第七章隨機(jī)變量及其分布全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春·河北唐山·高二期中）給出下列各量：①某機(jī)場候機(jī)室中一天的游客數(shù)量；②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某同學(xué)離開自己學(xué)校的距離；④將要舉行的繪畫比賽中某同學(xué)獲得的名次；⑤體積為8m3其中是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④【解題思路】由離散型隨機(jī)變量的概念逐個判斷即可得解.【解答過程】由題意，①②④是離散型隨機(jī)變量，③是連續(xù)型隨機(jī)變量，⑤中體積為8m3故選：A.2．（5分）（2023春·河南焦作·高二開學(xué)考試）某班學(xué)生的一次數(shù)學(xué)考試成績ξ（滿分：100分）服從正態(tài)分布N85,σ2，且P(83<ξ≤87)=0.3,P(78<ξ≤83)=0.26，則P(ξ≤78)=A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09【解題思路】先計(jì)算P(ξ≤83)=0.35，再結(jié)合P(ξ≤78)=P(ξ≤83)?P(78<ξ≤83)計(jì)算即可.【解答過程】∵83+872=85，∴∴P(ξ≤78)=P(ξ≤83)?P(78<ξ≤83)=0.35?0.26=0.09．故選：D.3．（5分）（2022·浙江·模擬預(yù)測）若離散型隨機(jī)變量X，X~B(5,p)，且E(X)=103，則PX≤2A．19 B．427 C．17【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及二項(xiàng)分布的概率公式即得.【解答過程】因?yàn)閄~B(5,p)，所以EX=np=10所以P=51故選：C.4．（5分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X滿足E(2X+3)=7,?D(2X+3)=16，則下列選項(xiàng)正確的是（A．E(X)=72C．E(X【解題思路】由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解【解答過程】E(2X+3)=2E(X)+3=7，得E(D(2X+3)=4D(X)=16，得D(故選：B.5．（5分）（2023春·河南焦作·高二開學(xué)考試）已知甲箱中有6個籃球，2個足球，乙箱中有5個籃球，3個足球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件A1,A2表示由甲箱取出的球是籃球、足球，再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件B表示“由乙箱取出的兩球都為籃球”，則A．512 B．55144 C．25【解題思路】由題意可求出PA【解答過程】由題意知，PA所以P=3故選:B.6．（5分）（2022春·河南三門峽·高二階段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（

）A．15 B．25 C．3【解題思路】由超幾何分布的概率公式結(jié)合排列組合即可求得．【解答過程】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C故選：D．7．（5分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知事件A，B，且P(A)=13,P(B|A)=15,P(B|AA．35 B．13 C．1【解題思路】結(jié)合條件概率公式，由P(B|A)=15?PAB=【解答過程】由題意，P(A)=13,P(B|A)=所以P(B|A所以PB故選：B.8．（5分）（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξiξ012P1p2若0<p1<12<p2<23，則（

）A．E(ξ1)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<【解題思路】通過計(jì)算期望和方差來求得正確答案.【解答過程】E(ξE(ξ由于p1<pD(=p1?同理可得D(ξD(ξ所以D(ξ故選：A.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）已知三個正態(tài)密度函數(shù)φix=A．μ1<μ2=μC．μ1=μ2<μ【解題思路】根據(jù)正態(tài)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】由正態(tài)密度函數(shù)φ2x和φ3又由φ2x的圖像的對稱軸在φ1因?yàn)棣以酱螅€越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”，由圖象知知正態(tài)密度函數(shù)φ1x和φ2從而可知σ1故選：ABC.10．（5分）（2022春·浙江寧波·高二期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，PX=1=B．若隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B4,1C．若隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B4,1D．若隨機(jī)變量Y的方差DY=2【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布的方差公式判斷A，B，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D，根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)判斷C.【解答過程】若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，PX=1=1若隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B4,12若隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B4,12若隨機(jī)變量Y的方差DY=2，則故選：BC.11．（5分）（2023春·河北邯鄲·高三開學(xué)考試）設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，且0<P(A)<1,0<P(B)<1，若B發(fā)生時(shí)A必定發(fā)生，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．P(A+B)=P(B) B．P(C．P(AB)=1【解題思路】根據(jù)B發(fā)生時(shí)A必定發(fā)生，得到B?A，故A+B=A,AB=B，從而得到P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B)，AD錯誤；結(jié)合條件概率判斷出B錯誤，C正確.【解答過程】由題意，B?A，所以A+B=A,AB=B，所以P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B)，則A，D錯誤；P(B|A)=P(AB)P(A|B)=P(AB)故選：ABD.12．（5分）（2022春·吉林·高二期中）袋中有大小完全相同的2個黑球和3個白球，從中不放回地每次任取一個小球，直到取到白球后停止取球，則下列結(jié)論正確的是（

）A．抽取2次后停止取球的概率為3B．停止取球時(shí)，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為9C．取球次數(shù)X的期望為2D．取球次數(shù)X的方差為9【解題思路】設(shè)取球次數(shù)為X，可知隨機(jī)變量X的可能取值有1、2、3，計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，可判斷出A選項(xiàng)的正誤，計(jì)算出取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為PX=1+PX=2【解答過程】設(shè)取球次數(shù)為X，可知隨機(jī)變量X的可能取值有1、2、3，則PX=1=35，對于A選項(xiàng)，抽取2次后停止取球的概率為PX=2對于B選項(xiàng)，停止取球時(shí)，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為PX=1對于C選項(xiàng)，取球次數(shù)X的期望為EX對于D選項(xiàng)，取球次數(shù)X的方差為DX故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋·重慶·高三學(xué)業(yè)考試）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N1,σ2，若P(|ξ|≤1)=0.35，則【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出P(ξ>3)=0.5?P?1≤ξ≤1【解答過程】由題意得：P|ξ|≤1根據(jù)對稱性可知：P(ξ>3)=P(ξ<?1)=0.5?P?1≤ξ≤1故答案為：0.15.14．（5分）（2022春·山西呂梁·高二期中）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布Bn,p，若Eξ=1.2，Dξ=0.96，則實(shí)數(shù)n的值為【解題思路】結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式，即可求解．【解答過程】由題意可得，np=1.2np(1?p)=0.96，解得p=0.2,n=6故答案為：6．15．（5分）（2023秋·上海·高二考期末）某個闖關(guān)游戲規(guī)定：闖過前一關(guān)才能去闖后一關(guān)，若某一關(guān)沒有通過，則游戲結(jié)束.小明闖過第一關(guān)的概率為34，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為12，連續(xù)闖過前三關(guān)的概率為14.事件A表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件C表示小明第三關(guān)闖關(guān)成功，則PC【解題思路】設(shè)事件B表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，由條件概率計(jì)算公式可得答案.，【解答過程】設(shè)事件B表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，由題意PA=3所以PC|A故答案為：1316．（5分）（2022春·浙江紹興·高二期中）學(xué)習(xí)強(qiáng)國新開通一項(xiàng)“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為14，設(shè)他參加一次答題活動得分為ξ，則Dξ=15【解題思路】求出ξ的可能取值及相應(yīng)的概率，求出期望值，進(jìn)而求出方差.【解答過程】ξ的可能取值為5,4,3,2Pξ=5=14×Pξ=2則Eξ則D故答案為：1516四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(B∩A)=0.1，求：(1)P(B(2)P(A【解題思路】（1）根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可得出答案.（2）根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可得出答案.【解答過程】(1)解：因?yàn)镻(A)=0.5,P(B∩A)=0.1，所以P(B(2)解：因?yàn)镻(B)=0.3,P(B∩A)=0.1，所以P(A18．（12分）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布PX=k6(1)求常數(shù)a的值；(2)求PX≥23【解題思路】（1）（2）由分布列的性質(zhì)求解即可；【解答過程】（1）解：由a+2a+3a+4a+5a+6a=1，得a=1（2）解：由題知：PX≥P219．（12分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）某地區(qū)3000名高三學(xué)生在某次模擬考試中的總分X服從正態(tài)分布N550,(1)求P500≤X≤650(2)試估計(jì)該地區(qū)3000名高三學(xué)生中，總分X落在區(qū)間600,700的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ【解題思路】（1）利用3σ原則可求得P500≤X≤650（2）利用3σ原則計(jì)算出P600<X≤700，乘以3000【解答過程】（1）解：由已知μ=550，σ=50，則500=μ?σ，650=μ+2σ，所以，P=1（2）解：∵600=μ+σ，700=μ+3σ，所以，P=1∵3000×0.1573≈471.9，所以，該地區(qū)3000名高三學(xué)生中，總分X落在區(qū)間600,700的人數(shù)約為472.20．（12分）（2022秋·西藏林芝·高三階段練習(xí)）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲4次，隨機(jī)變量X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)．求：(1)求X的分布列；(2)求EX【解題思路】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布即可求解概率以及分布列.（2）由二項(xiàng)分布的期望公式即可求解.【解答過程】（1）由題意，拋一枚均勻的硬幣，正反面朝上的概率均為12所以將一枚均勻的硬幣重復(fù)拋擲4次，正面朝上的次數(shù)X～B4,1即PX=0=116,

PX=1PX=3=14

X的分布列如下:X01234P11311（2）∵X～B4,∴EX21．（12分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍．(1)求任意取出1個零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1個零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率．【解題思路】（1）設(shè)Ai表示“第i臺機(jī)床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出現(xiàn)廢品”；C（2）同（1），結(jié)合條件概率的公式求解即可.【解答過程】（1）設(shè)Ai表示“第i臺機(jī)床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出現(xiàn)廢品”；CP=PA1P（2）P=122．（12分）（2023秋·江蘇南京·高二期末）現(xiàn)有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為34，每命中一次得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊一次，命中的概率為2(1)求該射手恰好命中兩次的概率；(2)求該射