《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析A5是初中“三角形邊角關(guān)系”和“解直角三角形”內(nèi)容的直接連續(xù)和拓展，同時(shí)更是處理可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算的其他數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)生活實(shí)際問題的重要工具。角關(guān)系的猜測；其次，帶著疑問，對猜測進(jìn)展驗(yàn)證，首先對特別的斜三角形邊角關(guān)系進(jìn)展驗(yàn)證和試驗(yàn)探究驗(yàn)證，其次是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明；第三，得到正弦定理，解決引例，首尾照應(yīng)，并學(xué)以致用，簡潔應(yīng)用。正弦定理其實(shí)是把“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關(guān)系的解析化，從三角學(xué)的歷透了學(xué)科進(jìn)展中爭論觀點(diǎn)和爭論方法的嬗變。這其實(shí)是一個(gè)推陳出的過程。通過這三個(gè)層次，探究——覺察——證明，從實(shí)際中來，到實(shí)際中去。通過課堂，體會直觀感知、大膽猜測、試驗(yàn)探究、理論驗(yàn)證、實(shí)際應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1、從已有三角形學(xué)問動身，通過觀看、試驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、證明，從特別到一般得到形的兩類根本問題；2、通過對實(shí)際問題的探究，培育學(xué)生覺察問題、提出問題、分析問題、解決問題的力量，增加學(xué)生的協(xié)作力量和溝通力量，進(jìn)展學(xué)生的創(chuàng)意識，培育學(xué)生的縝密思維；3、通過自主探究、合作溝通，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的覺察過程，培育學(xué)生勇于探究、擅長覺察、不畏困難的思維品質(zhì)和個(gè)人素養(yǎng)；4、培育學(xué)生合情合理探究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角函數(shù)、正弦定理等學(xué)問之間的聯(lián)系表達(dá)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。三、學(xué)情分析本節(jié)課內(nèi)容根本上安排在高一下學(xué)期或高二上學(xué)期講授有學(xué)問解決問題，并得到學(xué)問。四、教學(xué)策略分析本節(jié)課承受問題探究式教學(xué)模式，循序漸進(jìn)，用問題驅(qū)動課堂教學(xué)，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生探究、合作、溝通、展現(xiàn)，盡可能多的質(zhì)疑、探究、爭論，多參與課堂學(xué)問的生成和覺察的過程，形成思維。五、重難點(diǎn)分析本節(jié)課的重點(diǎn)是：正弦定理的覺察、探究、證明以及兩類主要的應(yīng)用；本節(jié)課的難點(diǎn)是：正弦定理的覺察過程。六、教學(xué)預(yù)備制作多媒體課件；Z+Z動態(tài)演示軟件動畫制作七、教學(xué)過程分析實(shí)例引入，激發(fā)動機(jī)引例：1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，測繪人員只有皮尺和測角儀兩種工具，沒法跨河測量，利用現(xiàn)有工具，你能幫助設(shè)計(jì)一個(gè)測量A、B問題設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生從熟知的直角三角形動身，解決實(shí)際問題，為后續(xù)處理一般三角形埋下伏筆。2、假設(shè)測量人員任意選取CBC54m，B45C60.問依據(jù)這些數(shù)據(jù)能解決測量者的問題嗎？依據(jù)題目中的表達(dá)，很明顯可以抽象成這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)模ABC中，BC54，B45C60AB.想為后續(xù)證明埋下伏筆。邊對小角的關(guān)系，那么我們是否能夠得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？的時(shí)候，恰如其分的勾起了學(xué)生求知的欲望。試驗(yàn)探究，驗(yàn)證猜測探究一：直角三角形邊角關(guān)系RtABCC是最大的角，所對的斜邊c是最大的邊，探究邊角關(guān)系。RtABCBCa,ACb,ABc，依據(jù)正弦函數(shù)定義可得：a bsinAc;sinBca bsinAsinBc又sinC1a b csinAsinBsinC問題設(shè)計(jì)意圖：從最特別的直角三角形入手，作為后續(xù)探究的根底，也很簡潔得到。探究二：斜三角形邊角關(guān)系1ABC中，ABC3

,對應(yīng)邊的邊長abc1:1:1，a b c驗(yàn)證sinAsinBsinC

是否成立？2：如圖，在等腰ABCAB30C120，對應(yīng)邊的邊長a b c3a:b:c1:1:3

，驗(yàn)證sinAsinBsinC

是否成立？2中，也滲透了作高，求出三邊關(guān)系，為后續(xù)證明埋下伏筆。過渡：假設(shè)說這兩個(gè)特別的三角缺乏以代表一切，再一般的斜三角形呢？a b c3

、 、 的值相等。a b c

sinA sinB sinC通過這樣的一些試驗(yàn)，我們可以猜測sinA

sinB

sinC。過渡：我們雖然通過數(shù)學(xué)試驗(yàn)并借助于多媒體，得到了：對于斜三角形，a b csinA

sinB

。但是并沒有經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，那么如何證明這個(gè)結(jié)論呢？學(xué)生更加直觀感受到變換，加深理解。證明猜測，得到定理11——作高法如圖，在銳角三角形中，設(shè)BCaCAb,ABc。線，使角和邊消滅在直角三角形中呢？證明：在ΔABC中做高線CD,則在RtΔADC和RtΔBDC中 CCDbsinA,CDasinB即bsinAasinBa b ,同理可證：a

c , A D BsinA sinB sinA sinCa

bsinB

csinC那么在鈍角三角形中是否成立呢？請同學(xué)們嘗試著分組自己證明一下。學(xué)生展現(xiàn)?？偨Y(jié)：我們把三角形邊角關(guān)系的這條性質(zhì)稱為正弦定理lawofsine，即在任意一個(gè)三a b c角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即sinA

sinB

sinCa b c三角形的推導(dǎo)過程可以看出，

、 、 的比值相等，都等于c，即三角形的外接sinA sinB sinC圓半徑。那么對于一般的三角形呢？22——外接圓法證明：做ABC的外接圓O,過點(diǎn)C連接圓心與圓交于點(diǎn)D,連接AD, CAB設(shè)圓的半徑為AB∴CAD為Rt且bRsinD且a∠D∠B∴b2RsinB即

bsinB2R同理:

c2R,

2RsinA sinC∴a b

2RsinA sinB sinC由此可得，任意三角形中，每一條邊長和對角正弦的比值都等于三角形外接圓D徑。a b csinA

sinB

sinC。生數(shù)學(xué)思維思維品質(zhì)的提升。定理應(yīng)用，解決引例引語：現(xiàn)在請同學(xué)們，回過頭來解決一下引例中的問題。解：依據(jù)正弦定理，得：AB BCsinC

sinA,A180456075AB

BCsinC

54sin60

27

6 2sinA 753A、B兩點(diǎn)間的距離是273

6 。22的量，這樣的數(shù)學(xué)處理過程就稱為解三角形。A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形。總結(jié)：求角度也常借助于三角形的內(nèi)角和公式。學(xué)以致用，解決問題引語：依據(jù)正弦定理這個(gè)等式，假設(shè)把期中某一個(gè)量看做未知量，那么依據(jù)方程思想，我們就可以解決三角形的哪些問題呢？1、假設(shè)三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一個(gè)角和另兩邊。如：absinA；sinB2、假設(shè)三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩個(gè)角。如：sinA

absinB;例1：在ABC中，A

B

a2cm解三角形。再由正弦定理求其他兩邊。C1803045105由正弦定理 a b c 得：sinA sinB sinCb

asinB2sin4522sinA sin30 262casinC2sin1052sin6045 62sinA

sin30例2：在ABC中，a2 b2 A

解三角形。B消滅兩種情形，接下來就要進(jìn)展分類爭論。解：由正弦定理 a b c 得：sinA sinB sinCsinB

bsinA

2 3sin452 2322 23B18060或12022當(dāng)B60時(shí)，C75 2262casinC2 sin752 sin3045 62sinA sin45當(dāng)B120時(shí)，C152casinC2 sin1522

sin45262262 sinA sin45 sin45設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生解決問題，提升學(xué)習(xí)的熱忱，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣。小結(jié)a b c1、正弦定理的內(nèi)容〔sinA

sinB

sinC

2R〕及其證明的思想方法；2、正弦定理的主要應(yīng)用：三角形的兩角及一邊，求其他元素；三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他元素；3、轉(zhuǎn)化化歸的思想、方程的思想、分類爭論的思想。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)通過自己的語言表達(dá)學(xué)習(xí)的收獲，在本節(jié)課馬上完畢的時(shí)候，讓學(xué)生作業(yè)設(shè)計(jì)1、正弦定理的其他證明方法；2的狀況：6在ABCA45a66在ABC中，A45,a 61

，b3，b3

B;3B;3在ABCA45a

B;3設(shè)計(jì)意圖：課后查閱資料，了解正弦定理的其他過程，讓課內(nèi)學(xué)問延長到課外，通過這樣的方式促進(jìn)學(xué)生可以獵取更多的與本節(jié)課相關(guān)的學(xué)問，拓寬學(xué)問面。預(yù)留一個(gè)探究作業(yè)，對于學(xué)生下節(jié)課的學(xué)習(xí)起到一個(gè)承上啟下的過渡作用。3教學(xué)反思正弦定理，然后證明正弦定理。猜測、證明的流程自然、有序、明白，表達(dá)了學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)展了思想方法的滲透，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律力氣引例，首