北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第一章勾股定理1.1探索勾股定理第1課時勾股定理北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第一章勾股定理1.1探索勾11.通過數(shù)格子的方法探索勾股定理；學(xué)生理解勾股定理反映的是直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。2.在探索過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“觀察-猜想-歸納”的教學(xué)過程，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來。3.初步運用勾股定理進(jìn)行簡單的計算和實際的應(yīng)用。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過數(shù)格子的方法探索勾股定理；學(xué)生理解勾股定理反映的是直同學(xué)們，在我們美麗的地球王國上，原始森林，參天古樹帶給我們神秘的遐想；綠樹成蔭，微風(fēng)習(xí)習(xí)，給我們以美的享受.你知道嗎？在古老的數(shù)學(xué)王國，有一種樹木它很奇妙，生長速度大的驚人，它是什么呢？下面讓我們帶著這個疑問一同到數(shù)學(xué)王國去欣賞吧！勾股樹導(dǎo)入新知同學(xué)們，在我們美麗的地球王國上，原始森林，參天古樹帶給我們在紙上畫若干個直角邊為整數(shù)的直角三角形，分別測量它們的三條邊長，并填入下表.看看三邊長的平方之間有怎樣的關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流.新知勾股定理的探索做一做abca2,b2,c2之間關(guān)系合作探究在紙上畫若干個直角邊為整數(shù)的直角三角形，分別測量它們4問題1

你能發(fā)現(xiàn)下圖中三個正方形面積之間有怎樣的關(guān)系?ABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1問題1你能發(fā)現(xiàn)下圖中三個正方形面積之間有怎樣的關(guān)系?ABC5ABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）正方形A中含有

個小方格,即A的面積是

個單位面積.同理:正方形B的面積是

個單位面積.999思考1

用什么辦法能求出圖1中A,

B的面積?數(shù)格子圖1ABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）正方形A中含有6分割成若干個直角邊為整數(shù)的三角形（單位面積）思考2

怎樣求出C的面積?ABC

（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1

分割成若干個直角邊為整數(shù)的三角形（單位面積）思考2怎樣求7C．3個D．4個(3)當(dāng)∠C＝90°，b＝4m，c＝5m時，a＝_______．4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.正方形A中含有個小方格,即A的面積是個單位面積.求出圖中直角三角形第三邊的長度.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各邊為邊向外作三個正方形，面積分別為S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，則S3=．分割為四個直角三角形和一個小正方形勾2+股2=弦27．(2020·遵義月考)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少要飛行()于是BC＝40m．此時小汽車的速度為40÷2＝20(m/s)．∵20m/s＝72km/h＞70km/h，∴這輛小汽車超速了18．在一棵樹的10m高處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20m的池塘，而另一只爬向樹頂后直撲池塘(運動路線看作直線)，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？在探索過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“觀察-猜想-歸納”的教學(xué)過程，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來。看看三邊長的平方之間有怎樣的關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流.例2如圖，以Rt△ABC的三邊為邊，分別向外作正方形，它們的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，則S1的值為（）例3如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面積．你知道嗎？在古老的數(shù)學(xué)王國，有一種樹木它很奇妙，生長速度大的驚人，它是什么呢？下面讓我們帶著這個疑問一同到數(shù)學(xué)王國去欣賞吧！則a2+b2=c2.a2+b2=c2綠樹成蔭，微風(fēng)習(xí)習(xí)，給我們以美的享受.練一練

通過對圖1的學(xué)習(xí)，求出圖2正方形A,B,C中面積各是多少?

ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2解：正方形A的面積是4個單位面積，正方形B的面積是4個單位面積，正方形C的面積是8個單位面積.C．3個D．4個練一練通過對圖1的學(xué)習(xí)8（1）觀察圖3、圖4：（2）填表（每個小正方形的面積為單位1）：A的面積B的面積C的面積圖3圖449169？？圖3圖4做一做（1）觀察圖3、圖4：（2）填表（每個小正方形的面積為單位9（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流.圖3圖4（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流.圖3圖410“補”“割”“拼”分割為四個直角三角形和一個小正方形補成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積將幾個小塊拼成一個正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個小正方形“補”“割”“拼”分割為四個直角三角形和一個小正方形補成大正11（4）分析填表數(shù)據(jù)圖4圖3A的面積B的面積C的面積圖3圖44

916

91325（4）分析填表數(shù)據(jù)圖4圖3A的面積B的面積C的面積圖3圖4412結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，

等于以斜邊為邊長的正方形的面積.問題2

通過以上觀察分析，你能發(fā)現(xiàn)三個正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？SA+SB

=SC結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，問13做一做

如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個單位長度和2.4個單位長度，上面猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明你的理由.

2.41.6?問題4

你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？a2

+

b2

=c2做一做如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個單位長度和2.14

勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.abc表示為：Rt△ABC中，∠C=90°,

則a2

+b2

=

c2.在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理a2

+

b2

=c2勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么15已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.看看三邊長的平方之間有怎樣的關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流.勾2+股2=弦2在Rt△ABD中，AD2＝172－(x＋9)2.解：由題意得AB＝30m，AC＝50m．由勾股定理得BC2＝AC2－AB2＝502－302＝402.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.3．若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的可能值有()（圖中每個小方格代表一個單位面積）勾2+股2=弦2則a2+b2=c2.所以122+52=AB2，分割為四個直角三角形和一個小正方形在探索過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“觀察-猜想-歸納”的教學(xué)過程，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來。已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.綠樹成蔭，微風(fēng)習(xí)習(xí)，給我們以美的享受.尋求圖形面積之間的關(guān)系A(chǔ)．1個B．2個AC2+BC2=AB2，較長的直角邊稱為，勾較短的直角邊稱為，股較長的直角邊稱為，直角三角形中弦斜邊稱為.勾2+

股2=弦2股勾弦在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.趣味小常識已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.勾較短16典例精析1利用勾股定理求直角三角形的邊長方法點撥：已知直角三角形的兩邊求第三邊,關(guān)鍵是先明確所求的邊是直角邊還是斜邊,再應(yīng)用勾股定理.

例1

如果直角三角形兩直角邊長分別為BC=5厘米,AC=12厘米,求斜邊AB的長度.abcACB解：在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理,AC2+BC2=AB2，AC=12，BC=5所以122+52=AB2，所以AB2=122+52=169，所以AB=13厘米.答：斜邊AB的長度為13厘米.

典例精析1利用勾股定理求直角三角形的邊長方法點撥：已知直17求下列圖形中未知邊的長度：所以x=8.解：由勾股定理得：62+x2=102,所以x2=64,鞏固新知求下列圖形中未知邊的長度：所以x=8.解：由勾股定理得：6181.尋求圖形面積之間的關(guān)系典例精析2利用勾股定理求面積問題方法點撥：以直角三角形三邊為基礎(chǔ)向外作正方形，等腰三角形或半圓，都能形成簡單的勾股圖，對于勾股圖都有相同的結(jié)論，即S1=S2+S3（S1是以斜邊為基礎(chǔ)向外作的圖形的面積，S2和S3分別是以直角邊基礎(chǔ)向外所作圖形的面積.例2

如圖，以Rt△ABC的三邊為邊，分別向外作正方形，它們的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，則S1的值為（）A．7

B．8

C．9

D．10B合作探究1.尋求圖形面積之間的關(guān)系典例精析2利用勾股定理求面積問19例3

如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面積．方法點撥：當(dāng)題目中沒有直角三角形時，常作垂線（或作高）構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理求得線段的長，進(jìn)而求面積.2.求非直角三角形的面積

例3如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△20

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各邊為邊向外作三個正方形，面積分別為S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，則S3=

．14鞏固新知如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各21ABCD1.判斷題（1）△ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13.

()（2）△ABC的a=6,b=8,則c=10.

()2.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,則△ABC面積為_____,斜邊為上的高為______.

244.8課堂練習(xí)ABCD1.判斷題244.8課堂練習(xí)22

15cm17cm64cm23.陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為

. 15cm17cm64cm23.陰影部分是一個正方234.求出圖中直角三角形第三邊的長度.所以x=8.解：由勾股定理得：152+x2=172

,所以x2=64

,所以x=13

.解：由勾股定理得：x2=

32

+42+152

,所以x2=169,4.求出圖中直角三角形第三邊的長度.所以x=8.解：由勾股245.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.

求CD的長.ADBC34解：因為∠ACB=90°，AC=3，BC=4，所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，

AC×BC=

AB×CD.

所以CD=.

5.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.25在紙上畫若干個直角邊為整數(shù)的直角三角形，分別測量它們的三條邊長，并填入下表.則a2+b2=c2.14．(2019·鄭州月考)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，最大正方形的邊長為2cm，則正方形A，B，C，D的面積和是____cm2.（圖中每個小方格代表一個單位面積）問題4你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各邊為邊向外作三個正方形，面積分別為S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，則S3=．（2）△ABC的a=6,b=8,則c=10.新知勾股定理的探索方法點撥：以直角三角形三邊為基礎(chǔ)向外作正方形，等腰三角形或半圓，都能形成簡單的勾股圖，對于勾股圖都有相同的結(jié)論，即S1=S2+S3（S1是以斜邊為基礎(chǔ)向外作的圖形的面積，S2和S3分別是以直角邊基礎(chǔ)向外所作圖形的面積.A．1個B．2個62+x2=102,AC×BC=AB×CD.AC2+BC2=AB2，169如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各邊為邊向外作三個正方形，面積分別為S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，則S3=．（2）△ABC的a=6,b=8,則c=10.思考2怎樣求出C的面積?答：斜邊AB的長度為13厘米.勾股定理的探索如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c

，那么a2+b2=c2

利用勾股定理進(jìn)行計算歸納新知在紙上畫若干個直角邊為整數(shù)的直角三角形，分別測量它們的三條邊26B

課后練習(xí)B課后練習(xí)D

D3．若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的可能值有()A．1個

B．2個C．3個

D．4個B3．若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的可能值有(4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.(1)當(dāng)∠B＝90°時，三邊關(guān)系為___________________；(2)當(dāng)∠A＝90°，b＝3，c＝4時，a＝____；(3)當(dāng)∠C＝90°，b＝4m，c＝5m時，a＝_______．a(chǎn)2＋c2＝b253m4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.5．如圖，在△ABD中，∠D＝90°，點C是BD上一點，已知CB＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的長．解：設(shè)CD長為x.在Rt△ACD中，AD2＝102－x2.在Rt△ABD中，AD2＝172－(x＋9)2.∴102－x2＝172－(x＋9)2，解得x＝6，∴所以AD2＝64，AD＝85．如圖，在△ABD中，∠D＝90°，點C是BD上一點，已知6．如果直角三角形兩直角邊長分別為4，5，那么以斜邊為邊長的正方形的面積為()A．41B．1C．9D．以上答案都不對A6．如果直角三角形兩直角邊長分別為4，5，那么以斜邊為邊長的7．(2020·遵義月考)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少要飛行()A．8米

B．10米

C．12米

D．14米

B7．(2020·遵義月考)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一8．如圖，分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，已知其中兩個正方形的面積，則正方形A的面積是____，B的面積是________．202568．如圖，分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，已知其中兩9．(2020·西安月考)在“尋找濱河最美，拒絕不文明行為”系列活動中，細(xì)心的董明同學(xué)發(fā)現(xiàn)：學(xué)校有一塊長方形花圃，如圖，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了____步路(假設(shè)2步為1米)，卻踩傷了花草．49．(2020·西安月考)在“尋找濱河最美，拒絕不文明行為”10．有一根高為16m的電線桿在點A處斷裂，電線桿頂部點C落到離電線桿底部B點8m的地方，求電線桿的斷裂處點A離地面有多高？解：設(shè)AB長為xm，則有x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6，故斷裂處點A離地面有6m10．有一根高為16m的電線桿在點A處斷裂，電線桿頂部點C11．(2019·荊門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為()A．5B．6C．8D．10C11．(2019·荊門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD12．如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是()A．48B．60C．76D．80C12．如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB＝90°，A13．(2019·北京模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，點E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點B落在AC邊上的點B′處，則BE的長為________．13．(2019·北京模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC14．(2019·鄭州月考)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，最大正方形的邊長為2cm，則正方形A，B，C，D的面積和是____cm2.414．(2019·鄭州月考)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有15．“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定小汽車在城市街道上行駛速度不得超過70km/h.如圖，一輛小汽車在一條城市街道上直向行駛，某一時刻剛好行駛到路面車速檢測儀A正前方30m的B處，過了2s后，測得小汽車到達(dá)點C處與車速檢測儀