2023人教版新教材高中數(shù)學必修第一冊

4.5函數(shù)的應用(二)

4.5.1函數(shù)的零點與方程的解

基礎過關練

題組一求函數(shù)的零點

1.已知函數(shù)f(x)=［打:;廣+、1則函數(shù)f(x)的零點為()

(1+log2x,X>1,

1

OCO

-D.

2J

2.(多選)下列函數(shù)中不存在零點的是()

2

A.y=x--XB.y=V2x-x+1

「[X+1,X<0(X+l,x>0

C-ynx-l,x>0nD-y=L-l,x<0

3.若函數(shù)f(x)=x2-ax-b的兩個零點是2和3,則函數(shù)g(x)=bx"axT的零點

是?

題組二判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間

4.(2022河北唐山期末)函數(shù)f(x)=e'+2x-3的零點所在的區(qū)間為()

5.(2022湖南長沙期末)設函數(shù)f(x)qx-Inx(x>0),則f(x)()

A.在區(qū)間(e;l),(l,e)內均有零點

B.在區(qū)間(e，l),(l,e)內均無零點

C.在區(qū)間(e,1)內無零點,在區(qū)間(1,e)內有零點

D.在區(qū)間(e,1)內有零點,在區(qū)間(1,e)內無零點

6.(2022天津耀華中學期末)函數(shù)f(x)=lnx-3的零點所在的區(qū)間是()

|x-lI

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

題組三判斷函數(shù)的零點個數(shù)

7.對于函數(shù)f(x),若f(-1)f(3)<0,則()

A.方程f(x)=0一定有實數(shù)解

B.方程f(x)=0一定無實數(shù)解

C.方程f(x)=0一定有兩個實數(shù)解

D.方程f(x)=0可能無實數(shù)解

8.函數(shù)f(幻=/-(3”的零點個數(shù)為.

4

9.已知函數(shù)f(x)42:。和函數(shù)g(x)=log2x,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)

的零點個數(shù)是.

題組四根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍

10.(2022河南南陽一中月考)已知方程x2+ax-l=0在區(qū)間［0,1］上有解,則實數(shù)a

的取值范圍是.

11.已知函數(shù)f(x)=lnx-m的零點位于區(qū)間(1,e)內，則實數(shù)m的取值范圍

是.

_x>2

12.已知函數(shù)f(x)=x''若關于x的方程f(x)=k有三個不同的實根，則

.(x-1)2,X<2,

實數(shù)k的取值范圍是.

logi(x+1),x￡(-1,3),

13.若f(x)=2f(x)-m=0有兩個不同的零點，則m的取值范

、%-5,%￡［3,+8),

圍為?

能力提升練

題組一函數(shù)的零點與方程的解

1.(2020山東泰安期末)函數(shù)f(x)=(x+l)x+x(xT)+(x+l)(x-1)的兩個零點分別位

于區(qū)間()

A.(―1,0)和(0,1)內

B.(-°°,-1)和(-1,0)內

C.(0,1)和(1,+8)內

D.(-8,-1)和(1,+OO)內

2.(多選)設實數(shù)a,b,c滿足ea=lnb=l-c,則下列不等式可能成立的有()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

3.(2020湖北宜昌一中期中)已知奇函數(shù)f(x)=Ur+a(aW0),則方程f(x)[的解

3-16

為X=.

4.(2022北京清華大學附屬中學期中)方程x+2=2的根為a,方程x+log2x=2的根

為b,則a+b=.

題組二判斷函數(shù)的零點個數(shù)

Ilog2(x+1)|,xG(-1,3),

5.若f(x)=4二「Q、

t，x￡[3,+8),

則函數(shù)g(x)=f[f(x)]T的零點個數(shù)為()

A.1B.3C.4D.6

6.已知函數(shù)f(x)+1j”<卜則函數(shù)g(x)=(x-2)f(x)-2x+l的零點個數(shù)

為.

題組三根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍

—%2—2xxv0

7.(2022廣東惠州惠陽中山中學期末)已知函數(shù)f(x)=]0g]x',xMo：若函數(shù)

g(x)=f(x)+l-m有4個零點，則m的取值范圍為()

A.(0,1)B.(-1,0)

C.(1,2)D.(2,3)

8.(2022河北邯鄲期末)設函數(shù)f(x)=["°g26<-1)L1<X<3,若關于乂的方程

1(%-4)',x>3,

[f(x)]2=(a+l)f(x)-a有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,1)B.[l,+oo)

C.[0,+oo)D.(0,1)

|log2x|,0<x<2,

9.(2022山西太原五中月考)已知函數(shù)f(x)=i28r若函數(shù)

-Xz--x+5,x>2,

g(x)=f(x)-m存在四個不同的零點Xi,x2,x3,x4,則X1+X2+X3+X4的取值范圍

是?

10.(2022山東滕州一中月考)已知f(x)是定義在(-8,o)U(0,+8)上的奇函數(shù),

且當x>0時,f(x)=R°jg(x)=f(x)-a.

kx-5\-l,x>2,

(1)若函數(shù)g(x)恰有三個不相同的零點,求實數(shù)a的值；

⑵記h(a)為函數(shù)g(x)的所有零點之和.當時,求h(a)的取值范圍.

答案全解全析

基礎過關練

x

1.D當xWl時，令2-l=0,得x=0;當x>l時，令l+log2x=0,得x=2(舍去).綜上所

述，函數(shù)f(x)的零點為0.故選D.

2.BDA選項中，令y=0,解得x=±1,故T和1是函數(shù)y=x△的零點；

X

B選項中，令y=0,得2x-x+l=0,因為A=(-l)-4X2Xl=-7<0,所以函數(shù)

y=，2%2-x+1無零點;

C選項中，令y=0,解得x=±l,故T和1是函數(shù)"的零點；

D選項中，令y=0,無解,故函數(shù)y=[%[1'°,無零點.故選BD.

3.答案

解析函數(shù)￡&)=乂2_*4)的零點是2和3,由函數(shù)的零點與方程的根的關系，知方

程x'-ax-b=0的兩根為2和3,則由根與系數(shù)的關系得a=2+3=5,-b=2X3=6,即b=-6.

所以g(x)=-6x2-5x-l,

令g(x)=0,解得x=q或x=q,

故g(x)的零點為弓q.

4.C易知函數(shù)f(x)=ex+2x-3在R上單調遞增，因為f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷

的曲線，且f(3=￡-2<0,fQ)=e^-|>0,

所以函數(shù)f(X)的零點在區(qū)間G，m內，故選C.

5.C令f(x)=0,得[x=lnx,在同一直角坐標系中作出函數(shù)y[x和y=lnx的圖象,

如圖所示,

根據(jù)圖象可知，f(x)在區(qū)間(e,1)內無零點,在區(qū)間(1,e)內有零點,故選C.

6.Bf(x)的定義域為{x|x>0且xWl},

當x￡(0,1)時，f(x)=lnX--<0恒成立,不存在零點,排除D;

\x-lI

當x￡(l,+8)時，f(x)=lnx-三，易知f(x)在該區(qū)間上單調遞增，

X-1

又f⑵=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,f(x)在(1,+8)上的圖象連續(xù)不斷，

...f(x)的零點所在的區(qū)間是⑵3).故選B.

解題模板判斷函數(shù)零點所在區(qū)間，要根據(jù)函數(shù)解析式,綜合運用f(x)的值域、單

調性,結合函數(shù)零點存在定理進行判斷.

7.D,函數(shù)f(x)的圖象在(-1,3)上未必連續(xù)，由f(T)f(3)<0不一定能得出

函數(shù)f(x)在(-1,3)上有零點，即方程f(x)=0可能無實數(shù)解.

8.答案1

解析令f(x)=%5-0=0,貝!.在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=%5和

y=(￡f的圖象，如圖所示，

由圖可知,兩函數(shù)圖象的交點只有一個,所以f(x)的零點個數(shù)為1.

9.答案3

解析在同一平面直角坐標系中作出y=g(x)與y=f(x)的圖象如圖,

由圖知f(x)與g(x)的圖象有3個交點，故h(x)有3個零點.

10.答案［0,+8)

解析令f(x)=x2+ax-l,由A=a+4>0及f(0)=-1<0知f(x)=0在［0,1］上有解時,

f⑴20,即a》0.

一題多解解決含參函數(shù)存在零點的問題,一般可先采用變量分離,再將問題轉

化為函數(shù)的值域問題加以解決.

當x=0時，T=0,不成立,故x#0,所以0<xWl,則有a=^-=--x,令

XX

g(x),-x(O〈xWl),易得g(x)為減函數(shù),所以g(x)⑴=0,所以a20.

X

11.答案(0,1)

解析解法一：因為函數(shù)f(x)=lnx-m在(1,e)上單調遞增,且圖象連續(xù)不斷,所以

f(1),f(e)<0,所以m(m-l)<0,故mG(0,1).

解法二：令f(x)=lnx-m=O,得m=lnx,

因為xe(l,e),所以InxG(0,1),故(0,1).

12.答案(0,1)

解析作出函數(shù)f(x)的圖象和直線y=k，如圖所示.

當kG(0,1)時，函數(shù)f(x)的圖象和直線y=k有三個交點,所以k￡(0,1).

13.答案(-2,+8)

解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖.

若f(x)-m=o有兩個不同的零點，則函數(shù)y=f(x)和y=m的圖象有兩個交點,結合f(x)

的圖象可知，當m>-2時一,兩函數(shù)圖象有兩個交點.故m的取值范圍為(-2,+-).

能力提升練

1.Af(x)-(x+1)x+x(x-l)+(x+l)(x-l)=3X2-1,

令f(x)=O,解得x=±f,

-1,0),日￡(0,1),故選A.

2.BC在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=e*,y=lnx,y=l-x的圖象，如圖,

根據(jù)圖象可知，當e"=lnb=l-c￡(0,1)時,a<c<b,當e&=lnb=l-c>l時,c〈a〈b;當

ea=lnb=l-c=l時，a=c<b.

故選BC.

3.答案log34

解析由f(x)是奇函數(shù)知f(x)+f(-x)=0,

即京+a+；^+a=O,化簡得2a-l=0,解得a=1,因此f(x)=^—

3i23"-12

令一一+*即3=4,

3X-126

解得x=log34.

故f(x)=：的解為x=log4.

63

4.答案2

解析方程x+2，=2的根為a,即函數(shù)y=2'和y=2-x的圖象的交點的橫坐標為a.

方程x+log2x=2的根為b,即函數(shù)y=log2x和y=2-x的圖象的交點的橫坐標為b.

在同一坐標系中畫出函數(shù)y=2",y=log2x,y=2-x的圖象,如圖所示.

結合圖象易知點A,B關于直線y=x對稱，

所以A(a,b),B(b,a),

又點A在直線y=2-x上，

所以b=2-a,即a+b=2.

5.C令f(x)=l,當xG(-1,3)時，|log2(x+l)|=1,解得xi=-1,X2=l;當xe[3,+8)

時，二=1,解得X3=5.作出y=f(x)的圖象如圖所示.

由圖象可得f(x)=g無解,f(x)=l有3個解,f(x)=5有1個解，因此函數(shù)

g(x)=f[f(x)]-l的零點個數(shù)為4.故選C.

6.答案3

解析由g(x)=(x-2)f(x)-2x+l=0,g(2)=-3WO,得f(x)二空^=2+2,作出函數(shù)

x-2x~2

y=f+—“<+與y=2+三的圖象,如圖所示，

(%2-4X+2,x>1工-2

兩個函數(shù)圖象共有3個交點,故函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為3.

7.C令g(x)=f(x)+l-m=0,則f(x)=mT,在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=f(x)和

y=m-l的圖象,則兩圖象有4個交點，

所以0<m-l<l,即l<m<2.故選C.

&D作出函數(shù)Mx**：廣x<3的圖象如圖.

在方程[f(x)]2=(a+1)f(x)-a中，令t=f(x),

則t2-(a+l)t+a=(t-l)(t-a)=O,此方程的根為1,a,

由f(x)的圖象可知,直線y=l與y=f(x)的圖象有3個交點,即f(x)=l有3個不同

的實數(shù)解，

故若關于x的方程[f(x)]2=(a+1)f(x)-a有7個不同的實數(shù)根，

則f(x)=a有4個不同的實數(shù)根，即直線y=a與y=f(x)的圖象有4個交點，

所以O〈a〈l.故選D.

9.答案(10,y)

解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.

由圖象可知當0<mG時,方程f(