PAGEPAGE252010年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每小題3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）設(shè)，則_______。已知的一個原函數(shù)為，則_______。_______。設(shè)a，b為非零向量，且滿足（a+3b）⊥（7a–5b），（a–4b）⊥（7a–2b），則a與b的夾角為_______根據(jù)美國1996年發(fā)布的《美國能源報告》原油消耗量的估計公式為（單位：十億桶/年）：，式中t的原點取為2000年1月。如果實測模型為：，則自1995年至2015年共節(jié)省原油_______。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）1.設(shè)函數(shù)其中是有界函數(shù)，則在點處（）。（A）極限不存在；（B）極限存在，但不連續(xù)；（C）連續(xù)但不可導(dǎo)；（D）可導(dǎo)。2.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，則在其上對應(yīng)于點處的切線的直角坐標(biāo)方程為（）。（A）；（B）；（C）；（D）。3.設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（）。（A）；（B）；（C）；（D）。4.設(shè)為一函數(shù)的全微分，則下面正確的答案為（）。（A）；（B）；（C）；（D）。5.設(shè)曲面，并取上側(cè)為正，則不等于零的曲面積分為：（）。（A）；（B）；（C）；（D）。三、計算。（本題7分）四、設(shè)，求。（本題6分）五、對k的不同取值，分別討論方程在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)。（本題7分）六、設(shè)a，b均為常數(shù)且，，問a，b為何值時，有。（本題7分）七、設(shè)，，證明：存在并求其值。（本題8分）八、設(shè)是區(qū)間上的函數(shù)，且，，證明：，。（本題7分）九、設(shè)是由所確定的二元函數(shù)，求：，。（本題6分）十、求，其中曲線L是位于上半平面，從點到的部分。（本題7分）十一、計算，其中Σ為由曲面與所圍成的封閉曲面的外側(cè)。（本題7分）十二、在曲面上求一點P，使該曲面在P點處的切平面與曲面之間并被圓柱面所圍空間區(qū)域的體積最小。（本題8分）2009年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）.設(shè)，則使存在的最大n=..設(shè)，，若與OZ軸垂直，則λ=.設(shè)L為正向圓周在第一象限中的部分，則.二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）1.函數(shù)的第一類間斷點的個數(shù)為（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。2.設(shè)與具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，，，則（）。（A）為函數(shù)的極小值；（B）為函數(shù)的極大值；（C）點（0,1）為曲線的拐點；（D）極值與拐點由確定。3.設(shè)函數(shù)，，又與都不存在，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）若不存在，則必不存在；（B）若不存在，則必存在；（C）若存在，則必存在；（D）若存在，則必不存在。4.設(shè)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，，。若是由方程所確定的在點附近的隱函數(shù)，則是的極小值點的一個充分條件為（）（A）；（B）；（C）；（D）。5.設(shè)L為折線的正向一周，則（）。（A）－2sin2；（B）－1；（C）0；（D）1。三、設(shè)函數(shù)⑴a為何值時，在x=0點處連續(xù)；⑵a為何值時，x=0為的可去間斷點。（本題7分）四、設(shè)（n為正整數(shù)），⑴求在閉區(qū)間[0,1]上的最大值M（n）；⑵求。（本題7分）五、計算。（本題6分）六、設(shè)對任意x，都有，且在x=0點處連續(xù)，，證明：在x=0點處也連續(xù)。（本題6分）七、設(shè)，，計算。（本題7分）八、在橢球面上求一切平面，它在坐標(biāo)軸的正半軸截取相等的線段。（本題7分）九、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求證，其中（本題7分）十、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，，。證明：存在一點ξ∈（a,b）使得。（本題7分）十一、設(shè)二元函數(shù)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且，證明的充要條件為：。 （本題8分）十二、計算曲面積分，其中Σ為空間區(qū)域邊界曲面的外側(cè)。（本題8分）2008年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）設(shè)f(0)>0，，則。設(shè)函數(shù)由方程所確定，則曲線上對應(yīng)于x=0點處的切線方程為。。函數(shù)在點M(1,1,1,)處，沿曲面在該點的外法線方向的方向?qū)?shù)。設(shè)函數(shù)在區(qū)域上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，C為順時針橢圓，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）1.設(shè)當(dāng)時，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，則n等于（）（A）4；（B）3；（C）2；（D）1。2.設(shè)是單調(diào)增的正數(shù)列，則數(shù)列（）（A）當(dāng)時收斂；（B）當(dāng)時收斂；（C）對任意均收斂；（D）對任意均發(fā)散。3.設(shè)，則函數(shù)在點a處必（）（A）取極大值；（B）取極小值；（C）可導(dǎo)；（D）不可導(dǎo)。4.設(shè)函數(shù)在點處有，則下列結(jié)論正確的是（）（A）存在，但在點處不連續(xù)；（B）在點處連續(xù)；（C）；（D）都存在，且相等。5.設(shè)S為球面：，其取外側(cè)為，則兩個曲面積分全為零的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、對t的不同取值，討論函數(shù)在區(qū)間上是否有最大值或最小值，若存在最大值或最小值，求出相應(yīng)的最大值點與最大值或最小值點與最小值。（本題7分）四、設(shè)，其中，討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)。（本題7分）五、過曲線上點A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍平面圖形D的面積。⑴求點A的坐標(biāo)；⑵求平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。（本題7分）六、設(shè)函數(shù)，其中是連續(xù)函數(shù)，且。⑴求；⑵討論的連續(xù)性。（本題7分）七、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，，且。⑴求；⑵證明。（本題7分）八、設(shè)二元函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：可經(jīng)過變量替換化為等式。（本題6分）九、求λ的值，使兩曲面：與在第一卦限內(nèi)相切，并求出在切點處兩曲面的公共切平面方程。（本題8分）十、計算三重積分，其中Ω是由yoz平面內(nèi)z=0，z=2以及曲線所圍成的平面區(qū)域繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的空間區(qū)域。（本題7分）十一、計算曲線積分，其中曲線C：是從點A(－1,0)到點B(1,0)的一條不經(jīng)過坐標(biāo)原點的光滑曲線。（本題8分）十二、求證。（本題6分）首屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試卷（數(shù)學(xué)類，2010）考試形式：閉卷考試時間：150分鐘滿分：100分.填空題（共8分，每空2分.）(1)設(shè)，則=_____________.(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有惟一實數(shù)解，則常數(shù)_____________.(3)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).由積分中值公式有.若導(dǎo)數(shù)存在且非零，則的值等于_____________.(4)設(shè)，則=_____________.二、（10分）設(shè)在內(nèi)有定義，在處可導(dǎo)，且.證明:.三、（12分）設(shè)在上一致連續(xù)，且對于固定的,當(dāng)自然數(shù)時.證明:函數(shù)序列在上一致收斂于0.四、（12分）設(shè)，在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)有界，且滿足條件：(1)當(dāng)時，；(2)在中與有二階偏導(dǎo)數(shù)，,.證明：在D內(nèi)處處成立.五、（10分）設(shè).考慮積分，，定義.（1）證明；（2）利用變量替換：計算積分I的值，并由此推出.六、（13分）已知兩直線的方程：，.（1）問：參數(shù)滿足什么條件時，與是異面直線？（2）當(dāng)與不重合時，求繞旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)面的方程，并指出曲面的類型.七、(20分)設(shè)均為階半正定實對稱矩陣，且滿足.證明:存在實可逆矩陣使得均為對角陣.八、(15分)設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間，()是非零的線性函數(shù),且線性無關(guān).證明:任意的都可表為,使得，.2007年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）設(shè)函數(shù)，，且當(dāng)x→0時，與為等價無窮小，則a=3。設(shè)函數(shù)在點處取得極小值，則。。曲線在點（1，1，2）處的切線方程為。。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）1.設(shè)函數(shù)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。2.設(shè)函數(shù)具有一階導(dǎo)數(shù)，下述結(jié)論中正確的是（）（A）若只有一個零點，則必至少有兩個零點；（B）若至少有一個零點，則必至少有兩個零點；（C）若沒有零點，則至少有一個零點；（D）若沒有零點，則至多有一個零點。3.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，滿足，，又，則當(dāng)時恒有（）（A）；（B）；（C）；（D）。4.考慮二元函數(shù)在點處的下面四條性質(zhì)：①連續(xù)；②可微；③與存在；④與連續(xù)。若用“PQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有（）（A）②③①；（B）④②①；（C）②④①；（D）④③②。5.設(shè)二元函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，Γ為L上從點M到點N的一段弧，則下列積分值為負(fù)的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、已知曲線與曲線在點(0,0)處具有相同的切線，寫出該切線方程，并求極限。（本題6分）四、證明：當(dāng)x>2時，。（本題7分）五、設(shè)，求。（本題7分）六、設(shè)當(dāng)時，，且，試確定常數(shù)a的值，使在x=0點處可導(dǎo)，并求此導(dǎo)數(shù)。（本題7分）七、設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且滿足，⑴求；⑵計算，其中L是從原點O到點M（1,3）的任意一條光滑弧。（本題7分）八、求過第一卦限中的點(a,b,c)的平面，使之與三坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積最小。（本題8分）九、設(shè)，計算。（本題7分）十、設(shè)函數(shù)，其中在點(0,0)的一個鄰域內(nèi)連續(xù)，證明：在點(0,0)處可微的充要條件是。（本題8分）十一、計算，其中為一連續(xù)函數(shù)，Σ是平面在第四卦限部分的上側(cè)。（本題7分）十二、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有，，則至少存在一點，使得。（本題6分）2006年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．若是上的連續(xù)函數(shù)，則a=。2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為。3．。4．由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)的單位法向量為。5．設(shè)函數(shù)由方程所確定，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，并且，則當(dāng)時，該函數(shù)在點處微分dy是的（）（A）等價無窮??；（B）同階但不等價的無窮小；（C）高階無窮小；（D）低階無窮小。設(shè)函數(shù)f(x)在點x=a處可導(dǎo)，則在點x=a處不可導(dǎo)的充要條件是（）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。曲線（）（A）沒有漸近線；（B）有一條水平漸近線和一條斜漸近線；（C）有一條鉛直漸近線；（D）有兩條水平漸近線。設(shè)均為可微函數(shù)，且。已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項中的正確者為（）（A）若，則；（B）若，則；（C）若，則；（D）若，則。設(shè)曲面的上側(cè)，則下述曲面積分不為零的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，，求。（本題6分） 四、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求。（本題6分）五、設(shè)n為自然數(shù)，計算積分。（本題7分）六、設(shè)f(x)是除x=0點外處處連續(xù)的奇函數(shù)，x=0為其第一類跳躍間斷點，證明是連續(xù)的偶函數(shù)，但在x=0點處不可導(dǎo)。（本題7分）七、設(shè)f(u,v)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，，證明：。（本題7分）八、設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，在點u=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，求：。（本題7分）九、計算，其中L為正向一周。（本題7分）十、⑴證明：當(dāng)充分小時，不等式成立。 ⑵設(shè)，求。（本題8分）十一、設(shè)常數(shù)，證明：當(dāng)x>0且x≠1時，。（本題8分）十二、設(shè)勻質(zhì)半球殼的半徑為R，密度為μ，在球殼的對稱軸上，有一條長為l的均勻細(xì)棒，其密度為ρ。若棒的近殼一端與球心的距離為a，a>R，求此半球殼對棒的引力。（本題7分）2005年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．。2．曲線，在點處的法線方程為。3．設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，則。4．函數(shù)在點處，沿點A指向點方向的方向?qū)?shù)為。5．設(shè)(a×b)·c=2，則[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）設(shè)函數(shù)與在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，考慮如下的兩個命題，⑴若，則；⑵若，則。則（）（A）兩個命題均正確；（B）兩個命題均不正確；（C）命題⑴正確，命題⑵不正確；（D）命題⑴不正確，命題⑵正確。設(shè)函數(shù)連續(xù)，F(xiàn)(x)是的原函數(shù)，則（）(A)當(dāng)為奇函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為偶函數(shù)；(B)當(dāng)為偶函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為奇函數(shù)；(C)當(dāng)為周期函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為周期函數(shù)；(D)當(dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為單調(diào)遞增函數(shù)。設(shè)平面位于平面：與平面：之間，且將此兩平面的距離分為1:3，則平面的一個方程為（）（A）；（B）；（C）；（D）。設(shè)為非零的連續(xù)函數(shù)，，則當(dāng)t→0時（）（A）與t為同階無窮??；（B）與t2為同階無窮小；（C）與t3為同階無窮小；（D）是比t3高階的無窮小。設(shè)函數(shù)滿足等式，且，則在點處（）。（A）取得極小值；（B）取得極大值；（C）在點的一個鄰域內(nèi)單調(diào)增加；（D）在點的一個鄰域內(nèi)單調(diào)減少。三、求函數(shù)的值域。（本題6分） 四、設(shè)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。求。（本題6分）五、設(shè)二元函數(shù)在有界閉區(qū)域D上可微，在D的邊界曲線上，并滿足，求的表達(dá)式。（本題6分）六、設(shè)二元函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求。（本題7分） 七、設(shè)曲線與交于點A，過坐標(biāo)原點O和點A的直線與曲線圍成一平面圖形，試問：⑴當(dāng)a為何值時，該圖形繞x軸一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大？⑵最大體積為多少？（本題7分）八、設(shè)S為橢球面的上半部分，點，為S在點P處的切平面，為點到平面的距離，求。（本題7分）九、證明。（本題8分）十、設(shè)正值函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，，證明：。（本題8分）十一、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在ξ∈(a,b)，使得。（本題7分）十二、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[-2,2]上具有二階導(dǎo)數(shù)，，且，證明：存在一點ξ∈(-2,2)，使得。（本題8分）2004年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域為。2．設(shè)要使函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則。3．設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中f可導(dǎo)，且，則。4．由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分dz=。5．設(shè)，其中f、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）已知，則() （A）12；（B）3； （C）1；（D）0。設(shè)函數(shù)在的一個鄰域內(nèi)有定義，則在點處存在連續(xù)函數(shù)使是在點處可導(dǎo)的（）（A）充分而非必要條件；（B）必要而非充分條件；（C）充分必要條件；（D）既非充分，也非必要條件。設(shè)，則F(x)=（）(A);(B);(C);(D)。函數(shù)，在點處（）（A）可微； （B）偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微；（C）連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在；（D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。設(shè)為區(qū)間上的正值連續(xù)函數(shù)，與為任意常數(shù)，區(qū)域，則（）（A）； （B）；（C）；（D）。三、設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且。求：，，及。（本題6分） 四、計算。（本題6分）五、求函數(shù)在點處的100階導(dǎo)數(shù)值。（本題6分）六、設(shè)為定義在上，以T>0為周期的連續(xù)函數(shù)，且。求。（本題7分）七、在橢球面上求一點，使函數(shù)在該點沿方向的方向?qū)?shù)最大。（本題8分）八、設(shè)正整數(shù)，證明方程至少有兩個實根。（本題6分）九、設(shè)。證明存在，并求之。（本題8分）十、計算曲面積分，其中是曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)面，其法線向量與z軸正向的夾角為銳角。（本題7分）十一、設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且對以任意點為圓心，以任意正數(shù)r為半徑的上半圓L：，恒有。證明：（本題8分）十二、設(shè)函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，且，試證：⑴，使得；⑵，使得。（本題8分）2003年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．設(shè)對一切實數(shù)x和y,恒有，且知，則。2．設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=。3．設(shè)，其中是由方程所確定的隱函數(shù)，則。4．。5．曲線在點M(1,1,1)處的切線方程為（或）。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）當(dāng)時，下列無窮小量①；②；③；④，從低階到高階的排列順序為（） （A）①②③④；（B）③①②④； （C）④③②①；（D）④②①③。設(shè)，在x=0處存在最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為（）（A）1階；（B）2階；（C）3階；（D）4階。設(shè)函數(shù)在x=1處有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，又，則x=1是（）（A）曲線拐點的橫坐標(biāo)；（B）函數(shù)的極小值點；（C）函數(shù)的極大值點；（D）以上答案均不正確。設(shè)函數(shù)f，g在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且（m為常數(shù)），則曲線和x=b所圍平面圖形繞直線y=m旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為（）(A)；(B)；(C)；(D)。設(shè)，為在第一卦限中的部分，則有（）（A）； （B）；（C）；（D）。三、a，b，c為何值時，下式成立。（本題6分） 四、設(shè)函數(shù)，其中具有連續(xù)二階導(dǎo)函數(shù)，且。⑴確定a的值，使在點x=0處可導(dǎo)，并求。⑵討論在點x=0處的連續(xù)性。（本題8分）五、設(shè)正值函數(shù)在上連續(xù)，求函數(shù)的最小值六、設(shè)，且，求。（本題6分）七、設(shè)變換，把方程化為，試確定a。（本題7分） 八、設(shè)函數(shù)在xOy平面上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，并且對任意的t恒有，求。（本題7分）九、設(shè)函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且。在曲線y=f(x)上任意取一點作曲線的切線，此切線在x軸上的截距記作，求。（本題8分）十、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1。試證明：對于任意給定的正數(shù)a和b，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在不同的ξ和η，使得。（本題7分）十一、設(shè)，試證明在區(qū)間上有且僅有兩個實根。（本題7分）十二、設(shè)函數(shù)在單位圓域上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上的值恒為零。證明：其中：D為圓域。（本題8分）2002年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（理工類）一．填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．。2．設(shè)擺線方程為則此曲線在處的法線方程為。3．。4．設(shè)在點(－1,1)處沿方向的方向?qū)?shù)。5．設(shè)Σ為曲面介于0≤Z≤R的部分，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）1.曲線的漸近線有（） （A）1條；（B）2條； （C）3條；（D）4條。2.若，則當(dāng)n>2時（）（A）；（B）；（C）；（D）。3.已知函數(shù)f(x)在（－∞，+∞）內(nèi)有定義，且x0是函數(shù)f(x)的極大值點，則（）（A）x0是f(x)駐點；（B）在（－∞，+∞）內(nèi)恒有f(x)≤f(x0)；（C）－x0是－f(－x)的極小值點；（D）－x0是－f(x)的極小值點。4.設(shè)，則z=z(x,y)在點（0，0）（）（A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；（B）連續(xù)但不可微；（C）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在；（D）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在。5.設(shè)，其中Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0則（） （A）；（B）； （C）；（D）。 三、已知極限，試確定常數(shù)n和C的值。（本題6分） 四、已知函數(shù)f(x)連續(xù)，，求。（本題6分） 五、設(shè)方程，⑴當(dāng)常數(shù)a，b滿足何種關(guān)系時，方程有唯一實根？⑵當(dāng)常數(shù)a，b滿足何種關(guān)系時，方程無實根。（本題7分） 六、在曲線y=x2（x≥0）上某點A作一切線，使之與曲線及x軸所圍圖形的面積為，試求：⑴A點的坐標(biāo)；⑵過切點A的切線方程；⑶該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。（本題8分）七、計算。（本題7分） 八、設(shè)，其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且。（本題7分）九、求上的最大值與最小值。（本題7分）十、計算，其中區(qū)域D為：。（本題7分）十一、證明：當(dāng)0<x<1時，。（本題7分）十二、設(shè)C是取正向的圓周，f(x)是正的連續(xù)函數(shù)，證明：