專題7.3平行線中的折疊問題1．如圖，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，已知，則的度數(shù)等于A． B． C． D．【解答】解：由折疊的性質(zhì)，可知：，．，，．在中，，．故選：．2．如圖，，垂足為，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部的位置，則的值為A． B． C． D．【解答】解：，，，，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，，，，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，，，故選：．3．如圖，是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)、分別是邊上的兩點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則，和的關(guān)系是A． B． C． D．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，，．，，．在中，，，，．故選：．4．如圖，把沿翻折，疊合后的圖形如圖，若，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：沿翻折，，，，，，，，，，，故選：．5．如圖，將矩形紙帶沿直線折疊，，兩點(diǎn)分別與，對應(yīng)．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知：，，，設(shè)，則，，，，，故選：．6．如圖，將矩形紙條折疊，折痕為，折疊后點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處，與交于點(diǎn)．已知，則的度數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：矩形紙條中，，，，由折疊可得，，故選：．7．如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接，平分，平分，，，，，，，，，，平分，平分，平分，，，．故選：．8．如圖，將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處．若，則的大小為A． B． C． D．【解答】解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，．故選：．9．如圖，把一張長方形紙片沿折疊，若，則A． B． C． D．【解答】解：長方形紙片沿折疊，，，，四邊形是長方形，，．故選：．10．如圖，中，，沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若，則等于A． B． C． D．【解答】解：中，，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，故選：．11．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿折疊至位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：由題意得，，，，，，，沿折疊至位置，，故選：．12．如圖，將長方形紙片沿折疊，使點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：由折疊得：，，，設(shè)，則有，，，解得：，則．四邊形是長方形，，，．．故選：．13．如圖，把沿對折，折疊后的圖形如圖所示，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：，，，把沿對折，，，，，故選：．14．如圖，把的一角折疊，若，則A． B． C． D．【解答】解：如圖，把的一角折疊，，，，，，，，，，故選：．15．如圖，將一角沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則A． B． C． D．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，．故選：．二．解答題（共15小題）16．一個(gè)三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．（點(diǎn)在的內(nèi)部）（1）如圖1，若，則90．（2）利用圖1，探索，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，把折疊后，平分，平分，若，利用（2）中得出的結(jié)論求的度數(shù)．【解答】解：（1）點(diǎn)沿折疊落在點(diǎn)的位置，，，，，在中，，，整理得；故答案為：90；（2），理由：、是的兩個(gè)外角，，，，，即；（3）由（1），得，，平分，平分，．，．17．如圖1，是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)、分別是邊上的兩點(diǎn)，沿直線折疊三角形紙片．（1）如果折成圖1的形狀，求與的關(guān)系；（2）如果折成圖2的形狀，猜想、和的關(guān)系，并說明理由；（3）如果折成圖3的形狀，直接寫出、和的關(guān)系．【解答】解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，；（2），理由如下：，，，，△是由沿直線折疊而得，，；（3），理由如下：設(shè)交于點(diǎn)，，，，，△是由沿直線折疊而得，，．18．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，，，則．由此發(fā)現(xiàn)：與、的數(shù)量關(guān)系是．用語言敘述為：三角形一個(gè)外角等于．（2）結(jié)論運(yùn)用如圖2，中，，沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．若，求的度數(shù)．【解答】解：（1），，．．故答案為：，，它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）沿折疊得到，．．．19．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖方式折疊放在一起（其中，，，（1）①若，則的度數(shù)為；②若，求的度數(shù)為．（2）由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）現(xiàn)固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線上方，使兩塊三角尺有一組邊互相平行，請直接寫出所有滿足條件的的度數(shù)．【解答】解：（1）①，，，；②，，，；（2）；理由如下：，；（3）存在，當(dāng)時(shí)，，理由如下，如圖1所示：，，，；當(dāng)時(shí)，，理由如下，如圖2所示：，，，又，；當(dāng)時(shí)，，理由如下，如圖3所示：，，又，，；當(dāng)時(shí)，，理由如下，如圖4所示：，，，，；當(dāng)時(shí)，．理由如下：延長交于，如圖5所示：，，，，，，．20．探究題（1）如圖1，與有什么關(guān)系？為什么？（2）把圖1中沿折疊，得到圖2，填空：（填“”“”“”，當(dāng)時(shí)，．（3）如圖2，是由圖1的沿折疊得到的，如果，則，猜想：與有什么關(guān)系？為什么？【解答】解：（1）結(jié)論：．理由：根據(jù)三角形內(nèi)角是，可知：，，．（2），；當(dāng)時(shí)，；（3），如圖，延長交的延長線于．，，，，與的關(guān)系為：．故答案為：（2），；（3）．．21．在三角形紙片中，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，若，；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在內(nèi)部時(shí)，且，，求的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在外部時(shí)，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1），，由折疊得：，，，故答案為：；（2），，，，由折疊得：，，，的度數(shù)為；（3）如圖：設(shè)，，，，由折疊得：，，，與，之間的數(shù)量關(guān)系：．22．（1）如圖1，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，試探索與的關(guān)系．（不必證明）．（2）如圖2，平分，平分，把折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，在銳角中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，把折疊使點(diǎn)和點(diǎn)重合，試探索與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）；（2）由（1），得，平分，平分，，，；（3），，，，，由（1）知，，．23．如圖，在折紙活動(dòng)中，小李制作了一張的紙片，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿著折疊壓平，與重合．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．【解答】解：（1），．（2）△是翻折變換而成，，，，，，．解法二：連接．，，，，24．如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，，將沿折疊得到，與交于點(diǎn)．（1）填空：110度；（2）求的度數(shù)．【解答】解：（1）沿折疊得到，，，，；故答案為110．（2），，，沿折疊得到，，．25．如圖，將折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．（1）若，，求；（2）探究，與之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1），，，，由翻折的性質(zhì)，，，在中，；（2），，由翻折的性質(zhì)，，，在中，，，，所以，．26．【問題探究】將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的邊上時(shí)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部時(shí)，求證：；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的外部時(shí)，探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；【拓展延伸】（4）如圖4，若把四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)、落在四邊形的內(nèi)部點(diǎn)、的位置，請你探索此時(shí)，，，之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說明理由．【解答】解：（1）如圖1，．理由如下：由折疊知識(shí)可得：；，；（2）如圖2，．理由如下：，，，由折疊知識(shí)可得：，；（3）如圖3，，理由：，，，，，；（4），理由：，，，，，．27．如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，，將沿折疊得到，與交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．【解答】解：（1）沿折疊得到，，，，；（2），，，，沿折疊得到，，．28．如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張的紙片，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿著折疊壓平，與重合，若，求的度數(shù)．【解答】解：△是翻折變換而成，，，，，．解法二：連接．，，，．2