導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系．2．理解“弧度的角”的定義，掌握弧度與角度的換算、弧長公式和扇形面積公式，熟悉特殊角的弧度數(shù)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．了解“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系．(易錯(cuò)點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】一．度量角的兩種單位制1.角度制：(1)定義：用作為單位來度量角的單位制．(2)1度的角：周角的.2.弧度制：(1)定義：以作為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角：長度等于的圓弧所對的圓心角．3.弧度數(shù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)，零角的弧度數(shù)是.如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝.這里，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．4.弧度制與角度制的換算公式角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝(eq\f(180,π))°≈57.30°5.一些特殊角與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起的關(guān)系：每一個(gè)角都有的一個(gè)實(shí)數(shù)(等于這個(gè)角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng)，如圖．二．扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則1.弧長公式：l＝.2.扇形面積公式：S＝＝.注意：(1)α為弧度制．(2)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用：①l＝|α|·r，|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|)；②S＝eq\f(1,2)|α|r2，|α|＝eq\f(2S,r2).【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】1.按照下列要求，把67°30’化成弧度：(1)精確值；(2)精確到0.001的近似值.2.將3.14rad換算成角度(用度數(shù)表示，精確到0.001).3.利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：(1)l=αR；(2)S=1其中R是圓的半徑，α(0<α<2π)為圓心角，l是扇形的弧長，S是扇形的面積.6、用弧度表示：（1）終邊在x軸的角的集合（2）終邊在y軸的角的集合7．利用計(jì)算工具比較下列各對值的大?。骸愫蚦os0.75；°和tan1.2．8..分別用角度制，弧度制下的弧長公式計(jì)算半徑為1cm的圓中，60°的圓心角對對弧的長度。9.已知半徑為120mm的圓上，有一條弧長為144mm,求該弧所對圓心的弧度數(shù)和角度數(shù)。【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】一、單選題1．1920°轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為()A.eq\f(16,3) B.eq\f(32,3)C.eq\f(16π,3) D.eq\f(32π,3)2．在0到2π范圍內(nèi)，與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(4π,3)3．下列表示中不正確的是()A．終邊在x軸上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．終邊在y軸上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))C．終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·\f(π,2)，k∈Z))))D．終邊在直線y＝x上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))4．若θ＝－5，則角θ的終邊所在的象限是()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限5．已知扇形的弧長是4cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．2C．4 D．1或4二、多選題6．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為8．已知扇形的周長是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．39.（

）A．是正數(shù) B．是負(fù)數(shù) C．大于 D．大于三、填空題10．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，則角A，B，C的弧度數(shù)分別為______________．11．用弧度表示終邊落在y軸右側(cè)的角的集合為________．12．已知扇形OAB的圓心角為eq\f(5,7)π，周長為5π＋14，則扇形OAB的面積為________．四、解答題13．已知角α＝2010°.(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在區(qū)間[－5π，0)上找出與α終邊相同的角．14．已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對的圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.15．如圖，點(diǎn)是圓上的點(diǎn).(1)若，，求劣弧的長；(2)已知扇形的周長為，求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小.16.已知．(1)把表示成的形式，其中，；(2)求，使與的終邊相同，且．17.如果一個(gè)扇形的周長為，那么當(dāng)它的半徑和圓心角分別為多少時(shí)，扇形的面積最大？18.已知一扇形的圓心角為，周長為C，面積為S，所在圓的半徑為r．(1)若，cm，求扇形的弧長；(2)若cm，求S的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．19.時(shí)鐘的分針長6cm，從10:30到10:55，求：(1)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過的扇形的面積；(3)分針尖端所走過的弧長．20．半徑為12cm的輪子，以400r/min的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．(1)輪沿上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)是多少？相應(yīng)的弧度數(shù)呢？(2)求輪沿上的點(diǎn)在輪子轉(zhuǎn)動(dòng)1000°時(shí)所經(jīng)過的路程．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】一、單選題1．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個(gè)圓心角所對的弧長是()A．2 B．sin2C．2sin1 D.eq\f(2,sin1)2．時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.eq\f(14,3)π B．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π二、填空題3．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，則A∩B＝________________.4．若角α與角eq\f(8π,5)終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與eq\f(α,4)終邊相同的角是________．三、解答題5．如圖所示，已知一長為eq\r(3)dm，寬為1dm的長方體木塊在桌面上做無滑動(dòng)的翻滾，翻滾到第四次時(shí)被一小木板擋住，使木塊底面與桌面成30°的角．求點(diǎn)A走過的路徑長及走過的弧所在扇形的總面積．6.已知相互咬合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角是多少度？多少弧度？如果大輪的轉(zhuǎn)速是