2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知￡，￡分別為雙曲線c：三-3=1的左、右焦點，點P是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓經過點

12

12。2

P,若"FF的面積為空^從，則雙曲線的離心率為（）

123

A.串B.2C.4D.3

x+y<4

y+2

2.點P（x,y）為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點，則J的取值范圍是（）

八x-2

y>0

A.（-<?,-2）U（1,-KO）B.C,（-2,1）D,[-2,1]

3.在平面直角坐標系xOy中，將點A（1,2）繞原點。逆時針旋轉9（）。到點8,設直線03與X軸正半軸所成的最小正

角為a,則casa等于（）

_2邪R一606_2

A.D?■1x-z?1D.

55-5

4.設復數(shù)z滿足M」=z-2i(i為虛數(shù)單位)，則z=()

1

13.13.13.13.

A.———1B.■—+—1C.一彳一―D.——+—i

22222222

5.設拋物線C:y2=2Px（p>0）的焦點為尸,拋物線C與圓C'：心+（y-我2=3交于兩點，若IMN1=則

AMNE的面積為（）

A,顯C36D.3?

B.-

88,84

6.設橢圓E：上+上=1（?！地?gt;0）的右頂點為A，右焦點為尸，B、C為橢圓上關于原點對稱的兩點，直線8尸交

Q2172

直線AC于且M為AC的中點，則橢圓E的離心率是（)

7.已知函數(shù)/（x）=x+a?2*,g（x）=lnx—4/2-x,若存在實數(shù)x,使.f（x）-gG）=5成立，則正數(shù)4的取值

000

范圍為（）

A.（0,1]B.（。，41c.[1>+℃）D,（0,ln2]

8.設曲線V=a（x—1）—Ex在點（1,0）處的切線方程為y=3x—3,則。=（）

A.1B.2C.3D.4

9.對于定義在R上的函數(shù)y=/G）,若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則里送的一個是（）

A./（X）在（F，o]上是減函數(shù)B./（X）在（0,仔。）上是增函數(shù)

C./（尤）不是函數(shù)的最小值D.對于xeR,都有/（尤+1）=/（1-尤）

10.若（1-2x>的二項展開式中X2的系數(shù)是40,則正整數(shù)〃的值為（）

A.4B.5C.6D.7

11.已知雙曲線'-四=l（a>0,6>0）的左焦點為/，直線/經過點尸且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線/與雙曲

線的左支交于不同的兩點A,B,若AF=2FQ，則該雙曲線的離心率為（）.

A.匹B.叵C.江

D.

323

12.設全集U=K,集合A={xlx2-3x-4>0},則QA=（)

A.{xl-1<r<4}B.{xl-4<r<l}C.{xl-lSv<4}D.{xl-4Sx<l}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.給出以下式子：

@tan250+tan35°+小tan25°tan35°；

②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）；

…1+以〃15°

（3）---------------------

l-tanl50

其中，結果為出的式子的序號是.

X2V2

14.已知橢圓一+二_=1的下頂點為A,若直線x="+4與橢圓交于不同的兩點M、N,則當/=___時，^AMN

164

外心的橫坐標最大.

15.根據(jù)記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應是我國西周時期的數(shù)學家商高，商高曾經和周公討論過“勾3股4弦5”的問

題.現(xiàn)有AABC滿足“勾3股4弦5”，其中“股"AB=4,。為“弦”上一點（不含端點），且A4BO滿足勾股定理,

則（CB-C4）AD=.

16.在△?C中，8C為定長，|A"+2AC=3BC，若心回。的面積的最大值為2,則邊8C的長為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖1,A4DC與ZVWC是處在同.個平面內的兩個全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=3O?ZABC=ZADC=90?,AB=2,連接是8。，E邊8c上一點，過E作EF//BD,交.CD

于點F,沿E/將ACEF向上翻折，得到如圖2所示的六面體P-ABEED,

（1）求證：BDJ.AP;

（2）設詼=入反（入eR）,若平面PEF工底面ABEFD,若平面PLB與平面PDF所成角的余弦值為《，求入的

值；

（3）若平面PEF上底面ABEFD,求六面體P-ABE&）的體積的最大值.

18.（12分）如圖，在正四棱錐尸-ABQ）中，PA=AB=&,懸M、N分別在線段孫、BD上,BN*BD.

（1）若PM,求證：MNLAD；

（2）若二面角M-3￡>-A的大小為生,求線段MN的長.

4

19.（12分）如圖，在長方體ABC。一Agqq中，AB=23C=2A4|=4,f為的中點，N為BC的中點,

M為線段*上一點,，且滿足就總咕，口為加。的中點、.

（1）求證：E/7/平面。OC；

（2）求二面角"一。?！狥的余弦值

20.（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合

格,，“不合格,，兩個等級，同時對相應等級進行量化：，，合格，，記5分，“不合格，，記。分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)

計結果及對應的頻率分布直方圖如下：

等級不合格合格

得分[20,40][40,601[60,80][80,100]

頻數(shù)6a24b

（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得

分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，

記所選4人的量化總分為求1的數(shù)學期望E&）.

21.（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機

支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，

從中隨機抽取了60名，統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下

（不含10（）元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.

男性女性

035

7408

885535

20605男性女性合計

870

手機支付旅

38558

095非手機支付族

85OOO1000

98220115合計

50001208

55420130

6610145

54320156

5015

（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關？

（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數(shù)為《，求隨

機變量&的期望和方差;

（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：

手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為;，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次

打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)

惠方案更劃算？

附：

P(K2>k)0.0500.0100.001

0

k3.8416.63510.828

0

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(”+c)(b+d)

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=sincox+cos(cox+j其中XER,①〉0.

（1）當3=1時，求的值;

八兀

（2）當/（X）的最小正周期為兀時，求在0,-上的值域.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)題意，設點在第一象限，求出此坐標，再利用三角形的面積即可得到結論.

【詳解】

由題意，設點？('，')在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為y=

h

所以，y二—工，

oa0

又以勺々為直徑的圓經過點「，貝=即x;+y;=c2,解得，yQ=b,

所以，S=l-2c-y=°/=型。2,即c=即C2=：、2-42),

叼心2o333

所以，雙曲線的離心率為e=2.

故選：B.

【點晴】

本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關鍵在于求出。與。的關系，屬于基礎題.

2.B

【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，利用z的幾何意義即可得到結論.

【詳解】

》+屬4

不等式組,芯》作出可行域如圖：44,0),5(2,2),(9(0,0),

玲0

v+2

Z=-一的幾何意義是動點P(K，y)到。(2,-2)的斜率，由圖象可知QA的斜率為1,。。的斜率為：-1,

x-2

y+2..

則^一V的取值范圍是：(-8,,+00).

x-2

故選：B.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵.

3.A

【解析】

設直線直線。4與x軸正半軸所成的最小正角為B,由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得sin。的值，依題有

0A10B，則a=P+90,利用誘導公式即可得到答案.

【詳解】

如圖，設直線直線。4與％軸正半軸所成的最小正角為B

因為點A(L2)在角P的終邊上，所以sin0=2_24

J12+225

依題有OA1OB，則a=B+90,

所以cosa—cos(p+90)=—sinp-......,

故選：A

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的定義及誘導公式，屬于基礎題.

4.B

【解析】

易得.言，分子分母同乘以分母的共短復數(shù)即可.

【詳解】

2+i(2+i)(l+i)l+3i13.

由已知,Z—i=zi+2,所以z_+_i.

口―2~1~22

故選：B.

【點睛】

本題考查復數(shù)的乘法、除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.

5.B

【解析】

由圓C'過原點，知”，N中有一點M與原點重合，作出圖形，由==慳叫=?,得C'M上CN,

九

從而直線MN傾斜角為了，寫出N點坐標，代入拋物線方程求出參數(shù)。，可得尸點坐標，從而得三角形面積.

【詳解】

由題意圓C'過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設為如圖，

由于=C'MNC'MN=q,NNOx=],

.?.點N坐標為（??；/），代入拋物線方程得（VT）2=2px/,P=#，

/（立,0）,S=l|MF|xy=LX^XJ3=-.

4bFMN21IN248

故選：B.

【點睛】

本題考查拋物線與圓相交問題，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)原點。是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得N

點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解.

6.C

【解析】

\0F\11

連接OM,0M為AA6C的中位線，從而'OFM-,且晨f=不，進而c—=由此能求出橢圓的離心

\FA\2a-c2

率.

【詳解】

如圖，連接0M,

?.?橢圓￡：±+r=l（a>8>0）的右頂點為4,右焦點為G

8、C為橢圓上關于原點對稱的兩點，不妨設B在第二象限，

直線交直線AC于M,且M為AC的中點

0M為AA6C的中位線,

|0F|1

AaM-AAFB,且昌=不，

制2

c1

??-----=一,

a-c2

c1

解得橢圓￡的離心率6=—二不.

a3

故選：C

【點睛】

本題考查了楠圓的幾何性質，考查了運算求解能力，屬于基礎題.

7.A

【解析】

根據(jù)實數(shù)X滿足的等量關系，代入后將方程變形a2。+47?2-玉=hu+5r構造函數(shù)/2（刀）=限+5-%,并由

000

導函數(shù)求得"（X）的最大值；由基本不等式可求得必2%+47-2飛的最小值，結合存在性問題的求法，即可求得正數(shù)a

的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)/(X)=x+a-2x,g(x)=lnx-4a-2-*,

由題意得了（/）一8（%）=%+。20一叱+而2%=5,

即。?2\)+4<7?2-％=lnx+5-x

oo

令〃(x)=lnx+5-x,

1=4,

XX

〃(x)在(0,1)上單調遞增，A+8)上單調遞減，

=〃(1)=4,而a.4+4?.2-%T勿J2\02-%=4?,

maxV

當且僅當2%=4-27，即當％=1時，等號成立，

4a?4,

/.0<<7<1.

故選：A.

【點睛】

本題考查了導數(shù)在求函數(shù)最值中的應用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問題的解法，屬于中檔題.

8.D

【解析】

利用導數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出。的方程即可求解

【詳解】

因為y'=。一一，且在點（1，0）處的切線的斜率為3,所以。-1=3,即a=4.

x

故選：D

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎題

9.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)對稱性和單調性的關系，進行判斷即可.

【詳解】

由/（X+1）=/（I—X）得/（X）關于X—1爾，

若關于X=1對稱，則函數(shù)/（X）在（0,+00）上不可能是單調的，

故錯誤的可能是8或者是。，

若。錯誤，

則/（x）在（-8,0］上是減函數(shù)，在/（X）在（0,+8）上是增函數(shù)，則/（0）為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時C也錯誤,

不滿足條件.

故錯誤的是B,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)性質的綜合應用，結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵.

10.B

【解析】

先化簡（1—2x＞的二項展開式中第r+1項T2x）,然后直接求解即可

r+1n

【詳解】

（1—2x）的二項展開式中第r+1項T2x）.令r=2,則T=C2?（—2x1,402=40,〃=-4

r+1n3n〃

（舍）或"=5.

【點睛】

本題考查二項展開式問題，屬于基礎題

11.A

【解析】

,b__

直線I的方程為x=_y-c,令。=1和雙曲線方程聯(lián)立，再由4尸=2FB得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.

a

【詳解】

b

由題意可知直線I的方程為x=—y-c,不妨設a=l.

a

則x=Oy_c,且抗=c2-l

-22=1中，得至|jC?4一1）丫2—2。30+匕4=0

將x=勿一C代入雙曲線方程X2

bi

設4（x,y）,B（x,y）

1]22

2b3cZ?4

則y+y=-；一-y=-；一

12加一112枚一1

2b3c

如八一加-1

由MF=2而,可得乙=一2匕,故1,

一2y2=-----------

2^4-1

,1

則882c2=1-Z?4,解得加=X

y

則C=+1=2^^

所以雙曲線離心率e=￡=①

a3

故選：A

【點睛】

此題考查雙曲線和直線相交問題聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.

12.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得匕A

【詳解】

由X2-3x-4=（x-4）（x+1）>°,解得x<-l或x>4.

因為A={xlx<-1或x〉4},所以CA={xI—1<x<4}.

im：C

【點睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.①②③

【解析】

由已知分別結合和差角的正切及正弦余弦公式進行化簡即可求解.

【詳解】

tan25°+tan35°

①Vtan6O0=tan(25°+35°)=事,

\-tan25°tan35°

tan250+tan35°+J3tan25°tan350；

=73(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°,

=事，

(2)2(sin35ocos250+cos35ocos650)=2(sin35°cos250+cos35osin250),

=2sin60°=O；

1+伍〃15°tanA5°+tan\50

③=tan(45°+15°)=tan600=y/3；

\-tan\501-m/?45°ton45°

故答案為：①②③

【點睛】

本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應用，屬于中檔試題.

14.2-272

【解析】

由已知可得A、M的坐標，求得4〃的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得"N的垂直平分線方

程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得A4MN外心的橫坐標，再由導數(shù)求最值.

【詳解】

如圖,

由已知條件可知4（0，-2）,不妨設M（4,0）,則A4MN外心在A"的垂直平分線上,

即在直線丁+1=-2（%-2）,也就是在直線y=-2x+3上，

x=(y+4

得y=0或y=一含G<0),

聯(lián)立1元2V2

一+—=1

1164

164/

???MN的中點坐標為

0+4S+4

4f

TX」

則頡的垂直平分線方程為y+K(r2+4

cc—3,+6

把)，=3+3代入上式，得X=E

令g(,)==，則(,)=3屋一4)

/2+40("+4)2

由g'G)=O,得”2+2/(舍)或f=2-2衣.

當t＜2-2顯時，g'G）＞0,當2-2播＜f＜0時,g'G）＜0.

當t=2—24時，函數(shù)y=g。）取極大值，亦為最大值.

故答案為：2-24.

【點睛】

本題考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用導數(shù)求最值，是中等題.

144

15,~25

【解析】

先由等面積法求得4。，利用向量幾何意義求解即可.

【詳解】

3x412

由等面積法可得A。=虧=5，依題意可得，AD1BC,

所以?而=荏.而=1而『144

144

故答案為:

~25

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積，重點考查向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎題.

16.2

【解析】

設BC=a,以B為原點，BC為x軸建系，則B（0,0）,C（a,O）,設A（x,y）,"0,

|AB+2AC|=|（2a-3x,-3y）|=3a,利用求向量模的公式，可得一個f+>2=必（"0）,根據(jù)三角形面積公式

進一步求出。的值即為所求.

【詳解】

解：設BC=a,以3為原點，BC為x軸建系，則B（0,0）,C（a,0）,設A（x,y）,尸0,

則2Aq=|（2〃-3x,-3y）|二JSa-Bx）2+9y2=3a,

即+產=〃2（y。0）,

\3）

由工詼=9°葉可得郛l"?=2.

則BC—a—2,

故答案為：2.

【點睛】

本題考查向量模的計算，建系是關鍵，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）證明見解析（2）入=；（3）生?

49

【解析】

（1）根據(jù)折疊圖形，BD1AC,PN±BD,由線面垂直的判定定理可得BD，平面PAN,再根據(jù)APu平面PAN,

得到BD1AP.

（2）根據(jù)尸NJ.ER所J_AC,以N為坐標原點，24,NE,NP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)

AD=2,BD=BC=2#,AM=T,CM=3,8左=入后。可知，跖=這,PN=CN=上，表示相應點

AB

1+九1+A

cos/m,?\|=-----^=^1===—求解

的坐標，分別求得平面的與平面。EP的法向量，代入?力6d12+5+1》5求解?

(3)設所求幾何體的體積為V,設CN=x(0<x<3)為高，則同V=W「，表示梯形BE正。和△A5O的面積由

3

2g+Wj（3—x）

3i_=也(—3+12x),再利用導數(shù)求最值.

V=-x-----------------<---------+-x2J3x1

322丫9

【詳解】

(1)證明：不妨設EF與AC的交點為與AC的交點為M

由題知，CD=BC,ZDCA=NBCA=30°,則有BD_l_AC

又BDUEF,則有石尸，AC

由折疊可知，PN1EF,所以可證PN1BD,

由ACcPN=N,ACu平面PAN,PNu平面PAN,

則有BD，平面PAN

又因為APu平面PAN,

所以8DLAP....

(2)解：依題意，有PNJ.EF,平面PEF工平ABEFD面,

又PNu平面PEF,

則有PN_L平面ABEFD,PN1AC,又由題意知，EF1AC

如圖所示：

以N為坐標原點，為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系

由題意知AB=AD=2,BD=BC=2JT,AM=1,CM=3

由=可知,

3

EF*PN=CN

1+九

則N(0,0,0),心,0,告Mg.0,0

BfA,^,4Ff0,"FT,4￡>frT

U+A)I1+AJ11+九

,B(4X+1c3(3九63

則有AP+

I1+A1+A

設平面,與平面切尸的法向量分別為加=),〃=)

-(4入+l)x+3z=0()

^APm=01

則有,=><_X_=>優(yōu)=U,y/3,4X+1/

BPm=0-壽大x-(x+l)y+y/3z=0

FPn=0y/3y+3z=0(片)

則〈—

[DP-71=0一九x-d3\l+^.)y+3z=0

222

/----\|5-4A,|事

所以H的卜國［QL「歹

因為入W(0,1),解得入="7

（3）設所求幾何體的體積為V,設CN=x（0<x<3）,

則RV=X_x,

3

2/+生x（3-x）

：.V=Lx2__________1_____+lx2J3xl

322V

=卒［（$+1）（3—x）+l

馬」］

3I3J

=且（—X3+12X）

9

vV'=--4）=-^^（X-2）G+2）

.?.當0cx<2時，V'>0,當2<x<3時，V'<0

.?.V（x）在（0,2）是增函數(shù)，在（2,3）上是減函數(shù)

.,.當X=2B寸，V有最大值，

即V=近（—8+12x2）="4

max99

：?六面體P-A￡3ED的體積的最大值是吧叵

9

【點睛】

本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直的轉化,二面角的向量求法和空間幾何體的體積，還考查了轉化化歸的

思想和運算求解的能力，屬于難題.

J22

18.（1）證明見解析；（2）.

6

【解析】

試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設AC、BD交點為O,則以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，OP為

/軸正方向建立空間直角坐標系，可用空間向量法解決問題.（1）只要證明腦門A力=0即可證明垂直；（2）設

n+4/?：°.［了=。\‘戶『一”小一邛/1"丫二川

-4a+2"c=0［入x-y+（l-入）z=0心一）十九?42\（2）\3）UJI3J6

得M（L0,1-X）,然后求出平面MBD的法向量”，而平面ABD的法向量為。戶，利用法向量夾角與二面角相等或

互補可求得義.

試題解析：（1）連結AC、BD交于點O,以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐

標系.

因為PA=AB=>/2,

則A(L0,0),B(0,1,0),D(0,一1,0),P(0,0,1).

由BN=；BD,得N(O,；,O),

由=得

1—.(112、——

所以+AD=(-1,-1,0).

因為MMS力=0,所以MN_LAD

⑵解：因為M在PA上，可設PM=kPA,得MQ,0,1-X).

所以BM=(入,-1,1-X),BD=(0,-2,0).

設平面MBD的法向量〃=(x,y,z),

n-BD=0—2y=0

由＜.，得九x-y+(l—九)z=0

〃BM=0

其中一組解為x=N—1,y=0,z=X,所以可取〃=（九-1,0,X）.

因為平面ABD的法向量為。戶=（0,0,1）,

nn-OPJ2X1

所以85彳=「：-「L閂，即:="、，解得入=K，

4M。々2心工+屹2

從而N（0,；,0）,

考點：用空間向量法證垂直、求二面角.

19.（1）證明見解析（2）一絲g

35

【解析】

⑴解法一：作RD的中點〃，連接,FH.利用三角形的中位線證得E7/〃Ay,利用梯形中位線證得尸”〃CD,

由此證得平面4℃〃平面￡77尸，進而證得所〃平面。OC.解法二：建立空間直角坐標系，通過證明直線EE的方

向向量和平面\DC的法向量垂直，證得EF〃平面.

（2）利用平面々CN和平面法向量，計算出二面角N-qc-F的余弦值.

【詳解】

⑴法一：作q。的中點H,連接可.又E為AR的中點，L為絲。/乙的中位線，.?.￡7/〃。。，又

F為MC的中點，.?.FH為梯形DDCM的中位線，；.FHHCD,在平面ADC中，CD=D,在平面￡7"

中，四「尸"="，；?平面々DC〃平面又所u平面〃平面.

另解：(法二)?.?在長方體A3CD-ARCR中，DA,DC,兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系。一盯z如

圖所示，

則0(0,0,0),4(2,0,0),8(2,4,0),

C(0,4,0),D(0,0,2),A(2,0,2),

11

5(2,4,2),C(0,4,2),E(l,0,2),

1I

N(l,4,0),M(0,3,2),尸(04，斗

(1)設平面々DC的一個法向量為加=(x,y,z),

m-AD=0](x,y,z)?(-2,0,-2)=0[x+z=0

則〈__L_=>S=><,

m-AC=0(x,y,z)?(一2,4,—2)=0元-2y+z=0

i

令X=l,則Z=-1,y=0..?.而=(1,0,-1),又E戶=-1),

；EH=0,EF1m,又ERU平面qoc,￡F〃平面々OC.

(2)設平面ACN的一個法向量為/i=G,y,Z),

II1I

n-AN=0G,z)-(-1,4,-2)=0卜-4y+2z=0

則1n<G,y,z)?(—2,4,-2)=0=冗一2y+z=0

n-AC=0iiii，

令y=l,則z=2,x=0..\Z=(0,1,2).

同理可算得平面的一個法向量為加=(3,2,1)

11

又由圖可知二面角N-A|C-尸的平面角為一個鈍角,

故二面角-N的余弦值為_坐.

【點睛】

本小題考查線面的位置關系，空間向量與線面角，二面角等基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解

能力，數(shù)形結合思想，化歸與轉化思想.

23

20.(1)64,65；(2)—；(3)E0=12.

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質可求出。，4c,平均數(shù)，中位數(shù);

(2)設“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件A,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B，由條件概率公

P(AB)

式P(8IA)=可求出;

P(A)

(3)從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談,其中，，不合格，，的學生數(shù)為而x10=4,“合

格”的學生數(shù)為6；由題意可得&=0,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率，進而得出分布列

與數(shù)學期望.

【詳解】

由題意知，樣本容量為cm?cc=60,b=60x(0.01x20)=12,

0.005x20

1Q

0=60-6-12-24=18,c=------=0.015.

60x20

(1)平均數(shù)為(30x0.005+50x0.015+70x0.02+90x0.01)x20=64,

設中位數(shù)為％,因為0.005x20+0.015x20=0.4<0.5,0.005x20+0.015x20+0.02x20=0.8>0.5,所以

xe(60,80),則0.005x20+0.015x20+(x-60)x0.02=0.5,

解得x=65.

（2）由題意可知，分數(shù)在［60,80）內的學生有24人，分數(shù)在［80/00］內的學生有12人.設“第1次抽取的測試得分

低于80分”為事件A,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B,

24224x2346P(AB)_23

貝|JP(A)===才，P(4B)=需，所以P(8I4)=

36336x35P(A)一或

24

（3）在評定等級為“合格”和“不合格”的學生中用分層抽樣的方法抽取10人,則“不合格,，的學生人數(shù)為而x10=4,

，，合格，，的學生人數(shù)為10-4=6.

由題意可得1的所有可能取值為0,5,10,15,1.

任八o1?c3cl24小.八C2c290

P(1=0)=一U=---,尸(&=5)=..46.=---------,P(&=10)=—4_6-

C4210C4210。4210

101010

n/匕ic℃380?匕C415

%=15)=胃=麗,即=2。)=4=而

1010

所以己的分布列為

自0510151

1249