2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若函數(shù)/（x）=Tnx+x+〃，在區(qū)間Je上任取三個實數(shù)”，b,，均存在以/（。），/（。），〃c）為邊長的

三角形，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（一弓一1）B.■一-C.D.

2.《九章算術》有如下問題：“今有金肇，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思

是：“現(xiàn)在有一根金肇，長五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在細的一端截下一尺，重2斤，問各尺依次重多少?”

按這一問題的顆設，假設金肇由粗到細各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）

775一

A.一斤B.一斤C.一斤D.3斤

322

3.等差數(shù)列｛〃“｝中，已知3%=7即），且q<0,則數(shù)列｛4｝的前〃項和S“（〃eN*）中最小的是（）

A.§7或SgB.S|2C.S|3D.S|4

4.已知復數(shù)2=（1+，）（3-，）。為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.2B.2zC.4D.4;

5.2021年部分省市將實行“3+1+2”的新高考模式，即語文、數(shù)學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、

政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為

1I

A.-B.-

84

11

C.—D?一

62

6.設a,〃，c分別是AABC中/A,DB,NC所對邊的邊長，則直線sinA-x-4（y-c=0與bx+siny+sinC=0

的位置關系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

7.已知｛《,｝為等差數(shù)列，若4=2%+1，4=2%+7,則%=()

A.1B.2C.3D.6

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為3,則可輸入的實數(shù)x值的個數(shù)為()

|開始

輸出

［伍柬］

A.1B.2C.3D.4

27r

9.已知《，工是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的-一個公共點，且/月2鳥=彳，設橢圓和雙曲線的離心率分

別為eve2,則4,e2的關系為()

31）4212/

A.—+—=4/+y=4

22

±+±=4D.e（+3e2=4

e；e；

10.盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球,從中任取i(i=l,2)個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后

放回，此時盒中黑球的個數(shù)X,.(i=l,2),貝!!(）

P（X=3）<P（X=3）,EX>EX

A.P（X=3）>P（X2=3）,EX.>EX2B.（2}2

P（x=3）<P（X2=3）,EX,<EX

C.P（X]=3）>P（X2=3）,EXt<EX2D.2

2

2

11.已知雙曲線c：5y1(0>(),〃>())的左、右焦點分別為大，K，過七的直線/與雙曲線C的左支交于A、

Q-一、

3兩點.若|AB|=|A6|,如鳥=120,則雙曲線C的漸近線方程為()

y=±且xy=t?x

A.B.C.y=±（G-及）xD.y=±（百-l）x

32

12.正項等差數(shù)列｛%｝的前"和為S”,已知4+%-公+15=0,則59=(）

A.35B.36C.45D.54

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，機器人亮亮沿著單位網格，從A地移動到B地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從A移動到8最近的走

法共有一種.

x+y>0

14.設實數(shù)x,y滿足,x-y+2N0,則z=2x-的最大值是.

5x-y-6W0

2

15.在平面直角坐標系尤Qy中，雙曲線9-丁=1的一條準線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為.

16.動點P到直線x=—l的距離和他到點尸(1,0)距離相等，直線AB過(4,0)且交點P的軌跡于A,3兩點，則以AB

為直徑的圓必過________.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足：對任意〃,veN*,都有+《.+2.

(1)若生+。3+。6+。9=2,求的值；

(2)若｛4｝是等比數(shù)列，求｛%｝的通項公式；

⑶設"N*,k>3,求證：若%+1，%2，％3,…成等差數(shù)列，則G，%，…，4也成等差數(shù)列.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-A5C。中，底面ABC。是矩形，B4_L平面ABCZ),且E,尸分別是棱A8,

PC的中點.求證：

Bc

(1)EF〃平面Ri。；

(2)平面PCEJ_平面PCD.

19.(12分)數(shù)列｛%｝滿足《產0,q=1且a“+i=0.

(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛4?%｝的前”項和S”.

21.(12分)某房地產開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖.如圖，該弓形所在的圓是以A3為直徑的

圓，且43=300米，景觀湖邊界CO與平行且它們間的距離為50底米.開發(fā)商計劃從A點出發(fā)建一座景觀橋

(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行)，橋面在湖面上的部分記作PQ.設NAOP=28.

(1)用。表示線段PQ,并確定sin2。的范圍;

(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將PQ的長度設計到最長，求PQ的最大值.

22.(10分)已知橢圓。的短軸的兩個端點分別為A(0,l)、8(0,-1),焦距為26.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線y=m與橢圓C有兩個不同的交點"、N,設O為直線AN上一點，且直線8￡>、8M的斜率的積

為-』.證明：點。在x軸上.

4

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用導數(shù)求得了(x)在區(qū)間B，e上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得〃的取值

范圍.

【詳解】

Ir_1

/(X)的定義域為(0,+紇)，/(%)=—+1=-,

所以“X)在上遞減，在(l,e)上遞增，“X)在x=l處取得極小值也即是最小值，"l)=-lnl+l+〃=l+〃,

=+-++l+,f^=-\ne+e+h=e-l+h,

所以/(x)在區(qū)間上的最大值為/(e)=e-l+/z.

要使在區(qū)間少上任取三個實數(shù)。，b,c均存在以/(a),f(b),/(c)為邊長的三角形，

則需/(a)+/8)>/(c)恒成立，且/(1)>0,

也即［7(a)+/("L,'/?max，也即當。=0=1、°=?時，2〃1)>/仁)成立，

即2(l+〃)>e-l+〃，且/(1)>0,解得/?>e-3.所以〃的取值范圍是(e-3,+8).

故選：D

【點睛】

本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.

2.B

【解析】

依題意，金肇由粗到細各尺重量構成一個等差數(shù)列，q=4則%=2,由此利用等差數(shù)列性質求出結果.

【詳解】

設金維由粗到細各尺重量依次所成得等差數(shù)列為｛%｝,設首項％=4,則為=2,公差”=答?=

故選B

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

3.C

【解析】

設公差為d,則由題意可得3(a,+4d)=7(4+9d)，解得1=—彗，可得an=6不皿.令言言<o,可得當

時，>0,當〃<13時，??<0,由此可得數(shù)列｛4｝前〃項和中最小的.

【詳解】

解：等差數(shù)列｛4,｝中，已知3a5=7%。，且q<0,設公差為d,

則3(q+M)=7(a,+9d),解得［=一等，

.:,(55-4〃)《

..%=4+("-1)4=-------L.

55—4〃55

令衛(wèi)，!<o,可得〃〉上，故當〃之14時，an>Q,當〃<13時，an<0,

514

故數(shù)列僅“｝前〃項和S”(〃eN*)中最小的是Sl3.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于中檔題.

4.A

【解析】

對復數(shù)二進行乘法運算，并計算得到z=4+2i,從而得到虛部為2.

【詳解】

因為z=(l+i)(3—i)=4+2i,所以z的虛部為2.

【點睛】

本題考查復數(shù)的四則運算及虛部的概念，計算過程要注意產=—1.

【解析】

甲同學所有的選擇方案共有12種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有c；=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率尸=丘=］，

故選B.

6.C

【解析】

試題分析：由已知直線5由小》一句一。=0的斜率為吧/,直線云+sinBy+sinC=O的斜率為—，—，又由正

弦定理得型=乂，故土sinB

-1,兩直線垂直

考點：直線與直線的位置關系

7.B

【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出a$.

【詳解】

■:{an}為等差數(shù)列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,

a1+d=2(a(+2d)+l

e，，

［a1+3d=2(a,+2d)+7

解得a】=-10,d=3,

a5=a,+4d=-10+11=1.

故選：B.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列通項公式求法，考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

8.C

【解析】

試題分析：根據(jù)題意，當xV2時，令/一1=3,得x=±2；當x>2時，令log?x=3,得

x=9,故輸入的實數(shù)x值的個數(shù)為1.

考點：程序框圖.

9.A

【解析】

|P￡|+|P周=2q

設橢圓的半長軸長為4,雙曲線的半長軸長為由,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:解得

\PF,\-\PF2\=2a2

\PF.\=a.+a

〈八二2,然后在中，由余弦定理得:

\PF2\=at-a2

4*=(q+a?)+(4-a2)-2(q+a2).(a,-a2)-cos化簡求解.

【詳解】

設橢圓的長半軸長為q,雙曲線的長半軸長為a2,

忸司+|%|=24

由橢圓和雙曲線的定義得:］尸”|一|「用=24

解得德設電心,/位年

2

在△《Pg中，由余弦定理得：4c2=（可+約）~+（芻一^2）一2（芻+4）?（<3j-4），cos—，

3

化簡得3a：+4?=4c2,

故選：A

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

10.C

【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學期望，由此判斷出正確選項.

【詳解】

2C1

X=3表示取出的為一個白球，所以P（X=3）=才=鼻.屈=2表示取出一個黑球，P（X,=2）=-^-=-,所以

￡（X.）=3x-+2x-=-.

'"333

8

X2=3表示取出兩個球，其中一黑一白，P（X2=3）=-^-=—,X?=2表示取出兩個球為黑球，

021「2￡

P（X2）=-^-=—,X2=4表示取出兩個球為白球，P（X2=4）=-^=—,所以

E（X2）=3x§+2x，+4x9=".所以P（X=3）>P（X2=3）,EXt<EX2.

1515153

故選：C

【點睛】

本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望的計算，屬于中檔題.

11.D

【解析】

設|伍|=〃2,利用余弦定理，結合雙曲線的定義進行求解即可.

【詳解】

設M用=IA用=加,.?.忸g|=+1A工『一2M用.|AEI?cos12（）。=百加,由雙曲線的定義可知：|A￡|=加一2a,

因此忸制=2a,再由雙曲線的定義可知：忸周-忸周=240相=孚。，在三角形A66中，由余弦定理可知：

1Kg「=|A耳「+1一214耳卜|Ag卜cos120°=>=（5—26）/=>/+〃=（5-2GH

卜21

=>〃=（4—2百）4=>彳=（4-26）=>g=百—1,因此雙曲線的漸近線方程為：

a

y=±（6-l）x.

故選：D

【點睛】

本題考查了雙曲線的定義的應用，考查了余弦定理的應用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學運算能力.

12.C

【解析】

由等差數(shù)列｛《,｝通項公式得生+。7-。52+15=0,求出生，再利用等差數(shù)列前〃項和公式能求出59.

【詳解】

正項等差數(shù)列｛4｝的前〃項和s“，

%+%—a；+15—(),

“5-2a$—15-0,

解得%=5或%=-3(舍)，

9

S9=耳(q+g)=9a5=9x5=45,故選C.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應用等差數(shù)列的性質

%,+%=。,“+4=2%(〃+q=/〃+〃=2r)與前〃項和的關系.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.80

【解析】

分三步來考查，先從A到C，再從C到。，最后從。到8,分別計算出三個步驟中對應的走法種數(shù)，然后利用分步

乘法計數(shù)原理可得出結果.

【詳解】

分三步來考查：①從A到C,則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，此時有C；種

走法；

②從C到。，則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個單位，三步是向上移動一個單位，此時有C：種走法；

③從。到B,由①可知有種走法.

由分步乘法計數(shù)原理可知，共有C；C；C；=8O種不同的走法.

故答案為：80.

【點睛】

本題考查格點問題的處理，考查分步乘法計數(shù)原理和組合計數(shù)原理的應用，屬于中等題.

14.1

【解析】

根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式，分析目標函數(shù)的幾何意義，然后判斷求出目標函數(shù)取得最優(yōu)解的點的坐標，即可求解.

【詳解】

x+y.0

作出實數(shù)x,）‘滿足x-y+2..O表示的平面區(qū)域，如圖所示:

5x—y—6?0

由2=2x—y可得y=2x—z,則-z表示直線z=2x—y在＞軸上的截距，截距越小，z越大.

x+y=0

由u"，八可得C（l,一1），此時z最大為1,

5x—y—6=0

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃知識的運用，考查學生的計算能力，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想.

24

15.—

13

【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準線方程，求出三角形的頂點的坐標，然后求解面積.

【詳解】

解：雙曲線C：雙曲線三—二=1中a=2,b=3,c=屈,

49

2224

則雙曲線LX一2v_=1的一條準線方程為x=a—=方=,

49CV13

雙曲線的漸近線方程為：），=土京，

可得準線方程與雙曲線C的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點的坐標（卡，奈），（卡，-卡）,

,14c624

則三角形的面積為彳X7乏X2X"乏=有

，71371313

故答案為：—

13

【點睛】

本題考查雙曲線方程的應用，雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力，屬于中檔題.

16.(0,0)

【解析】

利用動點P到直線x=T的距離和他到點尸(1,0)距離相等，，可知動點P的軌跡是以尸(1,0)為焦點的拋物線,從而可

求曲線的方程，將y=k(x—4),代入y2=4x,利用韋達定理，可得.?.XR+x%=0，從而可知以AB為直徑的圓經過

原點O.

【詳解】

222

設點尸由題意可得x+l=J(x-iy+y2,(x+l)2=(x—l)2+y2,X+2x+l=x-2x+l+y,可得

y2=4x,設直線A3的方程為y=%(x-4),代入拋物線可得

_4(2二+l)x+16K=0,A(x1,y]),B(x2,y2)/.^x2=16,A^+x2=——-?

.?.%%=爐(％-4)(電一4),

1

:.x[x2+yxy2=(攵2+1)%%2—4左2(%+x2)+\6k

=16(公+1)—422^tl+i6公=0,

k

OAOB^O＞以AB為直徑的圓經過原點。.

故答案為：(0,0)

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時考查了方程的思想和韋達定理，考查了運算能力，

屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)3；(2)an=-2；(3)見解析.

【解析】

(1)依據(jù)下標的關系，有48=4+4+2,48=%+4+2,兩式相加，即可求出48；(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項

公式知，求出首項和公比即可。利用關系式4“.=4+4+2,列出方程，可以解出首項和公比；(3)利用等差數(shù)列的

定義，即可證出。

【詳解】

(1)因為對任意都有4”，=4+“"+2,所以％=“2+”9+2,=a3+ab+2,兩式相加，

2。［8=。2+4+紇+49+4=2+4=6,解得《8=3;

(2)設等比數(shù)列｛4｝的首項為4,公比為4,因為對任意“,veN*,都有%,="“+4+2,

所以有的=4+4+2,解得囚=-2,又4=4+4+2=4+43+2,

即有4+4=4+4，化簡得，l+/=q2+/,即年—1乂/-1)=0,

.,.q=l或4=-1,因為&=4+4+2,化簡得/-2q+l=0,所以q=l

故q=-2.

(3)因為對任意〃,veN，,都有%=4+4+2,所以有

4+i=%+4M+2

。2(?+1)=。2+4+1+2

<4"+1)=4+4+1+2,4+|，4+2，%3，一.成等差數(shù)列，設公差為d,

4+%+I+2

4-4=々2(A+1)一ak+l=(k+V)d,a3-a2=a3(Jt+l)-a2(jl+1)=(k+l)d,…，

%一。1=-4l"+l)=(k+D”,由等差數(shù)列的定義知，

%,生,…,4也成等差數(shù)列。

【點睛】

本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應用，意在考查學生的邏輯推理，數(shù)學建模，綜合運用數(shù)列知識的

能力。

18.(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)取PD的中點G構造平行四邊形的G,得到EF7/AG,從而證出E戶//平面B4O；

(2)先證即，平面PCD,再利用面面垂直的判定定理得到平面PCD，平面PCE.

【詳解】

證明：(1)如圖，取PD的中點G,連接4G,FG,

是棱AB的中點，底面A8CD是矩形，

：.AE//CD,且AE」C。，

2

又?.?尸，G分別是棱PC,PO的中點，

..FG//CD,且/G=，AC,

2

AE//FG,且AE=FG,

四邊形但G為平行四邊形，

：.EF//AG,

又「EFC平面尸A￡),AGu平面PAD，

二.跖//平面PADi

(2)-.-PA=AD,點G是棱的中點，

AG±PD,

又?.?EF//AG,..EFLP。，

?.Q4_L平面ABC。，C￡)u平面ABC。，

:.PA±CD,

?.,底面ABC。是矩形，AD_LCD,

?.?B4u平面ABC。，ADu平面ABC。，且抬口犯二人，

\CD人平面PAD，

又「AGu平面PAD，CDLAG,

-,-FE//AG,：.CDEF,

又：⑺匚平面PCD,PDu平面PCD,且CQnPO=。，

.?.EFJ_平面PC。，

又平面PCE,

■■平面PC。，平面PCE.

【點睛】

本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題.

n

19.(1)證明見解析，an=----(-2-)

3〃一23?+1

【解析】

(D利用a“+3q川?！?0,推出」——1=3,然后利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解;

an+\an

(2)由(1)知4。用=’(—!--------),利用裂項法，即可求解數(shù)列的前"項和.

33/1-23〃+1

【詳解】

(1)由題意，數(shù)列｛%｝滿足4尸。且4+1一4+3。“+必”=0

11c八11c

可得---------+3=0,即---------=3,

4%+ia“+i/

111,

所以數(shù)列丁是公差公3,首項「「I的等差數(shù)列,

故」?=1+3(〃-1)=3〃-2,所以q=―1—

。八3〃一2

1111、

⑵由⑴知44M=(3加2)(3〃+1z)=}.一")'

所以數(shù)列｛%.4+J的前"項和:

1FO________

+，

電3x1-23x1+1,3x2-23x2+1J\3n-23n+lJ

n

3n+l

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及“裂項法”求解數(shù)列的前"項和，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項公

式，合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

20.證明見解析

【解析】

利用分析法，證明a+，＞3即可.

a2

【詳解】

證明：?.,〃>(),aH—21,

a

1

??〃H-----l>0,

a

要證明J/7>。----1，

只要證明〃+2>(a+-)1-4(a+-)+4,

aaa

13

只要證明：a+—>二，

a2

Va+->1>-,

a2

...原不等式成立.

【點睛】

本題考查不等式的證明，著重考查分析法的運用，考查推理論證能力，屬于中檔題.

21.(1)PQ=300sin。-^^，—<sin2^<1;(2)50幾米.

cos。3

【解析】

丘QH

(1)過點。作?！癓AB于點〃，再在AAOP中利用正弦定理求解AP,再根據(jù).(7：求解AQ,進而求得

(2)

PQ.再根據(jù)PQ>0確定sin26的范圍即可.

⑵根據(jù)⑴有PQ=5072f3瓜i〃e-一二］，再設f(0}=36sme-一二，求導分析函數(shù)的單調性與最值即可.

ICOS0)cos(9

【詳解】

解：(1)

過點。作QHLAB于點H,

貝!|Q”=50技

在3Aop中,；OAF=OP=\50,ZAOP=26,

TT

；.NOAP=——凡

2

OPAP

由正弦定理得:sinfy-^sin20,

;AP=300s07仇

??.AQ=—"50V2

sin^—ecos。，

PQ=AP-AQ=3OQsin0-迎旦，

COS。

PQ=300sin3-〉0,因為cos6>0,

COS。

化簡得也<sin2641

3

1

(2)pg=300s山e—\[2sin0-

cos。COS0

1O

令/⑻=3&sin"

7?，---<sin2<9<1,K2?！?。乃),

cos。3

tan6^

f'(0]=3>/2cos0--嗎’=cos

cos-0cos26

(sin2+cos28)tan。、

=co