第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析主講教師：盧亞玲

系統(tǒng)分析的任務(wù):在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。

連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析:是指信號與系統(tǒng)的整個分析過程都在連續(xù)時間域進行，即所涉及的函數(shù)自變量均為連續(xù)時間t的一種分析方法。

系統(tǒng)時域分析法包含兩方面內(nèi)容：微分方程求解；利用單位沖激響應(yīng)求系統(tǒng)輸出零狀態(tài)響應(yīng)。2.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解(微分方程建立、復(fù)習(xí)解法、重點說明解的物理含義)2.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)的物理含義2.3卷積及其性質(zhì)2.4用算子符號表示微分方程§2.1系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立和微分方程求解2.1.1、R.L.C上的e(t)~i(t)1.電阻數(shù)學(xué)模型2.電感數(shù)學(xué)模型3.電容數(shù)學(xué)模型4、求和5、分支2.1.2LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、電路微分方程的導(dǎo)出：

列方程的基本依據(jù)：

1、元件特性約束：ＶＣＲ方程。

2、網(wǎng)絡(luò)拓撲約束：KCL、KVL方程。

列方程的基本方法：節(jié)點分析法和回路分析法。例2-1、圖2-1所示為RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓與激勵源間的關(guān)系圖2-1對整個電路，根據(jù)基爾霍夫電流定律有代入它們的數(shù)學(xué)表達式并化簡得到電路的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)的微分方程結(jié)論：LTI系統(tǒng)可以用常系數(shù)的微分方程來描述二、LTI系統(tǒng)的輸入-輸出方程的一般形式

式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均為常數(shù)。什么是起始狀態(tài)、初始條件響應(yīng)區(qū)間：激勵信號加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化的區(qū)間。一般把激勵加入的時刻定為t=0所以系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間為注意：這就是系統(tǒng)響應(yīng)r(t)的定義域起始狀態(tài)：系統(tǒng)在激勵信號加入之前瞬間有一組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)（0-狀態(tài)）注意：時刻點是0-包含系統(tǒng)的全部過去信息初始條件：系統(tǒng)在激勵信號加入后瞬間有一組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的初始條件（0+狀態(tài)）注意：時刻點是0+，它是系統(tǒng)響應(yīng)區(qū)間內(nèi)的一組狀態(tài)，所以用它來確定完全響應(yīng)中的常數(shù)三微分方程的解（一）、經(jīng)典法：（P45—47）全解分解：全解=齊次解+特解方法：Step1:由特征方程求特征根得齊次解通式；Step2:由輸入定特解；Step3:由初始條件定通解的常數(shù),求出全解。step1.齊次解

齊次解滿足齊次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0得到n個根λ1，λ2，…，λn

(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)個根λγ+1，λγ+2，…，λn都是單根，則微分方程的齊次解(2―11)(2―12)n階微分方程的齊次解的系數(shù)n個系數(shù)由初始條件確定

例2―2求微分方程的齊次解。y″(t)+3y’(t)+2y(t)=f(t)解：由特征方程：λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1，λ2=-2。因此該方程的齊次解yh(t)=c1e-t+c2e-2t

例2―3求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齊次解。解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=-1，因此該方程的齊次解yh(t)=c1e-t+c2te-t

Step2:特解

特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。

表2―1列出了幾種類型的激勵函數(shù)f(t)及其所對應(yīng)的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解，具體步驟如下：(1)由激勵查表2-1(書上P46表2-2)試選特解(2)將激勵代入原方程右邊，整理得自由項；并將試選特解代入原方程左邊(3)根據(jù)方程兩端對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，即可解出中待定系數(shù)Pi

表2―1激勵函數(shù)及所對應(yīng)的解例2―4若輸入激勵f(t)=e-t，試求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。解:查表2―1，因為f(t)=e-t，α=-1與一個特征根λ1=-1相同，因此該方程的特解將特解yp(t)代入微分方程，有Step3:求出完全解

完全解是齊次解與特解之和

（1）如果微分方程的特征根全為單根，則微分方程的全解為(2―15)（2）

當(dāng)特征根中λ1為γ重根，而其余(n-γ)個根均為單根時，方程的全解為(2―16)如果微分方程的特征根都是單根，則方程的完全解為式(2―15)，將給定的初始條件分別代入到式(2―15)及其各階導(dǎo)數(shù)，可得方程組y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)

…

y(n-1)(0)=λ1n-1c1+λ2n-1c2+…+λnn-1cn+y(n-1)p(0)解方程組，由此可求出要求的待定常數(shù)ci(i=1,2…n)例2―25求微分方程r″(t)+3r′(t)+2r(t)=f(t)的齊次解,若輸入激勵f(t)=e-t,試求微分方程的特解。設(shè)

求系統(tǒng)的全解解：由特征方程解得特征根因此該方程的齊次解

查表2―2（P46），因為f(t)=e-t中α=-1，與一個特征根λ1=-1相同，因此該方程的特解

所以系統(tǒng)的全響應(yīng)為用初始條件確定常系數(shù)：由初始條件得到一組方程組解得：全解：經(jīng)典法解的意義：系統(tǒng)的自由響應(yīng)系統(tǒng)的強迫響應(yīng)特征根稱為系統(tǒng)的固有頻率或自由頻率、自然頻率，它決定了自由響應(yīng)的全部形式只與激勵函數(shù)的形式有關(guān)表示解區(qū)間由起始狀態(tài)(0-狀態(tài))求初始條件(0+狀態(tài))方法一：根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓撲約束與換路定理求初始條件P57例2-6方法二：沖激函數(shù)匹配法當(dāng)系統(tǒng)已有微分方程時使用該法。

沖激匹配法是指為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式的恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等。

例2-6已知系統(tǒng)微分方程式為給定0-狀態(tài)起始值r(0-),確定它的0+狀態(tài)r(0+)解：由于動態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號δ’(t)，為了保持動態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)r’(t)也必須含有δ’(t)。所以設(shè)將r′(t)代入方程得到解得：a=3,b=-9,c=27所以該方法要注意兩個問題：第一，注意△u(t)的意義1.時刻為0-到0+時刻；2.在這段時間具有單位階躍信號的函數(shù)特點，所以其微分是單位沖激信號，而其積分第二，沖激函數(shù)匹配法的關(guān)鍵是設(shè)出響應(yīng)最高階的表達式：響應(yīng)的最高階=方程右端最高階及其依次積分項的線性疊加。沖激函數(shù)匹配法也是對微分方程右端含有沖激函數(shù)或其各階導(dǎo)數(shù)的方程求解的方法。

（二）零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的全解分解成：零輸入響應(yīng)：（zero—inputresponse）沒有外加激勵信號的作用下，只有起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。Thezero—inputresponseistheresponsethatexistsduetoinitialcondition(orinitialstate)alonewiththeinpute(t)=0.零輸入響應(yīng)的解的形式：它是齊次解的一部分，其常系數(shù)由起始狀態(tài)確定零輸入響應(yīng)滿足方程及起始狀態(tài)的解。零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用下（起始狀態(tài)為零），由系統(tǒng)外加激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。Thezero--stateresponsecomponentduetosourcesorinputs.零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程及起始狀態(tài)

零狀態(tài)響應(yīng)的解的形式：它含有齊次解的一部分及強迫響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)的求解：時域解法同經(jīng)典法解方程；

卷積法系統(tǒng)全解為：（三）瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Definition:當(dāng)時，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量稱為瞬態(tài)響應(yīng)，保留下來的那部分分量稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。例2-2中全部都是瞬態(tài)分量，穩(wěn)態(tài)分量為0總結(jié)：由于研究方法和目的的不同可以有不同的解的分解形式。全解＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)＝暫態(tài)響應(yīng)＋穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(transientresponse)+(steady-stateresponse)＝自然響應(yīng)＋強迫響應(yīng)(naturalresponse)+(forceresponse)

2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)1、沖激響應(yīng)定義：Impulseresponse,denotedh(t),ofafixed,linearsystemassumedinitiallyunexcited,istheresponseofthesystemtoaunitimpulseappliedattimet=0.

沖激響應(yīng)是系統(tǒng)對單位沖激信號輸入時的零狀態(tài)響應(yīng)。記為：可見，沖激響應(yīng)滿足：（1）微分方程：（2）起始條件：2、沖激響應(yīng)的時域求解：將沖激響應(yīng)分解成：方程右邊在時都等于零解特征方程，注意：當(dāng)時，與齊次解的形式相同當(dāng)時，由特征方程解的特征根得的是齊次解。其中還應(yīng)含有沖激響應(yīng)及其相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)。求得的中還有待定系數(shù)，待定系數(shù)由確定二.階躍響應(yīng)1、階躍響應(yīng)的定義：Stepresponseisazerostateresponseofafixed,linearsystemtoaunitstepfunctionappliedattimet=0.階躍響應(yīng)是系統(tǒng)對單位階躍信號輸入時的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)記作g(t)。2、階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的關(guān)系：3、階躍響應(yīng)的求解方法一：用求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法。方法二：利用與的關(guān)系求解。三、沖激響應(yīng)的重要意義1、任意信號都可以用沖激信號的組合表示2、線性時不變系統(tǒng)的輸入與其相應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系（1）設(shè)系統(tǒng)變換為T[]，系統(tǒng)輸入為，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：（2）設(shè)系統(tǒng)變換為T[]，系統(tǒng)輸入為，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：系統(tǒng)變換的變量是t系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)所以有稱為卷積系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)可以表示系統(tǒng)特性，單位沖激響應(yīng)的性質(zhì)可以表示系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，它是分析LTI系統(tǒng)的重要手段。2.3卷積積分2.3.1卷積的定義

設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(-∞，∞)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，我們將積分定義為f1(t)和f2(t)的卷積(Convolution)，簡記為即

式中，τ為虛設(shè)積分變量，積分的結(jié)果為另一個新的時間信號。積分限根據(jù)f1(t)和f2(t)的作用時間范圍而變化2.3.2卷積的圖解機理

信號f1(t)與f2(t)的卷積運算可通過以下幾個步驟來完成：第一步，畫出f1(t)與f2(t)波形，將波形圖中的t軸改換成τ軸，分別得到f1(τ)和f2(τ)的波形。第二步，將f2(τ)波形反褶，得到f2(-τ)波形。第三步，給定一個t值，將f2(-τ)波形沿τ軸平移|t|。在t<0時，波形往左移；在t>0時，波形往右移。這樣就得到了f2(t-τ)的波形。

第四步，將f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)f1(τ)f2(t-τ)。第五步，計算乘積信號f1(τ)f2(t-τ)波形與τ軸之間包含的凈面積，便是式(2.2-1)卷積在t時刻的值。第六步，令變量t在(-∞，∞)范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操作，最終得到卷積信號f1(t)*f2(t)。例2.3–1給定信號求y(t)=f1(t)*f2(t)。圖2.2–1f1(t)和f2(t)波形圖2.2–2卷積的圖解表示當(dāng)t<0時，對任一τ，乘積f1(τ)f2(t-τ)恒為零，故y(t)=0。當(dāng)0<t<3時，f2(t-τ)波形如圖2.2-2(d)所示。當(dāng)t>3時，f2(t-τ)波形如圖2.2-2(e)所示，此時，僅在0<τ<3范圍內(nèi)，乘積f1(τ)f2(t-τ)不為零，故有

當(dāng)t<0時，f2(t-τ)波形如圖2.2-2(c)所示，對任一τ，乘積f1(τ)f2(t-τ)恒為零，故y(t)=0。當(dāng)0<t<3時，f2(t-τ)波形如圖2.2-2(d)所示。

當(dāng)t>3時，f2(t-τ)波形如圖2.2-2(e)所示，此時，僅在0<τ<3范圍內(nèi)，乘積f1(τ)f2(t-τ)不為零，故有

2.3.3卷積的性質(zhì)(一)時移性質(zhì)和卷積代數(shù)

1.時移f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0)

=f1(t-t0-t1)*f2(t)

=f1(t)*f2(t-t0-t1)(2.3-7)

令τ-t0=x，代入上式，得

同理可證式(2.5-7)的其它形式。當(dāng)f1(t)、f2(t)、f3(t)分別滿足可積條件時，一些代數(shù)性質(zhì)也適合卷積運算。證

2.交換律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(2.3-8)圖2.3-3交換律的實用定義3.分配律f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3