第15練直線與圓[明考情]直線與圓的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的考查上，偶有單獨(dú)命題，單獨(dú)命題時(shí)難度中檔偏難.[知考向]1.直線方程.2.圓的方程.3.直線與圓的位置關(guān)系.考點(diǎn)一直線方程方法技巧(2)求解直線方程要考慮斜率不存在的情況.1.設(shè)a∈R，則“a＝－1”是“直線ax＋y－1＝0與直線x＋ay＋5＝0平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析直線ax＋y－1＝0與直線x＋ay＋5＝0平行的充要條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,5a＋1≠0，))即a＝±1，故a＝－1是兩直線平行的充分不必要條件.故選A.2.已知兩點(diǎn)A(3，2)和B(－1，4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為()A.0或－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)或－6C.－eq\f(1,2)或eq\f(1,2) D.0或eq\f(1,2)答案B解析依題意，得eq\f(|3m＋5|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋7|,\r(m2＋1)).所以|3m＋5|＝|m所以(3m＋5)2＝(m－7)2所以8m2＋所以2m2＋所以m＝eq\f(1,2)或m＝－6.3.已知點(diǎn)A(2，3)，B(－3，－2)，若直線kx－y＋1－k＝0與線段AB相交，則k的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪[2，＋∞)C.(－∞，1]∪[2，＋∞)D.[1，2]答案B解析直線kx－y＋1－k＝0恒過(guò)點(diǎn)P(1，1)，kPA＝eq\f(3－1,2－1)＝2，kPB＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4).若直線kx－y＋1－k＝0與線段AB相交，結(jié)合圖象(圖略)得k≤eq\f(3,4)或k≥2，故選B.4.若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A.3eq\r(2)B.2eq\r(2)C.3eq\r(3)D.4eq\r(2)答案A解析依題意知AB的中點(diǎn)M的集合是與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得M到原點(diǎn)的距離的最小值為eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).5.已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A.(0，1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝ax＋b))消去x，得y＝eq\f(a＋b,a＋1)，當(dāng)a＞0時(shí)，直線y＝ax＋b與x軸交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))，結(jié)合圖形知eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))＝eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)得(a＋b)2＝a(a＋1)，則a＝eq\f(b2,1－2b).因?yàn)閍＞0，所以eq\f(b2,1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考慮極限位置，即a＝0，此時(shí)易得b＝1－eq\f(\r(2),2)，故選B.考點(diǎn)二圓的方程方法技巧求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程.(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).6.已知點(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(1，＋∞)答案A解析∵點(diǎn)(1，1)在圓的內(nèi)部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.7.(2017·貴州黔東南州模擬)已知半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線x＝0和x＋y＝2eq\r(2)均相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝2C.(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D.(x－2eq\r(2))2＋(y＋2eq\r(2))2＝4答案C解析設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝4，且a>0，b<0.因?yàn)樵搱A與直線x＝0和x＋y－2eq\r(2)＝0均相切，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(|a＋b－2\r(2)|,\r(2))＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4\r(2)－2舍.))即該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4.故選C.8.圓心在曲線y＝eq\f(2,x)(x＞0)上，且與直線2x＋y＋1＝0相切的面積最小的圓的方程為()A.(x－1)2＋(y－2)2＝5 B.(x－2)2＋(y－1)2＝5C.(x－1)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y－1)2＝25答案A解析y′＝－eq\f(2,x2)，令－eq\f(2,x2)＝－2，得x＝1，平行于直線2x＋y＋1＝0的曲線y＝eq\f(2,x)(x＞0)的切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入曲線方程，得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，以該點(diǎn)為圓心且與直線2x＋y＋1＝0相切的圓的面積最小，此時(shí)圓的半徑為eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.9.已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，則圓C的方程為_(kāi)___________.答案x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)解析因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱，所以圓心C在y軸上，可設(shè)C(0，b)，設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2.依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋－b2＝r2，,|b|＝\f(1,2)r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝\f(4,3)，,b＝±\f(\r(3),3).))所以圓C的方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3).10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R答案(x－1)2＋y2＝2解析直線mx－y－2m當(dāng)圓與直線相切于點(diǎn)(2，－1)時(shí)，圓的半徑最大，此時(shí)半徑r滿足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.考點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系方法技巧研究直線與圓的位置關(guān)系的方法(1)研究直線與圓的位置關(guān)系的最基本的解題方法為代數(shù)法，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，利用函數(shù)與方程思想解題.(2)與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來(lái)處理.11.過(guò)P(2，0)的直線l被圓(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的線段長(zhǎng)為2時(shí)，直線l的斜率為()A.±eq\f(\r(2),4)B.±eq\f(\r(2),2)C.±1D.±eq\f(\r(3),3)答案A解析由點(diǎn)到直線的距離公式得，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2k－3－2k|,\r(k2＋1))＝eq\f(3,\r(k2＋1))，由圓的性質(zhì)可得d2＋12＝r2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(k2＋1))))2＋12＝9，解得k2＝eq\f(1,8)，即k＝±eq\f(\r(2),4).12.由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A.1B.2eq\r(2)C.eq\r(7)D.3答案C解析如圖所示，設(shè)直線上一點(diǎn)P，切點(diǎn)為Q，圓心為M，則|PQ|即為切線長(zhǎng)，MQ為圓M的半徑，長(zhǎng)度為1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點(diǎn)到圓心M的最小距離，設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2).所以|PM|的最小值為2eq\r(2).所以|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)≥eq\r(2\r(2)2－1)＝eq\r(7).13.已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A.5eq\r(2)－4 B.eq\r(17)－1C.6－2eq\r(2) D.eq\r(17)答案A解析兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)14.(2017·天津)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為_(kāi)_____________.答案(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1解析由y2＝4x可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因?yàn)椤螰AC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝eq\r(3)，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為eq\r(3).所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.15.(2016·全國(guó)Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.答案4解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R＝2eq\r(3)，|AB|＝2eq\r(3)，所以|OM|＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋6＝0，,x2＋y2＝12，))解得A(－3，eq\r(3))，B(0，2eq\r(3))，則AC的直線方程為y－eq\r(3)＝－eq\r(3)(x＋3)，BD的直線方程為y－2eq\r(3)＝－eq\r(3)x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，所以|CD|＝4.1.直線xcosθ＋eq\r(3)y＋2＝0的傾斜角α的取值范圍是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))解析設(shè)直線的斜率為k，則k＝tanα＝－eq\f(\r(3),3)cosθ.因?yàn)椋?≤cosθ≤1，所以－eq\f(\r(3),3)≤－eq\f(\r(3),3)cosθ≤eq\f(\r(3),3).所以－eq\f(\r(3),3)≤tanα≤eq\f(\r(3),3).①當(dāng)0≤tanα≤eq\f(\r(3),3)時(shí)，0≤α≤eq\f(π,6)；②當(dāng)－eq\f(\r(3),3)≤tanα＜0時(shí)，eq\f(5π,6)≤α＜π.故此直線的傾斜角α的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).2.已知直線過(guò)點(diǎn)P(1，5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為_(kāi)________.答案5x－y＝0或x＋y－6＝0解析設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為a.當(dāng)a＝0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn).又直線過(guò)點(diǎn)P(1，5)，所以此時(shí)直線的方程為5x－y＝0.當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(5,a)＝1，所以a＝6，所以此時(shí)直線的方程為x＋y－6＝0.綜上，所求直線的方程為5x－y＝0或x＋y－6＝0.3.已知過(guò)點(diǎn)(2，4)的直線l被圓C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦長(zhǎng)為6，則直線l的方程為_(kāi)_______________.答案x－2＝0或3x－4y＋10＝0解析當(dāng)l斜率不存在時(shí)，符合題意；當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k(x－2)＋4，C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.由題意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2－k|,\r(k2＋1))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2＝10，解得k＝eq\f(3,4)，此時(shí)l：3x－4y＋10＝0.綜上，直線l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.4.直線eq\r(2)ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)(其中a，b是實(shí)數(shù))，且△AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0，1)之間距離的最大值為_(kāi)_______.答案eq\r(2)＋1解析△AOB是直角三角形等價(jià)于圓心(0，0)到直線eq\r(2)ax＋by＝1的距離等于eq\f(\r(2),2)，由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(1,\r(2a2＋b2))＝eq\f(\r(2),2)，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－eq\f(b2,2)且b∈[－eq\r(2)，eq\r(2)].點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0，1)之間的距離為d＝eq\r(a2＋b－12)＝eq\r(\f(1,2)b2－2b＋2)，因此當(dāng)b＝－eq\r(2)時(shí)，dmax＝eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(2)＋1.解題秘籍(1)直線傾斜角的范圍是[0，π)，要根據(jù)圖形結(jié)合直線和傾斜角的關(guān)系確定傾斜角或斜率范圍.(2)求直線的方程時(shí)，不要忽視直線平行于坐標(biāo)軸和直線過(guò)原點(diǎn)的情形.(3)和圓有關(guān)的最值問(wèn)題，要根據(jù)圖形分析，考慮和圓心的關(guān)系.1.直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是()A.x＋2y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2答案D解析點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為(2－x，y)，2－x－2y＋1＝0?x＋2y－3＝0.2.已知直線l過(guò)直線3x＋4y－2＝0與直線2x－3y＋10＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線6x＋4y－7＝0，則直線l的方程為()A.2x－3y＋10＝0 B.2x－3y－10＝0C.4x－6y＋5＝0 D.4x－6y－5＝0答案A解析易知直線3x＋4y－2＝0與直線2x－3y＋10＝0的交點(diǎn)為(－2，2)，直線l的斜率為eq\f(2,3).故直線l的方程為y－2＝eq\f(2,3)(x＋2)，即2x－3y＋10＝0.3.平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是()A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B.2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D.2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0答案A解析設(shè)所求直線方程為2x＋y＋c＝0，依題意有eq\f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得c＝±5，所以所求直線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故選A.4.已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為()A.(x＋1)2＋y2＝2 B.(x＋1)2＋y2＝8C.(x－1)2＋y2＝2 D.(x－1)2＋y2＝8答案A解析根據(jù)題意直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)為(－1，0).因?yàn)閳A與直線x＋y＋3＝0相切，所以半徑為圓心到切線的距離，即r＝d＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，則圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2，故選A.5.已知圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)與直線y＝2x相交于P，Q兩點(diǎn)，則當(dāng)△CPQ的面積為eq\f(1,2)時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(10),2)C.eq\f(\r(5),4)D.eq\f(\r(10),4)答案B解析由題意得，圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)的圓心為C(a，a)，半徑r＝1，所以圓心到直線y＝2x的距離d＝eq\f(a,\r(5))，所以弦長(zhǎng)|PQ|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(a2,5))，所以△CPQ的面積為S＝eq\f(1,2)|PQ|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(1－\f(a2,5))×eq\f(a,\r(5))＝eq\f(a\r(5－a2),5)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(\r(10),2).6.已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(－3eq\r(2)，3eq\r(2)) B.(－∞，－3eq\r(2))∪(3eq\r(2)，＋∞)C.(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) D.[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]答案A解析由圓的方程可知圓心為(0，0)，半徑為2.因?yàn)閳AO上到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線l的距離d＜r＋1＝2＋1，即d＝eq\f(|－a|,\r(12＋12))＝eq\f(|a|,\r(2))＜3，解得a∈(－3eq\r(2)，3eq\r(2)).7.已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于()A.2B.4eq\r(2)C.6D.2eq\r(10)答案C解析根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解.由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，∴圓心C(2，1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.8.(2017·泉州質(zhì)檢)過(guò)點(diǎn)P(－3，1)，Q(a，0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為_(kāi)_______.答案－eq\f(5,3)解析點(diǎn)P(－3，1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－3，－1)，由題意得直線P′Q與圓x2＋y2＝1相切，因?yàn)镻′Q：x－(a＋3)y－a＝0，所以由eq\f(|－a|,\r(1＋a＋32))＝1，得a＝－eq\f(5,3).9.已知直線l過(guò)點(diǎn)(－2，0)，當(dāng)直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是________________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)))解析因?yàn)橐阎本€過(guò)點(diǎn)(－2，0)，那么圓的方程x2＋y2＝2x配方為(x－1)2＋y2＝1，表示的是圓心為(1，0)，半徑為1的圓，