【2020長(zhǎng)寧金山一?！?5.（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題4分）如圖，已知在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、射線上，且，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．以、為鄰邊作平行四邊形．設(shè)，平行四邊形的面積為．（1）當(dāng)平行四邊形為矩形時(shí)，求的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；ABC備用圖ABC備用圖第25題圖ABCPQMABC備用圖ABC備用圖第25題圖ABCPQMN（長(zhǎng)寧金山）（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題4分）解：（1）∵四邊形是矩形∴∵，∴∴∴∴（1分）在中，，，，∴，∴在中，，（1分）在中，，∵∴（1分）∴（1分）（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)在中，，，，∴，∴在中，，（1分）在中，，∴（1分）∴（1分）由（1）知，，∴（2+1分）（3）或ABCD中，AB=4，∠BAD=120°PABPC，在∠PCD內(nèi)部作CQBDQ（B、D不重合），且∠PCQ=30°.PABBP=3PC的長(zhǎng)；PBABPxCQyyx的函數(shù)解析式及定義域；PQPQBCE，如果△QCE與△BCPBP的長(zhǎng).（楊浦）25．解：（1）過P作，垂足為點(diǎn)H.在中，∵BP=3，∠ABC=60°，∴. （2分）在中，. （1分）（2）過P作，垂足為點(diǎn)H.在中，.∴在中， （1分）設(shè)PC與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G.∵AB//CD，∴.∴. （1分）∵∠ABD=∠PCQ，又∠PGC=∠QGC，∴△PBG∽△QCG.∴，∴. （1分）∴（）. （2分）（3）=1\*romani）當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線時(shí).∵BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠PBQ=∠QBC=.∵△PBG∽△QCG，∴，又∠PGQ=∠BGC，∴△PGQ∽△BGC.∴∠QPG=∠QBC，又∠PBQ=∠PCQ，∴.∴. （1分）∵，∴.又，∠PCQ，∴.過C作，垂足為點(diǎn)N，∴在中，.∴在中，.∴. （2分）=2\*romanii）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，同理可得. （3分）【2020徐匯一?！?5．（本題滿分14分）如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，，，與邊交于點(diǎn)．（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；DBACGFE（第25題圖）BDBACGFE（第25題圖）BAC（備用圖）（徐匯）25．解：（1）過點(diǎn)分別作、，垂足分別為．在中，，；在中，，；得；∴；在中，，∴．（2）以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于．∴可設(shè)；∴，又；∴；∴；則；在中，，∵，即；解得；即．（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，的值不變，．聯(lián)結(jié)．∵，∴；∴；又，，∴；∴；∵，；∴∽；∴，；又，∴∽；∴．又，，∴；∴；即；∴∽；∴．【2020松江一?！?5．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）、（3）小題各5分）已知tan∠MON=2，矩形ABCD的邊AB在射線OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足為點(diǎn)F.（1）如圖（1），作AE⊥ON，垂足為點(diǎn)E.當(dāng)m=2時(shí),求線段EF的長(zhǎng)度；ABCFOMND第25題圖（3）（2）如圖（2），聯(lián)結(jié)OC，當(dāng)mABCFOMND第25題圖（3）ABCFOMND第25題圖（2）第25題圖（1）ABABCFOMND第25題圖（2）第25題圖（1）ABCDEFOMN25．解：（1）過點(diǎn)D作DP⊥CF于點(diǎn)P，交AE于點(diǎn)Q第25題圖（1）ABCDE第25題圖（1）ABCDEFOMNQP∵在Rt△CDP中DC=2,tan∠PDC=2可得,……（1分）在Rt△ADQ中AD=2,tan∠DAQ=2ABCFOMNABCFOMND第25題圖（2）∴……（1分）∴……（1分）(2)∵CD平分∠FCO時(shí)∴∠FOD=∠OCD∵CD∥OM∴∠COM=∠OCD∴……（1分）∴OB=4……（1分）∴……（1分）延長(zhǎng)CD交ON于K,過點(diǎn)K作KQ⊥OM，垂足為QKQ=2,OQ=1,CK=3……（1分）……（1分）(3)由題意可知ABCFOMND第25ABCFOMND第25題圖（3）H當(dāng)∠FCD=∠FAD時(shí)△FCD≌△FADCD=AD=2,即m=2……（1分）當(dāng)∠FCD=∠AFD∵△CDF∽△FDA∴∴……（1分）令HF=t,則DH=tt=m∴……（1分）∴m=1(m=0舍去)……（1分）【2020青浦一?！?5．（本題滿分14分，其中第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．點(diǎn)P是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、Q分別是線段DA、BD上的點(diǎn)，且DE=DQ=BP，聯(lián)結(jié)EP、EQ．（1）求證：EQ∥DC； （2）當(dāng)BP>BQ時(shí)，如果△EPQ是以EQ為腰的等腰三角形，求線段BP的長(zhǎng)；（3）當(dāng)BP=m（0<m<5）時(shí)，求∠PEQ的正切值．（用含m的式子表示）（（備用圖）（第（第25題圖）（普陀）本題滿分12分）25．（本題滿分14分）如圖13，在梯形中，//，，，，，點(diǎn)在邊上，．點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），聯(lián)結(jié)交射線于點(diǎn)，設(shè)，．（1）求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，試求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與直線的夾角等于，請(qǐng)直接寫出這時(shí)線段的長(zhǎng)．AABCDENM圖13ABCDE備用圖備用圖（普陀）25．解：（1）過點(diǎn)作，為垂足．∵，∴．TOC\o"1-3"\u∵，∴．∴//．∵//，∴．TOC\o"1-3"\u （1分）同理可得． （1分）在Rt△中，，，∴．∴．TOC\o"1-3"\u （1分）∵，∴． （1分）（2）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)． （1分）∵//，∴．由，，，得，解得． （1分）∴． （1分）∵//，∴．在Rt△中，，，，可得． （1分）TOC\o"1-3"\u由，化簡(jiǎn)，得（）． （2分）（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，． （2分）②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，． （2分）【2020浦東一?！?5．（本題滿分14分，其中第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題4分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），聯(lián)結(jié)CD．過點(diǎn)D作DE⊥DC交邊BC于點(diǎn)E．（1）如圖，當(dāng)ED=EB時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)AD=x，BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域；（3）把△BCD沿直線CD翻折得△CDB’，聯(lián)結(jié)AB’．當(dāng)△CAB’是等腰三角形時(shí)，直接寫出AD的長(zhǎng)．（第25（第25題圖）（備用圖）．（浦東）25．解：（1）∵ED=EB，∴∠B=∠BDE．……………（1分）∵DE⊥CD，∴∠BDE+∠ADC=90°．∵∠A=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°．∴∠BDE=∠ACD．…………（1分）∴∠ACD=∠B．…………（1分）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∴．∴．…………（1分）在Rt△ADC中，，AC=3，∴．……………（1分）（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H．∴∠EDH=∠A=90°．∵∠BDE=∠ACD，∴△ACD∽△DEH．………………（1分）∴．在Rt△BEH中，可得，．…………（1分）∴．……………………（1分）∴．∴．……………………（1分）（0<x<4）．……………………（1分）（3）AD=或AD=．………（各2分）【2020閔行一?！?5．（本題共3小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題4分，滿分14分）已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，（點(diǎn)A、B分別在直線CD的左右兩側(cè)），射線CD交邊AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，射線CG交邊AB于點(diǎn)F，AD=x，CE=y.（1）求證：∠DAB=∠DCF；（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（第25題圖）ABDCEFG（3）如果△（第25題圖）ABDCEFG（閔行）25．（1）證明：∵點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中線．…………（1分）又∵在Rt△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，∴CF⊥AB，即∠AFC=90°．…………（1分）∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF，且∠ADE=∠EFC=90°，∴∠DAB=∠DCF．…………………（2分）（2）解：如右圖，過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H．可證△CAD≌△BCH.………（1分）∴BH=CD=2，CH=AD=x，DH=2-x．（1分）可證AD∥BH.∴．………………（1分），，．……………（1分）．…………（1+1分）（3）解：當(dāng)GC=GD時(shí)，如圖1，取AC的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)MD.那么MD=MC，聯(lián)結(jié)MG，MG⊥CD，且直線MG經(jīng)過點(diǎn)B．那么BH與MG共線．又CH=AD，那么AD=CH=．………………（2分）當(dāng)CG=CD時(shí)，如圖2，即CG=2，點(diǎn)G為△ABC的重心，，AB=2CF=6，，．…………………（2分）綜上所述，AD=1或．【2020靜安一?！?5．（本題滿分14分，其中第（1）小題6分，第（2）小題4分，第（3）小題4分）已知：如圖9，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、DC上，AB2=BE·DC，DE:EC=3:1，F(xiàn)是邊AC上的一點(diǎn)，DF與AE交于點(diǎn)G．（1）找出圖中與△ACD相似的三角形，并說明理由；（2）當(dāng)DF平分∠ADC時(shí)，求DG:DF的值；（3）如圖10，當(dāng)∠BAC=90°，且DF⊥AE時(shí)，求DG:DF的值．（靜安）25．（1）與△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：……（2分）∵AB2=BE·DC，∴．……………………（1分）∵AB=AC，∴∠B=∠C．…………（1分）………………………（1分）∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED=∠DAC．∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，∴∠DAE=∠C．∴△ADE∽△CDA．…（1分）（2）∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴…………………（1分）設(shè)CE=a，則DE=3CE=3a，CD=4a，∴，解得（負(fù)值已舍）…（2分）∴…………（1分）（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∴∠DAE=∠C=45°∵DG⊥AE，∴∠DAG=∠ADF=45°，∴AG=DG=…（1分）∴………（1分）∵∠AED=∠DAC∴△ADE∽△DFA∴，∴…………………（1分）∴…………（1分）【2020嘉定一?！?5.（本題滿分14分，其中第（1）小題4分，第（2）、（3）小題各5分）已知：點(diǎn)在內(nèi)，且滿足（如圖10），.ABCP圖10（1）ABCP圖10（2）如果，，求的值；（3）如果，且是等腰三角形，試求的值.（嘉定）ABC備用圖25．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）、（3）小題各ABC備用圖證明：（1）∵，， 1分∴. 1分即.∴. 1分又∵，∴∽. 1分（2）如圖10-1，∵，，∴. 1分在中，∵，，∴. 1分又∵∽，∴. 1分ABC圖10-1P圖10-2ABC圖10-1P圖10-2圖10-3圖10-4（3）∵，，，∴.∴. 1分∵∽，∴，∴.①如圖10-2，當(dāng)是等腰三角形，且時(shí)，. 1分②如圖10-3，當(dāng)是等腰三角形，且時(shí)，,，易得，∴ 2分③如圖10-4，當(dāng)是等腰三角形，且時(shí)，，，易得，∴. 1分備注：寫出，這兩個(gè)答案之中的一個(gè)，即可得到2分；兩個(gè)全部寫出，得3分.【2020黃浦一?！?5．（本題滿分14分）如圖12，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別位于直線AC的兩側(cè)，且AD=AC,聯(lián)結(jié)BD、CD，BD交直線AC于點(diǎn)E.（1）當(dāng)∠CAD=90°時(shí)，求線段AE的長(zhǎng).（2）過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為點(diǎn)H，直線AH交BD于點(diǎn)F，①當(dāng)∠CAD<120°時(shí)，設(shè)，（其中表示△BCE的面積，表示△AEF的面積），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AE的長(zhǎng).備用圖圖12備用圖圖12（黃浦）25．（本題滿分14分）（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC-AC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.∵AD=AC,∴AD=AB.∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD=180°，∠CAD=90°，∠ABD=15°.∴∠EBC=45°.……………（1分）過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為點(diǎn)G.………（1分）設(shè)，則.在Rt△CGE中，∠ACB=60°，∴，.…（1分）∴.在Rt△BGE中，∠EBC=45°，∴.………………（1分）解得.所以線段AE的長(zhǎng)是.………………（1分）（2）①設(shè)，則，∵AD=AC,AH⊥CD，∴.…………（1分）又∵，∴.…………………（1分）∴.又∵，∴△AEF∽△BEC.………………（1分）∴.……………（1分）由（1）得在Rt△CGE中，，∴.∴()………（2分）②當(dāng)∠CAD<120°時(shí)，；…………（2分）當(dāng)120°<∠CAD<180°時(shí)，.……………………（2分）【2020虹口一模】25．（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD，過點(diǎn)B作BE⊥AD分別交射線AD、AC于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)DF．過點(diǎn)A作AG∥BD，交直線BE于點(diǎn)G．（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖13），如果CD=2，求tan∠FBC；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖13），設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不寫函數(shù)的定義域）；（3）如果AG=8，求DE的長(zhǎng)．（虹口）（1）在Rt△BED中，∠EDB+∠EBD=90°同理∠ADC+∠DAC=90°∴∠DAC=∠EBD即∠DAC=∠FBC，…………（1分）由sin∠ABC=可得tan∠ABC=在Rt△ABC中，AC=………（1分）又∵CD=2在Rt△ACD中，∴………………（2分）（2）∵AG∥BD∴∴∴………（2分）∴……………………（1分）∵∴∴∴∴……………（1分）由sin∠ABC=可得tan∠ABC=∴…………（1分）∴即…………（1分）（3）①當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵AG∥CB，∴，∴FC=1，∴∴，∴…………………（2分）②當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，∵AG∥CB，∴∴，∴FC=3∴,∴，……（2分）綜上，或.【2020奉賢一?！?5．（本題滿分14分，第(1)小題=1\*GB3①滿分5分，第(1)小題=2\*GB3②滿分4分，第(2)小題滿分5分）如圖11，已知平行四邊形ABCD中，AD=，AB=5，，點(diǎn)E在射線AD上，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)E，交射線AB于點(diǎn)F，交射線CB于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CE、CF，設(shè)．（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，=1\*GB3①求CEF的面積；（用含的代數(shù)式表示）=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，求的值；C圖11ABDFEGC備用圖ABD（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線C圖11ABDFEGC備用圖ABD（奉賢）25．解：（1）=1\*GB3①∵EF⊥AD，，，∴在Rt△AEF中，．∴． （1分）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD．又∵AB=5，∴．∵，∴，即． （1分）∵AD=BC=，∴． （1分）． （2分）=2\*GB3②∵，，∴． （1分），，，∴，． （1分）∵AD∥BC，∴． （1分）∴，即當(dāng)時(shí)，的值是3． （1分）（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∽，又∠AEF=∠FGC=90°，∴∠A=∠FCG或∠A=∠CFG．∵∠A=∠CBF，∴∠CBF=∠FCG或∠CBF=∠CFG． （1分）當(dāng)∠CBF=∠FCG時(shí)，由，，∴，∴，∴． （2分）當(dāng)∠CBF=∠CFG時(shí)，∵，∴，即．在Rt△中，，，，∴．∴．∵，∴，∴． （2分）綜上所述，當(dāng)∽時(shí)，的值是或．【2020崇明一?！?5．（本題滿分14分，第(1)小題4分，第(2)小題4分，第(3)小題6分）如圖，在中，，，點(diǎn)D為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合）．以D為頂點(diǎn)作，射線DE交AC邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作交射線DE于點(diǎn)F．A（1）求證：；AF（2）當(dāng)DF平分時(shí)，求AE的長(zhǎng)；FE（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．EDBCDBC(第(第25題圖)AABCBC（崇明）25、（1）證明：∵∴…1分∵即∵∴……1分∴…………1分∴∴……1分（2）∵平分∴∵∴∴∴…………1分∵∴又∵是公共角∴…………1分∴∴∴…………1分∴∴…………1分（3）過點(diǎn)作，垂足為∵，∴由勾股定理得出∴∵，∴設(shè)，則，∵∴①點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，當(dāng)是等腰