2022~2023學(xué)年第一學(xué)期1月高三年級(jí)綜合練習(xí)數(shù)學(xué)2023.1注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1．本卷共6頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）?多項(xiàng)選擇題（第9題~第12題）?填空題（第13題~第16題）?解答題（第17題~第22題）．本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘，考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名?調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡．上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效．作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚．一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先通過對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合B，進(jìn)而求出交集.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.2.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出等式右側(cè)復(fù)數(shù)的模，然后表示出復(fù)數(shù)z，再化簡(jiǎn)變形求得結(jié)果.【詳解】由已知，可得，∴.故選：C．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】用和差角公式展開,求得后再算即可.【詳解】由有,故,合并同類型有,顯然,所以,故故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,包括和差角公式與二倍角公式等,屬于中等題型.4.若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.【詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.5.已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A.－4 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集求出的值和的取值范圍，在代入中利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出它的最小值.【詳解】由的解集為，則，且，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以的最小值為5.故選：C6.2020年1月11日，被譽(yù)為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡通過國家驗(yàn)收正式開放運(yùn)行，成為全球口徑最大且最靈敏的射電望遠(yuǎn)鏡(簡(jiǎn)稱FAST)．FAST的反射面的形狀為球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圓為球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段為球冠的高．某科技館制作了一個(gè)FAST模型，其口徑為5米，反射面總面積為平方米，若模型的厚度忽略不計(jì)，則該球冠模型的高為（）(注：球冠表面積，其中R是球的半徑，是球冠的高)A.米 B.米C. D.【答案】B【解析】【分析】作出軸截面圖形，可以球的幾何性質(zhì)以及球冠的表面積，列出方程組，求解即可．【詳解】如圖所示為球的軸截面圖像，ACD部分為該球冠的軸截面，是弦，是球的半徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則于點(diǎn)，由題意可得，，，，所以，，在中，由勾股定理可得①，又由球冠的表面積可得，②，由①②可得，，所以該球冠模型的高為米．故選：B．7.已知,,,則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,分別判斷與特殊值之間的大小關(guān)系,再構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性后,將分別帶入,進(jìn)行化簡(jiǎn)即可判斷與1的大小關(guān)系,即可得出結(jié)果.【詳解】解:由題知上單調(diào)遞增,所以,由于在上單調(diào)遞減,所以,設(shè),所以故在上,,單調(diào)遞增,在上,,單調(diào)遞減,故,即,化簡(jiǎn)可得:,即,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,故綜上:故選:A8.已知偶函數(shù)滿足且，當(dāng)時(shí),，關(guān)于的不等式在上有且只有200個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷f（x）在（0，8）上的單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，再根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在（0，4）上有2個(gè)整數(shù)解，從而得出a的范圍．【詳解】當(dāng)0＜x≤4時(shí)，f′（x）=，令f′（x）=0得x=，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，4）上單調(diào)遞減，∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（x+4）=f（4﹣x）=f（x﹣4），∴f（x）的周期為8，∵f（x）是偶函數(shù)，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200個(gè)整數(shù)解，∴不等式在（0，200）內(nèi)有100個(gè)整數(shù)解，∵f（x）在（0，200）內(nèi)有25個(gè)周期，∴f（x）在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，顯然f（x）＞0在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有7個(gè)整數(shù)解，不符合題意；（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，顯然f（x）＜0在區(qū)間（0，8）上無解，∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4個(gè)整數(shù)解，∵f（x）在（0，8）上關(guān)于直線x=4對(duì)稱，∴f（x）在（0，4）上有2個(gè)整數(shù)解，∵f（1）=ln2，f（2）==ln2，f（3）=，∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整數(shù)解為x=1，x=2．∴≤﹣a＜ln2，解得﹣ln2＜a≤﹣．故答案為：D【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.（2）解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是分析出函數(shù)f(x)的周期性和對(duì)稱性，f（x）在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解.其二是對(duì)a分類討論，得到a的取值范圍.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，選錯(cuò)或不答的得0分．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列說法中正確的有（）A. B.C. D.的方差為2【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意得出，結(jié)合正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)判定，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，即此正態(tài)分布的圖象關(guān)于對(duì)稱，由對(duì)稱性可知，所以，故A正確；因?yàn)楹完P(guān)于對(duì)稱，而和不關(guān)于對(duì)稱，由對(duì)稱性可知，，故B正確，C錯(cuò)誤；的方差為4，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.已知向量，則（）A. B.向量在向量上的投影向量是C. D.與向量方向相同的單位向量是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A；利用向量數(shù)量積的幾何意義可判斷B；利用向量模的坐標(biāo)表示可判斷C；根據(jù)向量方向相同的單位向量可判斷D.【詳解】由向量A，，所以，所以，故A正確；B，向量在向量上的投影向量為，故B錯(cuò)誤；C，，所以，故C正確；D，與向量方向相同的單位向量，故D正確.故選：ACD11.已知圓C：點(diǎn)P在直線l：上運(yùn)動(dòng)，以線段PC為直徑的圓D與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l與圓相離 B.圓D的面積的最小值為C.弦長(zhǎng)的最大值為2 D.直線AB過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑1的大小關(guān)系可判斷A；設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，從而可得半徑的最小值，可判斷B；結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，可表示圓的方程，再求出相交弦的直線方程，從而可判斷D；根據(jù)圓直徑為2，弦不過圓心，所以小于2，可判斷C.【詳解】解：由題設(shè)得圓的圓心，半徑為1，對(duì)于選項(xiàng)A：圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由于點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則圓的圓心，所以圓的半徑，故當(dāng)時(shí)半徑有最小值，所以圓的面積的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由上面的B選項(xiàng)可知圓的方程為，將圓的方程與圓的方程相減可得相交弦的直線方程為：，整理得，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由C得，弦的直線方程為：，若弦過圓心，則，方程無解，所以弦不過圓心，從而小于圓直徑，圓直徑為2，故C錯(cuò)誤．故選：ABD．12.在三棱錐中，已知，，，平面平面ABC，且，則（）．A.B.平面平面ABCC.三棱錐的體積為D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABC【解析】【分析】通過證明平面來判斷AB選項(xiàng)的正確性；通過計(jì)算三棱錐的體積來判斷C選項(xiàng)的正確性；求出三棱錐的外接球的表面積來判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，過D作于E．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，所以平面ABC，所以，假設(shè)DB，DE不重合，因?yàn)椋云矫鍰BC，所以，這樣與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，所以，由于平面，所以平面平面ABC，所以A，B正確；三棱錐的體積為，所以C正確；設(shè)三角形ABC的外心為F，外接圓半徑為，過F作平面ABC，設(shè)O為外接球的球心，則，，所以，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以D不正確．故選：ABC三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為____________．【答案】5【解析】【分析】將化為，利用二項(xiàng)式系數(shù)結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，求得答案.【詳解】因，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：514.如圖，在梯形中，，，，，，如果，則________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以考點(diǎn)：向量數(shù)量積15.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和三角恒等變換將題干中等式化簡(jiǎn)求得角B，再根據(jù)的外接圓的面積求得其直徑，代入三角形面積公式中，化為三角函數(shù)求其值域即可.【詳解】由∴得，所以，因?yàn)樗?，所以，而，所以．又由的外接圓的面積為，所以外接圓直徑，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，的面積取值范圍為．故答案為：.16.參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個(gè)想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn).他在家里做了個(gè)探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個(gè)籃球，若籃球的半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度，在球的右上方有一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則這個(gè)影子橢圓的離心率______.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為設(shè),由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）則，又設(shè)直線PN的方程為由到直線PN的距離為1，得，整理得則，又，故則直線PN的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率故答案為：【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。四?解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求得；（2）由錯(cuò)位相減法求出．【小問1詳解】因?yàn)樵跀?shù)列中，，所以．因?yàn)椋?，即．又因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】由（1）得，所以，①，②由①-②，得，所以．18.為進(jìn)一步推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)健康有序發(fā)展，財(cái)政部、工業(yè)和信息化部、科技部，發(fā)展改革委聯(lián)合發(fā)布了《財(cái)政部工業(yè)和信息化部科技部發(fā)展改革委關(guān)于2022年新能源汽車推廣應(yīng)用財(cái)政補(bǔ)貼政策的通知》，進(jìn)一步明確了2022年新能源汽車推廣應(yīng)用財(cái)政補(bǔ)貼政策有關(guān)要求.為了解消費(fèi)者對(duì)新能源汽車的購買意愿與財(cái)政補(bǔ)貼幅度的關(guān)系，隨機(jī)選取200人進(jìn)行調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計(jì)表：愿意購買新能源汽車不愿意購買新能源汽車購買時(shí)補(bǔ)貼大于1.5萬6535購買時(shí)補(bǔ)貼不大于1.5萬4555（1）能否有95%的把握認(rèn)為新能源汽車的購買意愿與購買時(shí)財(cái)政補(bǔ)貼幅度有關(guān)？（2）若從購買時(shí)補(bǔ)貼大于1.5萬的樣本中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，從這20人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查家族收入情況，記表示這3人中愿意購買新能源汽車的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有95%的把握認(rèn)為新能源汽車的購買意愿與購買時(shí)財(cái)政補(bǔ)貼幅度有關(guān)（2）分布列見解析，的數(shù)學(xué)期望為人【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算卡方并比較即可；（2）先計(jì)算出在愿意購買新能源汽車的人中抽取13人，在不愿意購買新能源汽車的人中抽取7人，結(jié)合超幾何分布相關(guān)知識(shí)求解概率與期望即可.【小問1詳解】2×2列聯(lián)表如下：愿意購買新能源汽車不愿意購買新能源汽車合計(jì)大于1.5萬6535100不大于1.5萬4555100合計(jì)11090200可得，所以有95%的把握認(rèn)為對(duì)新能源汽車的購買意愿與購買時(shí)財(cái)政補(bǔ)貼幅度有關(guān).【小問2詳解】依題意，分層隨機(jī)抽樣的抽樣比為，則有，，所以在愿意購買新能源汽車的人中抽取13人，在不愿意購買新能源汽車的人中抽取7人，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123故（人），所以的數(shù)學(xué)期望為人.19.如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂場(chǎng)，游樂場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)，的圖像，圖像的最高點(diǎn)為．邊界的中間部分為長(zhǎng)千米的直線段，且．游樂場(chǎng)的后一部分邊界是以為圓心的一段圓弧．（1）求曲線段函數(shù)表達(dá)式；（2）曲線段上的入口距海岸線最近距離為千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口修一條筆直的景觀路到，求景觀路長(zhǎng)；（3）如圖，在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時(shí)的值．【答案】（1）（2）（3）最大值為，此時(shí).【解析】【詳解】試題分析：（1）求函數(shù)的解析式時(shí)，比較容易得出，困難的是確定待定系數(shù)的值，常用如下方法:一是由即可求出的值；確定的值，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)，則令（或），即可求出；二是代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出，若對(duì)的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸螅瑒t可利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變換使其符合要求；（2）運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對(duì)性，要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用；重視三角函數(shù)的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等，適當(dāng)選擇公式進(jìn)行變形；（3）把形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值和對(duì)稱性.試題解析：解：（1）由已知條件，得1分[又∵2分又∵當(dāng)時(shí)，有2分∴曲線段的解析式為．1分（2）由得2分又2分1分∴景觀路長(zhǎng)為千米1分（3）如圖，1分作軸于點(diǎn)，在中，1分在中，1分∴1分1分2分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，平行四邊形面積最大值為1分考點(diǎn)：1、根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)解析式；2、三角函數(shù)化簡(jiǎn)；3、求三角函數(shù)的最值.20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．（1）求證：PA∥平面MBD；（2）若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求的兩平面的法向量，由向量夾角的計(jì)算公式，可得答案.【小問1詳解】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，可知O為AC中點(diǎn)，M為PC中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PA，且平面，平面，所以PA∥平面MBD.【小問2詳解】由題意可得平行四邊形ABCD為菱形，建立如圖坐標(biāo)系，如下圖：在菱形ABCD，AB=AD=2，∠BAD=120°，，所