電磁場的基本性質(zhì)光學(xué)薄膜系統(tǒng)特性計(jì)算膜層參數(shù)的變化對光譜特性的影響多層周期膜及規(guī)整介質(zhì)高反膜膜系的分析設(shè)計(jì)方法薄膜光學(xué)的基礎(chǔ)理論第二講——分層介質(zhì)的電磁場及其光學(xué)特性工作波段：光學(xué)薄膜厚度與考慮的波長在同一個(gè)數(shù)量級薄膜的面積與波長相比可認(rèn)為無限大薄膜材料各向同性、均勻薄膜材料為非鐵磁性材料光穿過膜層而非沿著膜層在膜層內(nèi)傳播幾個(gè)假設(shè)條件電磁波譜電磁波譜（續(xù)）兩束光產(chǎn)生干涉的條件：頻率相同振動方向一致位相相同或位相差恒定薄膜的干涉薄膜的雙光束干涉

薄膜的雙光束干涉（續(xù)）薄膜的雙光束干涉（續(xù)）

多光束干涉強(qiáng)度的計(jì)算原則上和雙光束完全相同，也是先把振動迭加，再計(jì)算強(qiáng)度，差別僅在于參與干涉的光束由兩束增加到多束，至于計(jì)算方法則以采用復(fù)振幅最為方便。薄膜的多光束干涉1.1.1分層介質(zhì)的電磁場注意，在研究光學(xué)薄膜時(shí)，我們?nèi)∪鐖D所示的坐標(biāo)系統(tǒng)，零點(diǎn)位于基底與膜層的交界面上，z軸垂直于膜面由基底指向入射介質(zhì)，x、y軸位于膜面所在平面內(nèi)，其中x軸垂直于紙面指向里，x、y、z軸構(gòu)成右手螺旋定律。

為了方便，我們將光學(xué)薄膜抽象成如圖所示的物理模型。兩種均勻的各向同性的介質(zhì)1和2被一系列相互平行的平板介質(zhì)分隔開。這里所謂各向同性就是說介質(zhì)的介電常數(shù)和電導(dǎo)率在與膜面平行的平面內(nèi)是不變的。介質(zhì)2是平板介質(zhì)的載體，也就是說平板介質(zhì)是覆蓋在介質(zhì)2上面的。所以介質(zhì)2通常被稱為基底（substrate),通常入射光從介質(zhì)1入射，因此介質(zhì)1被稱為入射介質(zhì)。多數(shù)情況下入射介質(zhì)為空氣，覆蓋在基底上的平板介質(zhì)就是光學(xué)薄膜，通常情況下，光學(xué)薄膜的縱向厚度（z向）為光的波長數(shù)量級（um量級），而其橫向大?。▁、y向）為mm量級，因此相對其縱向厚度，我們可以認(rèn)為光學(xué)薄膜的橫向大小為無窮大，也就是說光學(xué)薄膜在其膜面方向上是無限擴(kuò)展的。分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）

當(dāng)一束平面電磁光波從入射介質(zhì)入射到光學(xué)薄膜上，則會產(chǎn)生一束反射光和一束透射光。假設(shè)：①入射介質(zhì)、薄膜及基底都非磁性②薄膜中沒有體電荷出現(xiàn)則各介質(zhì)中電磁場的麥克斯韋方程滿足如下的形式：（1.1.1）注意：采用的是高斯單位制分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）

毫無疑問，在σ

和ε連續(xù)的點(diǎn)（即在入射介質(zhì)，薄膜的各層中以及基底內(nèi)），電矢量?和磁矢量H是滿足上面的方程的，在σ

和ε不連續(xù)的點(diǎn)（即在膜層的邊界處），電矢量?和磁矢量H的切向分量是連續(xù)的。因此，研究薄膜中的電磁場的性質(zhì)實(shí)際上就是在給定的邊界條件下求解上面的電磁場方程。分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）

假設(shè)入射光是圓頻率為ω的單色平面電磁波，則電矢量?

和磁矢量H

可以表示如下：其中矢量E和矢量H只與空間變量有關(guān)將上式代入方程（1.1.1），化簡后可得：(1.1.2)分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）定義兩個(gè)參數(shù)：波長λ和波數(shù)k波長λ定義為光波在一個(gè)周期內(nèi)所走的路程，即：波數(shù)k定義為2π

單位內(nèi)所包含的波長的數(shù)目，即：分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）因此，方程（1.1.2）可簡化為：(1.1.3)(1.1.2)分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）為了求解矢量方程組（1.1.3），我們首先需要將它化為標(biāo)量方程組。為此，我們將電磁場分為s分量和p分量，其中s分量又稱為橫電波分量，它的特征是電矢量方向垂直于入射面*1。p分量又稱為橫磁波分量，它的特征是電矢量方向位于入射面內(nèi)，相應(yīng)的，其磁矢量方向垂直于入射面（這就是橫磁波的由來）*2。*1:入射面就是光線的入射方向和被入射表面的法線方向所構(gòu)成的平面。*2:注意：在規(guī)定s、p分量時(shí)都是以電矢量方向作為參考的。分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）為了便于說明，我們將膜系結(jié)構(gòu)圖進(jìn)一步簡化為下圖：說明返回分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）S分量情形：

在圖1.2中，規(guī)定入射角為γa，入射介質(zhì)的介電常數(shù)為εa，基底的介電常數(shù)為εs。下面分別就s、p偏振兩種情形求解方程（1.1.3）。(1.1.3)(1)(2)(3)(4)(5)(6)分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）(1.1.3)注：將方程（2）(3)代入方程（4）可得：（1.1.5）運(yùn)用變量分離法，假設(shè)：代入方程（1.1.5），可得：（1.1.6）方程的左邊只與y有關(guān)，而右邊只與z有關(guān)，因此只能等于一個(gè)常數(shù)，此處假設(shè)這個(gè)常數(shù)為k2α2。其中k為入射波的波數(shù)，α為一個(gè)待定常數(shù)。因此可根據(jù)方程（1.1.6）得：（1.1.7）分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）(2)(3)(4)

這個(gè)方程的解的形式為g(y)=exp(±ikαy)，而由于α是一個(gè)待定常數(shù)，它的正負(fù)符號也是沒有確定的，因此我們?nèi)〗獾男问綖間(y)=exp(ikαy)并不會影響最終結(jié)果。因此Ex可以寫成下面的形式：從方程（3）可得：從方程（2）可以看出，Hy也有類似的形式，因此假設(shè)：分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）（1.1.7）(3)(2)到目前為止，我們可以將s分量的E、H分別寫成下面的形式:（1.1.8）這種形式的E、H滿足方程（1）、（3）、（5）、（6），由方程（2）、（4），我們可以得到關(guān)于u、v的方程組：（1.1.9）分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）(1)(2)(3)(4)(5)(6)下面來考查一下u、v的連續(xù)性。在ε連續(xù)的點(diǎn)，也就是在膜層或基底和入射介質(zhì)中，根據(jù)方程（1.1.9）可以看出u、v是連續(xù)的，而在ε不連續(xù)的點(diǎn)即在膜層的邊界處，根據(jù)邊界條件可知，E、H的切向分量是連續(xù)的，而從（1.1.8）可以看出，E、H的切向分量為u(z)exp(ikαy)和-v(z)exp(ikαy)，而這個(gè)連續(xù)的條件在任意y處都成立，因此u(z)

和v(z)也必定連續(xù)，因此，u(z)、v(z)在膜層、基底和入射介質(zhì)中處處連續(xù)。分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）（1.1.9）（1.1.8）下面來確定常數(shù)α。入射單色平面電磁波的電矢量可以表示為：其中，矢量k表示入射波的波矢，矢量r表示觀察點(diǎn)處的坐標(biāo)矢量｛x,y,z｝，在入射介質(zhì)中：其中k為光在真空中的波數(shù)，矢量l是光波傳播方向的單位矢量，從圖1.2可以看出：分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）因此，入射波的電矢量可以表示為：與（1.1.8）比較可得：經(jīng)過同樣的推導(dǎo)過程可得：因此：這就是著名的折射定律，這個(gè)方程對于吸收介質(zhì)也是成立的，只要將介電常數(shù)換成復(fù)介電常數(shù)就可以了。事實(shí)上，對于膜層中的任意一層膜，假設(shè)它的介電常數(shù)為ε，折射角為γ都有：分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）（1.1.8）對于p偏振情形，經(jīng)過類似的推導(dǎo)，可得：和(1.1.14)方程（1.1.8）、（1.1.9）和（1.1.13）、（1.1.14）是求解分層介質(zhì)的電磁場的最基本的方程。分層介質(zhì)的電磁場（續(xù)）（1.1.8）（1.1.9）(1.1.13)這一節(jié)的主要任務(wù)是推導(dǎo)出分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率的通用表達(dá)式。下面分s、p偏振兩種情形來討論。S偏振情形方程（1.1.9）在入射介質(zhì)和基底中也是成立的。在入射介質(zhì)中：將方程（1.1.9）的第一個(gè)方程兩邊對z求導(dǎo)，再將第二個(gè)方程代入就可得到：（1.1.15）令：則方程（1.1.15）可化為：1.1.2分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（1.1.9）方程（1.1.15）的兩個(gè)線形獨(dú)立解exp(-ikqaz)和exp(+ikqaz),由于我們選擇的時(shí)間因子為exp(iωt)，則第一個(gè)線性獨(dú)立解代表沿＋z方向傳播的波，第二個(gè)線性獨(dú)立解代表的是沿-z方向傳播的波。對于如圖1.2中選擇的坐標(biāo)系。入射波的形式為exp(ikqaz)，反射波的形式為exp(-ikqaz)。因此從（1.1.9）的第一個(gè)方程很容易得到：（入射波）而對于反射波，同樣可以得到：分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.9）（1.1.15）假設(shè)膜系與入射介質(zhì)的交界面處的z坐標(biāo)為za（如圖），該處的入射光和反射光的電矢量的切向分量的幅度分別為EA和ER，則對于入射光：對于反射光：同樣對于透射光，假設(shè)膜系與基底交界面處的電矢量的切向分量的幅度為ET，則：其中因此，對于s偏振，其幅度透射率和反射率可定義為：注意：用切向分量定義幅度透射率和反射率的原因主要是：①只關(guān)心沿膜面垂直的方向傳播的能量。②符合垂直入射時(shí)的常識。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）

幅度反射率不會隨著入射光、反射光及透射光的電矢量的幅度變化而變化，它是由膜系本身的性質(zhì)決定的，因此，我們可以用透射光的電矢量的幅度來歸一化場矢量，也就是假設(shè)ET＝1。另外，注意方程（1.1.9）中的u、v的解不僅依賴于z，而且還依賴于k，因此，從現(xiàn)在開始我們將u、v分別寫成u（z，k）、v（z，k）來表示這種依賴關(guān)系。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.9）從u、v在基底與膜系的交界面處的連續(xù)性可以得到方程（1.1.9）的初始條件為：（1.1.16）在外邊界za處，場的幅度是入射光和反射光的幅度的和，則：從這兩個(gè)式子可以推出：注意，這里假設(shè)ET＝1，所以：（1.1.17）方程（1.1.17）的推導(dǎo)過程中，我們沒有作任何假設(shè)，因此，方程（1.1.17）的結(jié)果是普遍適用的。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.9）到目前為止，我們可以根據(jù)初始條件（1.1.16）求解方程組（1.1.9），并進(jìn)而根據(jù)（1.1.17）求解出膜系的幅度反射率和幅度透射率。這是求解膜系光譜系數(shù)的一種方法，但我們后面會介紹更簡便的遞推方法。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.9）（1.1.16）（1.1.17）P偏振情形經(jīng)過類似的推導(dǎo)，我們可以從形式上得到與s偏振相同的結(jié)果（（1.1.16）和（1.1.17））。只是其中qa和qs取值不同。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.16）（1.1.17）為了方便，我們引入折射率的概念（電磁波在真空中的速度c與在介質(zhì)中的速度v之比稱為介質(zhì)的折射率n），我們規(guī)定折射率和介電常數(shù)的關(guān)系為：對于吸收介質(zhì)，則規(guī)定：參數(shù)α可以表示成：折射定律可以表示成我們熟悉的形式：參數(shù)qa和qs也可以方便地寫成下面的形式：S偏振情形