1.題文】(本嚼分14分)

/(x)=px———21nxf(e)=qe---2

設(shè)函數(shù)工，且。，其中。是自然懶的獺

2c

(1)求P單獻(xiàn)系；(2)若"X)隹腕義域內(nèi)為單崛數(shù)，求P糠值范圍⑶設(shè)"x,若』Le】上

至少存缶-點(diǎn)毛，使得〃毛)>gm)成必小好7的

(ft符斤】本姻要是^了導(dǎo)數(shù)頌癱散中的運(yùn)用。

⑴利嬲目中蟀件f(e)雌得SUp,q的粽式

(2)I大的球被最義域內(nèi)為單調(diào)緘為降索|數(shù)應(yīng)該是恒大于等于翻渚恒小于等于零，為陷褥蟋數(shù)逆施圍。

⑶構(gòu)造撤通啊究函數(shù)的最值，建屋數(shù)的胞3。

f(e)二℃_一_2山c=qc_-_2=(夕一q)(e+—)=0

解：(1)輾意得°e。

e+—工0_

而e,附P、q白庫(kù)熄=q

(2)由(1)知

f(x)=px---2\nx=px---l\nx/(x)=p+2-—=———二<+口

XX,x'XX*

令〃(x)=px、2x+p,w/(x)到定城A+x)內(nèi)是單調(diào)硒，只需收)"0：+x)解齪

(jQP=°時(shí)，〃(x)=一2工，

Z.^__2X

四產(chǎn)>°，所以"(X)<0,X，<0,

..J(x)第0：+x)內(nèi)是單抽喇?dāng)?shù)艮/=0適

,x=—e(Os-t-oc)

的p>0時(shí)，｝(x)=P廠―2x+p,其圖像為開口向上的媛對(duì)稱軸為p,

，/、1

〃(x)-=p__

???p，

_2_>

只需PP一，即p>的〃(x)>0J(X)>0,

.?J(x)/0，+x)內(nèi)為單腳麒函數(shù)故021適合題意

x=—g(O+x)

2s00

(3^<01^,-2x+ptp,^<)-,

即pM0時(shí)，Mx)&0在《Q+”?恒成立故Po適合酶

緞儂P悔毓瞅「2喙"0.

2e

(3)/*-x霜@

.?.x=e時(shí)；g(x)±M=2；x=]時(shí)，g(/c2x=2°,即g(“)e[2：2u],

箏，°時(shí)，由(2)鼠(X)/LH"x)==/0)=0<2?不^^

?X6[l,e]=>x-->O

鸚0<P<1時(shí)，由x

X*②矢哨p=1時(shí)，"x)a或增敏

/(x)=p(x——)—21nx<X-——21nx<e---21ne=e---2

xxee<2,不合題t；

叱21時(shí)，由(2)M(X)忠e]茂增磁/(l)=0<2,

又g(x)普司.施微捌孀/(x)=>8(力—，xC[Le],

/Wxu=/(e)=X?--)-21ne()

而e,--,

p(e--)-21ne

即。>2,解得P>e*-1,

越pSWltJiWe--1^

2.廖J(料題舲44分)

的觥/⑶=(2-G(xT)-2lnx,g(x)=xe】T

(I)當(dāng)所1時(shí)，菊檄f(x)解漉間

(H)若函數(shù)f(x)在I幽】))上程點(diǎn)求的最小值;

a

(HD制腌靛的方W(“司，在(°同崎鈿驗(yàn)不同的WIG),四Z(xJ=g(/)皿求a

朔又倒31

【答判(I)"X)瞬^ggfg］為10：LWfiaW2：+*1.

〃、(0-)

(II)若前數(shù)八X)在2_既零點(diǎn)HJIP的最小值卯=2一4卜2：

aJ_x2--1

an)當(dāng)'."1」時(shí)，對(duì)蜴紿觥尹日在10㈤上總存s驗(yàn)不明產(chǎn)°=1,)，使

〃蒼)=躍引啦.

［M析］⑴當(dāng)a=l時(shí)，解除確定編用?x)>°(<°)得至場(chǎng)數(shù)f(x)雌(減)因可

(ID解本d題猷鍵是先確定了(x)<°在92)上恒成立問(wèn)能座煙數(shù)“X)在(°,5)上無(wú)名點(diǎn),只蝴任

2Inx

xe(0A/(x)>0,xe(O1AXa>2-—

意的2恒成立，財(cái)2x-l恒成年

/(x)=2-^^.xe(0:-)s

聞碉磁,~x-1.2'種|馨娥i(x)曝鷹阿

(III)解權(quán)口魅'(X)=/*(01)時(shí)g'(x)>0：蠲g(x)單闞

墻當(dāng)xe(Le]時(shí)，g(x)<0,醴(g(x)單調(diào)醐

?.?g9)=0,g(1)=1,g(e)=e?r>Q豳函記>施0：。］用雌為0/.竽=2時(shí),不合蟋酬健

a。2時(shí)的閽兄

解⑴竽=1時(shí)，X由八X>>U,X>4

r

/(x)<0:0<x<2

故,(x)的單調(diào)減區(qū)間為I°二｝單調(diào)增區(qū)間以2+工L..............

(II)因?yàn)閒(x)〈。在2)上恒成立不可能儂螭數(shù)"X)在2)上無(wú)零點(diǎn)；

X6(ol)/(x)>o/八1、)21nx

,xw(0：fa>2一--

2IWA,EIW2x-1tg^r.

22

—(x-l)-21nx2Inx---2

4嗚,/'(X)=----------7X

7(x)=2--

令x-1則(X-1)(x-iy再^

e(0,!),?j'(x)=-二+二=zM<Os

w(x)=21nx+--2Sx

x2x*xX*

m(x)八9》L心心▼將刑(x)>a(：)=2-21n2)a

??'在-上卻赧數(shù)十是一

7(0>0(°S)」(x)〈心=2-41n二

燉，/⑺>u,于是/(X)在2的甑散2

21nx

xT愉尬j^e[2-41n2=+x|=

甘2)零點(diǎn)。貝N=2-4山2............3分

(HDg'(x)=產(chǎn)一xM=(1-x%i,并(04)時(shí),g'(x)>0:函數(shù)g(x)單調(diào)嵋

當(dāng)X?】㈤時(shí)，g'(x)<Q醴[g(x)單娜緘

_,

,.,g(0)=0,g(l)=lJg(e)=ee'>0:越0x>&0：e]上的值域?yàn)?』.當(dāng)"2時(shí)，不命醵

.2Q一加2QT)(X-9)

-4--=---------=-------------

f1ra)=2；xe(O:e]

孕w2時(shí)，xxX

2、

0<<ea<2—

延儒齪2-a?①

此時(shí)，當(dāng)X變你勺-X)幀廿青醐口下:

7

「2

X(Q-----------.Q.1

2-a2-aU-a-J

f'(x)—0+

/(X)最d遁

?/XfoJ(X)f+xJ(六)=a-21n-J(e)=(2一決-1)一2

2-a2-a

.??對(duì)隰懶jX。€l支司，在區(qū)商0;a上航在酢不同的三。二L2工

22

/(-^-)<0*a-21n-^<Os

、2-a即2-a

幽1/a)=g(毛)峭，期必嵋樣圖牛/⑷NLl(2-aXe-l)-2>l.@@

rf

h(a)=a-2In---:a6(-x：2--)=h(a)=1-2[ln2-ln(2-d)]=1-=——:

令2-ae2-aa-2

令“⑷=0,/=0[例:ZttxxSk.Cbm]

7

<7c(0.2——)

當(dāng)aw(FO)時(shí)，*(a)>0,娥/(a)單瞬嗯當(dāng)"e時(shí)，〃f'⑷<°，酸山⑷單瞬咸

27

a€(-x.2__).u八、_八a€(-X.2——)

郝I,對(duì)晦。獷⑷￡"⑼=U艮迤對(duì)(璋c，廊也

a<2一一—.

iwmI④

aJ_x231

綺破)可知當(dāng)'一1」時(shí),確鶴淀的演日。0斕6。]上總存麗和的毛"=11)，

(?，-)************************************

f(x)=--x3+—ax*+lax

3.【題文】(本小題滿分14分)已知awR,函數(shù)32(xeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)函數(shù)f(x)是否能在R上單調(diào)遞減，若能，求出a的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若函數(shù)f(x)在[一L"上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

【答案】(l)LUl(2)當(dāng)一84aW°時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減；(3)a"

【解析】本試題主要是考察了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和研究函數(shù)的參數(shù)

的范圍問(wèn)題。

(1)直接求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到單調(diào)區(qū)間，

(2)如果在給定區(qū)間單調(diào)，則導(dǎo)數(shù)恒大于等于零或者恒小于等于零來(lái)得到參數(shù)的范圍。

(3)同上，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分離參數(shù)的思想得到a的范圍。

,=+ix2+2x

解：(1)當(dāng)。=】時(shí)，32,

f'(x)=-x2+x+2

2分

令f'(x)>°,即一X，+X+2>0,即X2-x-2<0,

解得一1<x<2.，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是?一1二L------4分

(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，則/'(X)毛°對(duì)xeR都成立,------6分

即+ax+2a40對(duì)xWR都成立，即/一ax-2a30對(duì)x€R都成立.

二.A=a，+8。&0,解得一8《aW0

，當(dāng)-8Wa40時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.--------9分

(3)解法一：?.?函數(shù)f(x)在［-1,1］上單調(diào)遞增，

:「8*°對(duì)xC［一川都成立,二-X2+ax+2flA0對(duì)"€卜川都成立

即/-ax—Za&O對(duì)xe［_Ll］都成立.--------“分

令g(x)=(一?一口,則

,1

g(l)=1—a-2a<051、，

g(-l)=l+a-2a<0.

一a21.---------14分

解法二：：函數(shù)f(x)在［-L”上單調(diào)遞增，

二，'(x)>°對(duì)X?［一切都成立,，-X?+ax+2a20對(duì)xw［-U］都成立二a(x+2)>.對(duì)

X2

“?〔Til都成立，即x+2對(duì)xc〔T』都成立.一一11分

.x)=￡g，(x)=2x(x+2)Ag

令」x+2,則Ix+2)(x+2］,-----12分

當(dāng)一lWx<0時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)0<xWl時(shí)，g'(x)>0

二g㈤在［T。］上單調(diào)遞減,在〔°』上單調(diào)遞增.

.g(.二g(x)在上的最大值是g(Ti=l

二a/1---------14分

4.【題文】(本小題滿分12分)

/(X)=工+?

已知函數(shù)'e”(x€出)(。是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.

(1)當(dāng)。=一15時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

若〃x)在區(qū)間「工'?上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)

1+F1+2*1+3*1+匯5n

------F---；---F---：—+…-----v——

證明°e'46對(duì)一切“wN?恒成立.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

f(x)=

(1)因?yàn)楹瘮?shù)(XC&),利用導(dǎo)數(shù)，判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到結(jié)論。

(2)由題意得當(dāng)。一'一0時(shí)，/(。、。=丫一二工+^工5恒成立。然后分離參數(shù)的思想得到參數(shù)a

的取值范圍。

X*+1

;

(3)令a=l得"幻=丁，r(x)=-(.r-l)^<0>

/、左」f(k)</(-)

所以J在(-?-X)上為減函數(shù)，對(duì)于任意MjV*,都有2,故有2

z

-k--+-1<__5_=?"-M--+-1<__5_n

即64&<■：夕從而得證。

解：⑴當(dāng)。=一15時(shí)，"x)=(x--l〉)e”,

f\x)=(-x2+2x+15)e-x=-(x-5)(x+3)e-x

由，'(x)>°=—3<x<5,............................4分

所以，"X)在區(qū)間(T9上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一“3心，+?上單調(diào)遞減。

(2)f'(x)=代-2x+a)吸

由題意得當(dāng)c_時(shí)，/'(x)20=x'_2x+aW0恒成立。

gd)?o

<e

令g(x)=x，—2x+a,有.g(e)三°,得。工2。一。一,

所以a的范圍是(一x：2c—01.........................8分

（3）令"1得”"/,，&）=-（廠一1）『’0,

無(wú)〉工/（無(wú)）</（工）

所以/（X）在（一工「功上為減函數(shù)，對(duì)于任意k€.V*,都有“2,故有'"2

攵：+15_（M-15〃

即=〈乖=2下"<年

1-F1+2：_1-3：_1+〃：<5n

即eeze:夕4&

/（x）=ln（—+_ac）+H-ax

5.【題文】（本小題滿分14分）已知函數(shù)22（口為常數(shù)，口

1

（I）若2是函數(shù)J（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；

（H）求證：當(dāng)°<a?2時(shí)，f（x）在弓’功上是增函數(shù)；

（III）若對(duì)任意的ae（1,2）,總存在'小弓刀，使不等式/（Xo）>m（l-a：）成立，求實(shí)數(shù)求的取范

圍.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。以及不等是的求解，和函數(shù)單調(diào)性的判定的綜

合運(yùn)用。

1_.CT-2.

/2ax（x----）1

IFa

（1）因?yàn)閪2

/X-）=o^-^=-

由已知，得2即2a2,得到a的值，

（2）當(dāng)Ova42時(shí)，2a22a2a2a2

x>—x------>0—>0鏟/、不t）

二當(dāng)2時(shí)，2a.又1-G，-以故八x）在L2上是增函數(shù)

（3）當(dāng)aU）時(shí)，由（II）知，“X）在L?.」上的最大值為122

“l(fā)n（LLa）+l-a+刑（蘇-1）>0

于是問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的（『），不等式22恒成立.

利用構(gòu)造函數(shù)得到結(jié)論。

/X-)=oa~-2=1.

2

(I)由己知，得"即2a2,.-.a--a-2=0:va>0,.-.a=2....3分

經(jīng)檢驗(yàn)，a=2滿足條件.4分

..a：_21_-J.-2￡1

(][)當(dāng)0《a?2時(shí)，?2a22ala~2a一2’.......5分

、1??一2、八lax、八

x>-x------>0---->0，故/(X)在[2,'上是增函數(shù)

二當(dāng)2時(shí)，2a.又1-G

(III)當(dāng).eg)時(shí),由(II)知，/⑴在寫」]上的最大值為了⑴一吟一”-1-,

-6ln(--1)>0

于是問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的“w(L-),不等式22恒成立.

:

g(a)=ln(---fl)-1-a-?w(df-l):(l<a<2)

記、-t//

g'(a)=——1-2ma=[2ma-(1-2?M)],

則「a「a...................9分

當(dāng)刑40時(shí)，有2心-(l-2M=2m(a-l)-l<0,且匚^>°「g⑷在區(qū)間a*)上儂且g⑴=°,

則a40不可能使g(a)>。恒成立，故必有相>0........11分

，/、2ma11

、八g⑷----r-z—DIVl

當(dāng)次>。，且1-a2M

若2根，可知g(a)在區(qū)間2加上遞減，在此區(qū)間。上有g(shù)3)<g⑴=0,與

-1-141,

g3)>°恒成立矛盾,故2刑-,這時(shí)g'(a)>°,即g⑷在(1,2)上遞增，恒有g(shù)("'>g"=o滿

足題設(shè)要求.

；加>0

m>Ad,y)

U"!，即4,所以，實(shí)數(shù)汨的取值范圍為4.................14分

6題文】(理)(14分)設(shè)函數(shù)收)—(X+I),其中baO.

b>L

(I)當(dāng)2時(shí)，判斷函數(shù)f(x)：在定義域上的單調(diào)性；

(H)求函數(shù)月?的極值點(diǎn);

ln(一+1)〉丁一干

(IH)證明對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式nnn都成立.

T2(x+—)*+6—1

f(x)=2x+—=----=-------^二b>-.f(x)

【解析】(1)先確定函數(shù)的定義域，求得x+1X+12在定義

域上是增函數(shù)；

(2)由(1)得2在定義域上是增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)；2有兩個(gè)根，判斷

兩個(gè)根是否在定義域內(nèi)，判定單調(diào)性即得到函數(shù)的極值；

(3)令6=_］構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)_x'=x'Tn(x+l)-F,xc(OJ,判斷單調(diào)性可得

1

73X~~—

ln(x+l)>x.-r,令”，就可以證得結(jié)論。

(I)/(6的定義域?yàn)?-1.+?)......................

+b—上

*>-時(shí).2x+-^--

----------->02*

2X4>1

???b>：時(shí)./(X)在定義城上是相函數(shù)............4'

(U>Tr(x)----------2------------2..xe(Txo)

/(x)2r0.八X)不存在極值點(diǎn)............6'

bV；時(shí)./'(x)R的兩根為天■土和二土僅.

2.2

注意到定義域?yàn)?-1.—)

...OVbvgsl.x,〉一1.b<0ff-t.sV-1即項(xiàng)*…8'

二當(dāng)6MI時(shí)./(x)不存在有極值點(diǎn)

OVbV?時(shí).〃x)有極值點(diǎn),和心=二!+J""

b<0時(shí),/(x)有極值點(diǎn)，X=士廠”.........9'

(m)取b=T可得/(x)-x'-ln(X+I)

令g(x)=/(x)-x3=x：-In(x+1)-xJx€(0,1].....10,

V=2x--？-?3x2-……*-34+--D，〈0

x+1x+1

則g(6在0u〕上單調(diào)遞減

，g(x)Vg(0)=0即In()>x2-x5…12，

令！=x,neN；Bijxe(0,1]

n

?，?In---..............141

\n)nan

1a2/\x：/

fIx)=-x"3=--axH---

7.【題文】(本小題滿分16分)已知函數(shù)3222.

(1)當(dāng)'=2時(shí),求曲線J'="x)在點(diǎn)尸⑶=(3))處的切線方程;

1

(2)當(dāng)函數(shù)丁=力均在區(qū)間1°$上的最小值為3時(shí)，求實(shí)數(shù)&的值；

(3)當(dāng)。<1時(shí)，若函數(shù),(X與團(tuán)團(tuán)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4

【答案】⑴3x-jT=0；⑵3.(3)a<0.

【解析】

要求函數(shù)在點(diǎn)尸(3J0))處的切線方程，先求,(3),即確定的點(diǎn)，在求3處的導(dǎo)數(shù)，即斜率；

1

求函數(shù)J=力皿在區(qū)間10」】上的最小值為3時(shí)，一般先求函數(shù)在區(qū)間1°』上的單調(diào)性，在確定在

某處取得最小值：

將函數(shù)與8口1的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為0*=€1"，有三個(gè)不同的根，即

2x*一(3a+3)x，+6ax-3a，=0右一人才?閂的坨、八〃(x)=2x'-13a4-3)xA+6方-3。-匕如

有二個(gè)不同的根設(shè)\J-與X軸

有3個(gè)交點(diǎn)。

f(X)=-X-XT,：,f(x)=>T-2x

解：(1)由題知.，3---------分

二"3)=3_________________

⑶=0________________

曲線J=，(”)在點(diǎn)尸(3J0))處的切線方程為3x_y_9=0--------

1分

⑵由題知‘(“)=￥一"________________________1夕

令f(*'=°的》=0或工=4

44

①a川寸門40』0)4。.===a=—a=—

即3二3

------------------------------------2分

②當(dāng)4W0時(shí):XW[°』.二f(X)—。

二兀.(x)=/(0)=0不符合________________________1分

③當(dāng)0<。<1時(shí)，當(dāng)OMxva時(shí)f1x1-0

當(dāng)lNx>a時(shí)/(x)>0二小4*=%)=一"=]

即4=也不符合------------------------2分

4

a=-

綜上知：3--------------------1分

⑶由題知〃耳=€(刈有三個(gè)不同的根，即21一(3a+3)/+6k3/=。有三個(gè)不同的根設(shè)

Zz(x)=2x'_(%+3)￡+6爾-3優(yōu)]今

h(x)=6廣一(6a+6)x+6a

令7m=°的x=a或x=l--------------------1分

a<1/.當(dāng)x<a時(shí)〃(X.)>0,當(dāng)x>1時(shí)〃(*)>0；

當(dāng)a<x<l時(shí)“1x1v°------------------------1分

，(x)段小堂=W)=一域+3a-l如玄=A(a)=-/

V—3〃一+3a—1<0

二.一優(yōu)<0即a<0-a<0---------------------2分

8.[題文]已知函數(shù)f(x)=lnx_ar+l(x>0)

(1)若對(duì)任意的*6[L+幻J340恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.

5~、1二L

a=—/(x)=-+oriji

(2)若2且關(guān)于x的方程2在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)6的取

值范圍；

⑶設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列SJ滿足：可=14』=1吟+%+2："C求證：a*’2"-1

【答案】(I)。詛=L(2)ln2-2<i<-l.(3)

a<2n-l

【解析】第一問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)的思想求解函數(shù)的最值得到。0士=1

5,/、1，L

a=-/(x)=-x*+iri1]

第二問(wèn)中，若2且關(guān)于x的方程2在上

恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用構(gòu)造新函數(shù)，借助于圖像與圖像的交點(diǎn)問(wèn)題。

第三問(wèn)中,J?(x)=lnx-x+Lxc[L+xi,由01n.yx-1.

=1假設(shè)4-K左J”)，則=In生+4+2>1,故凡N1("eA).

從而=laaK+an+2<2an+l..".l+an^<2(1+an)<....42'：(1+。[)一

解：(1)因?yàn)閷?duì)任意的工€口，+*)：/(*)'°恒成立，只需求解函數(shù)的最大值小于等于零即可。即得到

a1

-=x------------4分

a=-f(x)=--x1+b[14]

解：若2且關(guān)于x的方程2在止中上

恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用構(gòu)造新函數(shù)，借助于圖像與圖像的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決得到

ta2-2<i<-l6分

(3)設(shè)〃(x)=lnx-x+Lxw[L+XJ,由i)lnx<x-l

假設(shè)%N1(左wN)"則-=In4+4+2>1,故421(〃cT).

從而3”=山4+&+2S23+1.-1+/T<2(l+an)<...S2"(1+q).

即1+4,丁，—1

9.【題文】已知函數(shù)f(x)=x-xlnx,g(x)=/(x)7/(。)，其中八口)表示函數(shù)f⑺在

x=a處的導(dǎo)數(shù)，a為正常數(shù).

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)*且$<吃，證明：

(X-X.)/,(X)</(X)-/(X)<(x-x).f(x);

2221211(3)對(duì)任意的

口、c、皿口1111一5(，+1)

ne\.Hn>2.證明：---+----+???+----<——------.

In2In3In??\n2-\nn

w、,、_?*(x)=f*(x)-f'(a)=*lnx+Ina=In—

【解析】第一問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)的，t(x)=-l1nx,-x然后判定

g(x)的單調(diào)性。

第二問(wèn)中，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)X1，X：,且X1<x：,取X]=a,則叼e(x「+x),由u)得g(x。>g(x“，

fXfX

所以,(2)-(l)<(X；-X1X'(X；)

同理取x?=a,則XiCOx：),由(])得g(Xi)<g(x,,

所以，f(xO_f(xD>(x：_Xi)f'(xD,綜合克的結(jié)論.

/、ln(x+k),、

%(x)<1-----(zx>1)

第三問(wèn)中，對(duì)k=l,2,3…n-2,令I(lǐng)nx,則

Inxln(x+k)

%'(X)<―——(X>1)

(Inx)*,

顯然l〈x〈x+k,,所以xlnx<(x+k)ln(x+k),

利用放縮法證明。

ff(x)=-lnxg(x)=x-xlnx+xlna

解：⑴

g'(x)=f'(x)-f'(a)=-lnx+lna=ln—

x

g'(x)=f(力-/(a)=-Inx+lna=ta—

x.............2分

所以，xe(O,a)時(shí)，g'(x)>0；g(x)單調(diào)遞增；

xe(a,+x)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為xe(O：a),單調(diào)遞減區(qū)間為xc(a：+x)......4分

(2)(法1)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)且與,

取Xi=a,則叼w(xi，+oc),由(])得g(xi)>g(x：),

所以，f(x:)-f(x1)<(x;-x1X'(x:)……①；................6分

取叼=a,貝盧n(0K2),由(])得g(xj<g(x。，

所以，f(x0-f(Xi)>'(X。……②

綜合①②，得結(jié)論..................8分

(p3.(x)<-------(x>1)

(3)對(duì)k=l,2,3…n-2,令足x,貝ij

Inxln(x+k)

①J(x)<(x>l)

(Inx)：

顯然l<x〈x+k,,所以xlnx<(x+k)ln(x+k),

所以％’(x)<°,%(x)在(L+x)上單調(diào)遞減.

Inn』(2+k)

由n-kN2,得①式11-k),即ln(n+k)2

k=l,2,…

*111、/11、/11、/11、

2(------+——+---------.1=(——+-------,1+(——+-------------)+???)------+------j

In2In3InnIn2InnIn3ln(n-1)In2Inn

Inn+In2Inn+In3Inn+In2

=--------------+----------------???---------------

In21nnln31nnIn2Inn

lnn+ln2+ln(n-l)+ln3+Inn+In2In2+ln3+??lnn1)

In21nnInZinnIn2InnIn2Inn

由(2)知f(n+l)-f(n)<f(n尸-Inn

/.Inn<-f(n+l)-Hf(n)

，In1+In2+In3+??lnn<f(l)?f(2)+???f(n)-f-f(n+l)

所以

工+工+...+!―2+必3+..?+近<1-&+1)

所以以，In2In3InnIn2InIn21nn

/(x)=ln.rg(.x)=-(a>0)

10.【題文】已知函數(shù)X,設(shè)尸F(xiàn)(X/l=/(fx)-g(x)

(1)求尸(X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若以丁=尸(xXxe(OJ］>圖象上任意一點(diǎn)R'cJ'o)為切點(diǎn)的切線的斜率一5恒成立，求實(shí)數(shù)

的最小值;

J=v="1人

(3)是否存在實(shí)數(shù)〃？，使得函數(shù)x-1的圖象與1J的圖象恰好有四個(gè)不同

的交點(diǎn)？若存在，求出〃［的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。

【答案］(D二尸(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a)，單調(diào)遞增區(qū)間為()；

、1.1/I1八

(2)22；(3)2

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，判定函數(shù)的單調(diào)性和求解切線方程，以及解決

方程根的問(wèn)題的轉(zhuǎn)換與劃歸思想的運(yùn)用。

1r(x)=/(x)4-g(x)=lnx--(x>0F'(x)=--X=^-^(x>0)

(1)rx)xx*x*

???a>0,由尸<x)>0=>xe(a.+x尸⑴在(a,+x)上單調(diào)遞增。

由尸，(x)<Onxe(O,aX-尸(x)在<0,a)上單調(diào)遞減。

尸(x)的單調(diào)遞藏區(qū)間為(0,a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+x)

f

產(chǎn)'(X)=<x<3):^=F(x0)=4?(0〈不S3y恒成立

(2)xxo2

:

a>(--^x0-XQ)―當(dāng)“°=1時(shí)，-;xj_x0取得最大值1

、11

???QJ->_,'—?a>2W2=—、

/2a、，121

y=g(—?---)-w-1=—x+冽一一

⑶若x'-l22的圖象與

J'=/QT)=歷”—I)的圖象恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，

—x2-7n--=ln(x2+1)

即22有四個(gè)不同的根，亦即

m=ln(x2-1)--x:+—

22有四個(gè)不同的根。

G(x)=ln(x:-!-l)--x2--

令22,

、2xZx-x3-x-x(x+l)(x-l)

G(x)=-----x=-；------=------；-------

則X*+1X*+1X*+1。

當(dāng)變化時(shí)G'(X)-G(X)的變化情況如下表：

(-X.-1)(-1,0)(0,1)(1.+X)

G’(x)的符號(hào)+-+

G&)的單調(diào)性/\\

G(x)鼻三=G(0)=—,G(x)§_-=G(l)=G(-1)=In2>0

由表格知：2小。

G(2)=G(-2)=ln5-2*l<lme(l.ln2)

畫出草圖和驗(yàn)證22可知，當(dāng)2時(shí),

》?=6&)與3=冽恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

二當(dāng)?》w(-ln2R寸》y=g(二-1=lx,-m-L的圖象與

21x,-1222

r=/(1+X2)=ln(.r2+m勺圖象恰有四個(gè)不黍,

12

/（x）=alnx+—x*一（l+a）x

11.【題文】已知函數(shù)2.

（I）求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若/（X）2°對(duì)定義域每的任意X恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

111n

-----------1-------------1-???+----------->------------

（HI）證明：對(duì)于任意正整數(shù)力不等式也0?+1）ln（s+2）山（切+”）/+〃）恒成

立。

【答案】

.（x）=g+x-（l+a）=-Tl+a）x+a=（x-D（x—°）

XXX

（I）當(dāng)aWO時(shí)，若°<X<1,則/3<°,若X>1,則/'（x）>°,故此時(shí)函數(shù)/（X）的單調(diào)遞

減區(qū)間是（°」），單調(diào)遞增區(qū)間是（L+x）；

當(dāng)0va<1時(shí)，/'（xX/（x）的變化情況如下表：

X(Qa)二3D1(L+8)

/1（X）+0—0+

/(-V)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（Qa）：Q+x），單調(diào)遞減區(qū)間是（41）.

小）=上二

當(dāng)。=1時(shí),X,函數(shù)/a）的單調(diào)遞增區(qū)間是（Q+x）；

當(dāng)a>l時(shí)，同0<a<l可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0/）：（a+“）,單調(diào)遞減區(qū)間是QG。

?/*（】）]a

（II）由于2，顯然當(dāng)a>0時(shí)，/（D<°,此時(shí)/（X）20對(duì)定義域每的任意x不是恒成

立的,

當(dāng)°時(shí)，根據(jù)（1）,函數(shù),（X）在區(qū)間（Q+工）的極小值、也是最小值即是'?20,此時(shí)

“1na<--（-x.-l]

只要即可，解得2,故得實(shí)數(shù)a的取值范圍是2

1一、1,121

a=--/(x)=--Inx+-x--x>0A

(in)當(dāng)2時(shí)，2-2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)》=1成立，這個(gè)不等式即

111

,--->~;---=----■-

:

lnx<x-xt當(dāng)x>l時(shí)，可以變換為Inxx--x(x-l)x,

在上面不等式中分別令x=物+L加+2：…，加+〃，

----1----+1+?.?+-----1---->----1----+-------1------+???+---------1--------

ln(w+l)ln(w+2)-----ln(w+w)w(w-Fl)(次+l)(m+2)(w+n-l)(w+n)

=i；+i2；+…+ri_i、；=,_]=」

w+lj[加+1w+2j!、加+九-1