【贏在高考?黃金20卷】備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考專用)

三輪沖刺卷05

(本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘)

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.集合力={1,2,3},B={(x,y)|xeA,yEA,x+yEA},則集合B的真子集的個數(shù)

【答案】

C

【解析】解:8={(1,1),(1,2),(2,1)}；

??.B的真子集個數(shù)為：瑪+鷹+鷹=7.

故選：C.

可先求出B={(1,1),(1,2),(2,1)),從而可得出集合B的真子集個數(shù)為日+或+盤=7.

考查列舉法表示集合的概念，元素與集合的關(guān)系，真子集的概念.

A.2B.運C.V5D.V13

22

【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的四則運算得言=等，再利用復(fù)數(shù)的模，計算得結(jié)論.

【解答】

3.現(xiàn)有3名學(xué)生報名參加校園文化活動的3個項目，每人須報1項且只報1項，則恰有2

名學(xué)生報同一項目的報名方法有()

A.36種B.18種C.9種D.6種

【答案】

B

【解析】

【分析】

本題考查排列組合的知識，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意首先從3名學(xué)生中選2名選報同一項目作為一個整體，然后3個元素全排.

【解答】

解：根據(jù)題意首先從3名學(xué)生中選2名選報同一項目作為一個整體，然后3個元素全排,

即可廢-Aj=18.

4.函數(shù)/。）=翳署的圖象大致是（）

c

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的運用，函數(shù)圖像的判斷，考查分析和運用能力，屬于基礎(chǔ)題.

先根據(jù)函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱，再根據(jù)/(-X)=-/(彷，得到f(x)為奇函數(shù)，

可排除4、B選項，再根據(jù)/G)>0,排除D,即可求解.

【解答】

解：?.?函數(shù)定義域為R,關(guān)于原點對稱，

根據(jù)/(x)=岑猾，得到〃一x)=-/(X),

???/(X)為R上奇函數(shù)，排除A,B選項；

則排除>

故選C.

5.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的.

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為4=加0含，其中L表示每一輪優(yōu)化時

使用的學(xué)習(xí)率，A。表示初始學(xué)習(xí)率，。表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G。表

示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為22,

且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為22時，學(xué)習(xí)率衰減為0.45,則學(xué)習(xí)率衰減到0.05以下所需的訓(xùn)

練迭代輪數(shù)至少為()(參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3010,lg3?0.4771)

A.11B.22C.227D.481

【答案】

D

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查對數(shù)不等式，考查對數(shù)運算，屬于中檔題.

根據(jù)已知條件列方程、不等式，化簡求得正確答案.

【解答】

解：由】L=LQD^O9所以L=0.5x。五，

依題意0.45=0.5x湍=D=*則1=o,5x得聲

GG

由L=0.5x(2產(chǎn)<o05得(2產(chǎn)<工,

\10/\10710

lg?22<lg^41^<-1>

22

G-(lg9-IglO)<-22,G(lglO-lg9)>22fG>

G>x---=x480.35,

l-21g31-2x0.47710.0458

所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為481輪.

故選：D.

6.在(1+x)6(l+y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為/(科①，則y(3,0)+f(2,l)+

/(1,2)+/(0,3)=()

A.45B.60C.120D.210

【答案】

C

【解析】

【分析】

本題考查指定項的系數(shù)與二項式系數(shù)，組合與組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意依次求出X3y0,X2y1,Xly2,XOy3項的系數(shù)，求和即可.

【解答】

解：由題意知，(3,0)=盤C>/(2,1)=盤盤,f(l,2)=盤廢,f(0,3)=勰值,

因此八3,0)+/(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.

故選：C.

7,將函數(shù)/'(X)=Si7l3X(3>0)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的簫(縱坐標(biāo)不變),

再向左平移高個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，若g(x)在G，兀)上單調(diào)遞減，則

ou)Z

實數(shù)3的取值范圍為()

A.(0,;]B.(0.|]C.勺D.日申

【答案】

D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換關(guān)系求出g(x)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式進(jìn)行

求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像變換求出g(x)的解析式，利用單調(diào)性建

立不等式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

【解答】

解:將函數(shù)/(x)=sMa)x(3>0)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍(縱坐標(biāo)不變)，

得到y(tǒng)=sin2s,再向左平移卷個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，

即9(x)=sin2a)(x+粉=sin(2o>x+)

若g(x)在(],九)上單調(diào)遞減，

則g(x)的周期722(兀一今=兀，

即2得0<3S2,

0)

由2/t7T4--<2(x)x4--<2fczr4-,kEZ,

242

得2/CTTH—W2coxW2kli+—,fcGZ?

44

Bn2kn+^2k?r+1

即----1<X<----

232a)

即g(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為[誓上誓],kEZ,

若g(x)在G，兀)上單調(diào)遞減,

'出:

a)>2k+

2co

則2.5n

2/CTT4"--to<k4-1

>7T

\2a)一

即2k+二工3三憶+三，kEZ,

48

當(dāng)k=0時，即3的取值范圍是［；,芻,

4o4o

故選：D.

8.已知函數(shù)/(%)=島一二+2,則不等式/(巾2)+/(小一2)<6的解集為()

A.(—1,2)B.(―oo,—1)U(2,+oo)

C.(-2,1)D.(-8,-2)11(1,+8)

【答案】

D

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是構(gòu)造

函數(shù)，屬于較難題目.

根據(jù)題意,令g(x)=/(x)—3,則9(%)=/0)-3=/一/一1,分析可得g(x)的奇

偶性與單調(diào)性，則/(巾2)+/(小-2)<6,可以轉(zhuǎn)化為譏山2)—結(jié)合函數(shù)

的奇偶性與單調(diào)性分析可得m2>2-巾，解可得m的范圍，即可得答案.

【解答】

解：令g(x)=/(x)-3,則g(x)=/(x)-3=品'-x3-1.xER,

3

所以+of—x')=---3-1H—--+x-1=-X--H—x----2=--x-+X----

川人⑼⑴T隊D3^+13r+13+13-+l3+l3+1

2=0,

所以g(%)為奇函數(shù)；

因為函數(shù)y=3"+l,y=/均為增函數(shù)，所以g(x)=/一/一1單調(diào)遞減，

所以不等式/(加2)+f(m-2)<6等價于。(根2)<-g(m-2)=g(2-m),

所以巾2>2-m,

解得mG(-oo,-2)U(1,+8).

故選D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.己知Q>0,b>0,直線y=%+Q與曲線y=—2b+1相切，則下列不等式成

立的是()

A.ab<lB.~+^：<8

8ab

C.Va+Vfa<yD.3a+b<V3

【答案】

AC

【解析】

【分析】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本不等式，屬于中檔題.

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得a+26=1,用基本不等式得ab范圍判斷4；由三+：=

ab

弓+J(a+2b)得=+3范圍判斷B；利用三角換元得6+VF范圍判斷C,得到a+b范

圍得到3。+6范圍判斷。;

【解答】

解：y'=ex~r,T直線y=x+a與曲線y=e*T-2b+1相切，

二e，T=l,解得切點的橫坐標(biāo)為：x=l,

則1+a=1-2b+1,整理得a+2b=1,

對于4,1=a+2b>272ab,得ab4當(dāng)且僅當(dāng)a=2b,即b=[,a=:時等號成立，

故A正確；

對于8,("J(a+2b)=2+]+?+2》4+2行曰=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號

成立，故8錯誤；

對于C,設(shè)。=8$2。，b=1sin20,0<e<：

Va+VF=Vcos20+Jgsin?0=cos0+ysin0=ysin(0+a)(乎，tana=故C

正確；

對于D,由C可得a+b=cos20+|sin20=g4-1cos20<1,3a+d43I=3,故。錯誤.

故選AC

10.已知圓C過點4(1,3)、8(2,2),直線m:3x-2y=0平分圓C的面積，過點。(0,1)且

斜率為k的直線，與圓C有兩個不同的交點M、N,則()

A.圓心的坐標(biāo)為C(2,3)

B.圓C的方程為(X-2)2+(y-3)2=1

C.k的取值范圍為?,今

D.當(dāng)k時，弦MN的長為等

【答案】

ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a)2+(y-b)2=/，根據(jù)已知條件由圓C被直線ni平分，結(jié)合

點A,B在圓上建立關(guān)于a,b,r的方程組，即可求出圓C的方程，再利用點到直線的距

離建立關(guān)于k的不等式，即可得到實數(shù)%的取值范圍，進(jìn)而也可求得當(dāng)k時，弦MN的

長，進(jìn)而選出符合要求的選項.

【解答】

解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y-b)2=八，

因為圓C被直線m：3x-2y=0平分，

所以圓心C(a,b)在直線m上，可得3a-26=0,

由題目條件已知圓C過點4(1,3),B(2,2),

|.|.|((1-a/+(3-b}2=r2

人1(2-a)2+(2-b)2=r2'

綜上可解得a-2,b=3,r=1,

所以圓心的坐標(biāo)為C(2,3),選項A正確；

圓C的方程為(x-2尸+(y—3>=「2,選項B正確；

根據(jù)題目條件已知過點。(0,1)且斜率為k的直線，方程為y=kx+l,

即kx—y+1=0,

又直線，與圓C有兩個不同的交點M,N,

所以點C(2,3)到直線2的距離小于半徑r,

則利用點到直線的距離公式可得：

*3+1]

解得k的取值范圍為:

所以選項C錯誤；

33

當(dāng)k=,時，可求得點C(2,3)到直線，的距離為：

,_|2--3+1|_J__2V5

a==冠=T，

2

所以根據(jù)勾股定理可得：

%=Vr2-d2=Jl-(半j=Y)

即弦MN的長為2dl=等，

所以弦MN的長為華，選項。正確.

故選ABD.

11.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于3”為事件4”第二

枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)不小于3”為事件B,則下列結(jié)論中正確的是()

A.事件4與事件B互為對立事件B.事件4與事件B相互獨立

C.P(B)=2PQ4)D.P(4)+P(B)=1

【答案】

BCD

【解析】

【分析】

本題考查互斥事件與對立事件、古典概型的計算與應(yīng)用、互斥事件與相互獨立事件的判

斷，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，對各選項逐項判定，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：根據(jù)題意：”第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于3“可能的情況是：1、2,”

第二枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)不小于3“可能的情況為：3、4、5、6,

同時拋擲兩枚骰子，事件4表示第?枚的情況，事件8表示第二枚的情況，

A、事件4與事件B能同時發(fā)生，所以事件4與事件B不是對立事件，故選項A錯誤：

及事件4與事件8相互沒有影響，所以事件A與事件B相互獨立，故選項3正確；

C、由已知得P(A)=；=；,P(8)=：=；所以P(B)=2P(A),故選項C正確；

D、由題知，P(4)=：=3P(B)=：=；所以P(4)+P(B)=；+；=1,故選項O正

o36333

確.

故選BCD.

12.如圖，在四棱錐P—4BCC中，底面ABCD為菱形,

且ND4B=60°,側(cè)面PAD為正三角形，且平面

P4D1平面4BCD,則下列說法正確的是（）

A,在棱4。上存在點M,使4。1平面PMB

B.異面直線AC與PB所成的角為90°

C.二面角P-BC-4的大小為45。

D.BDL平面P4C

【答案】

ABC

【解析】

【分析】

本題考查棱錐的幾何特征，線面垂直的判定和性質(zhì)，異面直線的夾角，二面角，屬于較

難題.

取4D的中點M,連接PM,BM,連接對角線4C,BC相交于點。，再根據(jù)線面位置關(guān)系

逐一分析各選項即可.

【解答】

解：如圖所不，

4取4D的中點M,連接PM,BM,連接對角線4C,BD相交于點。.

,??側(cè)面PAD為正三角形，

PM1AD.

又底面4BCD為菱形，4DAB=60°,

.??△48。是等邊三角形.

■1?AD1BM.

又=PM、BMu平面PMB.

AD1平面PMB,因此4正確.

A由4可得：ADPBu平面PMB,

:.AD1PB,

???異面直線4。與PB所成的角為90。，8正確.

C-BC//AD,AD1平面PM8,

BC，平面PBM,

又PB,BMu平面PBM,

BCLPB,BC1BM.

■1.NP8M是二面角P-BC-4的平面角，

又?平面PAD1平面4BCD,4D為交線，PMLAD,PMu平面/MD,

則PM1平面4BCD,BMu平面4BC0,

?-?PM1BM,

設(shè)4B=1,則BM=^=PM，

2

在中，

RtAPMBtan^PBM=—BM=l,

^PBM=45°,因此C正確.

D:：BD與尸4不垂直，

???8D與平面P4C不垂直，因此D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量五=(2,0),&=(-1,1),則五在向量石上投影的數(shù)量為

【答案】

-V2

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)五在向量1的投影公式胃，即可得解.

【解答】

解：由投影數(shù)量公式可得不在了上的投影為：胃=圈券=房=-a,

故答案為-VL

14.已知等差數(shù)列｛&；｝的公差為d,前n項和為Sn,試寫出“Sio+Si2>2Sn”的一個充

分不必要條件：.

【答案】

d=1（答案不唯一）

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列的前n項和與第n項的關(guān)系，考查公差的應(yīng)用，考查充分不必耍條件

的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

由Sio+S12>2S11，可得由2>。11，則d>0,即可判斷充分不必要條件.

【解答】

解：因為Sio+Siz>2S11，所以S12-Sil>S11-S1O,所以42>%1，所以d>0.

故答案為：d=1（答案不唯一）.

15.雙曲線C：捻一，=l（a>0,b>0）的左右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,焦距2c,以右頂點A

為圓心，半徑為等的圓與過Fi的直線，相切與點N,設(shè)/與C交點為P,Q,若區(qū)=2兩,

則雙曲線C的離心率為.

【答案】

2

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的離心率的求法，考查直角三角形的性質(zhì)和直線與雙曲線的方程聯(lián)立，

運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，考查兩直線垂直的條件，考查化筒整理的運算能力，屬

于難題.

由題意可得N為PQ的中點，ANJ.PQ,運用直角三角形的性質(zhì)不妨設(shè)直線PQ的斜率為當(dāng),

4N的斜率為一6，求得直線PQ的方程，代入雙曲線的方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)

公式可得N的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式和離心率公式，化簡整理即可得到所求值.

【解答】

解：由所=2而，可得N為PQ的中點，

"AN1PQ,

在直角三角形FiAN中，AFX=a+c,AN=等，

即有4NF1A=30°,

直線PQ的斜率為士?,由對稱性不妨設(shè)斜率為9，4N的斜率為一6,

由Fi(-c,0),A[af0),

可得直線PQ的方程為y=f(x+c),

代入雙曲線的方程可得(34—a2)%2-2cazx—a2c2—3azb2=0,

設(shè)P(X】%)，(?(*2，月)，

可得…告，

PQ的中點N的橫坐標(biāo)為虎三，

縱坐標(biāo)為號(虎三+c)V3cb2

3b2_Q2'

VN-O

xN-a

即為￡春三二-V3,

即為a2c—3a(c2—a2)4-a3=—c(c2—a2),

化為(c-2a)2=0,

即c=2a,可得e=”2.

故答案為2.

16.某同學(xué)從兩個筆筒中抽取使用的筆，藍(lán)色筆筒里有6支藍(lán)筆，4支黑筆，黑色筆筒里

有6支黑筆，4支藍(lán)筆.第一次從黑筆筒中取出一支筆并放回，隨后從與上次取出的

筆顏色相同的筆筒中再取出一支筆，依此類推.記第n次取出黑筆的概率為匕，則

Pn=，XlQVMn(烏一1)(Pj-I)=.

【答案】

11

5。+三)

(1-5-n)(l-51-n)

384

【解析】

【分析】

本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、求和公式等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，是較難題.

第n次取出黑筆的概率為修，則取出藍(lán)筆的概率為1-匕，進(jìn)而根據(jù)題意建立遞推關(guān)系

Pn+1=：%+：，new,再結(jié)合Pl=：,得到數(shù)歹u{%-3為等比數(shù)列，公比為3首項

為表,進(jìn)而得到數(shù)列的心}為等比數(shù)列,公比為也首項為2,進(jìn)而得到4=iXy+1,

再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式能求出結(jié)果.

【解答】

解：第n次取出黑筆的概率為七，則取出藍(lán)筆的概率為1-%,

???第n+1次取出黑筆的概率為Pn+「可能有兩種情況，即第n次取出的是黑筆或籃筆，

???第n+1次取出黑筆的概率為P“+i=|匕+|(1—匕)，即4+1=：&+1,ne/V*.

???Pi=J-nEN*,

:?數(shù)歹式七一》為等比數(shù)列，公比為以首項為2，

*xG)x*x(凱，%

???XV1(丹-1冰…1)

l^i<j<n

=n￡-1髭)，n￡髭)，=n￡-1泊"氤散一分]

i=lj=i+li=l

=Y)n€】=1[￡(#-切￡劭

i=li=li=l

「和一磷尸]illu-cjr-1]

161116l5J11

1-251-5

111ill1

=正'正[1一(五)"」一1^“(J口-(式-]]

111111

=m[%—%XQ)2n-2_(,n+(_)2n-l]

11111

=—x-[l-(-)2n-2-6x(-)n+6x

111ill

=384[1-6X守+bn.=演口飛)喳1飛尸]

_(1-5-與(1-51--)

384'

--&TX鈔+%，閆耽(k9臼-1)=『￡*?

故答案為：“1+/(…飛了一？

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.在平面四邊形4BCD中，乙4=90。，Z.D=60°,AC=6,CD=3>/3.

(1)求△ACD的面積；

(2)若cos乙4cB=看，求AB+[BC的值.

【答案】

解：(1)在△力CD中，40=60。，AC=6,CD=36,

2

由余弦定理得4c2=AD2+CD-2ADCD-COSZD,

即36=4屏+27-2?4。x3gx/

整理得_3取AD-9=0.

解得AD=吟⑦或4。=吟②(舍去)，

所以4。=式空2.

2

所以△4CD的面積為S=--ADCD-sin60°=27(^+<7)-

28

(2)在△4C。中，由正弦定理得三2=占，

''sin^.CADsinzD

得sinNC/W=

4

因為iBAC=一Z,CAD=90°-乙CAD,

則sinziBAC=cosz.CAD=V1-sin2Z.CAD=—?

4

3

cosz.BAC=sinzC/lD=

4

因為COSN4CB=白，則sin乙4c8=V1-cos2^ACB=—.

1616

因為乙B4C+乙ACB+m

則sinziB=sin(z.BAC+乙ACB)=sinZ.BACcosZ-ACB+cosz.BACsinz.ACB=十.

在AABC中，由正弦定理赤AB_BC

sin44cHsinZ-BAC1

得4B=5,BC=4.

所以AB+三BC=8-

4

18.已知等差數(shù)列｛5｝滿足an+0n+1=4n.

(1)求｛即｝的通項公式；

(2)若以=a11cosn?r,記｛九｝的前n項和為立,求S2n.

【答案】

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛5｝的公差為d,所以an=%+(葭-l)d=nd+%-d,

所以a0+an+1=2dn+2al—d=4n,

所以2d=4,2al—d=0,解得d=2,g=1,

則a”=2n—1.

(2)b2k-i+b2k=-(4/c-3)+(4/c-1)=2,

所以s2n=(bl+b2)+(b3+h4)+…+(h2n-i+b2n)=2n.

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及分組轉(zhuǎn)化法求和，屬于基礎(chǔ)題

(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及即+冊+1=4兀，求出公差d=2,a1=1,進(jìn)而可得

｛an｝的通項公式；

(2)先得到尻〃-1+b2k=2,再運用分組法求和即可.

19.如圖，在以P,4B,C,。為頂點的五面體中，平面4BCD為等腰梯形，4B〃CD,40=

CD=\AB,平面P4。J_平面/MB,PA1PB.

(1)求證：△PAD為直角三角形;

(2)若4。=PB,求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】

解：(1)證明：因為平面PADJ_平面H4B,且平面PADfl平面P4B=PA,PA1PB,PBu

平面P4B,

所以PBL平面P40,

又因為ACu平面24D,所以PB1AD,

在等腰三角形4BCD中，過。作于H,連接B。，

則A"="48-CD)=^AB,

又AD=加,所以故4=60°,

在AABD中，由余弦定理可得BD=V14D,

所以心+B/)2=4辟，t^ADlBD,

又PBCBD=B,PB,BDu平面PBD,

所以4D1平面PBD,

乂PDu平面PBC,所以4D1PD,

所以△P40為直角三角形；

(2)以P為原點，建立空間直角坐標(biāo)系P-xyz如圖所示,

不妨設(shè)PB=1,則P(0,0,0),F(1,0,0),A(0,V3,0).￡>(0苧,)，

所以尻=：同=：(LB,O),故cg,9，F(xiàn)),

所以定=&今冬，麗=(1,0,0),而=(0,?),

設(shè)平面PBC的法向量為五=(%,y,z),

貝嘴索;,即1,xf3.V6Ax=0

2x+Ty+Tz=0,解得

y=-2>/2z,

%=0

令z=-l,Wn=(0,2^2,-1),

設(shè)直線P。與平面PBC所成角為。，則sin。=Icos＜元，而|=匕黑］=

1,\n\\PD\VZX33

所以直線PD與平面PBC所成角的正弦值為

【解析】本題考查了直線與平面所成角，線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，空

間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)過。作DH14B于H,連接BD,證明ADL平面P8D,進(jìn)而得出401P。，從而得出

結(jié)論；

(2)以P為原點，建立空間直角坐標(biāo)系P—xyz,求出平面PBC的法向量，再根據(jù)sin。=

|cos〈五，而|=得出答案.

11\n\\PD\

20.冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之

冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端(投擲線MN的左側(cè))有一個發(fā)球區(qū)，運動

員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓

形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心。的遠(yuǎn)近決定勝負(fù).甲、乙兩人

進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓。中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)4中，

得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得0分.已如甲、乙投擲冰

壺的結(jié)果互不影響.甲、乙得3分的概率分別為、"甲、乙得2分的概率分別為：，

345

I;甲、乙得1分的概率分別為士i

Z5o

(1)求甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X,求X的分布列和期望.

【答案】

解：⑴由題意知甲得。分的概率為1-，|-4=2，

乙得0分的概率為1一；一：一：=白，

42612

所以甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率為++=W

345256151290

(2)X可能取值為0,1,2,3,4,5,6,

1.11

則P(X=0)—X——=—，

1512180

p(x=1)=±xl+lx±=±

「八7、、11.11.211

P(X=2)=—X-4--X-+-X—=—

'J1525651210

八八/八11,11,21.1119

P(X=3)=-X-+-X-4--X-4--X—=—

'7154525631290

“、

P(X=4)=1-x-1+.-2x-1+.-1x-1=一11

'754523636

C八、

P(X7=5L)=2-x-1+,1-x-1=一4

'J543215

1,1i

P(X=6)-x———

3412f

所以，隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123456

111191141

P18036To9036?512

所以E(X)=Ox焉+1X2+2X2+3XK+4X￡+5X2+6X2=不

【解析】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，也考查了分析與

計算能力，是綜合題.

(1)兩人所得分?jǐn)?shù)相同，相同的分?jǐn)?shù)可能為0,1,2,3元，結(jié)合相互獨立事件的概率公

式分別求出對應(yīng)的概率，并對所求的結(jié)果求和，即可求解.

(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X,X可能取值為0,1,2,3,4,5,6,分別求出

對應(yīng)的概率，即可得X的分布列，并結(jié)合期望公式，即可求解.

21.已知/⑶={:I、19。)=EQ+a).

(1)存在出滿足：/(Xo)=g(&)，/'(&)=g'(Xo)，求a的值;

(2)當(dāng)a<4時，討論九?=/(x)-g(x)的零點個數(shù).

【答案】

解：(1)因為g(x)=ln(x+a),所以g'(x)=擊，

當(dāng)x2-1時，/(x)=x2—x,f'(x)=2x-1,

君一X。=In(x+a),

原條件等價于卜1i0

2Xn—1=----->0,

ux0+a

???%o-x0=-ln(2x0—1),

令9。)=——%+ln(2x—1),x>I，

則d(X)=2%-