第四章

數(shù)列4.1數(shù)列的概念第2課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推關(guān)系學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解數(shù)列的幾種表示方法，能從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列．(邏輯推理)2．理解遞推公式的含義，能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．會(huì)用累加法、累乘法由遞推公式求通項(xiàng)公式．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01觀察下列鋼管堆放示意圖，尋求規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型．自上而下：第1層鋼管數(shù)為4，第2層鋼管數(shù)為5，第3層鋼管數(shù)為6，第4層鋼管數(shù)為7，第5層鋼管數(shù)為8，第6層鋼管數(shù)為9，第7層鋼管數(shù)為10．若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出各層的鋼管數(shù)為一個(gè)數(shù)列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相鄰兩層的鋼管數(shù)之間有沒有關(guān)系？即an＋1與an有沒有關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的遞推公式(1)兩個(gè)條件：①已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；②從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示．(2)結(jié)論：具備以上兩個(gè)條件的公式叫做這個(gè)數(shù)列的____公式．遞推知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系分類遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)________(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與__之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式an－1n知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和(1)數(shù)列{an}從第_項(xiàng)起到第__項(xiàng)止的各項(xiàng)之和稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝______________．(2)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的______之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．1na1＋a2＋…＋an序號(hào)n

思考S1與a1是什么關(guān)系？S2呢？[提示]由于S1表示數(shù)列的前1項(xiàng)的和，因此S1與a1相等，而S2表示數(shù)列的前2項(xiàng)的和，因此S2＝a1＋a2．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法． (

)(2)所有的數(shù)列都有遞推公式． (

)[提示]隨機(jī)的一個(gè)數(shù)列就不一定有遞推公式．(3)利用an＋1＝2an，n∈N*可以確定數(shù)列{an}． (

)[提示]只能確定相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系但無法確定{an}．√××

3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n－3，則an＝______________．

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1由遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)類型2由Sn求通項(xiàng)an類型3根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)類型1由遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)【例1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項(xiàng)由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出．(1)寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；[解]

∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．故數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．

反思領(lǐng)悟

根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可．另外，解答這類問題時(shí)還需注意：若已知首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式；若已知末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(源于人教B版教材)分別寫出下列數(shù)列{an}的一個(gè)遞推關(guān)系，并求出各個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)．(1)1，2，4，7，11，…；[解]

因?yàn)閍2－a1＝2－1＝1，a3－a2＝4－2＝2，a4－a3＝7－4＝3，a5－a4＝11－7＝4，所以an＋1－an＝n，即an＋1＝an＋n．從而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．(2)－1，2，5，8，11，…；[解]

因?yàn)閍2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，所以an＋1－an＝3，即an＋1＝an＋3．從而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．(3)1，－2，4，－8，16，…．

類型2由Sn求通項(xiàng)an【例2】根據(jù)下列數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an．(1)Sn＝2n2－n＋1；

(2)Sn＝2·3n－2．[解]

由Sn＝2·3n－2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n-1－2)＝4·3n-1．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4×31-1，∴an＝4·3n-1(n∈N*)．發(fā)現(xiàn)規(guī)律

由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式的步驟(1)先利用________，求出a1；(2)用n－1(n≥2)替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系Sn－1，利用an＝__________(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的解析式；(3)注意檢驗(yàn)_____時(shí)的值是否符合n≥2時(shí)an的解析式，若符合，則合并；若不符合，則用分段函數(shù)表示通項(xiàng)公式an．a(chǎn)1＝S1Sn－Sn－1n＝1[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2，則an＝________．6n－3

①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；②當(dāng)n≥2時(shí)Sn－1＝3(n－1)2＝3n2－6n＋3，an＝Sn－Sn－1＝6n－3，當(dāng)n＝1時(shí)上式也符合，所以an＝6n－3．6n－3(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋n－5，那么它的通項(xiàng)公式是__________________．

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)0312341．?dāng)?shù)列2，4，6，8，10，…的遞推公式是(

)A．a(chǎn)n＝an－1＋2(n≥2)B．a(chǎn)n＝2an－1(n≥2)C．a(chǎn)1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D．a(chǎn)1＝2，an＝2an－1(n≥2)C

[A，B中沒有說明某一項(xiàng)，無法遞推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合題意．故選C．]√2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋3，則a3＝________．5

[由Sn＝n2＋3可知a3＝S3－S2＝32＋3－(22＋3)＝5．]123453．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．1234

n12344．已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，則an＝____________．

1234

回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：(1)數(shù)列的遞推公式有什么特點(diǎn)？它與通項(xiàng)公式的區(qū)別是什么？[提示]數(shù)列的遞推公式是反映數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系式，而通項(xiàng)公式是數(shù)列中的項(xiàng)與序號(hào)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則關(guān)系式an＝Sn－Sn－1的使用條件是什么？[提示]

n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，這是因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)Sn－1＝S0，數(shù)列中S