寧河區(qū)2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高一數(shù)學(xué)第I卷（選擇題共36分）注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.2.本卷共9小題，每小題4分，共36分.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交并補運算即可求解.【詳解】，故選：D2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫出命題的否定.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：B3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點的（）A.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)不變【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換可以得到答案.【詳解】因為把函數(shù)的圖象上所有的點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，就能得到函數(shù)的圖象.故選：B5.函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、定義域、正負(fù)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，所以該函數(shù)的定義域為，顯然關(guān)于原點對稱，因為，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于縱軸對稱，故排除選項AC，當(dāng)時，，排除選項B，故選：D6.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較大小.【詳解】因為為增函數(shù)，所以,因為為增函數(shù)，所以，所以.故選：C7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩角差的正切公式求解.【詳解】，解得.故選：B8.杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號及象征亞奧理事會的太陽圖形六個元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊.已知某紙扇的扇環(huán)如圖所示，經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和10的兩個同心圓上的?。ㄩL度單位為cm），側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為，則扇面（扇環(huán)）的面積是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用扇形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為上、下兩條弧分別在半徑為30和10的圓上，圓心角為，由扇形面積公式，所以兩個扇形的面積分別為，所以扇面的面積為.故選：A.9.給定函數(shù)，，對于，用表示，中較小者，記為，若方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖像，得的圖像，由題意，直線與的圖像與有三個交點，結(jié)合圖像判斷實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，解得或，函數(shù)和的圖像相交于點和，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的圖像，由，得的圖像，如圖所示，方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則的圖像與直線有三個交點，由圖像可知實數(shù)的取值范圍為.故選：B第Ⅱ卷（共84分）注意事項：用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題紙上.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個空的，每個空2分.10.函數(shù)，的最小正周期是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)計算即可.【詳解】，故答案為：.11.已知角的終邊過點，則_______．【答案】【解析】分析】由三角函數(shù)定義可直接得到結(jié)果.【詳解】的終邊過點，．故答案為：.12.__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】,故答案為：13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則_________.【答案】##【解析】【分析】由函數(shù)最小正周期計算，代入點計算.【詳解】由函數(shù)圖象可知，最小正周期，則，，所以，又圖象過點，有，則，由，得.故答案為：14.某公司生產(chǎn)某種儀器的固定成本為300萬元，每生產(chǎn)臺儀器需增加投入萬元，且每臺儀器的售價為200萬元.通過市場分析，該公司生產(chǎn)的儀器能全部售完，則該公司在這一儀器的生產(chǎn)中所獲利潤的最大值為_________萬元.【答案】1680【解析】【分析】分和兩種情況得到利潤函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合基本不等式計算最值，比較得到答案．【詳解】由題意可得：當(dāng)時，利潤為，當(dāng)時，，故；若，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，萬元，②若，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，萬元．所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元．故答案為：168015.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，_________，若，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式；利用奇偶性和單調(diào)性解不等式.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，.函數(shù)和在R上都單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，由，得，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角關(guān)系得正弦值，即可由正弦的二倍角公式求解，（2）根據(jù)余弦的二倍角公式以及和差角公式即可求解.【小問1詳解】由以及可得，故【小問2詳解】17.已知函數(shù)，且.（1）求實數(shù)m的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）若，求值域.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由，代入函數(shù)解析式，求實數(shù)m的值；（2）定義法證明的單調(diào)性；（3）由函數(shù)單調(diào)性求區(qū)間內(nèi)函數(shù)的值域.小問1詳解】由，得；【小問2詳解】由（1）可知，，任取，則，，，有，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以時，值域為.18.已知函數(shù)（1）求的定義域；（2）若，，求，的值（結(jié)果用含a，b的代數(shù)式表示）；（3）若函數(shù)求不等式的解集.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)真數(shù)大于零列不等式，可求的定義域；（2）求出，利用對數(shù)的運算法則，結(jié)合換底公式可求，的值；（3）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別解不等式組即可.【小問1詳解】要使函數(shù)有意義，則，即的定義域為；【小問2詳解】因為，，所以則，，【小問3詳解】等價于①或②，由①可得；由②可得，綜上，不等式的解集為.19.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求的最大值、最小值，并分別求出使該函數(shù)取得最大值、最小值時的自變量x的取值.【答案】（1）（2）當(dāng)時，取最大值為2，當(dāng)時，取最小值為．【解析】【分析】（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，利用整體思想的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）結(jié)合（1）利用單調(diào)區(qū)間，可求的最大值、最小值，以及使該函數(shù)取得最大值、最小值時的自變量x的取值.．【小問1詳解】由題意可知：．因為，所以，因為，的單調(diào)遞減區(qū)間是，且由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，可得當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，，所以：當(dāng)時，取最大值為2，當(dāng)時，取最小值為．20.已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且其圖象經(jīng)過點，.（1）求的解析式；（2）判斷的奇偶性并證明：（3）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）為奇函數(shù)，證明見解析（3）6【解析】【分析】（1）設(shè)，代入點可求的解析式；（2）利用定義法判斷并證明的奇偶性；（3）由的解析式，得不等式恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在時恒成立，利用基本不等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)，且，函數(shù)圖象經(jīng)過