④刈≥1⑤.(4+〃)Ma-分)

則以上正確的編號為()

A.①③B.②④C.③④D.(D@

11.(2018.湖南.統(tǒng)考一模)在實數(shù)集R中，我們定義的大小關系“>”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我

們這平面向量集合D={a?a=(x,y),x∈Λ,γe∕?)上也可以定義一個稱為“序”的關系，記為“>”.定義如下：

對于任意兩個向量q=0,%),a2=(x2,y2),q>4當且僅當“3>/'域"X=尤2且%>%”，按上述定義的

關系“〉”，給出下列四個命題：

①若q=(l,0),?=(0,1),0=(0,0),5I∣Je1>e2>0;

②若al>a2fa2>a3,則al>ai;

③若4>/，則對于任意的α∈O,ai+a>a2+a↑

④對于任意的向量?！?，其中O=(0,0),若則a?q>0?%?

其中正確的命題的個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

12.(2017秋?河南鄭州?高三鄭州一中階段練習)若非零向量α,b的夾角為銳角。，且S=/。，則稱“被匕

b

“同余”.已知〃被?！巴唷保瑒t在。上的投影是()

13.(2022春.陜西榆林.高一榆林市第一中學校考期中)設α=(q,?),?=(?1,4),定義一種向量積：

αΘ?=(a1,α2)0(?l,a)=(。4%優(yōu)).已知機=。,；)，〃=仁,0),點P(x,y)在y=sinx的圖象上運動,

點。在y=∕(x)的圖象上運動，且滿足OQ=,"③OP+"(其中。為坐標原點)，則y=∕(x)的最大值A及最

小正周期T分別為（）

A.2,πB.2,4兀

C.T,4乃D.T,兀

14.（2023?河北衡水?高三河北衡水中學?？茧A段練習）設向量〃與。的夾角為6,定義α十b=∣οsinM+反。s4

已知向量〃為單位向量，忖=&,k-0=1,貝∣Jα十。=（）

A.—B.√2C.—D.2√3

22

15.（2022春?浙江金華?高一浙江金華第一中學校考期中）記min{x,y}=F'X",設〃，力為平面內(nèi)的非零

[xix<y

向量，則（）

A.min^∣α+?∣,∣α-fc∣∣≤min^∣<2∣,∣?∣jB.min^∣α+?∣2,∣a-?∣2∣≥a2+b2

C.min∣∣（7+?∣,∣0,-fe∣∣≥min∣∣0∣,∣?∣∣D.min∣∣α+Z?∣2,∣α-Z?∣2∣≤+?2

44

16.（2021?全國?高三專題練習）對于向量/（i=l,2,把能夠使得附HΛJ+???+∣ΛJ取到最小值的點

P稱為4（i=l,2,的“平衡點”.如圖，矩形ABCO的兩條對角線相交于點。，延長BC至E,使得BC=CE,

聯(lián)結AE,分別交3D、C。于尸,G兩點.下列的結論中，正確的是（）

A.A、C的“平衡點”為0.

B.D、C、E的“平衡點”為ZXE的中點.

C.4F、G、E的“平衡點”存在且唯一.

D.A、B、E、。的“平衡點”必為F

二、多選題

17.（2022春?浙江?高一期中）如圖所示，在平面上取定一點。和兩個以點O為起點的不共線向量4,%

稱為平面上的一個仿射坐標系，記作{θ-.el,e2},向量OM=χe,+y4與有序數(shù)組（Xy）之間建立了一一對應關

系，有序數(shù)組（x,y）稱為OM在傷射坐標系｛。：4?｝下的坐標，記作OM=（X,y）.已知4,02是夾角為。=管

的單位向量，α=（l,2）,?=（2,-l）,則下列結論中正確的有（）

B.ItzJ=>73

C.aVbD.〃在“方向上的投影向量為

18.（2022春?河南?高一校聯(lián)考階段練習）對任意兩個非零向量α,b,定義新運算:.已知非

零向量〃?,“滿足網(wǎng)>3忖且向量加,”的夾角Oepf1,若4（"〃）和都是整數(shù)，則機③〃的值可

能是（）

A.2b?IC.3D.4

19.（2023?全國?高三專題練習）已知向量e∣,c?是平面ɑ內(nèi)的一組基向量，。為ɑ內(nèi)的定點，對于α內(nèi)任

意一點P,當OP=xel+ye2時,則稱有序實數(shù)對（x,y）為點P的廣義坐標.若點A,3的廣義坐標分別為（F/）,

（巧，％），關于下列命題正確的是（）

A.線段A,B的中點的廣義坐標為（當強,且尹）

B.A,8兩點間的距離為Ja-X2）2+（丫/必）2

C.若向量OA平行于向量OB，則Xly2=々M

D.若向量OA垂直于向量02，則西X2+苗必=2

20.（2022?江蘇南京?統(tǒng)考模擬預測）設加，”是大于零的實數(shù)，向量α=（"JCθsα,,nsinα）,b=（ncosA,"sin□）,

其中α,∕7e[0,2τ）,定義向量訴CoS￡■,而d吟）,3尸=（"∞s'瘋訪?，記0=α-/7,則（）

l_?

A?（〃戶?（4）2=a

LLθ

2

B.(a)?(b)2=yjmncos—

1-2____0

2

C.(a)2-(b)>4√Amzsin2—

4

2

??θ

D.(a)2+S”≥4Λ∕ΠTHCOS2

4

21.（2022?浙江溫州?高一永嘉中學統(tǒng)考競賽）設。、A、B是平面上任意三點，定義向量的運算:

t

det（θA,OB）=OAOBf其中OA由向量OA以點。為旋轉中心逆時針旋轉直角得到（若。4為零向量，規(guī)定

OA也是零向量）.對平面向量〃、b>c，卜列說法正確的是（）

A.det(a∕?)=det(b,o)

B.對任意4∈R,det(α+昉∕)=det(a,A)

del（q,C）det（c,/7）

C.若“、b為不共線向量，滿足m+M=c（x"R）,貝"=加'k環(huán)同

D.det(α,b)c+det(∕7,c)α+det[=0

22.（2023春?湖北武漢?高一華中師大一附中?？茧A段練習）對任意兩個非零的平面向量α和夕，定義

aβ=若平面向量滿足降網(wǎng)>0，。與人的夾角。e。，；，且“匕和64都在集合

{?∣%eZ∕ez）中.給出以下命題，其中一定正確的是（）

A.若M=I時，則Qb=ha=?

B.若機=2時，則Ub=—

2

C.若加=3時，則Q%的取值個數(shù)最多為7

D.若m=2014時，則°b的取值個數(shù)最多為空!土

2

23.（2023?全國?高三專題練習）定義平面向量的一種運算“?！比缦?對任意的兩個向量i=（χ∣,y）,力=（々，％），

令6fθZ?=（AIy2-Wy「MW+M%），下面說法一定正確的是（）

A.對任意的；l∈R,有=

B.存在唯一確定的向量e使得對于任意向量α,都有：Θ>=Kz=：成立

C.若α與b垂直，則(砌￡與3(堿共線

D.若“與5共線，則(μ力)Θ:與曝(J?；)的模相等

三、填空題

24.(2023春?江蘇泰州?高一靖江高級中學校考階段練習)設向量d與6的夾角為0,定義。與6的“向量積”，

“x〃是一個向量，它的模等于人小同卜卜皿。，若q=(l,√5),6=(-6,-1),則IaXbI=.

25.(2018春?安徽蕪湖?高一蕪湖一中校考階段練習)在平面斜坐標系XOy中，NXOy=60。，平面上任一點產(chǎn)

關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若OP=Xq+ye2(其中e∣,02分別為X，軸方向相同的單位向量)，

則戶的坐標為(χ,y),若P關于斜坐標系Xoy的坐標為(2,-1),則IoPI=

26.(2019春?安徽蕪湖?高一校聯(lián)考期中)定義“*8=j,若)=(1,2),人=(3,-2),則與方向相反的

ab

單位向量的坐標為.

27.(2022秋?湖南長沙?高三?？茧A段練習)已知對任意平面向量AB=(x,y),把AB繞其起點沿逆時針方向

旋轉6角得到向量AP=(XCoSe-ySinaXSine+ycos9).如圖所示，頂角NQ=I20。的等腰三角形PQR的頂點產(chǎn)、

。的坐標分別為P(LO)、Q(3,6),則頂點及的坐標為.

28.(2022春?北京海淀?高一校考期中)設平面中所有向量組成集合C,e為C中的一個單位向量，定義

F(X)=T+2(x?e)e.則下列結論中正確的有(只需填寫序號).

①若〃2、"∈C,則F(m)?F(n)=λn?n；

②若x∈C,<x,e?=鼻,則F(Fa))=x；

③若"=(l,0),V=(O,1),F(ri)=v,則Z有唯一解?,?-.

\/

29.(2022春?江蘇南通?高一海安市曲塘中學?？计谥?小顧同學在用向量法研究解三角形面積問題時有如

下研究成果：若Q4=(∕χ),OB=(X2,%),則SA3B=;IXJ2-々訊試用上述成果解決問題：已知A(U),

3(2,3),C(4,5),則SABC=.

30.(2022春?上海寶山?高一上海交大附中校考階段練習)關于任意平面向量可實施以下6種變換，包括2

種V變換和4種W變換

V1:模變?yōu)樵瓉淼腏倍，同時逆時針旋轉90。；

v2:模變?yōu)樵瓉淼腡倍，同時順時針旋轉90。；

”：模變?yōu)樵瓉淼难?，同時逆時針旋轉45。；

>v2:模變?yōu)樵瓉淼奈灞?，同時順時針旋轉45。；

叼：模變?yōu)樵瓉淼难?，同時逆時針旋轉135。；

明：模變?yōu)樵瓉淼难叮瑫r順時針旋轉135。.

記集合S=W,匕,％嗎，嗎，%｝，若每次從集合S中隨機抽取一種變換.經(jīng)過n次抽取，依次將第，?次抽取的

變換記為4。=0/，2,…,〃)，即可得到一個"維有序變換序列，記為G,(%%,…,凡)，則以下判斷中正確的

序號是.

①單位向量i=(1,0)經(jīng)過2022次V變換后所得向量一定與向量α=(0,l)垂直；

②單位向量i=(L0)經(jīng)過2022次W變換后所得向量一定與向量α=(0,1)平行；

③單位向量i=(LO)經(jīng)過G6變換后得到向量7=(-1,0),則Ge中有且只有2個V變換；

④單位向量i=(L0)經(jīng)過G,變換后不可能得到向量i=(l,l)；

⑤存在”，使得單位向量i=(L0)經(jīng)過G,次變換后，得到1=(2022,2022).

31.(2022春?湖南株洲?高一株洲二中?？茧A段練習)設V是已知平面加上素有向量的集合，對于映射

f-.V→V,a≡V,記”的象為73).若映射∕W→U滿足：對所有以beV及任意實數(shù)人，，都有

“"+〃6)=/1/3)+〃/出)，則/稱為平面加上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：

①設/是平面M上的線性變換，公〃eV，則/(α+6)=∕(α)+/S)；

②若e是平面M上的單位向量，對α∈V,設/(α)=α+e,則/是平面M上的線性變換；

③對αeV,設/(a)=-。，則/是平面M上的線性變換；

④設/■是平面例上的線性變換，α∈V,則對任意實數(shù)人均有/(履)=V3)?

其中的真命題是(寫出所有真命題的編號).

32.(2021春?重慶南岸?高一重慶第二外國語學校?？茧A段練習)定義平面非零向量之間的一種運算“※”，

記便∕>="cose+5sin(9,其中。是非零向量α,b的夾角，若e∣,e?均為單位向量，Het-e2=^,貝IJ向量qXe?

與e2※(-ej的夾角的余弦值為.

33.(2021春?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末)設OX、。是平面內(nèi)相交成120°角的兩條數(shù)軸，e?分別是與X軸，

>軸正方向同向的單位向量，若向量OP=Xq+y∕,則把有序數(shù)對(x,y)叫做。尸在坐標系Xoy中的坐標.假

設OP=(2,2),則|。PI的大小為.

34.(2018春?浙江臺州?高一臺州中學?？计谥?已知向量d及向量序列：a,,a2,a3,,al,,滿足如下條件：

Iq∣=2.∣=2,q?d=l,且a；—”,—=d("≥2,"eN"),當1≤氏≤9且ZeN*時，4?《()_；的最大值為.

35.(2017春?北京東城?高二統(tǒng)考期末)已知平面向量a=(m,〃),平面向量7=(p,q),(其中孫〃,p,q∈Z).

定義：a?b={mp-nq,mq^np).若"(L2),b=(2,1),則〃③/?=；

若“<8>b=(5,0),且忖<5,W<5,則。=,b=(寫出一組滿足此條件的4和6即可).

36.(2014?安徽?高考真題)已知兩個不相等的非零向量α/,兩組向量頻.用.,吟O聞和辦西.幽代,島均

由2個￡和3個$排列而成.記s=?i+w.K-E[-WΓ?Seia表示S所有可能取值中

的最小值.則下列命題的是(寫出所有正確命題的編號).

①S有5個不同的值.

②若】則s=ι與H無關.

③若。之,則S=與H無關.

④若P>4u-∣,則S=>o.

⑤若同=2時,黑、『8|"，則)與各的夾角為:

37.(2021春?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學?？茧A段練習)定義：對于實數(shù)，〃和兩個定點M、N,在某圖

形上恰有N個不同的點外i=L2,3,,“)，使得RM?RN=m,稱該圖形滿足“〃度冏合”，若在邊長為4的正

方形ABCD中，BC=2BM，DN=3NA,且該正方形滿足“4度冏合”，則實數(shù)〃，的取值范圍是.

38.(2022?全國?高三專題練習)定義兩個向量組X==的運算

X-Y=xl?yl+x2?y2+x3?y3,設與烏多為單位向量，向量組X=[,￡/3),丫=(%，％，%)分別為4,02,6的

一個排列，則X?Y的最小值為.

39.(2022.北京順義.統(tǒng)考二模)向量集合5={m=(匕)，),蒼川耳，對于任意4,?e5,以及任意；le[0,l],

都有4a+(l-∕IW∈S,則稱集合S是“凸集”，現(xiàn)有四個命題：

①集合M=同"=(χ,y),y≥χ2}是“凸集"；

②若S為“凸集”，則集合N={2α∣αeS}也是“凸集”；

③若A，&都是“凸集”，則A。&也是“凸集”；

④若4,4都是“凸集”，且交集非空，則AcA2也是“凸集”.

其中，所有正確的命題的序號是.

四、解答題

40.(2022秋?河北滄州?高二?？奸_學考試)平面內(nèi)一組基底04,OB及任一向量

OC,OC?xOA+yOB(x,y&R),若點C在直線A8上或在平行于AB的直線上，我們把直線AB以及與直線

AB平行的直線稱為“等和線”，此時x+y為定值，請證明該結論.

41.(2022秋?上海嘉定?高二上海市嘉定區(qū)第一中學校考階段練習)已知在平面直角坐標系中，。為坐標原

點,定義非零向量OM=(a,b)的“相伴函數(shù)”為y="sinx+)COSX(X∈R),向量OM=(α,b)稱為函數(shù)

y=αsin*+Z?CoSX(X∈R)的"相伴向量”；記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為S

(1)已知CreR,∕z(x)=cos(x+α)+2cosx,若函數(shù)〃(x)為集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范圍;

(2)已知點M(α,b)滿足條件：?=3,0<?≤√3.若向量OM的''相伴函數(shù)"Y=g(x)在X=與處取得最大值，

當匕在區(qū)間(0,。]變化時，求tan2%的取值范圍；

r11乃一

⑶當向量。M=(G,1)時，“相伴函數(shù)”為了(X),若Xe0,—,方程尸(x)+(2-α)∕(x)+α-3=0存在4個

不相等的實數(shù)根，求實數(shù)。的取值范圍.

42.(2022春?上海奉賢?高一?？计谀?對于一個向量組4，%，。3，-'%(〃23,〃eN")，令2=4…,

如果存在α,(r∈N*),使得聞≥g-q,那么稱4是該向量組的“好向量”

(D若生是向量組《1，%，%的“好向量”，且q=("，x+及)，求實數(shù)X的取值范圍；

(2)已知q,a2,用均是向量組勺4嗎的“好向量”，試探究《，%，生的等量關系并加以證明.

43.(2021春?山西臨汾?高一統(tǒng)考階段練習)如圖，在正方形ABCZ)中，點E是AB的中點，點F,G分別是

AD,BC的二等分點.

⑴EF,EG有什么關系？用向量方法證明你的結論.

(2)已知對任意平面向量MN=(X,)，)，把MN繞其起點沿逆時針旋轉。角得到向量

MP=(XCoS。-ysin，,XSinO+ycos。)，叫做把點N繞點M沿逆時針方向旋轉。角得到點P.已知正方形

ABC。中，點40,0),點仇2,0),0(0,2),把點G繞點E沿順時針方向旋轉!TT?后得到點P,求點尸的坐標.

44.(2021春?四川成都?高一四川省成都市鹽道街中學?？茧A段練習)定義非零向量OM=的“相伴函數(shù)”

為/(x)="sinx+08sx(xeR),向量OΛ∕=(4,A)稱為函數(shù)/(x)="sinx+6COSX(XeR)的“相伴向量”(其

中。為坐標原點).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為S.

⑴設MX)=力COS(X+弓)+385(三7)》€(wěn)11),請問函數(shù)〃(%)是否存在相伴向量0初，若存在,求出與OM

共線的單位向量；若不存在，請說明理由.

⑵已知點”(。力)滿足：-≡(θ,^^∣,向量OM的“相伴函數(shù)'"(X)在X=%處取得最大值，求tan2x0的取值

范圍.

專題06向量專題(新定義)

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習)定義平面向量之間的一種運算“?！比缦拢簩θ我獾摹?(m,"),A=(p,q).令

ab-mq-np.下面說法錯誤的是()

A.若α與。共線，則α?=O

B.ab=ha

C.對任意的2eR,(4")b=λ[ah),

D.(α+(a-b^=∣?∣^∣?∣'

【答案】B

【分析】根據(jù)給出的運算“?！钡男露x，結合已知的向量的數(shù)量積公式及模長公式逐項判斷即可.

【詳解】若。與匕共線，則有α6=mq-"p=0,故A正確;

b∣a=pn-qm,而。h=mq-np,ab≠ba,故選項B錯誤;

對任意的∕leR,(Xa)b=(λm,λn?h=Anuj-Anp,

又“b=mq-np,?)=λmq-λnp,故C正確；

(α?j+(ɑ/)=^mq-np^+^mp+ιu∣)^=m2q2+n2p2+ιn2p2+n2q2,

又W∣?∣=(nr+n2^p2+?2)=m2p2+m2q2+n2p2+n2q2,故D正確.

故選：B.

2.(2022春?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期中)定義。06=回2-丈從若向量"=(2,石)，向量方為單位向量，則“③人

的取值范圍是()

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6)D.(-1,5)

【答案】B

【分析】求得同，設乃＞=。，整理可得d8〃為關于9的關系式，進而求解.

【詳解】因為a=(2,6),所以同=，2^彳百=3，

設<α,6>=6,θ≡[(),π],由向量匕為單位向量，

所以“<8>b=Iar-ab=32-3xlXCOSCa,b>=9-3COSO,

因為CoSee[-1,1],所以a區(qū)》W6,12],

故選：B

3.(2021春?云南昆明?高一云南師大附中校考期中)平面內(nèi)任意給定一點。和兩個不共線的向量e；,e2,由

平面向量基本定理，平面內(nèi)任何一個向量加都可以唯一表示成e∣,C2的線性組合，帆=Xel+ye2(x,y∈R),

則把有序數(shù)組(χ,y)稱為小在仿射坐標系[。；4，弓]下的坐標，記為ZW=(X,)，),在仿射坐標系[θ^,e2]下，”，

%為非零向量，且3=(χ∣,y),b=(χ2,y2),則下列結論中()

①α+6=(χ+Λ?,χ+%)②若”_L〃，貝IJXIX2+y%=。

③若a∕lb,則不H=WX④CoSf=J;/;J

一定成立的結論個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用向量的新定義結合向量的性質逐個分析判斷即可

【詳解】在仿射坐標系[。咫?]F，設@ej=d,因為α=(x∣,%),b=(^x2,y2),所以α=XIel+yg,

b=x2et+y2e2,所以α+6=(x∣+χ)e∣+(y∣+必應，所以“+6=(王+Λ2,y+R，①正確：

若aLb,貝!|4-6=0,所以“/=(x∣e∣+y∣e?)?(々4+M62)=e「+(N必+X?x2)4?C2+%'2七22，

2

=Λ?X2∣el∣+(xly2+y1x2)plIp21cos+jlj2p21=0,故②不一定正確；

因為α∕∕Z?,所以存在唯一的實數(shù)4，使得。=λθ,則XIel+)送2=/1124+%02)，所以為=/三，>'∣=λy2,所

以Xly2=占Y，所以③正確；

a.b22,

cos(6z,?)=,由②知，a?b=x.xe~+(x,y+y,x)e,?e+y,y^e?所以④不一定正確，

m∣g∣22227

所以正確的有2個，

故選：B

4.(2022.高一單元測試)若對于一些橫縱坐標均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標不同，則稱這些向

量為“等模整向量”，例如向量α=(l,3)]=(-3,T),即為“等模整向量”，那么模為5行的”等模整向量”有()

A.4個B.6個C.8個D.12個

【答案】D

【分析】把5血=同=J(±lf+(±7)2=J(±5f+(±5)2,分別寫出向量即可.

【詳解】因為5夜=同=∕±1)2+(±7>=J(±5)2+(±5了

所以模為5及的等模整向量有

q=(l,7),a2=(1,-7),a3=(-1,7),a4=(-1,-7)

G=(7,1),a6=(7,-1),a1=(-7,1),?=(-7,-1)

%=(5,5)'a1。=(5,-5),4Z∣∣=(-5,5),cιl2=(—5,—5)

所以模為5五的等模整向量共有12個.

故選：D

【點睛】在求向量模的有關問題時通常的處理方法有：

(I)a2=a?a=lap或卜卜Ja?〃:

2;

(2)?a±b?=^a+b)=77±2a?h+h~

(3)若a=(x,y)9則Ial=JX2+,2

5.(2017?四川廣元?統(tǒng)考三模)對于〃個向量qg,%,4,若存在〃個不全為O的示數(shù)附七右，使

得：Kq+Λ2ɑ2÷Λ303++knan=O成立；則稱向量q,%,%是線性相關的，按此規(guī)定，能使向量01=(1,0),

%=(1,T),α3=(2,2)線性相關的實數(shù)%,與，&，則K+4%的值為()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】B

[kλ+k2+2k3=O

【分析】由題可得匕q+幺劣+&%=0,結合條件可得「√7∕lλoz八，即得.

--``[FC∣×0+?2(-1)+2K3=O

【詳解】由題可知｛q+λ2H2+λ3%=6,4=(1,0),a2=(1,-1),%=(2,2),

ki+k2+2k3=0

所以

&×0+?2(-l)+2?3=O

兩等式兩邊相加可得4+4&=O.

故選：B.

6.（2022秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中）對任意兩個非零的平面向量α,力，定義αB=*,若平面

PP

向量α,b滿足碓W>0,0,6的夾角呵0,：）,且a6和3a都在集合極回中，則&6=（）

135

A.?B.1C.-D.-

222

【答案】C

【分析】由題意可可設meZ,reZ,ab=gba=g得COS??！阤（：」），對，進行賦值即可

得出機，f的值，進而得出結論.

a-bIdCOSe?n??b?cosθ（n]

【詳解】解：a〃=鏟=力^韋|“巧，故b?=LL_e^|nGZ1.

又由…∣5∣>0,可設加∈Z,，∈Z,

令α?=—,ba=L,且加≥z>o

22

又夾角q0制，所以cos2妾

對機，/進行賦值即可得出初=3,f=l

所以"b.

22

故選：C.

7.（2023?全國?高三專題練習）互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系

中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行

線，其在X軸和y軸上的截距α,。分別作為點P的尤坐標和y坐標，記尸（。/）,則在X軸正方向和），軸正方

向的夾角為0的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（）

A.當6=60。時A(l,2)與B(3,4)距離為2后

B.點A(l,2)關于原點的對稱點為A'(-1,-2)

c.向量。=(WM與2=(J?,%)平行的充要條件是=y,ιχ?

D.點A(l,2)到直線x+y-1=0的距離為加

【答案】D

【分析】根據(jù)“斜坐標系''的定義，結合向量運算對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】設X軸正方向的單位向量為e-y軸正方向的單位向量為4，

對于A選項：由已知得卜離｝=60。,所以4烏=以嗎=最

由A(l,2),3(3,4)及斜坐標的定義可知04=4+%,08=34+4/，

,

∣AB∣=IOB-OAI=2∣61+e2∣=2d儲+ej=2-^el^+2el?e2+e^=2,1+1+1=2百，

故A選項正確；

對于B選項:根據(jù)“斜坐標系”的定義可知：點Λ(l,2),則OA=el+2e2,設A(l,2)關于原點的對稱點為A?x,y),

劃OA'——OΛ=—q—2,=X6]+y^2，

fx=-l

由于喉々不共線，所以]=_2，

故B選項正確；

對于C選項：a=xiel+yjb=Yι+%/，

若α是零向量,則alIb成立，同時Xl=X=。,所,以Xly2=9M成立，

11

此時allb<=>x↑y2=x2y↑；

若￡是非零向量，則07b=存在非零常數(shù)∕l,使匕=；IaOX=Xxlq+義μ4=]；；O

4々乂=^y2O乂尤2=%王，所以allb<=>xly2=x2yi.

故C選項正確；

對于D選項：設直線x+y-l=O上的動點為P(X,y)。P=Xel+ye2,

因為χ+>τ=0,所以χ+y=ι,

設OC=e∣,O￡>=e；,則點P(x,y)在直線CO上，

所以直線χ+y-l=O過點C(1,O),D(O,1),

因為OA=耳+%,則IAq=IOC_OA∣=2Wl=2,

=

IAZ)∣=IOD—OA∣=pl+e21÷￠->j=?fi,

由于國I=IO4=1,(Oa時)=60。,所以CD=I.

所以卜Q1+|co『=kc『，所以AoLCO，

所以點A到直線x+y—l=。的距離為k4=G,

故D選項錯誤.

8.（2022春?黑龍江大慶?高三大慶實驗中學校考階段練習）如圖所示，設Ox,Oy是平面內(nèi)相交成"Jh]

角的兩條數(shù)軸，4,02分別是與X，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系Xoy為。斜坐標系，若

OM=xei+ye2,則把有序數(shù)對(XM叫做向量OM的斜坐標，記為OM=(XM.在。=?的斜坐標系中,

a=j；,曰］力=(百,7).則下列結論中，錯誤的是()

①α-匕=—+1；②同=1；③a_LA;④b在&上的投影為-√Σ

A.②③B.②④C.③④D.②③④

【答案】D

【分析】借鑒單位向量夾角為90"時的情況，注意夾角為。胃

22

a-h=(xiel+yle2)-(x2ei+y2e2)=(Λ1-x2)ei+(yi-y2)e2；W==y∣x+y

數(shù)量枳為。力=(玉4+乂62>(/《1+%/)；

h在α上的投影為M?cosO=W扁=篙.

【詳解】對于①.α-Zj=gq+等∕)-(Ge∣-e2)=(g-6)e∣+(#+l)e2，

所以人=?-??^+!,故①正確；

(22)

對于②.“==ge：+2XgX與《七+/：=j+等c°s(=Jl+乎>1’故②錯誤;

對于③.a?l>-(^el+e-,)?(?∣3el-e2)=-?—+e2?e2=0+≠0,故③錯誤；

對于④.各在Z上的投影為弛=_2_>o,故④錯誤.

HH

故選：D

9.(2021春.上海浦東新?高一華師大二附中?？茧A段練習)如圖，定義“、b的向量積可=Musina,a

為當4、匕的起點相同時，由”的方向逆時針旋轉到與b方向相同時，旋轉過的最小角，對于i=(4,K),

〃=(三，%)，C=(W,%)的向量積有如下的五個結論:

Q)?^λa,μb^=λμ?jι,b^；②[￡同=[〃，￡]；

(g)[α,?]=x1y2-X2J15④[4,6+c]=[α同+[α,c]；

⑤[q,b+c]=[α,b-c];

其中正確結論的個數(shù)為()

3

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】C

【分析】結合題目中的新定義的概念逐項分析即可得出結論.

【詳解】①ZM至少有一個為。時，顯然成立；

4〃都不為0時，

若λμ>O,則[/a,〃o]=k“H〃/#sina=/i“aH4sina=2〃[a,6]；

若λμ<O,則[2〃，4可=WM?sin(α-;T)=彳”小卜卜也￡=又〃[0,可：

綜上：[九：,〃〃]=〃/[4,可，故①正確；

②[4,H=MMsina,[8α]=WMSin(-α)=-卜雨Sinα,所以[￡,可W區(qū)￡],故②錯誤;

③[“同=W?忖?sinα=；=xly2-x2yi,故③正確；

④由③知：[α,?+cJ=xl（j2+y3）-J∣（X2+Λ?）=XIJ2-J?JI+xlj3-x3y1=[α,可+[￡,c],故④正確；

⑤[4]+。]=±（為+必）一%（々+人），]。，'一目=再（丫2-必）一必（&-七）,占（%+必）一乂（々+玉）與

%（%-%）-乂（》2-不）不一定相等，故⑤錯誤；

故選：C.

10.（2022春?山西朔州?高一校考階段練習）定義d（α⑹=卜-0為兩個向量”，人間的“距離”，若向量°,/?滿

足下列條件：（i）∣*l;（ii）ɑwh;（Hi）對于任意的fwR,恒有，/（"小4（。點），現(xiàn)給出下面結論的編號,

①.“_L6②.8J?（α-b）③.a，（a-b）@jqzi<?.（4+8）JL（a-b）

則以上正確的編號為（）

A.①③B.②④C.③④D.①?

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得（。-仍丫Y"H'轉化為產(chǎn)-2S?"W?6-1）20對于任意的IeR恒成立，即A≤0,

整理得（α?b-l）2W0,再利用向量的數(shù)量積逐一判斷即可.

【詳解】由于d（α,b）=*4,又對于∕GR,恒有題,仍）zd（α,b）,

顯然有卜_仍卜卜_0,即2（”“，

則/_2%。+（2〃山-1”0對于任意的.€/?恒成立，

顯然6A=卜24?∕?）—4（2a,/?—1）≤0成立，

/\2

即（α?8-l）-≤0,則α?b=l,故序號①錯誤，

進而〃力=,小忖8$。=1,

,.咽=1，于是c°se=j<ι,得W≥1,即序號④正確.

再由a/—1=0得。力―=0,fB（“—，）=°,

.?bv（a-b）,顯然序號②正確,從而序號③錯誤,

再由②OHb，故序號⑤錯誤?

綜上知本題正確的序號為②④.

故選：B.

【點睛】本題命制是以新定義為背景，考查向量長度及數(shù)量積等知識概念，同時考查了等價轉換、不等式

恒成立問題，符合以生考熟的高考理念，考查知識內(nèi)容源于教材，試題面向全體考生，不同思維能力層次

的考生度可以利用熟悉的通法來解決問題，從而增強考生的自信心，有利于考生正常發(fā)揮，屬于中檔題.

11.(2018.湖南.統(tǒng)考一模)在實數(shù)集R中，我們定義的大小關系“>”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我

們這平面向量集合D={a?a=(x,y),x∈Λ,y∈7?}上也可以定義一個稱為“序”的關系，記為“>定義如下：

對于任意兩個向量4=