第一講函數(shù)、極限§1

函數(shù)1°函數(shù)的定義因變量自變量數(shù)集D叫作這個函數(shù)的定義域,函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域,記作定的數(shù)值和它對應，則稱y是x的函數(shù),

設x和y是兩個變量,D是一個給定的數(shù)集，如果對于每個數(shù),變量y按照一定法則總有確記作2°函數(shù)的一些幾何特性(1)有界函數(shù):如果存在M>0使得則稱函數(shù)f(x)在D上有界

,否則稱函數(shù)f(x)在D上無界M-MyxOy=f(x)X注：1有界性和函數(shù)定義區(qū)間有關2函數(shù)可單邊有界，即可以

有上界或下界(2)單調(diào)函數(shù):若對任意的只要,有(或)

則稱f(x)在D上單調(diào)增加

(單調(diào)減少)若對任意的只要,有(或)

則稱f(x)在D上嚴格單調(diào)增加

(嚴格單調(diào)減少)注：函數(shù)y=c既是單調(diào)增加函數(shù)，也是單調(diào)減少函數(shù)。

但它不是嚴格單調(diào)函數(shù)。(3)函數(shù)的奇偶性:若對任一總有設函數(shù)f(x)在區(qū)間上有定義,則稱f(x)在上是偶函數(shù)

(奇函數(shù))注：定義區(qū)間一定是對稱區(qū)間。(4)周期函數(shù):設函數(shù)f(x)定義域為D,如果存在

則稱f(x)為以T為周期的周期函數(shù),T稱為f(x)的任意的總有,并且常數(shù)T>0,使對周期(這里是指最小正周期)注：1周期函數(shù)的定義域既無上界也無下界思考：是周期函數(shù)嗎？答：不是.2并非任何一個周期函數(shù)都有最小正周期.答：常量函數(shù)每一個正數(shù)都是其周期.例1下列函數(shù)是不是周期函數(shù)周期函數(shù)和或積是否為周期函數(shù)，取決于兩周期函數(shù)的周期是否有公倍數(shù)（即兩周期之比是否為有理數(shù)）解（1）的周期的周期是周期函數(shù)的周期，的周期（2）所以g(x)不是周期函數(shù)例2設f(x)與

g(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，試討論復合函數(shù)f(g(x))的奇偶性解（1）如果

g(x)為偶函數(shù)，即（2）如果

g(x)為奇函數(shù)，即

f(g(x))恒為偶函數(shù)1）若f(x)為偶函數(shù)

f(g(x))為偶函數(shù)

f(g(x))為奇函數(shù)2）若f(x)為奇函數(shù)3°反函數(shù)、復合函數(shù)（1）反函數(shù)

設y=f(x)的定義域為D，值域為W.若對W中任意y，通過y=f(x)確定D

中唯一的x值與其對應,得到一個

新的函數(shù)，我們把這個新的函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù)，記作

習慣上常將y=f(x)的反函數(shù)，記為注1y=f(x)與的圖象關于y=x

對稱2若y=f(x)在D上嚴格單調(diào),則在f(D)上y=f(x)存在嚴格單調(diào)(具有相同單調(diào)性)的反函數(shù)。（2）復合函數(shù)設函數(shù)y=f(u),u

U;u=g(x),x

X,若g(X)∩U

Φ,則稱函數(shù)是由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復合而成的復合函數(shù)

,變量u

稱為中間變量

4°分段函數(shù)，初等函數(shù)，積分上限函數(shù)（1）分段函數(shù)在定義域的不同區(qū)域上用不同表達式表出的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

（2）初等函數(shù)1)基本初等函數(shù):

常數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)2）初等函數(shù)：基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合運算能用一個解析式子表示的函數(shù).（3）變上限積分函數(shù)說明：用方程、極限、導數(shù)、無窮級數(shù)也可表示函數(shù)（4）原函數(shù)若F(x)為連續(xù)函數(shù)f(x)的原函數(shù)，可以用變上限函數(shù)表示例3求函數(shù)的反函數(shù)解當x>0時，

反函數(shù)當x<0時，

反函數(shù)

反函數(shù)§2

極限1°極限的定義則稱常數(shù)

A

為函數(shù)f(x)當時的極限，

總有存在常數(shù)A,當時，記作設函數(shù)f(x)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義。如果

注：類似可以給出其他情形時極限的定義，包括

數(shù)列的極限。當時,有當時,有當時,有右極限:左極限:極限存在的充要條件例4數(shù)列不收斂于a

的充要條件是(A)對于任給的ε>0,滿足的只有有限項(B)對于任給的ε>0,總有相應的項,(C)存在某個正數(shù),除有限項外,都有(D)存在某個正數(shù),有無限多項滿足解選(D)2°極限的性質(zhì)(1)極限的唯一性若,則極限唯一。(2)極限的有界性若,則存在使f(x)在上有界(局部有界性)函數(shù)極限:數(shù)列極限:若,則是有界數(shù)列(整體有界性)(3)極限的局部保號性

若當時,有（或f(x)<0)注:

性質(zhì)(3),(4)常用于證明題；但結(jié)論反過來不成立(4)極限的局部保序性若,且A<B,則存在δ>0,當時,有f(x)<g(x)(5)極限的幾個等價關系(證明題、計算極限）1)（常被用來討論分段函數(shù)在分段點處的極限）2)3)(6)極限的四則運算法則如果，則有1）2）3）例5已知求a,b.解原式解得此時例6求解由例7若計算解所以例8證明不存在.證

取兩個趨于0的數(shù)列及有所以不存在.二者不相等,(7)極限存在的判定準則(a)單調(diào)有界準則：(b)夾逼定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果數(shù)列滿足注：函數(shù)極限有類似的夾逼定理例9設,且求分析易知{xn}的單調(diào)性如何？≤0？關鍵：證1°有界性易知2°單調(diào)性得即例10求解設，則由及夾逼定理得原極限解即而所以例11求極限(8)重要極限1)2)例12已知,求常數(shù)a

解

例13若，問a為何值時，存在且極限值為多少？解為使極限存在即此時§3

無窮小與無窮大1°無窮小與無窮大(1)無窮小(量):若,則稱在此極限過程中,

f(x)是一無窮小(量)

(2)無窮大(量):若,則稱在此極限過程lim

中,f(x)是一無窮大(量)

無窮小量和無窮大量一定與自變量的某個變化過程相聯(lián)系的；注:20是無窮小量；4若則(無窮大的倒數(shù)是無窮小)3無窮大是無界量，但無界函數(shù)未必是無窮大；1)有限個無窮小的和是無窮小2)常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小3)有限個無窮小的乘積是無窮小2°無窮小的運算性質(zhì)3°無窮大的運算性質(zhì)(a)若則(b)若(可為

),則例14設數(shù)列和滿足則下列斷言正確的是(A)若發(fā)散,則必發(fā)散(B)若無界,則必有界(C)若有界,則必為無窮小(D)若為無窮小,則必為無窮小解(A)反例，而(B)反例(C)反例(D)正確令，則所以選(D)設1)若則稱α(x)是β(x)高階無窮小

,記為2)若則稱α(x),β(x)在該趨限過程中是同階無窮小

,記為3)若則稱α(x),β(x)在該趨限過程中是等價無窮小

,記為4°無窮小的階4)若則稱α(x)為k

階無窮小

若且存在，則5°利用等價無窮小代換求極限注：不能濫用等價無窮小代換.在用等價無窮小代換時，要用與分子或分母整體等價的無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小,一般不能分別代換.

即遇無窮小“+”,“

”時,一般不能代換；a°b°遇無窮小乘積時，可用各無窮小的等價無窮小進行代換.6°常用等價無窮小7°洛比塔法則設f(x),g(x)在上可導,且則說明:(1)將x→a

換成結(jié)論繼續(xù)成立(2)若不存在,對原極限無明確結(jié)論.(3)其余的五種不定型:可化為或的不定型來處理例15計算極限解原式例16計算極限解原式例17設f(x),g(x)在x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)且x→0時,f(x)是

(x)的高階無窮小,則x→0時,

是的()無窮小(A)低階(B)高階(C)同