專題4.19相似三角形判定定理的證明（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若菱形ABCD

的周長為16,/BAD=60。,則△0CE的面積是（）

A.6B.2C.2石D.4

2.如圖，在矩形ABCO中，為CO邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,

點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為C,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為凡過點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)"，連接AM、BD

交于點(diǎn)、N,現(xiàn)有下列結(jié)論：

①AM=AO+MC；?AM=DE+BM-③DE^AD,CM；④點(diǎn)N為AA8M的外心.其中正確的個(gè)

數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，在。ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,則

DF的長為（）

A-B.1C.W0.將

3333

4.如圖，邊長一定的正方形ABCD,Q為CD上一個(gè)動點(diǎn)，AQ交BD于點(diǎn)M,

過M作MNLAQ交BC于點(diǎn)N,作NPLBD于點(diǎn)P,連接NQ,下列結(jié)論：

①AM=MN；②MP二BD；③BN+DQ=NQ；④與”為定值.其中一定成立

2DM

的是

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

5.如圖，。是等邊△ABC邊上的一點(diǎn)，且A。：DB=1：2,現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C

與。重合，折痕為ER點(diǎn)E、尸分別在AC和上，則CE：CF的值為（）

A.士B.3C.D.

5567

6.如圖，AA3C是等邊三角形，是等腰直角三角形，N3AO=90,AELBD于點(diǎn)、E,

連C。分別交AE,A3于點(diǎn)F，G,過點(diǎn)A作4/，8交3。于點(diǎn)則下列結(jié)論：

@ZADC=15°；?AF=AG-,?AH=DF-,?AAFG-ACBG；@AF=（73-1）EF..其中

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.4C.3D.2

7.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,P是邊CD上一點(diǎn)，將AADP沿直線AP對

折，得到AAPQ.當(dāng)射線BQ交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，DF的最大值是（）

A.3B.2C.4-4D.4-75

8.如圖，點(diǎn)E為oABCD的AD邊上一點(diǎn)，且AE：ED=1：3,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，EF交

AC于點(diǎn)G,則AG：GC等于（）

A.1：2B.1：5C.1：4D.1：3

9.如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點(diǎn)F,E分別以相同的速度從D,C兩點(diǎn)同時(shí)

出發(fā)向C和B運(yùn)動（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止），過點(diǎn)P作PM〃CD交BC于M點(diǎn)，PN〃BC

交CD于N點(diǎn)，連接MN,在運(yùn)動過程中，則下列結(jié)論：①4ABE絲4BCF；②AE=BF；

③AE_LBF；④CF=PE?BF；⑤線段MN的最小值為且二L其中正確的結(jié)論有（）

2

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

10.在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上的動點(diǎn)，PE_LAC于E,PF1.BD于F,則

PE+PF的值為（）

125

A.—B.2C.-D.1

52

11.如圖，在AABC中，AB^BC,NABC=90。，是AC邊中線，點(diǎn)Q,E分別在邊AC

和上，DB=DE,E尸_LAC于點(diǎn)F,以下結(jié)論：①ABMDgADFE；②ANBEsADBC；

③AC=2￡?F；④EF?AB=CF?BC,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

12.如圖，在直角△ABC中，/C=90。，AC=6,BC=8,P、Q分別為邊BC、AB上的兩個(gè)

動點(diǎn)，若要使AAPQ是等腰三角形且ABPQ是直角三角形，則AQ=.

13.如圖.在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐

標(biāo)為（1,3）,將矩形沿對角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E,那

么點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

14.如圖，在△ABC中，BC=6,BC邊上的高為4,在△ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形EFGH,使

EF在BC邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC邊上，則對角線EG長的最小值為.

15.如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的速度，沿

A-C-B向B點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度，沿C-B-A向A點(diǎn)

運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動到終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)1=秒時(shí)，

△PCQ的面積等于8cm2.

16.如圖，正方形ABCD的邊長為12,點(diǎn)E在邊AB上，BE=8,過點(diǎn)E作EF〃BC,分別

交BD、CD于G、F兩點(diǎn).若點(diǎn)P、Q分別為DG、CE的中點(diǎn)，則PQ的長為.

17.如圖，已知矩形ABCD,AD=9,AB=6,若點(diǎn)G、H、M、N分別在AB、CD、AD、

BC±,線段MN與GH交于點(diǎn)K.若NGKM=45。，NM=36,貝ljGH=_.

18.如圖，△AOB中，ZO=90°,A0=8cm,BO=6cm,點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā)，在邊AO上以2cm/s

的速度向O點(diǎn)運(yùn)動，與此同時(shí)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，在邊BO上以1.5cm/s的速度向。點(diǎn)運(yùn)

動，過OC的中點(diǎn)E作CD的垂線EF,則當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動了_s時(shí)，以C點(diǎn)為圓心，1.5cm為半

徑的圓與直線EF相切.

19.如圖，已知△ABC和4AED均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，DE與AB相交于點(diǎn)F,

如果AC=12,CD=4,那么BF的長度為_.

20.如圖，RtAABC中，ZBCA=90°,AC=BC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AD上，

DF=CD,BF交CA于E點(diǎn)，過點(diǎn)A作DA的垂線交CF的延長線于點(diǎn)G,下列結(jié)論：

①CF2=EF?BF；②AG=2DC；③AE=EF；(4)AF?EC=EF?EB.其中正確的結(jié)論有

21.如圖，QABCD中，AB>AD,AE,BE,CM,DM分別為/DAB,ZABC,ZBCD,

NCDA的平分線，AE與DM相交于點(diǎn)F,BE與CM相交于點(diǎn)N,連接EM.若。ABCD的

周長為42cm,FM=3cm,EF=4cm,則EM=cm,AB=cm.

22.如圖，在正方形ABC。中，E為CO邊上一點(diǎn)，以CE為對角線構(gòu)造正方形CMEN,點(diǎn)N

在正方形A3C。內(nèi)部，連接AM，與CD邊交于點(diǎn)、F.若C尸=3,DF=2,連接3N,則8N

的長為.

三、解答題

23.若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形.

⑴已知AABC是比例三角形，AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長；

(2)如圖1,在四邊形ABCD中，AD//BC,對角線BD平分NABC,NBAC=/ADC.求

證：AABC是比例三角形.

⑶如圖2,在(2)的條件下，當(dāng)NADC=90時(shí)，求瞿的值.

24.定義:

我們知道，四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似(不

全等)，我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對角線

理解：

(1)如圖1,已知RIAABC在正方形網(wǎng)格中，請你只用無刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D,

使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線''的四邊形(保留畫圖痕跡，找出3個(gè)即可)；

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，ZABC=80°,ZADC=140°,對角線BD平分/ABC.

求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；

(3)如圖3,己知FH是四邊形EFCH的“相似對角線”，/EFH=/HFG=30。，連接EG,若

△EFG的面積為26，求FH的長.

25.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,I),直線x=l交x軸于點(diǎn)B。

P為線段AB上一動點(diǎn)，作直線PCLPO,交直線x=l于點(diǎn)C。過P點(diǎn)作直線MN平行于x

軸，交y軸于點(diǎn)M,交直線x=l于點(diǎn)N。

(1)當(dāng)點(diǎn)C在第一象限B寸，求證：AOPM絲APCN；

(2)當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，設(shè)AP長為m,四邊形POBC的面積為S,請求出S與m間的

函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=l上移動，4PBC是否可能成為等

腰三角形？如果可能，求出所有能使APBC成為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不可

能，請說明理由。

26.如圖1,正方形ABCD的邊長為4,把三角板的直角頂點(diǎn)放置BC中點(diǎn)E處，三角板繞

點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點(diǎn)G、F.

(1)求證：AGBEs^GEF.

(2)設(shè)AG=x,GF=y,求Y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量取值范圍.

(3)如圖2,連接AC交GF于點(diǎn)Q,交EF于點(diǎn)P.當(dāng)△AGQ與△CEP相似，求線段AG

的長.

27.如圖1,一副直角三角板滿足AB=BC,AC=DE,ZABC=ZDEF=90°,/EDF=30°

操作：將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞

點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P,邊EF與邊BC于點(diǎn)Q.

探究一：在旋轉(zhuǎn)過程中，

(1)如圖2,當(dāng)怎=1時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；

(2)如圖3,當(dāng)詈=2時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(3)根據(jù)你對(1)、(2)的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)三=〃?時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式

EA

為,其中m的取值范圍是.(直接寫出結(jié)論，不必證明)

探究二：若=CE=2且AC=30cm,連接PQ,設(shè)AEPQ的面積為S(cm2),在旋轉(zhuǎn)過程中：

(I)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由.

(2)隨著S取不同的值，對應(yīng)△EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化，求出相應(yīng)S的值或取值范圍.

28.如圖，正方形ABGD中，邊長為12,DE_LDC交AB于點(diǎn)E,DF平分NEDC

交BC于點(diǎn)F,連接EF.

AJ71

求證：EF=CF；(2)當(dāng)=不寸，求EF的長.

AD3

參考答案

I.A

【詳解】

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得菱形邊長為4,AC±BD,由一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊

三角形得△ABD是等邊三角形;在RtAAOD中，根據(jù)勾股定理得AO=2G,AC=2AO=4石，

根據(jù)三角形面積公式得SAACD=goD-AC=46,根據(jù)中位線定理得OE〃AD,根據(jù)相似三

角形的面枳比等于相似比繼而可求出^OCE的面積.

【詳解】???菱形ABCD的周長為16,，菱形ABCD的邊長為4,

VZBAD=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，

又是菱形對角線AC、BD的交點(diǎn)，

.\AC±BD,

在RsAOD中，

AO=^ADr-Olf=V16-4=2#)，

.\AC=2AO=4>/3.

SAACD=-OD-AC=-x2x4-J3=4>/3,

又「O、E分別是中點(diǎn)，

；.OE〃AD,

.".△COE^ACAD,

.OE1

.?.

AD2

?0.COE=1

..Sqj4'

?'?SACOE=_SACAD-：x4君=唐,

44

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，菱形的性質(zhì)，結(jié)合圖形熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.B

【詳解】

解：；E為C7)邊的中點(diǎn)，，力E=CE,又；ND=NECF=90。,NAED=NFEC,：.AADEgLFCE,

：.AD=CF,AE=FE,5L'-'MELAF,：.ME^^^-AF,：.AM=MF=MC+CF,：.AM=MC+AD,

故①正確；

當(dāng)AB=BC時(shí)，即四邊形ABCD為正方形時(shí)，設(shè)DE=EC=1,BM=a,則A8=2,BF=4,AM=FM=4

-a,在RtAABM中，22+a2=(4-a)2,解得a=1.5,即8W=1.5,...由勾股定理可得4M=2.5,

：.DE+BM=2.5=AM,5L"：AB<BC,；.AM=￡>E+8M不成立，故②錯(cuò)誤；

:MEIFF,EC2MF,LE—CMxCF,又,：EC=DE,AD=CF,：.DEr=AD-CM,故③正確；

MNBM

.../ABM=90。，是的外接圓的直徑，...當(dāng)8M〃A￡>時(shí)，——=——

ANAD

<1,不是AM的中點(diǎn)，，點(diǎn)N不是△A8M的外心，故④錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)，故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以

及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的對應(yīng)邊相等以及相似三角形

的對應(yīng)邊成比例，解題時(shí)注意：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫

做三角形的外心，故外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

3.D

【解析】

【分析】

利用平行四邊形的性質(zhì)得出AEBFSJ2DF,再利用相似三角形的性質(zhì)得出DF的長.

【詳解】

解：?.?在oABCD中，

.-.BE//CD.AB=CD,

.?.△EBFsACDF,

,BFBE

'DF-CD'

-.AE：BE=4：3,且BF=2,

,BF_BE_32

"DF-CD-7_DF1

DF=—.

3

故選：D.

【點(diǎn)撥】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定，得出AEBFS“CDF是解

題關(guān)鍵.

4.D

【解析】

試題解析：如圖：作AULNQ于U,連接AN,AC,

VZAMN=ZABC=90o,

；.A,B,N,M四點(diǎn)共圓，

；./NAM=/DBC=45°,ZANM=ZABD=45°,

...NANM=NNAM=45°,

由等角對等邊知，AM=MN,故①正確.

由同角的余角相等知，ZHAM=ZPMN,

；.RSAHM^RtAMPN

.,.MP=AH=-AC=-BD,故②正確，

22

,//BAN+/QAD=NNAQ=45。，

三角形ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至ABR,使AD和AB重合，在連接AN,證明三

角形AQN也ANR,得NR=NQ

則BN=NU,DQ=UQ,

...點(diǎn)U在NQ匕有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正確.

如圖，作MSJ_AB,垂足為S,作MWLBC,垂足為W,點(diǎn)M是對角線BD上的點(diǎn),

.,?四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW,

.,.△AMS^ANMW,

；.AS=NW,

AB+BN=SB+BW=2BW,

VBW：BM=1：夜，

AB+BN2/r，一“

?'-—荔;一=K=及，故④正確.

BM42

故選D.

5.A

【解析】

解：由折疊的性質(zhì)可得，Z￡DF=ZC=60°,CE=DE,

CF=DF.'：ZBDF+ZADE=ZBDF+ZBFD=120°,:.NADE=NBFD,又；NA=/8=60°,

DEADAE

AAEDsABDF,：?----==，設(shè)AD-a,BD=2a,AB=BC=CA=3a,再設(shè)CE==DE=x,

DFBFBD

CF==DF=y,則AE=3a-x,BF=3a-y,所以:=3J)=3a,整理可得ay=3cix-xy,2ax=3ay-xy,

x4a4

B|Jxy=3ax-ay?,xy=3ay-2ax?；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax,所以5ax=4ay,—

CF4

即器=（，故選A.

點(diǎn)睛：主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是借助相似三角形的性質(zhì)分別

求出CE、CF的長度（用含有人的代數(shù)式表示）；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了

較高的要求.

6.B

【詳解】

分析：①由等邊三角形與等腰直角三角形知ACAD是等腰三角形且頂角NCAD=150。，據(jù)此

可判斷；②求出NAFP和NFAG度數(shù)，從而得出NAGF度數(shù)，據(jù)此可判斷；③證

△ADF^ABAH即可判斷;④由NAFG=NCBG=60。、NAGF=NCGB即可得證;⑤設(shè)PF=x,

則AF=2x、AP=JA尸-療=6x,設(shè)EF=a,由4ADF^ABAH知BH=AF=2x,根據(jù)△ABE

PFAP

是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,據(jù)此得出EH=a,證△PAFs/\EAH得=二大，從

EHAE

而得出a與x的關(guān)系即可判斷.

詳解：???△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，

ZBAC=60°,NBAD=90°、AC=AB=AD,ZADB=ZABD=45°,

.1△CAD是等腰三角形，且頂角NCAD=150。，

AZADC=15°,故①正確；

VAE±BD,即/AED=90。，

.?.ZDAE=45°,

AZAFG=ZADC+ZDAE=60°,NFAG=45。，

；./AGF=75°,

由NAFG彳NAGF知AF聲AG,故②錯(cuò)誤；

記AH與CD的交點(diǎn)為P,

由AH_LCD且NAFG=60°知NFAP=30°,

貝|J/BAH=/ADC=15。，

在^ADF和△BAH中，

ZDF=NBAH

'/<DA=AB,

ZDAF=ZABH=45°

.'.△ADF^ABAH(ASA),

，DF=AH,故③正確；

VZAFG=ZCBG=60o,ZAGF=ZCGB,

.,.△AFG^ACBG,故④正確；

在RSAPF中，設(shè)PF=x,貝ljAF=2x、AP=,亦一p尸=&x,

設(shè)EF=a,

VAADF^ABAH,

.\BH=AF=2x,

△ABE中，VZAEB=90%ZABE=45°,

BE=AE=AF+EF=a+2x,

.'.EH=BE-BH=a+2x-2x=a,

VZAPF=ZAEH=90°,ZFAP=ZHAE,

AAPAF^AEAH,

?PF_4尸xJJx

>?=，0II—=-------,

EHAEaa+2x

整理，得：2x2=(石-1)ax,

由x/O得2x=(6-1)a,即AF=(^3-1)EF,故⑤正確;

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形與等邊三角形

的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn).

7.C

【解析】

如圖1所示，過點(diǎn)4作產(chǎn)于點(diǎn)在矩形ABCD中，AB//DC,所以

DITC尸

ZBFC=2ABH,又=產(chǎn)=90。，所以△AB"s△BFC,所以看=事,

則”=嗎嚴(yán),因?yàn)锽C=AD=3,所以當(dāng)最大、BH最小時(shí)，

CF最小，OF最大，即當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)H重合時(shí)，OF最大。如圖2所示，此時(shí)

AH^AN,點(diǎn)一M、尸重合，B、N、Af三點(diǎn)共線，由△及。加，可知4N=.4。，

ZABH=ZBFC

￡AHB=￡BCF,所以

{AH=BC

^AHB^^BCF(AAS),所以CF=BH=-AH?=<◎-號=R故￡>尸的

最大值為4-祈。

故選C.

8.B

【解析】

【分析】

如圖，延長FE,CD交于點(diǎn)H,易證△AFEs^DHE,根據(jù)已知條件和相似三角形的性質(zhì)可

得HD=3AF.再證得△AFGs/\CHG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答

【詳解】

延長FE,CD交于點(diǎn)H,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,.".△AFE^ADHE,

.AEAF1_AF

??==,即Hn一=,

DEHD3HD

???HD=3AF.

VAB/7CD,

.,.△AFG^ACHG,

.AGAFAF1

9'~GC~71C~3AF+2AF~5

故選A

【點(diǎn)撥】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，正確作出輔助線證明^AFEsaDHE及

△AFG^ACHG是解題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

試題分析：如圖，

:動點(diǎn)凡E的速度相同，

：.DF=CE,

又?：CD=BC,

；.CF=BE,

在a8cb中，

AB=BC=\

<NABE=NBCF=90,

BE=CF

/.AABE^ABCF(SAS),故①正確;

:.NBAE=NCBF,AE=BF,故②正確；

'：ZBAE+ZBEA=90°,

：.ZCBF+ZBEA=90°,

：.ZAPB=90°,故③正確；

在小BPE^n^8C71中，

NBPE=NBCF,NPBE=NCBF,

：.ABPESABCF,

.PEBE

：.CF-BE=PE-BF,

,；CF=BE,

：.Cf^=PE>BF,故④正確；

???點(diǎn)尸在運(yùn)動中保持NAPB=90。，

...點(diǎn)P的路徑是一段以A8為直徑的弧，

設(shè)A8的中點(diǎn)為G,連接CG交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長度最小，

在RtABCG中，CG=JBC'+BG==Jl+(^)2=乎，

,：PG=-AB=~,

22

CP=CG-PG=好-L=JLzl,

222

即線段CP的最小值為史二1,故⑤正確；

2

綜上可知正確的有5個(gè)，

故選D.

點(diǎn)睛：本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、

正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn).在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件，證明AABE

名△BCF是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大.

10.A

【詳解】

試題分析:設(shè)AP=x,PD=4-x.

VZEAP=ZEAP,/AEP=/ADC；

故得①:

.?.△AEPs/xADC,

同理可得小DFPs/XDAB,故

①+②得］=PE)PF.

53

19

???PE+PF=￥.故選A.

5

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn)評：此題比較簡單，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)解答即可.

11.C

【分析】

根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)即可.

【詳解】

u

解：：AB=BCf48C=90。，是AC邊中線，

???ZMBC=ZC=45\BM=AM=MC

?:DB=DE,

：."DBE=NDEB

B|J43M+45°=/CDE+45。.

JNDBM=NCDE.

VEF±AC,

??./DFE=/BMD=90。

在』BMD和4DFE中

：.ABMD出人DFE.

故①正確.

由①可得"/MBC=NC

:?△NBES^DCB,

故②錯(cuò)，對應(yīng)字母沒有寫在對應(yīng)的位置上.

u

：ABMD^ADFEf

:?BM=DF,

?.*BM=AM=MC,

?MO28M

：.AC=2DF.

故③正確

EFFC

易證4EFCs△ABC,所以=,

BCAB

：.EF?AB=CF，BC

故④正確

故選C.

【點(diǎn)撥】

本題主要考查的是全等三角形、相似三角形性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì),

掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

15.30

102.了或了

【詳解】

分析:分兩種情形分別求解:①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ,NQPB=90。時(shí)，②當(dāng)AQ=PQ,NPQB=90。

時(shí);

詳解：①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ,/QPB=90。時(shí)，設(shè)AQ=PQ=x,

：PQ〃AC,

.?.△BPQ^ABCA,

.BQ_PQ

??-,

BAAC

.10-xx

??-------=—，

106

.15

..x=一，

4

,■-AQ=J-

②當(dāng)AQ=PQ,NPQB=90。時(shí)，如圖2,設(shè)AQ=PQ=y.

圖2

VABQP^ABCA,

.PQBQ

??----=----，

ACBC

.y_10-y

??一，

68

,30

??y=y?

綜上所述，滿足條件的AQ的值為?或岑.

點(diǎn)睛；本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

13.（一，3

55

【分析】

首先過D作DFLAF于F,根據(jù)折疊可以證明4CDE絲aAOE,然后利用全等三角形的性

質(zhì)得到OE=DE,OA=CD=1,設(shè)OE=x,那么CE=3-x,DE=x,利用勾股定理即可求出OE

的長度，而利用已知條件可以證明△AEOs^ADF,而AD=AB=3,接著利用相似三角形的

性質(zhì)即可求出DF、AF的長度，也就求出了D的坐標(biāo).

【詳解】

解：如圖，過D作DFLAO于F,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,3）,

BC=AO=1,AB=OC=3,

根據(jù)折疊可知：CD=BC=OA=1,ZCDE=ZB=ZAOE=90°,AD=AB=3,

CDEftAAOE中，

.NCDE=NAOE

-ZCED=ZAEO,

CD=AO

.,.△CDE^AAOE,

AOE=DE,OA=CD=1,AE=CE,

設(shè)OE=x,那么CE=3-x,DE=x,

...在RtADCE中，CE2=DE2+CD2,

(3-x)2=x2+l2,

.4

..x=—,

3

445

AOE=-,AE=CE=OC-OE=3

333

又?.?DF_LAF,

???DF〃EO,

.?.△AEO^AADF,

AAE：AD=EO：DF=AO：AF,

54

即一：3二一：DF=1：AF,

33

129

ADF=—,AF=一，

55

94

：.OF=--1=-,

55

4I?

?'?D的坐標(biāo)為：(-不，()?

412

故答案為(?二，—)?

【點(diǎn)撥】

此題主要考查了圖形的折疊問題、相似二角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及

坐標(biāo)與圖形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相

似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題.

14.Ml

13

【詳解】

【分析】作AQLBC于點(diǎn)Q,交DG于點(diǎn)P,設(shè)GF=PQ=x,則AP=4-x,證^ADG^AABC

得第=黃，據(jù)此知EF=DG=T（4-x）,由EG=J/+G嚴(yán)即可求得答案.

【詳解】如圖，作AQJ_BC于點(diǎn)Q,交DG『點(diǎn)P,

???四邊形DEFG是矩形，

，AQ_LDG,GF=PQ,

設(shè)GF=PQ=x,則AP=4-x,

由DG〃BC知△ADG^AABC,

.APDG4-xDG

..瓦二正’即Hn'二可’

3

則EF=DG二一(4-x),

2

；.EG=jEF2+GF2T|(4一耳+/[去制+詈,

.?.當(dāng)xR時(shí)，EG取得最小值，最小值為吆叵，

1313

故答案為吆叵

13

【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)及勾股定理.

15.2或4或更叵

3

【詳解】

設(shè)經(jīng)過f秒鐘，△PC。的面積等于8.

①當(dāng)0V04時(shí)，P在AC上，Q在BC上，則尸C=6“，CQ=2t.

...△PC。的面積=gPGCQ=gx(67)x2r=8,解得：r=2或z=4.

②當(dāng)4<二6時(shí)，P在AC上，。在45上，如圖，；AC=6,BC=8,.*.AC=10.過。作QHLAC

QHBCOH8

于H,則PC=6-f,80=2f-8,AQ=18-2f.-JQH//BC,=——=一，解

AQAB18-2r10

得：Q4=0.8(18-2D,.,.△PC。的面積=gpC?QH=gx(6T)xO.8(18-2f)=8,解得：=4或

z=ll.V4<z<6,故兩個(gè)答案都舍去.

③當(dāng)6</8時(shí)，P在8C」二，。在A8上，如圖，?；AC=6,8C=8,；.AC=10.過。作。以L8C

于H,Ki]PC=t-6,BQ=2t-?>,AQ=182.,：QH//AC,?,?察=等，=，解

得：?！?0.6(2/-8),，△尸CQ的面積=3PC?Q〃=gxQ-6)xO.6x(21-8)=8,解得：t=

15一網(wǎng)或4巨巫故，J5+病.

33-3

故答案為2或4或I1回.

3

點(diǎn)睛：本題考查了由運(yùn)動形成的三角形的面積.解題的關(guān)鍵是分三種情況討論，針對每種情

況畫出圖形，建立不同的方程，然后解方程即司;

16.27B

【解析】

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，利用三角形中位線定理、三角形的相似可以求得PH

和QH的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得PQ的長.

【詳解】作QMJ_EF于點(diǎn)M,作PN_LEF于點(diǎn)N,作QH_LPN交PN的延長線于

點(diǎn)H,如圖所示，

?.?正方形ABCD的邊長為12,BE=8,EF〃BC,點(diǎn)P、Q分別為DG、CE的中點(diǎn)，

；.DF=4,CF=8,EF=12,

；.MQ=4,PN=2,MF=6,

VQM1EF,PNXEF,BE=8,DF=4,

/.△EGB^AFGD,

.EGBE

??一，

FGDF

12-FG8

即an------=-,

FG4

解得，F(xiàn)G=4,

.?.FN=2,

；.MN=6-2=4,

，QH=4,

VPH=PN+QM,

；.PH=6,

二PQ=y1PH2+QH2=2713,

故答案為：2岳.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形

的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線、結(jié)合圖形熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和定理進(jìn)行解題是

關(guān)鍵.

17.3M

【解析】

如圖，過點(diǎn)A作AE//GH交CD于瓦作AF//MN交BC于F,

則AF=AIN=3,AE=GH,

：Z.GKM=45°,

/.ZBAF+ADAE=90°-45°=45°,

作ZQ/1E=45°交CD的延長線于Q,

則NQAD+Z.DAE=45°,

;.NQAD=ZFAB,

,:NB=^ADQ=90°,

/.^ABF~\AQD,

ABAF

'AD=AQ,

.6_3x/5

"9=~AQ，

*瓜

.MQ=f,

,---------------g

在Bt^ADQ中，0Q=2fl02=",

過點(diǎn)E作EP1AQ于P,

\￡QAE=45°,

△力EF是等腰直角三角形，

設(shè)GH=AE=工，則AP=EP=AE=x,

22

，八ADPE

:Q=瓦=可，

計(jì)算得出x=3/10,

所以GH=3\/1Q.

因此，本題正確答案是：3V10.

【點(diǎn)撥】

過點(diǎn)A作AE//GH交CD于E,作AF//MN交BC于F,于是得到

AF=MN=3\/5,AE=GH，因?yàn)镹GKM=45°，得到

ZBAF+ZDAE=90°-45°=45°,作^QAE=45°交CD的延長線于Q,推

出NQA0+ND4E=5,通過根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

喘=蕓，求得AQ=喧，在Bt^ADQ中，由勾股定理得到

AL)AQ"2

._________a

DQ=，力Q2-402=_，過點(diǎn)E作EP±AQ于P,得到ZVIEP是等腰直角

三角形，設(shè)GH=AE=x,^\AP=EP=衛(wèi)/1E=烏，然后利用”的正

22

切值列出方程求解即可.

18.二

8

【詳解】

當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切時(shí)，

此時(shí)，CF=1.5,

3

VAC=2t,BD=-t,

2

3

.\OC=8-2t,OD=6一一t,

2

,?,點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，

ACE=yOC=4-t,

VZEFC=ZO=90°,ZFCE=ZDCO

AAEFC^ADCO

.EF_CF

"'OD~'OC'

由勾股定理可知：CE2=CF2+EP,

???(1戶(1上+0戶’

解得：匚17?或匚47?，

OO

V0<t<4,

.-E

??tI一?

8

17

故答案為k

O

點(diǎn)睛：本題考查圓的切線性質(zhì)，主要涉及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)

等知識，題目綜合程度較高，難度較大，尤其是動點(diǎn)問題，給此題增加的一定的難度，很好

地考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力.

-I

【解析】

試題分析：AABC和△AED均為等邊三角形，ZE=ZB=ZC,ZBAD+ZCAD=60°,

ZEAF=ACAD.ZEAF+ABAD=60°NBDF=ACAD

：.AA￡F?AACD,又?/ZAFE=NDFB,：./\AFE?ADFBZEAF=NBDF

RFRDRFQ

ZEAF=ZCAD.AAACD~\DBF=即?=f12—4，所以BF=g?故答案為g

點(diǎn)睛：本題主要考查①相似三角形的判定，利用兩角對應(yīng)相等的三角形相似進(jìn)行判定，要掌

握相似三角形的判定方法并靈活運(yùn)用。②相似三角形的性質(zhì)，對相似三角形的性質(zhì)要理解及

重點(diǎn)掌握。相似三角形的判定方法及性質(zhì)是重點(diǎn)及難點(diǎn)。

20.①②④.

【解析】

根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出/DCF=/DFC,然后求出DF=DB,根據(jù)等邊對等角求出

/DBF=/DFB,然后求出/BFC是直角，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出4BCF^ACEF相似，

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得到①正確；根據(jù)互余關(guān)系求出NG=NACG,

再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出AG=AC,然后求出AG=BC,然用利用“角角邊''證明△BCE

和AAGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=BC,從而判斷②正確；根據(jù)角的互余

關(guān)系可以求出/EAF+/ADC=90。，/AFE+/DFC=90。再根據(jù)NADC的正切值為2可知

ZADC/600,然后求出/FDCW/DFC,然后求出NEAFr/EFA,從而得至UAE，EF,判斷出

③錯(cuò)誤；根據(jù)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出ACEF和△BCE相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊

成比例列式求出EC2=EF?EB,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=CE,從而判斷出④正

確.

解：VDF=CD,

.,.ZDCF-ZDFC,

VAC=BC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

；.DF=DB=DC,

；./DBF=/DFB,

又：ZDBF+ZDFB+ZDFC+ZDCF=180°,

.,.ZBFC--xl80°=90°,

2

：.CF_LBE,

RtABCFSRSCEF,

.CFBF

，CF2=EF?BF,故①正確；

VAG±AD,

.\ZG+ZAFG=90°,

XVZACG+ZDCF=90°,ZDCF=ZDFC=ZAFG,

:.ZG=ZACG,

.'.AG=AC,

VAC=BC,

AAG=BC,

又：ZCBE=ZACG,

:.ZCBE=ZG,

在^BCE^BAAGF中，

VZGAF=ZBCE=90°,ZCBE=ZG,AG=BC,,

AABCE^AAGF(AAS),

AAG=BC,

丁點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

，BC=2DC,

，AG=2DC,故②正確；

根據(jù)角的互余關(guān)系，ZEAF+ZADC=90°,ZAFE+ZDFC=90°,

tanZADC=2,

JZADC^60°,

VZDCF=ZDFC,

AZFDC^ZDFC,

.,.ZEAF^ZEFA,

：.AE我EF,故③錯(cuò)誤；

VZACB=90°,CF1BE,

，ACEF^ABCE,

.ECEF

??商一三’

；.EC2=EF?EB,

,.,△BCE^AAGF（已證），

；.AF=EC,

.-.AF?EC=EF?EB,故④正確；

所以，正確的結(jié)論有①②④.

“點(diǎn)睛”本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的

性質(zhì)，根據(jù)等角對等邊以及等邊對等角的性質(zhì)求出AG=AC,然后證明△BCE和△AGF全

等是證明的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

21.5,13

【解析】

?：AE,BE,CM,。例分別為NOA8,ZABC,ABCD,NCD4的平分線，

：.AE\\CM,DM||BE,.在必火是平行四邊形，

■：ZDAB+ZCDA=iSO°,

ZDFA=90°,

?.?尸M=3cm,￡F=4cm,勾股定理知，

EM=5cm,

,:4DAF=/EAB,NAFD=NAEB,

，^AFD^/XAEB,

設(shè)。尸=3h貝IJAQ4&,

ZAFD=90°,

：.AD=5k,

VZAEB=90°,AE=4(什1),BE=3(Z+l),

：.AB=5—

V2(AB+AD)=42,

：.AB+AD=21,

：.5(Jt+1)+5r21,

.,.^=1,6,

：.AB=\3(cm).

22.交

7

【解析】

如圖，連接MM延長AM、BC交于點(diǎn)、G,MN與CD交于點(diǎn)H,作NK,8c于K.

???四邊形ABC。是正方形，DF=2.CF=3,

C.AD//BG,AD=BC=CD=5,

ADDF2.15

..------------——...CCr=----

CGFC32

,??四邊形ENCM是正方形，

：.NH=HM=CH=EH,MN1EC,設(shè)CH=x,

'：MH//CG,

HMFH.?.*=：15

二---=---,315,:.x=——.

CGFC—7

在RT4BNK中；；/BKN=90\NK=CH=9.BK=BC-CK=—,

77

23.(1)當(dāng)AC=1或2或逐時(shí)，AABC是比例三角形；(2)證明見解析；(3)||=72.

【詳解】

【分析】⑴根據(jù)比例二角形的定義分AB2=BCAC、BC2=ABAC,AC2=AB-BCH#

情況分別代入計(jì)算可得；

(2)先證AABCSADCA得CA?=BC-AD，再由NADB=/CBD=/ABD知

AB=AD即可得;

（3）作AHJ_BD,由AB=AD知BH=；BD,再證