第13章根軸定義從一點(diǎn)作一圓周的任一割線，從點(diǎn)起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點(diǎn)對于這個(gè)圓周的冪①沈文君.根軸的性質(zhì)及應(yīng)用[J].中等數(shù)學(xué)，2004〔1〕：610.．①沈文君.根軸的性質(zhì)及應(yīng)用[J].中等數(shù)學(xué)，2004〔1〕：610.由相交弦定理及割線定理，知點(diǎn)的冪是定值．假設(shè)點(diǎn)在圓內(nèi)，那么點(diǎn)的冪等于以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦半弦長的平方；假設(shè)點(diǎn)在圓外，那么點(diǎn)的冪等于從該點(diǎn)所引圓周的切線長的平方；假設(shè)點(diǎn)在圓周上，那么點(diǎn)的冪等于0．由定義，關(guān)于圓周的冪有以下結(jié)論．結(jié)論1點(diǎn)對于以為圓心、以為半徑的圓周的冪，等于及半徑的關(guān)系式．結(jié)論2對于兩圓有等冪的點(diǎn)的軌跡，是一條過連心線上一定點(diǎn)且垂直連心線的直線．事實(shí)上，設(shè)點(diǎn)到圓和圓的冪相等，圓，圓的半徑分別為，〔〕，那么，即如圖13-1，設(shè)的中點(diǎn)為，于點(diǎn)，那么易得所以，過定點(diǎn)的垂線即是兩圓等冪點(diǎn)的軌跡．這條直線稱為兩圓的根軸或等冪軸．特別地，假設(shè)兩圓同心，那么．從而，同心圓的根軸不存在；假設(shè)，圓變成一點(diǎn)，那么點(diǎn)對于圓的冪是．此時(shí)，直線〔軌跡〕稱為一圓與一定點(diǎn)的根軸．根軸有下面的性質(zhì)．性質(zhì)1假設(shè)兩圓相交，其根軸就是公共弦所在的直線．性質(zhì)2假設(shè)兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點(diǎn)的公切線．性質(zhì)3三個(gè)圓，其兩兩的根軸或相交于一點(diǎn)，或互相平行．事實(shí)上，假設(shè)三條根軸中有兩條相交，那么這一交點(diǎn)對于三個(gè)圓的冪均相等，所以必在第三條根軸上，這一點(diǎn)，稱為三個(gè)圓的根心．顯然，當(dāng)三個(gè)圓的圓心的一條直線上時(shí)，三條根軸互相平行．當(dāng)三個(gè)圓的圓心不共線時(shí)，根心存在．性質(zhì)4假設(shè)兩圓相離，那么兩圓相離，那么兩圓的四套公切線的中點(diǎn)在根軸上．性質(zhì)5一點(diǎn)對于不同心兩圓、的冪為，，是這兩圓的等冪軸，于，那么．即一點(diǎn)對于不同心兩圓的冪之差等于等冪軸到該點(diǎn)的距離乘以圓心距之積的2倍．證明設(shè)于，作于，便得推論假設(shè)兩圓不同心，那么其中一個(gè)圓的任何點(diǎn)對于另一圓的冪的絕對值，必等于該點(diǎn)到等冪軸的距離乘以圓心距之積的2倍．即假設(shè)點(diǎn)在上，那么，此時(shí)．下面給出運(yùn)用上述性質(zhì)解題的例子．例1〔IMO50預(yù)選題〕的內(nèi)切圓分別與邊，切于點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)，滿足四邊形和四邊形式平行四邊形．證明：．證明如圖13-3，設(shè)的內(nèi)切圓和內(nèi)的旁切圓分別為圓和圓，圓和圓與邊分別切于點(diǎn)，，圓與直線，分別切于點(diǎn)，．由，得，．因此，對于點(diǎn)，，它們到點(diǎn)的距離等于它們向圓所引的切線段的長．從而，是點(diǎn)圓和圓的根軸．同理，是點(diǎn)圓和圓的根軸．于是，與的交點(diǎn)為圓，圓，圓的根心．所以．例2〔2007年第45屆越南數(shù)學(xué)奧林匹克題〕下底邊為〔即，且〕的梯形內(nèi)接于．是在直線上移動(dòng)的點(diǎn)，且使得不與相切．以為直徑的圓交于點(diǎn)，記與交于點(diǎn)，是與的交點(diǎn)〔〕．求證：直線通過一定點(diǎn)．證明如圖13-4，記關(guān)于的對稱點(diǎn)為．下面證明：、、三點(diǎn)共線，也就是直線通過定點(diǎn)．記以為直徑的圓為，以為直徑的圓為，注意到，那么直線、分別為與，的根軸．記以為直徑的圓為，以為直徑的圓為，注意到，那么之心啊、分別為與，的根軸．記與直線交于點(diǎn)，由，知，而，于是，知點(diǎn)在圓上，從而，直線是、的根軸．由根心定理，知三個(gè)圓、、的根軸、、交于點(diǎn)．因此，、、三點(diǎn)共線．例3〔2023年美國數(shù)學(xué)奧林匹克題〕如圖13-5，設(shè)圓和交與點(diǎn)、．過的圓心的直線交圓于點(diǎn)、，過的圓心的直線交于點(diǎn)、．證明：假設(shè)、、、四點(diǎn)共圓，那么該圓的圓心在直線上．證明設(shè)、分別為圓、的圓心，聯(lián)結(jié)，過作的垂線，過作的垂線，設(shè)與交于點(diǎn)．記過、、、的圓為，那么為的圓心．注意到、、分別為圓與，圓與，圓與的根軸．于是，直線、、共點(diǎn)，設(shè)為〔當(dāng)、、兩兩平行時(shí)，視為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)〕．由知．同理，．于是，知為的垂心〔當(dāng)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，在所在直線上〕．因此，．又為上一點(diǎn)，而．故在直線上．例4〔2006年第19屆韓國數(shù)學(xué)奧林匹克題〕在中，，的內(nèi)切圓與，，的切點(diǎn)分別為，，．記與的不同于點(diǎn)的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，，分別是與直線，的交點(diǎn)．求證：是線段的中點(diǎn)．證明如圖13-6．記過點(diǎn)且平行于的直線與過點(diǎn)且垂直的直線交點(diǎn)為，直線與的交點(diǎn)為，直線與的交點(diǎn)為．由，知，，，共線．由，知．又，知，，，，五點(diǎn)共圓．記此圓為．由，知，，，四點(diǎn)共圓，記此圓為．由根軸性質(zhì)3，知，圓，圓兩兩相交的根軸，，交于點(diǎn)，而之間與相交于，從而與重合．于是，由，有，即知．由，有，即知．注意懂啊，故，即是線段的中點(diǎn)．例5〔2007年第45屆越南數(shù)學(xué)奧林匹克題〕下底邊為〔即，且〕的題型內(nèi)接于．是在直線上移動(dòng)的點(diǎn)，且使得不與相似．以為直徑的圓交于點(diǎn)，記與交于點(diǎn)，是與的交點(diǎn)〔〕．求證：直線通過一定點(diǎn)．證明如圖13-7，記關(guān)于對稱的點(diǎn)為．下面證明：、、三點(diǎn)共線，也就是直線通過頂點(diǎn)．注意到直線是和以為直徑的圓〔記為圓〕的根軸，由于，因此直線是和以為直徑的圓〔記為圓〕的根軸．記與直線交于點(diǎn)，由，得，而，于是，知點(diǎn)在圓上，從而，直線是圓和的根軸．由根軸定理，知三個(gè)圓，，的根軸，，交于根心．因此，、、三點(diǎn)共線．例6〔2023土耳其國家隊(duì)選拔賽題〕以為圓心，為半徑的圓為四邊形的內(nèi)切圓．設(shè)，分別為與、與的交點(diǎn)，為對角線與的交點(diǎn)．證明：，其中為點(diǎn)到直線的距離．證明如圖13-8，設(shè)，，，分別為四邊形與內(nèi)切圓相切的切點(diǎn)，且分別在邊，，，上．過作于，那么在上．一方面，由牛頓定理，知與的交點(diǎn)和對角線與的交點(diǎn)重合，即與的交點(diǎn)為．另一方面，，，，和，，，分別四點(diǎn)共圓，為這兩個(gè)圓的另一交點(diǎn)，因此，直線，，分別為這兩個(gè)圓和四邊形內(nèi)切圓的根軸，從而由根軸定理，為其根心．故．例7〔2003年第29解俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克題〕如圖13-9，在銳角的邊和上各取一點(diǎn)和，四邊形的兩條對角線相于點(diǎn)．和的垂心分別為，．證明：如果直線經(jīng)過和的外接圓的交點(diǎn)，那么它必定經(jīng)過和的外接圓的交點(diǎn)．證明分別以對角、為直徑作圓和圓．設(shè)，，、分別是和的高，其中，在圓上，點(diǎn)、在圓上．于是，、、、四點(diǎn)共圓．從而，即點(diǎn)位于圓和圓的根軸上．同理，點(diǎn)也位于圓和圓的根軸上．于是，該根軸就是直線取對角線、的中點(diǎn)分別為、，那么、分別為圓、圓的圓心．根據(jù)題設(shè)，點(diǎn)位于圓和圓的根軸上，所以．〔*〕注意到同弧上的圓周角相等，有，．所以，．因此，〔*〕式中的平方差或者等于0，或者是它們的相似比的平方．假設(shè)該平行差為，有，于是，這與為銳角三角形矛盾．故該平方差相似比的平方，又由有．從而有，故，于是，知．同樣，由，，有，亦有．而，那么，即關(guān)于圓和圓的冪相等．故點(diǎn)在圓和圓的根軸上．練習(xí)十三1．從半圓上的一點(diǎn)向直徑引垂線，設(shè)垂足為，作圓分別切、、于點(diǎn)，，．求證：．2．〔1992年中國臺(tái)北數(shù)學(xué)奧林匹克〕設(shè)是的內(nèi)心，過作的垂線分別交邊，于點(diǎn)，．求證：分別與、相切于、的圓必與的外接圓圓相切．3．〔1972年全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題〕凸四邊形的兩條對角線交于點(diǎn)，和的垂心分別為和，和的重心分別為和．證明：．4．在凸五邊形中，，，為形內(nèi)一點(diǎn)，使得，．證明：．5．〔第30屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題〕設(shè)銳角的外心為，的外心為，點(diǎn)邊的中點(diǎn)，在邊，上分別取點(diǎn)，，使得．證明：．6．〔1995年第36屆IMO試題〕設(shè)，，，是一條直線上依次排列的四個(gè)不同的點(diǎn)，分別以，為直徑的圓交于和，直線交于．假設(shè)為直線上異于的一點(diǎn)，直線與以為直徑的圓交于及，直線與以Wie直徑的圓交于及．試證：，和共點(diǎn)．7．〔1998年第35屆IMO預(yù)選題〕一圓圓切于兩條平行線和；第二個(gè)圓圓切于，外切圓于；第三個(gè)圓圓切于，外切圓于，外切圓于，交于，求證：是的外心．8．〔2004~2005年第22屆伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克題〕的外接圓的圓心為，是邊的中點(diǎn)，與外接圓交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，過點(diǎn)的外接圓的切線與相交于點(diǎn)．用同樣的方式，可以構(gòu)造點(diǎn)和，證明：，，三點(diǎn)共線．9．〔2006年第9屆香港數(shù)學(xué)奧林匹克題〕凸四邊形的外接圓的圓心為，，與交于點(diǎn)，假設(shè)為四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，使得．求證：，，三點(diǎn)共線．10．〔2005年第31屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克11年級(jí)題〕非等腰銳角，，是它的兩條高，又線段與平行于的中位線相交于點(diǎn)，證明：經(jīng)過的外心和垂心的直線與直線垂直．11．〔2023年國家隊(duì)集訓(xùn)測試題〕設(shè)，分別為的邊，上點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，使得，且