第第頁(yè)陜西省西安市周至縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（PDF版含解析）周至縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年度

高三級(jí)理科數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題

考試范圍：高中理科數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上

第I卷（選擇題）

第一大題每小題5分，共12*5=60分

一、單選題

1．復(fù)數(shù)zi2ii，則z（）

A5B10．．C．2D．5

55

22．已知集合Ax|4x7x20,Bx∣12x8，則RAB（）

A．x∣0x3B．x1∣x3

4

xx11C．∣或x3D．x∣x或x344

3113

3．設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx2fx.若f，則f

434

（）

1111

A．B．C．D．

3344

4．某實(shí)驗(yàn)室有5只小白鼠，其中有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo).若從這5只小白鼠中隨機(jī)取出

3只，則恰好有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）

A2

233

．3B．C．D．554

5．在ABC中，設(shè)ACa，ABb，G為ABC的重心，則用向量a和b為基底表示

向量GC（）

211221

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)

2

b

3323323

6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n值是（）

試卷第1頁(yè)，共5頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

A．5B．7C．9D．11

3x4y100

7．設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件x6y40，則zx2y的最大值是（）

2xy80

A．0B．4C．8D．10

8．我國(guó)古代的宮殿金碧輝煌，設(shè)計(jì)巧奪天工，下圖（1）為北京某宮殿建筑，圖（2）

為該宮殿某一“柱腳”的三視圖，其中小正方形的邊長(zhǎng)為1，則根據(jù)三視圖可知，該“柱腳”

的表面積為（）

A．9929B．181829

C．1818218D．189218

π

9．函數(shù)fxAsinxA0,0,2的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正

確的是（）

5πA．點(diǎn),0fx

12

是的對(duì)稱(chēng)中心

7π

B．直線(xiàn)x是fx的對(duì)稱(chēng)軸

6

試卷第2頁(yè)，共5頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

C．fx7π的圖象向右平移個(gè)單位得ysin2x的圖象

12

D．fxπ,2π在區(qū)間上單調(diào)遞減23

22

10xy．若雙曲線(xiàn)C:221a0,b0

2

的一條漸近線(xiàn)被圓x2y24所截得的弦

ab

長(zhǎng)為23，則C的離心率為（）

A23．3B．

3

C32．2D．

2

11．在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，ABC120，ABC的平分

線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，且BD2，則a2c的最小值為（）

A．642B．12C．322D．9

12．已知函數(shù)fx是定義在,00,上的奇函數(shù)，fx是fx的導(dǎo)函數(shù)，且

f10，當(dāng)x0時(shí)，xfxfx0，則使得fx0成立的x的取值范圍是

（）

A．,11,0B．,10,1

C．1,01,D．0,11,

第II卷（非選擇題）

未命名

二、填空題

136．x1x1展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為．

14．已知ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為是a、b、c，設(shè)向量

mab,sinC，n3ac,sinBsinA，若m//n，則角B的大小為.

f(x)logcosx15．函數(shù)134的單調(diào)遞增區(qū)間為.2

16．已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y22x上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)x=1的垂線(xiàn)，垂足為M，點(diǎn)A

7

的坐標(biāo)是,4

，則APPM的最小值是．

2

三、解答題

17．在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，且

試卷第3頁(yè)，共5頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

asinAcsinC2asinCbsinB.

(1)求B；

(2)若ABC21的面積為，b4，求ABC的周長(zhǎng).

2

18．如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC，BABCBB12，D，E，F(xiàn)分

別為AA1，B1C1，AB的中點(diǎn).

(1)證明：EF//平面ACC1A1；

(2)求直線(xiàn)CE與平面DEF所成角的正弦值.

19．某校組織了600名高中學(xué)生參加中國(guó)共青團(tuán)相關(guān)的知識(shí)競(jìng)賽，將競(jìng)賽成績(jī)分成

50,60，60,70，70,80，80,90，90,100五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績(jī)落在區(qū)間60,70內(nèi)的人數(shù)為300.

(1)求出頻率分布直方圖中a，b，c的值；

(2)估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；

(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)落在80,90，90,100內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取6人，再

從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)知識(shí)答辯，求抽取的這2人中恰有1人的得分在區(qū)間

90,100內(nèi)的概率.

20x

2y2

．已知橢圓C:221ab0的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F2,0，過(guò)點(diǎn)A作傾斜ab

試卷第4頁(yè)，共5頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

π

角為的直線(xiàn)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且ABOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

6

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F作與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l,l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)OP與OQ的斜率

分別為kOP,kOQ，求kOPkOQ．

21．已知函數(shù)fxlnxax1.

x

(1)當(dāng)a2，求fx的極值；

(2)若fxeax恒成立，求a的取值范圍.

四、選考題

x13t

22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原

yt

Ox2

6

點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.

2sin2

(1)求直線(xiàn)l的普通方程及曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；

11

(2)已知點(diǎn)M1,0，若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求|MA||MB|的值.

23．已知函數(shù)fx2x2x5．

(1)求不等式fx4的解集；

(2)2若fxa2a10恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

試卷第5頁(yè)，共5頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

參考答案：

1．B

【分析】由條件可知z

i

i，利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算結(jié)果，并求模.

2i

ii2i1213

【詳解】zii，故zi，

2i55555

z1

23210

則

.

555

故選:B.

2．C

【分析】分別求集合A、B，再根據(jù)集合間的運(yùn)算求解.

1

【詳解】由題意可得Ax∣4x27x20xx∣x2，Bx∣128{x∣0x3}，

4

1

則ABx∣x3，

4

故RAB

x

1

∣x或x3.

4

故選：C.

3．A

【分析】根據(jù)已知推得fx是周期為4的奇函數(shù)，應(yīng)用周期性、奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)，fx2fxf(x)，則fxf(x2)，

所以fx2f(x2)，即fxf(x4)，故fx是周期為4的奇函數(shù)，

f133331所以4

f(4)f()f().

4443

故選：A

4．C

【分析】先用列舉法寫(xiě)出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的

計(jì)算公式求解.

【詳解】設(shè)過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)的3只小白鼠為a,b,c，剩余的2只為A,B，

則從這5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B}，

{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10種.

其中恰好有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共

6種，

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABbSYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

63

所以恰好有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為105.

故選：C.

5．A

【分析】作出圖形，根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.

【詳解】如圖，G為ABC的重心，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，

21

由題意可知AGAD，AD(ABAC)，

32

所以AG

21

[(ABAC)]1(ABAC)1(ab)，

3233

所以GCGAAC

1(a21b)aab，

333

故選：A.

6．C

【分析】根據(jù)程序框圖列出算法循環(huán)的每一步，結(jié)合判斷條件得出輸出的n的值.

【詳解】執(zhí)行如圖所示的程序框圖如下：

S04S11不成立，，n123；

9133

S14112不成立，S，n325；

393355

S24213不成立，S，n527；

595577

S34314不成立，S，n729.

797799

S44成立，跳出循環(huán)體，輸出n的值為9，故選C.

99

【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，通常利用框圖列出算法的每

一步，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

7．B

【分析】作出可行域，利用數(shù)形結(jié)合求出最大值.

【詳解】作出可行域如圖所示：

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

把zx

11

2y轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)yxz，平移直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A4,0時(shí)，縱截距最大，

22

所以zx2y404最大.

故選：B

8．C

【分析】根據(jù)“柱腳”的三視圖可知，該“柱腳”是由半圓柱和一個(gè)三棱柱組合而成，求出其表

面積即可.

【詳解】根據(jù)“柱腳”的三視圖可知，該“柱腳”是由半圓柱和一個(gè)三棱柱組合而成，

2

故所求表面積S3336332321821.

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體表面積，屬于基礎(chǔ)題.

9．D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)部分圖象求出解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可知，A1,

3T11ππ,解得Tπ，

4126

Tπ2π所以，解得2，

π

將,0

代入fxsin2x中，得sin

π

2

0kππ，解得，kZ,

663

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

πππ

因?yàn)椋裕?/p>

222

當(dāng)k0時(shí)，π3，

π

所以fx的解析式為fxsin2x.

3

f5π對(duì)于A，sin

25ππ105π，所以點(diǎn),0不是fx的對(duì)稱(chēng)中心，故A錯(cuò)誤；

1212312

7π7ππ7π

對(duì)于B，fsin201，所以直線(xiàn)x不是fx的對(duì)稱(chēng)軸，故B錯(cuò)誤；

6636

fxsin2xπ7π對(duì)于C，的圖象向右平移個(gè)單位得

312

fxsin2x7ππsin

2x3π

cos2x的圖象，故C錯(cuò)誤；

1232

π2ππ2πππ2π

對(duì)于D，當(dāng)x,23時(shí)，

2x,π,π，所以fx在區(qū)間,上單調(diào)遞減，33223

故D正確.

故選：D.

10．B

2

2b2

【分析】根據(jù)題意，得出方程34，求得a2=3b2，結(jié)合離心率的定義，

a2b2

即可求解.

【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)方程為bxay0，

又由圓x22y24的圓心為(2,0)，半徑為r2，

因?yàn)橐粭l漸近線(xiàn)被圓x22y24所截得的弦長(zhǎng)為23，

2

2b2

34a23b2a23c2a2可得，所以=，即，

a2b2

ec23所以．

a3

故選：B．

11．A

【分析】先利用題給條件求得a,c之間的關(guān)系，再利用均值定理即可求得a2c的最小值.

【詳解】由S△ABCS△ABDS△DBC可得，

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

1acsin12012asin6012csin60，

222

22

即ac2a2c，則1，

ac

a2ca2c224c2a4c2a則626426

acacac

（當(dāng)且僅當(dāng)a22,c=2+1時(shí)等號(hào)成立）

故選：A

12．C

【分析】令函數(shù)F(x)xf(x)，x,00,，判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)

的單調(diào)性，即可分析函數(shù)的取值特征，從而得解.

【詳解】由題意可知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則fxfx，

令函數(shù)F(x)xf(x)，x,00,，則FxxfxxfxFx，即函數(shù)F(x)

為偶函數(shù)，

又當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)xf(x)f(x)0，

所以函數(shù)F(x)xf(x)在(0,)上單調(diào)遞減，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，函數(shù)F(x)xf(x)在(,0)上單調(diào)遞增，

又f(1)0，所以f1f10，所以F1F10，

所以當(dāng)x1或x1時(shí)Fx0，當(dāng)1x0或0x1時(shí)Fx0，

所以當(dāng)x1時(shí)Fx0則fx0，

當(dāng)x1時(shí)Fx0則fx0，

當(dāng)0x1時(shí)Fx0則fx0，

當(dāng)1x0時(shí)Fx0則fx0，

所以使得f(x)0成立的x的取值范圍是1,01,.

故選：C

13．5

【分析】先求出x16的通項(xiàng)公式，結(jié)合x(chóng)3的構(gòu)成方式進(jìn)行討論即可.

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

x16r【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：TCrr16x6r1r0,1,2,,6，

令6r2，解得r4，

x16所以的展開(kāi)式中x2項(xiàng)為C46x21

415x2，

令6r3，解得r3，

x163所以的展開(kāi)式中x3項(xiàng)為C36x3120x3，

6233

所以x1x1展開(kāi)式中x3項(xiàng)為x15x120x5x，

所以x1x16展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為5.

故答案為:5

【點(diǎn)睛】求形如(ab)n(cd)m(n,mN*)的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開(kāi)兩個(gè)二項(xiàng)式，

由多項(xiàng)式乘法求得所求項(xiàng)的系數(shù).

5

14．6

【分析】利用兩向量平行的充要條件求出三角形的邊與角的關(guān)系，利用正弦定理將角化為邊，

再利用余弦定理求出B的余弦，即可求出角．

【詳解】∵向量mab,sinC，n3ac,sinBsinA，若m//n，

∴(ab)(sinBsinA)sinC(3ac)0，

由正弦定理知：(ab)(ba)c(3ac)，即a2c2b23ac，

由余弦定理知：2accosB3ac，

∴5cosB3＝，∵B∈（0，π），∴B＝6．2

5

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的充要條件和三角形的正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

型．

33

15．6k,6k,kZ44

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和定義域得到2k

x2k，計(jì)算得到答案.

342

xx

【詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：需求ycos單調(diào)遞減區(qū)間，且cos0

3434

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

則2k

x2k6k33x6k,kZ

34244

33

故答案為：6k,6k,kZ44

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，忽略掉定義域是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.

11

16．

2

【分析】分析點(diǎn)A(

7,4)1在拋物線(xiàn)外部，再由拋物線(xiàn)定義知|PM||PF|，轉(zhuǎn)化為求

22

|AP||PF|1的最小值問(wèn)題，利用三點(diǎn)共線(xiàn)可得解.

2

【詳解】因?yàn)?22

7

77，所以點(diǎn)A(,4)在拋物線(xiàn)外部，

22

11

設(shè)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F，則F(,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x，

22

1

由拋物線(xiàn)定義可知，|PM||PF|,

2

AP1PM|AP||PF|，

2

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P、A、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，APPF的值最小，且為

AF(71)2(40)25，此時(shí)P為AF與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，

22

PAPM111的最小值為5+.

22

11

故答案為：

2

17．(1)B

3π

4

(2)432

【分析】（1）由正弦定理角化邊得a2c22acb2，再根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)三角形面積公式求出ac22，由a2c22acb2配方得

(ac)216(22)ac，再將ac22代入求出ac32可得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)閍sinAcsinC2asinCbsinB，

所以由正弦定理得a2c22acb2，

cosBa

2c2b22

所以，

2ac2

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABbSYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

因?yàn)?B

3π

π，所以B.

4

2S11221（）因?yàn)锳BCacsinBac，所以ac22，2222

由（1）知，a2c22acb2，

所以(ac)22ac2ac42，

所以(ac)216(22)ac，

所以(ac)216(22)(22)18，所以ac32，

所以ABC的周長(zhǎng)為bac432.

18．(1)證明見(jiàn)解析

(2)55

11

【分析】（1）取AC的中點(diǎn)G，連接FG，C1G，利用線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)面平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線(xiàn)面夾角正弦值.

【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)G，連接FG，C1G，

1

因?yàn)镕，G分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以FG//BC，F(xiàn)GBC，

2

又E為B1C1的中點(diǎn)，BC//B1C1，BCB1C1，

所以FG//EC1，F(xiàn)GEC1，

所以四邊形EFGC1是平行四邊形，

所以EF//C1G.

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABbSYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

又EF平面ACC1A1，C1G平面ACC1A1，

所以EF//平面ACC1A1；

（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，

又BA，BC平面ABC，所以BB1BA，BB1BC，

又BABC，

故以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則C0,2,0，D2,0,1，E0,1,2，F(xiàn)1,0,0，

所以FE1,1,2，F(xiàn)D1,0,1，CE0,1,2，

nFExy2z0設(shè)平面DEF的法向量為nx,y,z，則，

n

FDxz0

令x1，得n1,3,1

設(shè)直線(xiàn)CE與平面DEF所成的角為，

nCE103112

則sincosn,CE

55

，nCE12321202122211

55

即直線(xiàn)CE與平面DEF所成角的正弦值為.

11

19．(1)a0.05，b0.03，c0.01

(2)中位數(shù)為69，平均數(shù)為71

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

8

(3)

15

【分析】（1）由成績(jī)落在區(qū)間60,70內(nèi)的人數(shù)為300，可求出a，再由各組的頻率和為1，

結(jié)合a，b，c成等差數(shù)列，可求出b,c，

（2）先判斷中位數(shù)的位置，再列方程求解，利用平均數(shù)的定義求平均數(shù)即可，

（3）由分層抽樣的定義求得抽取的6人中成績(jī)位于80,90的人數(shù)為4，這4人分別記為a，

b，c，d，成績(jī)位于90,100的人數(shù)為2，這2人分別記為E，F(xiàn)，然后利用列舉法求解概

率.

3001

【詳解】（1）由已知可得a0.05，

60010

則0.0050.05bc0.005101，即bc0.04，

又因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b0.05c，

解得b0.03，c0.01，

（2）可知0.005100.050.5，0.0050.05100.550.5，

設(shè)中位數(shù)為x，則x60,70，由0.00510x600.050.5，解得x69，即中位數(shù)為

69，

平均數(shù)為550.005650.05750.03850.01950.0051071.

（3）成績(jī)位于區(qū)間80,90內(nèi)的學(xué)生有0.011060060人，成績(jī)位于區(qū)間90,100內(nèi)的學(xué)

生有0.0051060030人，

通過(guò)分層抽樣抽取的6人中成績(jī)位于80,9060的人數(shù)為64，這4人分別記為a，b，

90

c，d，

成績(jī)位于90,10030的人數(shù)為62，這2人分別記為E，F(xiàn)，

90

從上述6人中抽取2人的基本事件有ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，

cE，cF，dE，dF，EF，共15種，

其中恰有1人的得分在區(qū)間90,100內(nèi)的基本事件有aE，aF，bE，bF，cE，cF，dE，

dF，共8種，

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABbSYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

8

故所求概率P.

15

x220．(1)y21

5

1

(2)kOPkOQ5

【分析】（1）求得B點(diǎn)坐標(biāo)并代入橢圓C的方程，結(jié)合c2求得a2,b2，從而求得橢圓C的

方程.

（2）求得直線(xiàn)l的方程并與橢圓C的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求得kOPkOQ.

ππ

【詳解】（1）過(guò)B作BDx軸，垂足為D，由于BAO,ABOB,ABO，

62

所以BOA

π

，由于OAaOB

a,ODOB1a，所以，

3224

a

2a23Ba3

BD24

a，所以,a，

444

13a2

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓C的方程得21,a

25b2，

1616b

a25b2

由22a2b2c22

，解得a5,b1，

b4

2

所以橢圓Cx的方程為y21.

5

（2）直線(xiàn)l的方程為y0tanπx23x23，即yx2，

633

y3x23

由，消去y2并化簡(jiǎn)得8x

220x50,4001602400，

xy215

2055

不妨設(shè)Px1,y1,Qx2,y2，則x1x2,x821x2，8

yy3x23x21xx2xx415511212333121224，3828

1

yy

所以kk128

1

OPOQxx5

.

125

8

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

【點(diǎn)睛】求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵在于利用已知條件求得a,b，a,b是兩個(gè)未知數(shù)，

要求得兩個(gè)未知數(shù)，則需要兩個(gè)已知條件，本題中，第一個(gè)已知條件是焦點(diǎn)坐標(biāo)，第二個(gè)已

知條件是橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)這兩個(gè)條件即可求得橢圓的方程.

21．(1)極大值為3，無(wú)極小值

1

(2),

e

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值情況；

1ax1

（2）將問(wèn)題化為lnxlneax，構(gòu)造gxlnx

1lnx

并用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性得到a

xexx

lnx

恒成立，再構(gòu)造hx，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可得參數(shù)范圍.

x

【詳解】（1）當(dāng)a2時(shí)fx1lnx2x，x0,，

x

112x2x1fx2x12x1則222，xxxx

所以在0,1上fx0，fx單調(diào)遞增，在1,上fx0，fx單調(diào)遞減，

當(dāng)x1時(shí)fx取得極大值，f10213，故fx的極大值為3，無(wú)極小值.

2fxeax（）由，可得lnxax1eax，則lnx1axeax，即

xx

lnx11lneaxax.xe

令gxlnx1，則gxgeax，

x

lnx

因?yàn)間x在0,上單調(diào)遞增，所以xeax，則a.x

hxlnxhx1lnx令，則2，xx

在0,e上hx0，hx單調(diào)遞增，在e,上hx0，hx單調(diào)遞減，即

答案第12頁(yè)，共14頁(yè)

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

h(x)maxhe

1

，

e

所以a

1

，則a