彈性力學

TheoryofElasticity彈性力學第二章應力理論應力理論Chapter3

外力、內(nèi)力與應力

柯西公式主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1

外力彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1

外力體力即分布在物體體積內(nèi)部各個質(zhì)點上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力、運轉(zhuǎn)零件的慣性力等。面力即作用在物體表面上的力，例如作用在飛機機翼上的空氣動力、水壩所受的水壓力等。彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1

定義式體力：彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1

定義式面力：彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1

內(nèi)力物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內(nèi)力。內(nèi)力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，是變形體力學研究的重要對象之一。應力的概念正是為了精確描述內(nèi)力而引進的。彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1

應力應力矢量彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1若取為變形前面元的初始面積，則上式給出工程應力，亦稱名義應力，常用于小變形情況。對于大變形問題，應取為變形后面元的實際面積，稱真實應力，簡稱真應力,也稱柯西應力。應力矢量：彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1應力的定義彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1

應力矢量的大小和方向不僅和M點的位置有關(guān)，而且和面元法線方向

有關(guān)。彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力

作用在同一點不同法向面元上的應力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過同一點且法線方向相同，則應力矢量也相同。彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1應力矢量和面力矢量的數(shù)學定義和物理量綱都相同。區(qū)別在于：應力是作用在物體內(nèi)界面上的未知內(nèi)力，而面力是作用在物體外表面的已知外力。當內(nèi)截面無限趨近于外表面時，應力也趨近于外加面力之值。彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1正六面體微元:

外法線與坐標軸同向的三個面稱為正面，記為dSi，它們的單位法向矢量為

i＝ei，ei是沿坐標軸的單位矢量；另三個外法線與坐標軸反向的面元稱為負面。彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1應力分量的正負號規(guī)定彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1應力分量的個數(shù)彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1x2

22x1

11

31e2e3e1x3

33

32

13

23

21

12彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1把作用在正面dSi上的應力矢量沿坐標軸正向分解得：即：x2

22x1

11

31e2e3e1x3

33

32

13

23

21

12彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1共出現(xiàn)九個應力分量：彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1

第一指標i表示面元的法線方向，稱面元指標；第二指標j表示應力的分解方向，稱方向指標。當i＝j(luò)時，應力分量垂直于面元，稱為正應力。當i≠j時，應力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為剪應力。彈性力學第二章應力理論

外力、內(nèi)力與應力Chapter3.1x2

22x1

11

31e2e3e1x3

33

32

13

23

21

12方向規(guī)定：正面上與坐標軸同向或負面上與坐標軸反向為正。亦即“受拉為正，受壓為負”。彈性力學第二章應力理論應力理論Chapter3

外力、內(nèi)力與應力柯西公式主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程彈性力學第二章應力理論Chapter3.2柯西公式四面體OABC，由三個負面和一個法向矢量為的斜截面組成，其中為

方向的方向余弦。斜截面上的應力彈性力學第二章應力理論Chapter3.2斜截面上的應力柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2

柯西公式n柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2

的面積為dS,則三個負面的面積分別為斜截面的面元矢量為：柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2四面體的體積為：dh為頂點O到斜面的垂直距離n柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2四面體上作用力的平衡條件是：第五項是體力的合力，由于dh是小量，故體力項可以略去?？傻茫嚎挛鞴綇椥粤W第二章應力理論Chapter3.2根據(jù)商判則，知必是一個二階張量，于是定義應力張量柯西公式彈性力學第二章應力理論這就是著名的柯西公式，又稱斜面應力公式。Chapter3.2柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2把斜面應力沿坐標軸方向分解：則柯西公式的分量表達式為即柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2

柯西公式應用－計算斜截面上的應力斜面上應力的大小柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2

柯西公式應用－計算斜截面上的應力斜面上應力的方向即柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2斜面正應力斜面剪應力

柯西公式應用－計算斜截面上的應力柯西公式彈性力學第二章應力理論Chapter3.2

若斜面是物體的邊界面，則柯西公式可用作未知應力場的力邊界條件：其中pj是面力p沿坐標軸方向的分量，通常記為寫成指標符號

柯西公式應用－給定應力邊界條件柯西公式彈性力學第二章應力理論應力理論

外力、內(nèi)力與應力

柯西公式

主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量

概念切應力為零的微分面稱為主微分平面，簡稱主平面。主平面的法線稱為應力主軸，或者稱為應力主方向。主平面上的正應力稱為主應力。彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量

主應力和應力不變量假設(shè)存在主平面BCD，其法線方向為n(l,m,n)，截面上的總應力pn＝，亦即n方向截面上剪應力為零。則截面上總應力pn在坐標軸方向的分量可以表示為彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量對斜面BCD運用柯西公式，可得：由剪應力互等定理可得：彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量由(1)和(2)式得：彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量由于，所以要有非零解，則上述三個方程必須是線性相關(guān)的，亦即系數(shù)行列式為零：彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量展開行列式得到應力狀態(tài)的特征方程：式中彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量求解應力狀態(tài)的特征方程，可以得到三個實根：

1，

2，

3，即為該點的三個主應力。彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量若將一個根代入如下方程組：可以順次求出相應于

1，2和

3的三個主方向：彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量

I1、I2和

I3是三個與坐標選擇無關(guān)的標量，稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。它們是相互獨立的。

通常主應力按其代數(shù)值的大小排列，稱為第一主應力

1、第二主應力

2和第三主應力

3

，且

彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量

主應力的性質(zhì)

不變性由于特征方程的三個系數(shù)是不變量，所以作為特征根的主應力及相應主方向都是不變量。實數(shù)性即特征方程的根永遠是實數(shù)。彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量

極值性主應力

1和

3是一點正應力的最大值和最小值。在主坐標系中，任意斜截面上正應力的表達式：彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量正交性

特征方程無重根時，三個主應力必兩兩正交；

特征方程有一對重根時，在兩個相同主應力的作用平面內(nèi)呈現(xiàn)雙向等拉(或等壓)狀態(tài)，可在面內(nèi)任選兩個相互正交的方向作為主方向；特征方程出現(xiàn)三重根時，空間任意三個相互正交的方向都可作為主方向。彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量

在任意一點，都能找到一組三個相互正交的主方向，沿每點主方向的直線稱為該點的主軸。處處與主方向相切的曲線稱為主應力跡線。以主應力跡線為坐標曲線的坐標系稱為主坐標系。在主坐標系中，應力張量可以簡化成對角型

主應力坐標系彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量在主坐標系中，主不變量表示為

主應力坐標系彈性力學第二章應力理論例：已知受力物體中某點的應力分量為（單位：MPa）試求主應力分量及主方向余弦。解：此點的應力狀態(tài)張量的矩陣形式為：

主應力&應力不變量彈性力學第二章應力理論首先，求出應力不變量為于是，特征方程為

主應力&應力不變量彈性力學第二章應力理論求解此特征方程，得三個主應力分別為

主應力&應力不變量將三個主應力值依次分別代入上式中的任意兩式，并利用關(guān)系式，聯(lián)立求解即可得到三個主方向的方向余弦。例如為求

1的方向余弦，l1、m1、n1，將

1＝214.6代入上式的前兩式得

主應力&應力不變量

主應力&應力不變量彈性力學第二章應力理論同樣可得其余兩組方向余弦為：主應力：主方向方向余弦：

主應力&應力不變量彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量

應力偏量將應力張量分解成球形張量和偏斜張量其中球形應力張量：彈性力學第二章應力理論Chapter3.3

主應力&應力不變量應力偏量彈性力學第二章應力理論應力理論Chapter3

外力、內(nèi)力與應力

柯西公式應力轉(zhuǎn)換公式主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程彈性力學第二章應力理論Chapter3.4最大剪應力&八面體剪應力

最大剪應力彈性力學第二章應力理論Chapter3.4最大剪應力&八面體剪應力

最大剪應力在主應力坐標系中：約束條件：彈性力學第二章應力理論Chapter3.4最大剪應力&八面體剪應力引進拉格朗日乘子，求泛函的極值。相應極值條件為于是，可得如下方程組彈性力學第二章應力理論Chapter3.4最大剪應力&八面體剪應力可解出三個法線方向，分別代入下式便可得到三個剪應力的極值，其中的最大者就是最大剪應力。彈性力學第二章應力理論Chapter3.4最大剪應力&八面體剪應力剪應力的三個極值：方向：與對應的兩個主應力夾角為45。O彈性力學第二章應力理論Chapter3.4最大剪應力&八面體剪應力

正八面體彈性力學第二章應力理論Chapter3.4最大剪應力&八面體剪應力

八面體剪應力彈性力學第二章應力理論Chapter3.4最大剪應力&八面體剪應力

八面體剪應力八面體正應力

0為由可得八面體剪應力

0為彈性力學第二章應力理論應力理論Chapter3

外力、內(nèi)力與應力

柯西公式與應力轉(zhuǎn)換公式主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程彈性力學第二章應力理論Chapter3.5平衡微分方程

笛卡爾坐標系中的平衡微分方程考慮物體中A(x,y,z)點，其應力狀態(tài)用直角坐標表示如下(如圖標注)而臨近一點B(x+dx,y+dy,z+dz)的應力狀態(tài)也用直角坐標示出，根據(jù)應力為位置函數(shù)的概念，將應力在附近展開，保留一級微量連同應計入的增量可得：彈性力學第二章應力理論Chapter3.5平衡微分方程

笛卡爾坐標系中的平衡微分方程應力場：彈性力學第二章應力理論彈性力學第二章應力理論彈性力學第二章應力理論彈性力學第二章應力理論彈性力學第二章應力理論彈性力學第二章應力理論彈性力學第二章應力理論彈性力學第二章應力理論彈性力學第二章應力理論OChapter3.5平衡微分方程其中X,Y,Z表示單位體積力(與坐標軸同向為正)圖示正六面體代表通過A(x,y,z)及B(x+dx,y+dy,z+dz)兩個點的一個微體，A,B點各有三個正交面。AB彈性力學第二章應力理論Chapter3.5平衡微分方程在前微面上在右微面上在上微面上見下頁圖標注彈性力學第二章應力理論xyzOChapter3.5平衡微分方程彈性力學第二章應力理論Chapter3.5平衡微分方程考