數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題分析天津大學(xué)邊馥萍一、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽發(fā)展概況1.早期的數(shù)學(xué)建模課程開設(shè)與數(shù)學(xué)建模教師培訓(xùn)1982年教育部直屬12所院校工科協(xié)作組會(huì)議決定在工科院校開設(shè)數(shù)學(xué)建模促進(jìn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革。1983年蕭樹鐵先生在清華大學(xué)開課數(shù)學(xué)建模師資培訓(xùn)會(huì)：1983年大連；1986年西安數(shù)學(xué)建模教學(xué)研討會(huì)：1985年重慶；1988年衡陽；1991年長(zhǎng)沙早期出版的教材早期教學(xué)參考資料：習(xí)題解答2.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的開展1989年清華、北大、北京理工大學(xué)4個(gè)隊(duì)參加美國競(jìng)賽1990年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)CSIAM在清華大學(xué)召開成立大會(huì)。1992、1993舉辦全國聯(lián)賽1994年教育部與CSIAM共同主辦全國參賽校數(shù)196所，參賽隊(duì)數(shù)926競(jìng)賽的深入發(fā)展，全國師資培訓(xùn)，全國教學(xué)工作會(huì)議1999年乙組題目2004年全國命題工作會(huì)2008年全國有1023所院校，12846隊(duì)參賽。早期引進(jìn)的國外數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參考資料UMAP老同志會(huì)在北戴河后排左起：譚永基，邊馥萍，張光澄，任善強(qiáng)，劉來福，謝金星；

前排左起：姜啟源，歐裴君，葉其孝，蕭樹鐵，唐云老同志相聚在楊州二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽命題題目來源:實(shí)際研究課題的簡(jiǎn)化、改編；有實(shí)際背景問題的編撰；合適的社會(huì)熱點(diǎn)（或興趣）問題。題目背景：盡量通俗易懂，涉及的專業(yè)知識(shí)不深可以查閱到一些參考材料，但是無法照搬現(xiàn)成文獻(xiàn)。解題所用的數(shù)學(xué)方法盡量多元化、綜合化。題目需要的數(shù)學(xué)知識(shí)一般不超過本科的三門主干課（非數(shù)學(xué)專業(yè)）內(nèi)容及統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化、計(jì)算等基本方法。兼顧數(shù)據(jù)的收集與數(shù)據(jù)的處理1.命題原則(1)貼近實(shí)際:綜合性、通用性、實(shí)用性、即時(shí)性等.(2)提高開放性：題意的開放性—淺無邊，深無底思路的開放性—解題方法的創(chuàng)造性、靈活性方法的開放性—數(shù)學(xué)模型的多樣性結(jié)果的開放性—求解結(jié)果的不唯一性等。

(3)重在建模：數(shù)學(xué)模型與數(shù)據(jù)模型.海量數(shù)據(jù)的復(fù)雜性命題人的題目來源于科研工作的結(jié)晶及生產(chǎn)過程中的實(shí)際問題。海量數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)不完備、信息結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的規(guī)模越來越大,水平越來越高，命題工作越困難.2.歷年競(jìng)賽題目簡(jiǎn)單分析17年的本科組34個(gè)題目(專科組15個(gè))，從問題的實(shí)際意義、解決問題的方法和題型三個(gè)方面作一些簡(jiǎn)單的分析。（1）1992-2008全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目如下：1992年:(Ａ)作物生長(zhǎng)的施肥效果問題(B)化學(xué)試驗(yàn)室的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分解問題1993年:(Ａ)通訊中非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)問題(Ｂ)足球甲級(jí)聯(lián)賽排名問題

1994年:(Ａ)山區(qū)修建公路的設(shè)計(jì)造價(jià)問題

(Ｂ)鎖具的制造、銷售和裝箱問題1995年:(Ａ)飛機(jī)的安全飛行管理調(diào)度問題

(Ｂ)天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度問題數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單，方法也較單一，解答幾乎確定。1996年:(A)最優(yōu)捕魚策略問題(B)節(jié)水洗衣機(jī)的程序設(shè)計(jì)問題1997年:(A)零件參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題(B)金剛石截?cái)嗲懈顔栴}1998年:(A)投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題(B)災(zāi)情的巡視路線問題（社會(huì)問題即時(shí)性）1999年:(A)自動(dòng)化機(jī)床控制管理問題

(B)地質(zhì)堪探鉆井布局問題(C)煤矸石堆積問題重要新聞、重大事件與賽題設(shè)計(jì)：2000年6月26日各國新聞機(jī)構(gòu)發(fā)布人類基因組草圖繪就的重要消息。順應(yīng)這一世紀(jì)科學(xué)大事，當(dāng)年7月組委會(huì)構(gòu)造與此相關(guān)賽題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注世界科技熱點(diǎn)，投身科學(xué)重大問題的研究，培養(yǎng)應(yīng)用能力。2000年:(A)DNA序列的分類問題

(B)鋼管的訂購和運(yùn)輸問題

(C)飛越北極問題

(D)空洞探測(cè)問題從2000年A題開始，海量數(shù)據(jù)處理2001年:(A)三維血管的重建問題

(B)公交車的優(yōu)化調(diào)度問題

(C)基金使用計(jì)劃問題

（D)公交車調(diào)度

2002年:(A)汽車車燈的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題

(B)彩票中的數(shù)學(xué)問題

(C)車燈線光源的計(jì)算

(D)球隊(duì)的賽程安排問題

2003年:(A)SARS的傳播問題(B)露天礦生產(chǎn)的車輛安排問題

(D)搶渡長(zhǎng)江問題2003年A題再次體現(xiàn)關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問題2004年:(A)奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題(B)電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理問題

(C)酒后開車問題

(D)公務(wù)員的招聘問題2004年5月在上海召開的命題工作會(huì)議

2005年:(A)長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)問題

(B)DVD在線租賃問題

(C)雨量預(yù)報(bào)方法的評(píng)價(jià)問題2006年:(A)出版社的資源管理問題

(B)艾滋病療法的評(píng)價(jià)及預(yù)測(cè)問題(C)易拉罐形狀和尺寸的設(shè)計(jì)問題

(D)煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測(cè)與控制問題

2007年:(A)中國人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)問題

(B)“乘公交，看奧運(yùn)”問題(C)“手機(jī)套餐”優(yōu)惠幾何問題

(D)體能測(cè)試時(shí)間的安排問題2008年:(A)數(shù)碼相機(jī)定位（B）高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討（C）地面搜索（D）NBA賽程的分析與評(píng)價(jià)

（2）從問題實(shí)際意義分析，七大類工業(yè)類：8個(gè)題，占23%農(nóng)業(yè)類：１個(gè)題，占3%工程設(shè)計(jì)類:4個(gè)題，占12%交通運(yùn)輸類：4個(gè)題，占12%經(jīng)濟(jì)管理類：5個(gè)題，占15%生物醫(yī)學(xué)類：5個(gè)題，占15%社會(huì)事業(yè)類:7個(gè)題，占20%（3）從問題的題型上分析（1）理論性較強(qiáng)的問題有12個(gè),占35.2%:94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04A,04B;(2)實(shí)用性較強(qiáng)的問題有18個(gè),占52.9%:93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B,05A,05B,06A,06B,07B,08A(3)算法要求強(qiáng)的問題有7個(gè),占20.5%:95A,97B，99B,00A,00B,05B,07B;(4)數(shù)據(jù)量大的問題有13個(gè),占38.2%:00A,00B,01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B,06A,06B,07B;

個(gè)例：08B（無數(shù)據(jù)）（4）從問題的解決方法上分析涉及到的數(shù)學(xué)建模方法：幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(jì)(回歸)分析、優(yōu)化方法（規(guī)劃）、圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊(duì)論、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)決策、多目標(biāo)決策、隨機(jī)模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時(shí)間序列、綜合評(píng)價(jià)、機(jī)理分析等方法。

用的最多的方法是微分方程、優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法.插值與擬合，隨機(jī)模擬在數(shù)據(jù)處理時(shí)很有必要。灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)經(jīng)常被亂用。層次分析只能做半定量分析。3近幾年題目的特點(diǎn)（2004-2008）(1)綜合性：一題多解，方法融合，結(jié)果多樣，學(xué)科交叉。(2)開放性：題意的開放性，思路的開放性，方法的開放性，結(jié)果的開放性。(3)實(shí)用性：?jiǎn)栴}和數(shù)據(jù)來自于實(shí)際，解決方法切合于實(shí)際，模型和結(jié)果可以應(yīng)用于實(shí)際。(4)即時(shí)性：國內(nèi)外的大事，社會(huì)的熱點(diǎn)，生活的焦點(diǎn)，近期發(fā)生和即將發(fā)生被關(guān)注的問題。(5)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性：數(shù)據(jù)的真實(shí)性，數(shù)據(jù)的海量性，數(shù)據(jù)的不完備性，數(shù)據(jù)的冗余性。三、近五年競(jìng)賽題目解題方法、要點(diǎn)及特點(diǎn)分析2008年:A數(shù)碼相機(jī)定位

復(fù)旦大學(xué)譚永基問題背景：2007年工業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué)討論會(huì)上，某公司提出了雙目定位系統(tǒng)標(biāo)定問題。雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。這個(gè)問題在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛用途，最終要求同學(xué)建立用靶標(biāo)法給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。中英工業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué)討論會(huì):組織者：Dr.JohnOckendon

英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員OxfordCentreforIndustrialandAppliedMathematics（OCIAM）問題：建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo),這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的焦點(diǎn)，x-y平面平行于像平面；對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo),該相機(jī)的像距（即焦點(diǎn)到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024×786；設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。解法：求圓心像：靶標(biāo)的平面不平行相機(jī)的像平面。靶標(biāo)上圓的像是橢圓，但圓心的像一般不是橢圓的形心。對(duì)給定的坐標(biāo)系，由相片可獲取靶標(biāo)圓的像的邊界坐標(biāo)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些邊界點(diǎn)的原像落在靶標(biāo)平面且落在對(duì)應(yīng)圓周上的性質(zhì)計(jì)算。解題方法從本質(zhì)講分為兩大類：一類是利用成像影射的幾何特征作相片中橢圓公切線，然后求某些直線的交點(diǎn)的方法得到圓心像的像素坐標(biāo)，稱為公切線法。要點(diǎn)：在成像變換中空間直線在像素平面中仍為直線，兩條直線的交點(diǎn)的像是像素平面中兩條像直線的交點(diǎn)。平面上圓的切點(diǎn)影射為相應(yīng)橢圓的切點(diǎn)，由此可以用公切線方法求出各圓圓心像的坐標(biāo)。另一類方法是利用成像影射，建立確定靶標(biāo)平面方程及圓心坐標(biāo)等未知參數(shù)的非線性方程組或優(yōu)化模型，建立靶標(biāo)平面各點(diǎn)與像素平面各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱之為優(yōu)化方法。設(shè)點(diǎn)P（x,y,z),像p(u,v,f),中心影射變換：x=tu,y=tv,z=tf,

由此而得：u=fx/z,v=fy/z.

（1）注意：但無論用哪種方法，模型的驗(yàn)證是非常重要的。驗(yàn)證的方法是用自己的逆向設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證，同時(shí)還要考察方法的穩(wěn)定性。另外可以通過實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證。

在實(shí)驗(yàn)室中，對(duì)已知的經(jīng)過精密測(cè)量的靶標(biāo)位置用數(shù)碼相機(jī)拍照，再根據(jù)已建立的模型和方法對(duì)此照片進(jìn)行計(jì)算，將結(jié)果和與已知數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。對(duì)兩部相機(jī)各自取固定在其上的坐標(biāo)系，決定它們相對(duì)位置即確定這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。此變換可分解為一個(gè)平移和一個(gè)繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。于是要確定一個(gè)三維平移向量t和一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣R，R是一個(gè)正交陣，因此需要確定6個(gè)未知的參數(shù)。從靶標(biāo)上若干個(gè)圓的圓心的像坐標(biāo)可以得到它們分別在在兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)變換關(guān)系，可得一個(gè)方程組，足以確定6個(gè)未知參數(shù)，從而確定變換關(guān)系。2008B：高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討

北京理工大學(xué)葉其孝問題背景：是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)之一。2008年初,有經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為“最好的方法應(yīng)該是提高學(xué)費(fèi),通過提高的學(xué)費(fèi),以增加更多的獎(jiǎng)學(xué)金和助學(xué)貸款,來解決窮人上學(xué)的問題.”同學(xué)都交學(xué)費(fèi),因此每個(gè)人都有切身體會(huì).對(duì)于這個(gè)社會(huì)問題可參考文獻(xiàn)眾多.希望看到同學(xué)們既要找到相關(guān)文獻(xiàn)和數(shù)據(jù)并消化之,又能夠獨(dú)立、客觀地研究問題,得出有啟發(fā)性的結(jié)論.

國外對(duì)用數(shù)學(xué)模型來研究學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)問題的研究.美國田納西州高等教育委員會(huì)2005年12月22日提到：“學(xué)費(fèi)的(數(shù)學(xué))模型為高等教育和州政府的領(lǐng)導(dǎo)人更好地了解學(xué)費(fèi)收入和政府撥款之間的關(guān)系提供了一種途徑。

命題中的困難：是一個(gè)相當(dāng)開放的問題，也是一個(gè)敏感的社會(huì)熱點(diǎn)問題.許多媒體都對(duì)這一問題展開討論，但都缺乏數(shù)據(jù)的支持和定量的分析。不能太泛.要對(duì)政府有好的建議。問題：請(qǐng)你們根據(jù)中國國情，收集諸如國家生均撥款、培養(yǎng)費(fèi)用、家庭收入等相關(guān)數(shù)據(jù)，并據(jù)此通過數(shù)學(xué)建模的方法，就幾類學(xué)?；?qū)I(yè)的學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行定量分析，得出明確、有說服力的結(jié)論。數(shù)據(jù)的收集和分析是你們建模分析的基礎(chǔ)和重要組成部分。你們的論文必須觀點(diǎn)鮮明、分析有據(jù)、結(jié)論明確。特點(diǎn)：完全開放我國和美國的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的賽題相比較：我國的賽題不夠開放，實(shí)際上這也是競(jìng)賽命題長(zhǎng)期以來存在的問題，即既要充分考慮我國的國情，又要更加富有挑戰(zhàn)性和開放性，這是一個(gè)相當(dāng)開放的問題，從參考資料調(diào)研的寬度、數(shù)據(jù)搜集的廣度，建立模型的多樣性都可以充分發(fā)揮學(xué)生的潛能和創(chuàng)造力。

要求：學(xué)生從收集可靠、有根據(jù)的數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析，然后對(duì)一些特定的情景進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并根據(jù)數(shù)學(xué)建模所得到的結(jié)果給有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)部門寫一個(gè)報(bào)告提出自己的分析和具體的建議。解題要點(diǎn)：1.應(yīng)多角度、全面、綜合地考慮學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)問題。模型中至少應(yīng)考慮教育質(zhì)量的保證和承受能力兩個(gè)方面；例如，培養(yǎng)成本、成本分擔(dān)、承受能力、長(zhǎng)遠(yuǎn)收益、國際比較、歷史比較等方面的考慮。參考模型的多樣性國內(nèi)較早介紹學(xué)費(fèi)量化公式的有：下年度高教學(xué)費(fèi)的基準(zhǔn)數(shù)=家庭年收入*15%+年末戶均儲(chǔ)蓄額*20%晏開利，高等教育學(xué)費(fèi)的制衡因素，江蘇高教，1995年03期.閔維方,高等教育運(yùn)行機(jī)制研究[M],人民教育出版社,2002,生均培養(yǎng)成本=(人員經(jīng)費(fèi)+公用經(jīng)費(fèi)+固定資產(chǎn)折舊費(fèi))/學(xué)生數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)=上年度收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)*(1+本年度收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)率)本年度收費(fèi)增長(zhǎng)率=本年度費(fèi)用預(yù)算增長(zhǎng)數(shù)/上年度費(fèi)用預(yù)算數(shù)*100%陳雄,學(xué)費(fèi)收取標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算公式[J],預(yù)算管理與會(huì)計(jì),1996(3):38.王善邁,教育投入與產(chǎn)出[M],河北教育出版社,石家莊,1996.

以最大化社會(huì)效益是高等教育的最終目標(biāo).據(jù)此,紀(jì)秋穎、林健(基于Agent的高校學(xué)費(fèi)定價(jià)模型及實(shí)現(xiàn),計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2006,22,225–226,232)研究了下列模型其中G為整體的社會(huì)效益,E為經(jīng)濟(jì)效率度量,F為公平性度量,

和分別為兩者效益值的權(quán)重系數(shù).又有其中為能支付學(xué)費(fèi)的學(xué)生數(shù),為總招生數(shù),為在總招生數(shù)中具有最強(qiáng)學(xué)習(xí)能力的人數(shù)(公平性的體現(xiàn)).基于多智能體系統(tǒng)(Multi-AgentSystem,MAS)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),得到收費(fèi)定價(jià)最優(yōu)值與經(jīng)濟(jì)效率和教育公平的關(guān)系.

周瑩,(高校收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的探討,科技情報(bào)開發(fā)與經(jīng)濟(jì),2008年(第18卷),第3期,200–201.)提出如下公式收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)=生均培養(yǎng)成本*政府確定的收費(fèi)比例*a+家庭年均收入*國際平均標(biāo)準(zhǔn)*b+人均GDP*國際平均標(biāo)準(zhǔn)*c取a=0.3,b=0.4,c=0.3等.

2.數(shù)據(jù)的收集非常重要。應(yīng)該收集充分的、有根據(jù)、有說服力的數(shù)據(jù)，并能支持建模的結(jié)論。估計(jì)可能收集到的數(shù)據(jù)有：國民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)數(shù)據(jù)，教育經(jīng)費(fèi)的比例，國家生均撥款和其它教育投入，培養(yǎng)一個(gè)大學(xué)生平均每年所需費(fèi)用、學(xué)校每年的運(yùn)營(yíng)開支、每年報(bào)考大學(xué)的人數(shù)和錄取人數(shù)、學(xué)生分布結(jié)構(gòu)，家庭經(jīng)濟(jì)收入分布、困難學(xué)生的人數(shù)、每個(gè)學(xué)生每年的學(xué)費(fèi)、生活費(fèi)、獎(jiǎng)學(xué)金、助學(xué)金、貸款、捐贈(zèng)款等。3.應(yīng)該通過數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析和建模深入細(xì)致地討論學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)問題，并要有明確的結(jié)論。

有超過一半的本科隊(duì)選擇了本題，很多隊(duì)做得非常好，收集到了豐富的數(shù)據(jù)，提供了許多很好的值得借鑒的思路和具體的模型和求解方法，超出命題者的預(yù)期。大學(xué)生歡迎開放和有挑戰(zhàn)性的競(jìng)賽題目。建模的多樣性，創(chuàng)新性：大多數(shù)參賽者都從教育成本分擔(dān)的角度研究了政府投入、社會(huì)贊助、學(xué)生及其家庭的部分負(fù)擔(dān)等諸多方面來研究問題。他們從培養(yǎng)成本、政府的投入、城鎮(zhèn)居民收入水平、社會(huì)和個(gè)人的贊助、地區(qū)的差別、專業(yè)的差別、預(yù)期的收益、教育的公平性等諸多方面收集數(shù)據(jù)、進(jìn)行分析、建立并求解學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)確定的模型并依據(jù)其計(jì)算的結(jié)果給有關(guān)部門提出具體的意見和建議。也有把教育作為一種(準(zhǔn))公共產(chǎn)品，完全從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度，借鑒經(jīng)濟(jì)學(xué)中的有關(guān)模型來研究問題。具體的模型有多元回歸模型、多目標(biāo)優(yōu)化模型，甚至層次分析模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、微分方程模型等，并引入了相關(guān)的概念，有一些是很有啟發(fā)性的。但是在正確運(yùn)用這些模型方面差別就很大了，水平的高低也就明顯地表現(xiàn)出來了。眾人評(píng)價(jià)：對(duì)完全開放題目的褒貶不一近幾年來開放題目出的不錯(cuò),達(dá)到對(duì)大學(xué)生科研能力訓(xùn)練的目的。內(nèi)容過于寬泛，數(shù)據(jù)需要自己獲得，而且題目要求也不甚清晰。所以大家的思路可能會(huì)完全不同，沒有一定的標(biāo)準(zhǔn)，論文評(píng)審的標(biāo)準(zhǔn)

(1)假設(shè)的合理性

(2)建模的創(chuàng)造性

(3)結(jié)果的正確性

(4)表述的清晰性對(duì)于開放性題目也適用

2007Ａ：中國人口的增長(zhǎng)預(yù)測(cè)問題

清華大學(xué)唐云問題背景：屬于社會(huì)事業(yè)問題。中國是一個(gè)人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長(zhǎng)。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)中國人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)重要問題。數(shù)據(jù)來源《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》。

問題：試從中國的實(shí)際情況和人口增長(zhǎng)的上述特點(diǎn)出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，并由此對(duì)中國人口增長(zhǎng)的中短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)；特別要指出你們模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。分析數(shù)據(jù)的關(guān)鍵：對(duì)于一個(gè)地區(qū)或一類人群而言人口的自然增長(zhǎng)率＝出生率－死亡率；而出生率＝育齡婦女的生育率×育齡婦女在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?。利用附?中數(shù)據(jù)對(duì)上述相關(guān)參數(shù)進(jìn)行分析，可以看到：(1)生育率：城鎮(zhèn)和農(nóng)村育齡婦女的生育率有下降趨勢(shì)，但農(nóng)村總體數(shù)據(jù)偏高，因此有必要將城鎮(zhèn)人口和農(nóng)村人口（或比例）分離開來考慮。(2)出生人口的男女性別比：通常應(yīng)當(dāng)是105:100左右，但數(shù)據(jù)分析表明遠(yuǎn)超過了這個(gè)比例，且農(nóng)村出生人口的性別比例又超過城市。這影響到未來育齡婦女在總?cè)丝谥械谋壤约俺錾省Ｒ虼擞斜匾獙⒛信詣e比的因素考慮進(jìn)去。(3)死亡率：不同年齡段的死亡率都是不同的：0-3歲孩子死亡率較高，3-50歲死亡率較低的幼青壯年期，50歲以上的人死亡率不斷升高。可以把3-50歲年齡段人口的死亡率看成是接近于零。(4)人口的年齡分布：從某一年(比如2005年)分年齡段的人口數(shù)量分析，并結(jié)合死亡率的觀察，可以看出在過去50年的人口出生的變化情況，也可以看出中國人口未來的老齡化趨向。(5)附錄2中的人口數(shù)據(jù)都是按市、鎮(zhèn)和鄉(xiāng)（或縣）給出的。但按“報(bào)告”（附錄1），市和鎮(zhèn)放在一起，稱為“城鎮(zhèn)”，而鄉(xiāng)單列，稱為“鄉(xiāng)村”或“農(nóng)村”。本題“城鎮(zhèn)化”也可以這樣理解。這時(shí)就需要對(duì)“城鎮(zhèn)”的每個(gè)要用到數(shù)據(jù)進(jìn)行加工，即按附錄2最右邊給出的每年人口的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行換算。(6)附錄2中給出的數(shù)據(jù)都是抽樣數(shù)據(jù)，因此都是相對(duì)的。如需要用到每年各類人口的總數(shù)據(jù)，可在政府網(wǎng)站上查到。比如，在政府公布的《中國人口現(xiàn)狀》/test/2005-07/26/content_17363.htm

中就有2005年的詳細(xì)數(shù)據(jù)。從中也可以看出，附錄2中給出的2005年人口數(shù)據(jù)就是大約1％的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)。從網(wǎng)上及文獻(xiàn)中還可以查到更多數(shù)據(jù)。(7)在本題的數(shù)據(jù)說明中曾指出“個(gè)別數(shù)據(jù)有異常，原文如此，可酌情處理?！睂?shí)際上，這些異常數(shù)據(jù)在個(gè)別年份才會(huì)出現(xiàn)，如果把他們從總體上進(jìn)行擬合，對(duì)整個(gè)模型的建立應(yīng)該是沒有很大影響的。而且一些異常通過查閱其他資料也可得到糾正。本題的重點(diǎn)是要根據(jù)我國近年來人口發(fā)展的總趨勢(shì)和特點(diǎn)來建立模型，因此，必須從總體上來把握數(shù)據(jù)。(8)如果考慮人口分布的地區(qū)和產(chǎn)業(yè)等差別，也是可以的，但需要自己補(bǔ)充相關(guān)數(shù)據(jù)。建模要點(diǎn)：(1)基本假設(shè)：從中國人口增長(zhǎng)的特點(diǎn)出發(fā)，可以提出如下假設(shè)作為建立模型的依據(jù)：老齡化進(jìn)程加速；農(nóng)村育齡婦女的生育率明顯高于城鎮(zhèn)；出生人口的男女性別比持續(xù)升高；農(nóng)村人口不斷城鎮(zhèn)化。根據(jù)這些假設(shè)，區(qū)分模型中的狀態(tài)變量和參數(shù)。(2)狀態(tài)變量的設(shè)置：根據(jù)上述假設(shè)和數(shù)據(jù)分析，可以把城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口，及男女性別區(qū)分開來。另一方面，注意到育齡婦女的生育率是決定人口增長(zhǎng)的主要因素，可以對(duì)人口的年齡分布按不同年齡段進(jìn)行簡(jiǎn)化，以減少狀態(tài)變量。(3)老齡化的影響：數(shù)據(jù)分析表明，在每一類人(比如城鎮(zhèn)婦女)中，老年人口在該類總?cè)丝谥械谋壤鹉晟仙?，而青壯年和幼年人口比例逐年下降?？梢酝ㄟ^對(duì)人口矩陣的迭代，或用其他模型方法，找出他們上升或下降的一般規(guī)律。(4)農(nóng)村人口以一定規(guī)律轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口。解法：主要是利用人口發(fā)展方程(離散或連續(xù)，差分方程，或微分方程）加隨機(jī)模擬（特色）)預(yù)測(cè)人口的增長(zhǎng),并分析人口的流動(dòng)、老齡化等問題的影響。特點(diǎn)：題目討論分析細(xì)致。城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口，及男女性別區(qū)分開來。注意到育齡婦女的生育率是決定人口增長(zhǎng)的主要因素，可以對(duì)人口的年齡分布按不同年齡段進(jìn)行簡(jiǎn)化。考慮老齡化的影響。農(nóng)村人口以一定規(guī)律轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口。創(chuàng)新點(diǎn)：在模型中適當(dāng)引進(jìn)遲滯項(xiàng)，就可預(yù)測(cè)到這種“小高峰”現(xiàn)象。當(dāng)然，此時(shí)的初值應(yīng)當(dāng)是一個(gè)近幾十年來的人口變化函數(shù)。這可能有一定難度，不一定作為必須要考慮的要求。如果考慮到這種遲滯效應(yīng)，應(yīng)該說是有創(chuàng)意的。2007B：“乘公交，看奧運(yùn)”問題

吉林大學(xué)方沛辰國防科大吳孟達(dá)問題背景：根據(jù)公交線路查詢系統(tǒng)研制的實(shí)際需求簡(jiǎn)化改編而成。很多城市都在搞公交線路查詢系統(tǒng)的開發(fā)與研制，城市建設(shè)的需要。標(biāo)題為“乘公交，看奧運(yùn)“適應(yīng)奧運(yùn)氣氛。特點(diǎn)：?jiǎn)栴}容易理解，相關(guān)參考文獻(xiàn)也較多，但涉及到公汽與地鐵線路的聯(lián)系，以及換乘時(shí)間等細(xì)節(jié)的處理，加上需要處理的數(shù)據(jù)量較大，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，綜合性和實(shí)用性強(qiáng)，問題并不十分簡(jiǎn)單。主要考核建模及編程能力。問題：1、僅考慮公汽線路，給出任意兩公汽站點(diǎn)之間線路選擇問題的一般數(shù)學(xué)模型與算法。并根據(jù)附錄數(shù)據(jù)，利用你們的模型與算法，求出以下6對(duì)起始站→終到站之間的最佳路線（要有清晰的評(píng)價(jià)說明）。

(1)、S3359→S1828(2)、S1557→S0481(3)、S0971→S0485(4)、S0008→S0073(5)、S0148→S0485(6)、S0087→S36762、同時(shí)考慮公汽與地鐵線路，解決以上問題。3、假設(shè)又知道所有站點(diǎn)之間的步行時(shí)間，請(qǐng)你給出任意兩站點(diǎn)之間線路選擇問題的數(shù)學(xué)模型。解法：這是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，考慮換乘次數(shù)最少、所用時(shí)間少，費(fèi)用最省，三個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。主要有以下幾種解法：?jiǎn)栴}1：圖論模型，這可能是最常使用的方法，首先要考慮如何根據(jù)不同目標(biāo)建立有向賦權(quán)圖（如利用不同的矩陣表示），然后再求給定點(diǎn)對(duì)之間的最小換乘次數(shù)或最短路。求兩點(diǎn)間最短路有Dijkstra算法與Floyd算法等，但并不能將這兩種算法直接套用于本問題，還需要處理好換乘和換乘時(shí)間問題。規(guī)劃模型，包括0-1規(guī)劃方法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法等。數(shù)據(jù)庫模型，利用數(shù)據(jù)庫技術(shù)直接對(duì)線路及站點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行搜索。注意：（1）本問的關(guān)鍵點(diǎn)是換乘時(shí)間的處理及最短時(shí)間線路的選擇。（2）若算法運(yùn)算時(shí)間比較長(zhǎng)，可事先計(jì)算出所有最佳線路，將結(jié)果存入數(shù)據(jù)庫備查。因此算法的運(yùn)算時(shí)間問題不是本題的考察重點(diǎn)。（3）對(duì)于原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的一些異常數(shù)據(jù)，同學(xué)可根據(jù)自己的理解作出假設(shè)和處理。

問題2：可以有多種處理方法，關(guān)鍵是看合理性與可操作性。換乘時(shí)間的處理較第一問要復(fù)雜，需重點(diǎn)關(guān)注。問題3：比較一般的線路選擇問題，更接近實(shí)際。由于增加了步行因素，每個(gè)站點(diǎn)的可換乘方案大大增加了，于是用圖論方法處理的難度也會(huì)有很大增加。最常用的目標(biāo)有：換車次數(shù)最少，乘車的總站數(shù)最少，步行的總時(shí)間最少，總車費(fèi)最少等等，應(yīng)該針對(duì)不同的情況分別寫出模型。僅考慮公汽同時(shí)考慮公汽與地鐵點(diǎn)對(duì)第1目標(biāo)換乘次數(shù)時(shí)間（分）費(fèi)用（元）換乘次數(shù)時(shí)間（分）費(fèi)用（元）S3359→S1828換乘次數(shù)1*10431*1043時(shí)間267*3267*3費(fèi)用2673*2673*S1557→S0481換乘次數(shù)2*10932*1093時(shí)間3102*43102*4費(fèi)用21093*21093*S0971→S0485換乘次數(shù)1*13131*1313時(shí)間2106*34105.5*7費(fèi)用21063*21063*S0008→S0073換乘次數(shù)1*8621*862時(shí)間462*5356.5*5費(fèi)用1862*1862*要點(diǎn)：從該問題的實(shí)際背景來看，采取加權(quán)合成將問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題的解題思路不太合適。比較適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ窍却_定某個(gè)目標(biāo)優(yōu)先，再利用極大極小方法確定另兩個(gè)目標(biāo)值，尋求最佳線路，然后讓乘客按照自己的需求進(jìn)行選擇。2006A：出版社的資源管理問題

北京工業(yè)大學(xué)孟大志問題背景：題目數(shù)據(jù)來源與高教出版社，當(dāng)前大多數(shù)出版社的資源配置方法基本上是基于經(jīng)驗(yàn)的，即根據(jù)去年的配置方案再參照當(dāng)年下屬各分社提交的申請(qǐng)計(jì)劃和某些特殊情況進(jìn)行分配的。這種管理方式粗糙，不能達(dá)到現(xiàn)代企業(yè)管理的目標(biāo)。屬于生產(chǎn)管理問題，包括生產(chǎn)資源開發(fā)利用和人力資源的合理分配問題，即要考慮經(jīng)濟(jì)效益，又要考慮社會(huì)效益。問題：根據(jù)附錄給出的出版社所掌握的一些數(shù)據(jù)資料，利用數(shù)學(xué)建模方法，在信息不足的條件下，提出以量化分析為基礎(chǔ)的資源（書號(hào)）配制方法，給出一個(gè)明確的分配方案，向出版社提供有益的建議。特點(diǎn)：由于出版業(yè)可用于資源配置的數(shù)據(jù)信息通常是不完全的，企業(yè)本身的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)信息沒有完整的采集與存貯，出版市場(chǎng)信息匱乏，也沒有行業(yè)性市場(chǎng)信息有效采集與存貯。對(duì)于資源配置要進(jìn)行有數(shù)據(jù)依據(jù)的科學(xué)決策是很困難的。海量數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)不完備（冗余）、數(shù)據(jù)信息結(jié)構(gòu)復(fù)雜，是命題突出的三個(gè)特點(diǎn)，也是難點(diǎn)及創(chuàng)新點(diǎn)。建模要點(diǎn)：出版社的資源配置就是要將有限的書號(hào)分配給各分社。而后進(jìn)行的策劃、編輯、排版、印刷及銷售都占有出版社的生產(chǎn)資源和資金及銷售產(chǎn)生的稅收及利潤(rùn)。不同的教材的投入、產(chǎn)出及效益不同，因而是一個(gè)優(yōu)化決策問題。優(yōu)化變量：書號(hào)；目標(biāo)函數(shù)：經(jīng)濟(jì)效益；約束函數(shù)：企業(yè)內(nèi)、外部條件。上圖為決策的信息結(jié)構(gòu)，根據(jù)結(jié)構(gòu)所表示的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型。方法：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、模糊優(yōu)化和網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等。2006B：艾滋病療法的評(píng)價(jià)及預(yù)測(cè)問題

天津大學(xué)邊馥萍問題背景：艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺陷綜合癥”（以下簡(jiǎn)稱AIDS)，是人體感染了人類免疫缺陷型病毒(以下簡(jiǎn)稱HIV)引起的，當(dāng)HIV感染者的免疫功能受到病毒的嚴(yán)重破壞時(shí)，感染者便發(fā)展為AIDS病人。隨著免疫力的降低，人體會(huì)越來越頻繁和嚴(yán)重地感染上各種致病微生物，最終會(huì)因各種復(fù)合感染而死亡。AIDS已成為當(dāng)前人類社會(huì)最嚴(yán)重的瘟疫之一。聯(lián)合國艾滋病規(guī)劃署和世界衛(wèi)生組織發(fā)表的《2005年度全球艾滋病疫情報(bào)告》顯示，HIV感染者總?cè)藬?shù)已達(dá)4030萬，自1981年以來的死亡總?cè)藬?shù)為2500萬。我國HIV感染者也已有100萬人，專家預(yù)測(cè)，如不采取積極有效的措施，到2010年HIV感染者將超過1000萬人。AIDS的預(yù)防及治療已經(jīng)成為全社會(huì)共同的責(zé)任。在HIV感染過程中，病毒以活動(dòng)、靜止兩種狀態(tài)存在于宿主細(xì)胞里。含有靜止期病毒的細(xì)胞一旦被激活，整合到宿主細(xì)胞中的病毒DNA開始轉(zhuǎn)錄為RNA，在病毒結(jié)構(gòu)蛋白及各種粒酶作用下，經(jīng)裝配病毒RNA核心顆粒，從細(xì)胞膜上獲得包膜，成為成熟的HIV病毒。成熟的HIV再感染新的細(xì)胞。隨著病毒的復(fù)制繁殖，在機(jī)體免疫系統(tǒng)起重要作用的CD4細(xì)胞數(shù)量呈進(jìn)行性減少。HIV感染后出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)進(jìn)展過程包含著不同的發(fā)展階段，如圖1所示。艾滋病感染者體內(nèi)CD4與HIV數(shù)量最新臨床試驗(yàn)結(jié)果提示，感染者正在使用的不是最佳治療方案；感染者雖然采用高效的治療方案，但CD4細(xì)胞數(shù)量繼續(xù)下降；患者有臨床進(jìn)展表現(xiàn)或嚴(yán)重的毒副作用，使之難以堅(jiān)持治療。題目中提出要為患者預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，及確定最佳治療終止時(shí)段，所采用的ACTG320數(shù)據(jù)與193A數(shù)據(jù)都來源于美國最大的AIDS醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG的報(bào)告。原始數(shù)據(jù)提供者Dr.LawrenceLessner(LLessner@)HIV濃度的測(cè)試成本很高，而CD4細(xì)胞數(shù)量的降低是免疫缺陷進(jìn)展的直接標(biāo)志，被認(rèn)為是最重要的預(yù)見HIV感染狀態(tài)的參考，也是各類療法的有效評(píng)價(jià)指標(biāo)。在193A報(bào)告中給出的不同人群、不同療法的評(píng)價(jià)指標(biāo)是CD4細(xì)胞的數(shù)量?；颊叩闹委熓且粋€(gè)長(zhǎng)期的、只能延緩生命的過程，特別是對(duì)于發(fā)展中國家的一些患者，需要考慮治療的費(fèi)用，所以題目中提出，在考慮治療成本的前提下，如何選擇最佳療法與終止時(shí)間。這里，藥品價(jià)格是從網(wǎng)上查到的。

問題：艾滋病是當(dāng)前人類社會(huì)最嚴(yán)重的瘟疫之一，從1981年發(fā)現(xiàn)以來的20多年間，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡(jiǎn)稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”,英文簡(jiǎn)稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。

艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。

迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對(duì)人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗(yàn)、尋找更好的AIDS療法。現(xiàn)在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。ACTG320（見附件1）是同時(shí)服用zid.,lam.,ind.3種藥物的300多名病人每隔幾周測(cè)試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。193A（見附件2）是將1300多名病人隨機(jī)地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測(cè)試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測(cè)試成本很高）。4種療法的日用藥分別為：600mgzid.或400mgdid.，這兩種藥按月輪換使用；600mgzid.加2.25mgzal.；600mgzid.加400mgdid.；600mgzid.加400mgdid.，再加400mgnev.。請(qǐng)你完成以下問題：（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測(cè)試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。

(3)艾滋病藥品的主要供給商對(duì)不發(fā)達(dá)國家提供的藥品價(jià)格如下：600mgzid.1.60美元，400mgdid.0.85美元，2.25mgzal.1.85美元，400mgnev.1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費(fèi)用，對(duì)（2）中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)（或者提前終止）有什么改變。附件1ACTG320數(shù)據(jù)同時(shí)服用3種藥物的300多名病人每隔幾周測(cè)試的CD4和HIV的濃度。第1列是病人編號(hào)，第2列是測(cè)試CD4的時(shí)刻（周），第3列是測(cè)得的CD4（乘以0.2個(gè)/ml），第4列是測(cè)試HIV的時(shí)刻（周），第5列是測(cè)得的HIV（單位不詳）。PtID CD4DateCD4CountRNADate

VLoad23424 0 178 0 5.523424 4 228 4 3.923424 8 126 8 4.723424 25 171 25 42342440 99 40 523425 0 14 0 5.323425 4 62 4 2.423425 9 110 9 3.723425 23 122 23 2.623425 40 320 附件2193A數(shù)據(jù)1300多名病人按照4種療法服藥大約每隔8周測(cè)試的CD4濃度。第1列是病人編號(hào)，第2列是4種療法的代碼：第3列是病人年齡，第4列是測(cè)試CD4的時(shí)刻（周），第5列是測(cè)得的CD4，取值log(CD4+1).ID療法年齡時(shí)間Log(CD4count+1)1 2 36.4271 0 3.13551 2 36.4271 7.5714 3.04451 2 36.4271 15.5714 2.77261 2 36.4271 23.5714 2.83321 2 36.4271 32.5714 3.21891 2 36.4271 40 3.04452 4 47.8467 0 3.06812 4 47.8467 8 3.89182 4 47.8467 16 3.97032 4 47.8467 23 3.61092 4 47.8467 30.7143 3.33222 4 47.8467 39 3.0910CD4大致有先增后減的趨勢(shì)，HIV有先減后增的趨勢(shì)，啟示應(yīng)建立時(shí)間的二次函數(shù)模型問題（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果,或者確定最佳治療終止時(shí)間。分析數(shù)據(jù)如隨機(jī)取20個(gè)病人，畫出他們CD4和HIV濃度隨時(shí)間變化的圖形（折線），若先用一次模型，應(yīng)與二次模型做統(tǒng)計(jì)分析比較CD4HIV1）

總體回歸模型

用全部數(shù)據(jù)擬合一個(gè)模型，如yij=b0+b1tij+b2tij2，tij，yij分別為第i病人第j次測(cè)量的時(shí)間和CD4（或HIV），估計(jì)b0,b1,b2建立模型有以下形式的回歸模型（一次與二次模型比較，二次較優(yōu)）：對(duì)HIV，b2>0,b1<0,t=-b1/2b2達(dá)到最小對(duì)CD4，b2<0,b1>0,t=-b1/2b2達(dá)到最大平均地應(yīng)在25~30（周）結(jié)束治療?？蓪?duì)CD4統(tǒng)計(jì)b2i<0,b1i>0（存在正最大點(diǎn)）及b2i>0（不存在最大點(diǎn)）的頻率，分別作為及時(shí)結(jié)束治療與繼續(xù)治療的概率；也可用它們的均值和均方差在確定分布下計(jì)算這些概率。2)個(gè)人回歸模型用每個(gè)病人的數(shù)據(jù)擬合一個(gè)模型，如yij=b0i+b1itij+b2itij2，計(jì)算b0i,b1i,b2i的均值和均方差，用均值可得CD4的最大點(diǎn)和HIV的最小點(diǎn)。將模型yij=b0i+b1itij+b2itij2的系數(shù)分解:bki=bk+

ik（k=0,1,2），設(shè)

ik服從零均值正態(tài)分布，利用極大似然估計(jì)可以得到bk的估計(jì)值及

ik的方差。3)縱向數(shù)據(jù)回歸模型bk的估計(jì)值用于計(jì)算CD4的最大點(diǎn)和HIV的最小點(diǎn)，它與

ik的方差一起可以在正態(tài)分布假定下計(jì)算及時(shí)結(jié)束治療與繼續(xù)治療的概率。如果考慮病人初始狀態(tài)（t=0時(shí)的CD4和HIV）的不同對(duì)模型的影響，可以將模型中的yij定義為第i病人第j次測(cè)量的CD4（或HIV）與初始值之差或之比?；蛘呦劝凑詹∪顺跏紶顟B(tài)分類（如輕度、中度、重度），然后對(duì)于每一類建立回歸模型。建立模型問題（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣，并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。對(duì)于每種療法隨機(jī)取20個(gè)病人，畫出他們CD4隨時(shí)間變化的圖形（折線），可以看出療法1~3的CD4基本上水平，略有下降，而療法4有先增后減的趨勢(shì)。啟示應(yīng)建立時(shí)間的一次與二次函數(shù)模型，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析比較，確定哪種較優(yōu)。

分析數(shù)據(jù)可以引入4（或3）個(gè)0-1變量表示4種療法建立統(tǒng)一模型，或者對(duì)每種療法各建立一個(gè)模型（一般來說前者較優(yōu)）。1）回歸模型以總體回歸模型為例，只需增加年齡變量，分別用一次與二次時(shí)間函數(shù)模型進(jìn)行比較，可知療法1~3用一次模型較優(yōu)，且一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，即CD4在減少，從數(shù)值看療法3優(yōu)于療法2和1；療法4用二次模型較優(yōu)，即CD4先增后減，建立模型做療法有無顯著性差異的兩兩比較：用1個(gè)0-1變量構(gòu)造兩種療法的統(tǒng)一模型，可以用t檢驗(yàn)作回歸系數(shù)是否為零的假設(shè)檢驗(yàn)。結(jié)果是療法1與2無顯著性差異，而療法1與3，2與3，3與4均有顯著性差異。2）假設(shè)檢驗(yàn)療法是必選的因素，如果還考慮年齡和初始狀態(tài)，用雙因素分析則比較復(fù)雜，可以先按這些因素分類，再做療法的單因素分析。3）方差分析論文中出現(xiàn)問題的評(píng)析1．只做數(shù)據(jù)擬合，不做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。用回歸分析方法做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：得到的模型有無顯著意義，它的置信度多大，用它作預(yù)測(cè)時(shí)準(zhǔn)確程度如何。最小二乘擬合：已知一組數(shù)據(jù)(xk,yk),k=1,2,…,n和一個(gè)形式已定、參數(shù)

待定的模型（曲線）y=f(x,),確定參數(shù)使數(shù)據(jù)與模型在誤差平方和最小的意義下擬合得最好。有現(xiàn)成的計(jì)算公式和軟件確定參數(shù)。x0123456789y1.041.221.381.591.801.992.212.392.652.83z0.280.612.192.562.491.173.171.292.113.27y=a1x+b1=0.2013x+1.0040z=a2x+b2=0.2025x+1.0025兩個(gè)模型的結(jié)果一樣，但是可靠性和準(zhǔn)確性一樣嗎？需要做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)！簡(jiǎn)例最小二乘擬合yxzx決定系數(shù)R2F值p值剩余方差

2a的置信區(qū)間b的置信區(qū)間y=a1x+b10.99855294<0.00010.0006[0.1950,0.2077][0.9699,1.0381]z=a2x+b20.35284.3610.07020.7761[-0.0211,0.4262][-0.1915,2.1966]

R2=0.3528~在z的變化中只有35%是由x決定的

p值大于0.05~在常用的置信度

=5%下該模型沒有顯著意義

a2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)~a=0落在置信水平為95%的區(qū)間內(nèi)

若x=5.5預(yù)測(cè)區(qū)間y：[2.0621，2.1606]，z：[0.3899，3.8432]，預(yù)測(cè)值y=2.1113,z=2.1165回歸分析結(jié)果z的預(yù)測(cè)沒有什么價(jià)值！2．對(duì)原始數(shù)據(jù)先取平均，再用平均值做擬合數(shù)據(jù)中大多數(shù)病人的測(cè)試時(shí)間是0,4,8,…（周），個(gè)別病人是5,7,…（周），為了得到CD4(或HIV)的變化趨勢(shì)，先在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上對(duì)CD4取平均，再用平均值做擬合．這樣做有什么問題呢？

注意：有的時(shí)間點(diǎn)上有上百個(gè)病人的CD4，而有的時(shí)間點(diǎn)上只有幾個(gè)病人的CD4。

數(shù)據(jù)(x,y)：x=0,y=0:0.05:2;

x=1,y=1:0.05:3;x=2,y=0,2,在圖上共84個(gè)點(diǎn)。簡(jiǎn)例對(duì)數(shù)據(jù)(x,y)擬合一條直線，得y=0.7647x+1.0784先在x=0,1,2對(duì)y取平均得到3個(gè)點(diǎn),再擬合直線，得y=1.3333取平均后的3個(gè)點(diǎn)在做擬合時(shí)的權(quán)重相同;但是x=0,1的點(diǎn)都是41個(gè)數(shù)據(jù)的平均值,而x=3的點(diǎn)只是2個(gè)數(shù)據(jù)的平均值3．?dāng)M合過度用4次、5次甚至更高次數(shù)的多項(xiàng)式作擬合

數(shù)據(jù)的起伏是由與時(shí)間本身無關(guān)的其它隨機(jī)因素引起的，不應(yīng)該用增加時(shí)間的高次項(xiàng)來擬合

注意擬合與插值在應(yīng)用場(chǎng)合的差別一般地說，多項(xiàng)式擬合不要超過3次，對(duì)于本題如果用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)做顯著性分析，可以發(fā)現(xiàn)多數(shù)情況是以時(shí)間的2次多項(xiàng)式為好適用本題的顯然是擬合而非插值4．只按照?qǐng)D形做直觀的定性判斷，不做定量分析為了比較4種療法的優(yōu)劣，對(duì)每種療法的CD4（或取平均）做散點(diǎn)圖,或折線（散點(diǎn)連線）圖,直觀地比較療法的優(yōu)劣沒有普遍的指導(dǎo)意義，對(duì)于其它問題或數(shù)據(jù)，這樣做不一定能得到結(jié)果一種療法的CD4散點(diǎn)圖(或折線圖)在另一種療法的上面,從統(tǒng)計(jì)意義上并不能表明其顯著性作為數(shù)學(xué)建模題目應(yīng)該給出定量的處理方法!5．雙指標(biāo)處理不當(dāng)

對(duì)于CD4和HIV兩個(gè)指標(biāo)的處理，常用的方法是用某種函數(shù)形式將二者結(jié)合在一起.由于CD4越大越好，HIV越小越好，一些同學(xué)取二者之差或二者之商為綜合指標(biāo).這樣簡(jiǎn)單處理的問題在于，這兩個(gè)指標(biāo)量綱不同,數(shù)量級(jí)差別較大.恰當(dāng)?shù)霓k法是，先分別將其歸一化（如將數(shù)值變換到0-1之間），然后取加權(quán)平均.6.其他方法評(píng)價(jià)：除了用統(tǒng)計(jì)方法以外，我們看到一些同學(xué)采用微分方程、灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法建模，根據(jù)生態(tài)學(xué)中描述生滅關(guān)系的魯特爾-伏爾脫拉方程，建立微分方程組，而且方程組的形式僅是簡(jiǎn)單的一階線性方程組。由于方程組中各項(xiàng)參數(shù)未知，因而將參數(shù)視為灰色系數(shù)。還有的采用一階一元灰色模型，即GM（1，1），求灰系數(shù)。一般的說此方法不大適用于本題，因?yàn)槲⒎址匠棠Ｐ屯ǔＧ蟮玫氖墙馕鼋?，或?shù)值解，因而模型要有一定精度，求解過程復(fù)雜；它可以求出整體最優(yōu)解，對(duì)于局部的最優(yōu)性問題顯得束手無策；需要確定輸入、輸出之間關(guān)系的顯式表達(dá)式，過程復(fù)雜，而且需要先確定系數(shù)。不能用灰色預(yù)測(cè)方法求得這些系數(shù)，采用灰色系統(tǒng)作預(yù)測(cè)時(shí)要知道輸入變量的未來值。我們建議采用此類方法建模的同學(xué)看文獻(xiàn)[4]，從中了解如何采用微分方程最優(yōu)控制模型，描述在免疫系統(tǒng)中CD4細(xì)胞與HIV病毒的相互作用過程，其方程形式比較復(fù)雜，而且其參數(shù)是已知的，[4]中所研究的CD4細(xì)胞與HIV相互作用過程只是在50天左右，這些參數(shù)值不適用于長(zhǎng)周期。某些同學(xué)還采用了層次分析法，模糊評(píng)價(jià)，時(shí)間序列，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法建立模型，也不一定合適。簡(jiǎn)單的說，層次分析法，模糊評(píng)價(jià)用于半定性，半定量問題轉(zhuǎn)化為定量分析，本題是定量問題的計(jì)算。時(shí)間序列模型需要有足夠長(zhǎng)的樣本長(zhǎng)度，這里給出的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)太少。至于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，適用于繼代分析，這里不再詳述，希望同學(xué)們能對(duì)某種數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用范圍能有進(jìn)一步的理解，而不是拿來簡(jiǎn)單套用。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是解決這個(gè)問題的另一種方法，簡(jiǎn)述如下。為了利用193A數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣，首先進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，構(gòu)造決策單元（DMUs），對(duì)1309位患者按年齡分組：如14到25歲,25到35歲,35到45歲,及45歲以上分為4組。在每個(gè)年齡組中，按照4種療法和4個(gè)治療階段（0到10周，10到20周，20到30周，30到40周），可以得到16個(gè)決策單元。取4種藥品的數(shù)量作為輸入，取患者在治療各個(gè)階段末的CD4與開始治療時(shí)的CD4的比值作為輸出。

然后構(gòu)多目標(biāo)規(guī)劃模型，并利用其最優(yōu)解，判斷決策單元是否達(dá)到最優(yōu)[2]。

這樣，不同年齡段的患者就可以根據(jù)各種療法在治療各個(gè)階段的效率和自己經(jīng)濟(jì)情況決定采用哪種療法、治療到哪個(gè)階段。主要參考文獻(xiàn)1.BianFP,CuiLY,LawrenceLessner.DEA-basedanti-HIVimmunotherapymodel[J].ProgressinNaturalScience,2004,14(9):828-832.2.BianFP,DaiM,Stochasticfrontierproductionmodelwithundesirableoutputs:AnapplicationtoanHIVimmunologymodel[J].ProgressinNaturalScience,2005,15(10):943-9503.BianFP,TangXQ,StochasticDEAmodelwithundesirableoutputs:Anapplicationtothepredictionofanti-HIVtherapyefficiency[J].ProgressinNaturalScience,2006,16(7):753-759.4.HemRajJoshi.OptimalcontrolofanHIVimmunologymodel.Optimalcontrolapplicationsandmethods,2002;23:199~2132005A：長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)問題

信息工程大學(xué)韓中庚問題背景：2004年由全國政協(xié)和中國發(fā)展研究院共同舉辦的大型環(huán)保公益性活動(dòng)——“保護(hù)長(zhǎng)江萬里行”。2005年“保護(hù)長(zhǎng)江”成為兩會(huì)關(guān)注的主題。長(zhǎng)江的污染究竟達(dá)到了什么程度？主要的污染源在哪里？未來的發(fā)展趨勢(shì)究竟會(huì)如何？命題人聯(lián)系走訪了水利部中國水環(huán)境研究院信息中心；科學(xué)院水質(zhì)研究所；長(zhǎng)江水利管理委員會(huì)信息中心等眾多單位和專家。主要數(shù)據(jù)來源：國家環(huán)保局網(wǎng)站：長(zhǎng)江流域水質(zhì)檢測(cè)數(shù)據(jù)、《長(zhǎng)江年鑒》、長(zhǎng)江流域相關(guān)網(wǎng)站等。問題給出了長(zhǎng)江沿線17個(gè)觀測(cè)站(地區(qū))近兩年多主要水質(zhì)指標(biāo)的檢測(cè)數(shù)據(jù)，以及干流上７個(gè)觀測(cè)站近一年多的基本數(shù)據(jù)(站點(diǎn)距離、水流量和水流速)。通常認(rèn)為一個(gè)觀測(cè)站的水質(zhì)污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。

一般說來，江河自身對(duì)污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學(xué)降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低。反映江河自然凈化能力的指標(biāo)稱為降解系數(shù)。

事實(shí)上，長(zhǎng)江干流的自然凈化能力可以認(rèn)為是近似均勻的，根據(jù)檢測(cè)可知，主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的降解系數(shù)通常介于0.1-0.5之間，比如可以考慮取0.2

(單位：1/天)。

附表:《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》(GB3838—2002)中4個(gè)主要項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)限值單位：mg/L需解決的問題如下：（1）對(duì)長(zhǎng)江近兩年多的水質(zhì)情況做出定量的綜合評(píng)價(jià)，并分析各地區(qū)水質(zhì)的污染狀況。（2）研究、分析長(zhǎng)江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要在哪些地區(qū)?

（3）假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)長(zhǎng)江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)分析，比如研究未來10年的情況。

（4）根據(jù)你的預(yù)測(cè)分析，如果未來10年內(nèi)每年都要求長(zhǎng)江干流的Ⅳ類和Ⅴ類水的比例控制在20%以內(nèi)，且沒有劣Ⅴ類水,那么每年需要處理多少污水？

（5）你對(duì)解決長(zhǎng)江水質(zhì)污染問題有什么切實(shí)可行的建議和意見。

問題（1）：按照國家標(biāo)準(zhǔn)地表水的評(píng)價(jià)指標(biāo)主要是附表中的4項(xiàng)，而水質(zhì)有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ共6個(gè)類別，每一類對(duì)每一項(xiàng)指標(biāo)都有相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值（區(qū)間），只要有一項(xiàng)指標(biāo)達(dá)到高類別標(biāo)準(zhǔn)就算是高類別的水質(zhì)。

實(shí)際上不同類別的水質(zhì)有很大的差別，同一類別水質(zhì)的污染物含量也有一定的范圍，所以做綜合評(píng)價(jià)時(shí)要考慮這些指標(biāo)“質(zhì)的差異”和“量的差異”。

由于各項(xiàng)指標(biāo)在各類別中的標(biāo)準(zhǔn)值（區(qū)間）差別很大，評(píng)價(jià)時(shí)首先要對(duì)數(shù)據(jù)做標(biāo)準(zhǔn)化處理。典型的方法：動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合法

根據(jù)附件數(shù)據(jù)，計(jì)算得到17個(gè)觀測(cè)點(diǎn)28個(gè)月的水質(zhì)綜合指標(biāo)后，要進(jìn)行綜合排序。

首先用“動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合法”按照水質(zhì)綜合指標(biāo)的大小給出每個(gè)月17個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的排序，然后用Borda數(shù)方法進(jìn)行28個(gè)月的水質(zhì)綜合排序。

問題（2）：研究、分析長(zhǎng)江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要在哪些地區(qū)?

一個(gè)江段的水質(zhì)污染來自本地區(qū)的排污和上游的污水，水質(zhì)最差的地區(qū)不一定是污染源最嚴(yán)重的地區(qū)。

用長(zhǎng)江干流上的7個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)將長(zhǎng)江分為6個(gè)江段，逐段計(jì)算各江段的排污量，找出主要污染源所在的區(qū)域。

首先研究每個(gè)江段中污染物濃度C(mg/L)的變化規(guī)律。由于題目中給出了污染物的降解系數(shù)，附件3給出了每個(gè)月的污染物濃度、流量、流速等數(shù)據(jù)，若忽略污染物的局部擴(kuò)散（研究的是總體污染），在考慮固定時(shí)段（月）的污染物濃度時(shí)，可將一般的一維水質(zhì)模型：

簡(jiǎn)化為

（其中為t時(shí)間，x為江段長(zhǎng)度，k為擴(kuò)散系數(shù)，u為流速，對(duì)每一江段是常數(shù)，D為污染物的降解系數(shù)）。它的解是，其中問題的困難：

由污染物濃度和流量要計(jì)算各江段的單位時(shí)間排污量，不知道一個(gè)江段內(nèi)諸多支流及排污口的位置和排污量，無法得到各江段的總排污量。

解決的辦法：

考慮到當(dāng)所有排污點(diǎn)都集中在江段起點(diǎn)時(shí)，對(duì)該段的水質(zhì)影響最大；

當(dāng)所有排污點(diǎn)都集中在江段終點(diǎn)時(shí)，對(duì)該段的水質(zhì)影響最??；

由此分別可以得到一個(gè)江段內(nèi)可能的最大排污量和最小排污量。問題的結(jié)果：

每一江段的每一個(gè)月都有一個(gè)排污量區(qū)間；

對(duì)月取平均，并取區(qū)間中點(diǎn)得到每一江段單位時(shí)間的平均排污量；

由各江段的距離可得每一江段單位時(shí)間、單位距離的平均排污量。

因?yàn)檫@是一個(gè)可比性指標(biāo)，則可確定主要污染源所在江段。

問題（3）：假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)長(zhǎng)江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)分析，比如研究未來10年的情況。

附件給出了過去10年長(zhǎng)江流域總體水質(zhì)污染狀況數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為反映污染狀況的各類水質(zhì)比例主要與當(dāng)年(或者與上一年)總排污量和總流量有關(guān)，從而分別建立可飲用水、不可飲用水的比例與總排污量和總水流量的回歸模型。

為了用這個(gè)模型預(yù)測(cè)未來可飲用水比例，先要預(yù)測(cè)未來的總排污量和總水流量。注意：由過去10年的數(shù)據(jù)，總排污量逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)，而且很快；總水流量變化不大，而沒有規(guī)律。方法：首先可用灰色預(yù)測(cè)模型或擬合等方法得到總排污量與時(shí)間（年）的關(guān)系，而總水流量可以簡(jiǎn)單地取過去10年的平均值等辦法處理。最后，用上面兩個(gè)回歸模型分別計(jì)算出未來10年可飲用水和不可飲用水的比例。

結(jié)論：按目前的污染狀況，如果不采取有效的綜合治理措施，到枯水期時(shí)長(zhǎng)江干流Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ類水的比例總和也只剩下1.5%了，即有98.5%的江段水質(zhì)都這成了Ⅳ類，或Ⅴ類，甚至劣Ⅴ類水。

問題（4）：根據(jù)你的預(yù)測(cè)分析，如果未來10年內(nèi)每年都要求長(zhǎng)江干流的Ⅳ類和Ⅴ類水的比例控制在20%以內(nèi)，且沒有劣Ⅴ類水,那么每年需要處理多少污水？

在問題（3）的基礎(chǔ)上，如果要求未來長(zhǎng)江干流Ⅳ類、Ⅴ類和劣Ⅴ類水的比例總和為20%，即Ⅰ類、Ⅱ類和Ⅲ類水的比例總和為80%。則由此根據(jù)未來10年的總排污量和總水流量就可算出每年需要處理的污水量。

特點(diǎn)：數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)冗余、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，即時(shí)性、綜合性、實(shí)用性和開放性強(qiáng)。方法：主題方法數(shù)據(jù)的處理、綜合評(píng)價(jià)、微分方程、回歸擬合、灰色關(guān)聯(lián)分析與預(yù)測(cè)、時(shí)間序列和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。需要注意的問題：1.有些人對(duì)定量的綜合評(píng)價(jià)不知道該如何做,只是對(duì)水質(zhì)的類型做簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)計(jì)算，以各類水出現(xiàn)的頻數(shù)或概率來評(píng)價(jià)；以各類水出現(xiàn)的平均次數(shù)來評(píng)價(jià)，并評(píng)價(jià)整個(gè)長(zhǎng)江的水質(zhì)屬于哪一類。這樣缺少科學(xué)性，不符合綜合評(píng)價(jià)的要求，不能區(qū)分同類水質(zhì)中的數(shù)量差異。2.在評(píng)價(jià)中不考慮PH值對(duì)綜合評(píng)價(jià)中的影響是不合適的。3.在建立綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，對(duì)原始數(shù)據(jù)沒有作標(biāo)準(zhǔn)化處理（無量綱化，歸一化等）是錯(cuò)誤的,這是綜合評(píng)價(jià)中的一大忌.4.相當(dāng)多的隊(duì)都沒有考慮干流上的排污口(包括支流)的排污,由于排污口未知,都未做相應(yīng)的討論.

5.用指數(shù)擬合和二次函數(shù)擬合增長(zhǎng)過快,線性擬合增長(zhǎng)過慢,高次擬合不合理。2005B：DVD的在線租賃問題

清華大學(xué)謝金星問題背景：本題是根據(jù)某DVD在線租賃網(wǎng)站經(jīng)理提出的實(shí)際問題簡(jiǎn)化改編而成的。經(jīng)濟(jì)管理問題，主要包括DVD的采購計(jì)劃、客戶在線訂單的處理、DVD的合理分配，以及網(wǎng)站的科學(xué)管理等問題。問題：（1）網(wǎng)站購買DVD的最優(yōu)數(shù)量

（2）網(wǎng)站分發(fā)DVD

（3）購買和分發(fā)同時(shí)考慮

特點(diǎn)：海量數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，綜合性、實(shí)用性和開放性強(qiáng)，算法要求強(qiáng)，算法細(xì)化。數(shù)據(jù)量較大，但很容易用Lingo軟件算出最后結(jié)果。要點(diǎn)：?jiǎn)栴}初看起來似乎很容易理解而且并不復(fù)雜，但考慮到DVD在線租賃業(yè)務(wù)中存在的各種不確定性和多階段特征，建立好的數(shù)學(xué)模型并不容易。問題（1）、（2）問考慮的是該問題的兩個(gè)子問題（購買和分發(fā)），第（3）問則同時(shí)考慮購買和分發(fā)，第（4）問要求參賽隊(duì)自己提出和求解問題。對(duì)題目的理解不同、假設(shè)不同，得到的模型和結(jié)果可能很不相同，因此本題應(yīng)特別注意假設(shè)的合理性及所建立的模型與假設(shè)之間的一致性。問題1根據(jù)表1得到某DVD被選中的概率（記為）p，設(shè)網(wǎng)站的會(huì)員總數(shù)量為n，在n比較大的情況下，則該DVD的總需求可用正態(tài)分布N(np,npq)(q=1-p），據(jù)此可在一定的置信水平下得到有需求會(huì)員人數(shù)的上限M。設(shè)該DVD購買x張，當(dāng)xM/2時(shí)，一種簡(jiǎn)單的近似方法是認(rèn)為1個(gè)月該DVD的可用張數(shù)是1.6x張，要保證一個(gè)月至少P%有需求的會(huì)員能得到滿足,即1.6