第9課函數(shù)的連續(xù)性課題函數(shù)的連續(xù)性課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)（三維目標(biāo)：知識(shí)與技能，過程與方法，情感價(jià)值觀）1．掌握連續(xù)函數(shù)的概念2．能夠判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類3．理解初等函數(shù)的連續(xù)性以及計(jì)算函數(shù)的連續(xù)區(qū)間4．理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)5．掌握使用MATLAB求函數(shù)極限的方法思政育人目標(biāo)：通過與實(shí)際現(xiàn)象聯(lián)系，幫助學(xué)生理解函數(shù)的連續(xù)性，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對(duì)實(shí)際問題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實(shí)際生活的；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)性的判斷教學(xué)難點(diǎn)：理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測驗(yàn)（10min）→數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：自然界中有哪些連續(xù)變化的事物？【學(xué)生】查找資料，觀察自然界中連續(xù)變化的事物通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2分鐘）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計(jì)好上節(jié)課的復(fù)習(xí)題目，并針對(duì)學(xué)生存在的問題及時(shí)講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（33min）【教師】通過現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，引入本節(jié)課的課題——函數(shù)的連續(xù)性在現(xiàn)實(shí)生活中許多變量都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化、植物的生長、河水的流動(dòng)、物體的熱脹冷縮等，其特點(diǎn)是時(shí)間變化很小時(shí)，這些變量的變化也很小．變量的這種變化現(xiàn)象體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性；反映在幾何上，其圖像就是一條連續(xù)不斷的曲線．函數(shù)的連續(xù)性是與函數(shù)的極限密切相關(guān)的另一個(gè)基本概念．【教師】講解函數(shù)的增量、函數(shù)連續(xù)的定義，并通過例題介紹利用所學(xué)定義判定函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)的方法1．函數(shù)的增量自變量從初值變?yōu)榻K值時(shí)，終值與初值的差稱為．圖2-8設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在該鄰域內(nèi)由變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地由變到，稱為函數(shù)的增量（或），記作或，則有圖2-8．函數(shù)增量的幾何意義如圖2-8所示．2．函數(shù)連續(xù)的定義定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處的改變量趨于零時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)的改變量也趨于零，即，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．在定義1中，若令，則即為，即為．因此，函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性也可按下列定義表述．定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某一鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在且等于函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．由函數(shù)在點(diǎn)處左極限、右極限的定義，可以得到函數(shù)在點(diǎn)處是左連續(xù)與右連續(xù)的定義．，則稱函數(shù)在點(diǎn)處是右連續(xù)．下面給出函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義．定義4若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處均連續(xù)，則稱在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)．若函數(shù)在開區(qū)間各點(diǎn)處內(nèi)連續(xù)，且在處右連續(xù)，在處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)．例1討論函數(shù)在處的連續(xù)性．例1解因?yàn)椋?/p>

，且，所以存在，且．由定義可知，函數(shù)在處連續(xù)．【教師】講解間斷點(diǎn)的定義，介紹初等函數(shù)和分段函數(shù)找間斷點(diǎn)的方法，介紹間斷點(diǎn)的分類情況定義5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)有下列三種情形之一，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)或間斷，點(diǎn)稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)．（1）在處沒定義；（2）在處有定義，但不存在；（3）在處有定義，且存在，但．例2討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性．例2解因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以在點(diǎn)處間斷．但由于，因此若補(bǔ)充定義，則得到函數(shù)該函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的．【學(xué)生】理解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義，能夠判定函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)；理解間斷點(diǎn)的定義，掌握初等函數(shù)和分段函數(shù)分別是如何找間斷點(diǎn)的，掌握間斷點(diǎn)的分類情況學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)的概念，以及函數(shù)的間斷點(diǎn)。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】講解初等函數(shù)的連續(xù)性，并通過例題介紹函數(shù)的連續(xù)區(qū)間求法，以及利用連續(xù)求初等函數(shù)極限的方法定理1若函數(shù)和都在點(diǎn)處連續(xù)，則它們的和、差、積、商（分母不等于0）也都在點(diǎn)處連續(xù)．定理2若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．上述定理也可表述為：

若，，且，則，即．這說明，在求連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，極限符號(hào)可與函數(shù)符號(hào)交換次序．例3計(jì)算．例3解因?yàn)槭怯膳c復(fù)合而成的，所以．例4計(jì)算．例4解．由連續(xù)和極限的定義容易證明，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合構(gòu)成的，因此我們可得到如下一個(gè)非常有用的結(jié)論．定理3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．例5求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．例5解因?yàn)楹瘮?shù)為初等函數(shù)，其定義域?yàn)椋运倪B續(xù)區(qū)間為．例6求下列函數(shù)的極限例6（1）； （2）．解（1）．（2）．【教師】講解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并通過例題介紹其應(yīng)用性質(zhì)1（最值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上必有最大值和最小值．如圖2-9所示，若函數(shù)在上連續(xù)，則在上至少有一點(diǎn)，使得在點(diǎn)處取最大值，至少有一點(diǎn)，使得在點(diǎn)處取最小值．性質(zhì)2（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，C為介于與之間的任意數(shù)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得，如圖2-10所示．性質(zhì)3（零點(diǎn)定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)，即，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使．從幾何意義上講，如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖形是一條連續(xù)曲線，其兩個(gè)端點(diǎn)分別位于軸兩側(cè)，那么這條曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，如圖2-11所示．圖2-9圖2-10圖2-11例7例7證明設(shè)，則在上連續(xù)，且，因此，由零點(diǎn)定理可知在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即證方程在內(nèi)至少有一個(gè)根【學(xué)生】理解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握函數(shù)的連續(xù)區(qū)間求法，掌握利用連續(xù)求初等函數(shù)的極限；理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)初等函數(shù)的連續(xù)性，以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布正確答案，演示解題過程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（12min）?使用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)【教師】演示使用MATLAB求函數(shù)的極限在利用MATLAB對(duì)函數(shù)求極限前，需要對(duì)函數(shù)中所涉及的變量進(jìn)行定義．我們稱函數(shù)中的變量為符號(hào)變量，可用syms函數(shù)對(duì)它們進(jìn)行定義．syms函數(shù)一次可以定義多個(gè)符號(hào)變量．例如，用syms函數(shù)定義4個(gè)符號(hào)變量a，b，c，d，命令如下：>>symsabcd在MATLAB中，極限的求解是由limit函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，它可用來求函數(shù)在指定點(diǎn)的極限值和左、右極限值．對(duì)于極限值為“沒有定義”的極限，MATLAB給出的結(jié)果為NaN；示．表2-2例1求函數(shù)的極限．例1解在命令窗口中輸入>>symsx %創(chuàng)建符號(hào)變量x>>limit(sin(5*x)/x,x,0) %計(jì)算符號(hào)表達(dá)式在x趨向0條件下的極限ans= %計(jì)算結(jié)果的默認(rèn)賦值變量5例2求函數(shù)的極限．例2解在命令窗口中輸入>>symsx>>limit((1+2/x)^x,x,inf) 計(jì)算符號(hào)表達(dá)式在x趨于條件下的極限ans=exp(2) %輸出結(jié)果為例3求函數(shù)的極限．例3解在命令窗口中輸入>>symsxans=2/pi %輸出結(jié)果為【學(xué)生】觀看、聆聽、記錄、思考通過演示使用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了連續(xù)函數(shù)的概念、判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的方法、間斷點(diǎn)的分類，理解了初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握了計(jì)算函數(shù)連續(xù)區(qū)間的方法，理解了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，還學(xué)會(huì)了使用MATLAB求函數(shù)極限的方法，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題2-4、復(fù)習(xí)題二、使用MATLAB求函數(shù)的